第1章 二次函数 高频考点精选精练（含解析）

第1章 二次函数
一、单选题
1．对于抛物线，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线开口向上 B．当时，y随x增大而减小
C．函数最小值为﹣2 D．顶点坐标为（1，﹣2）
2．若y=（m＋1）是二次函数，则m= （ ）
A．－1 B．7 C．－1或7 D．以上都不对
3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．关于函数，下列说法：①函数的最小值为1；②函数图象的对称轴为直线x＝3；③当x≥0时，y随x的增大而增大；④当x≤0时，y随x的增大而减小，其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知学校航模组设计制作的火箭升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1，则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后1s和点火后3s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．火箭升空的最大高度为145m
D．点火后10s的升空高度为139m
7．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为( )
A． B． C． D．
9．二次函数 的图像如图所示， 现有以下结论： （1） ： （2） ； （3）， （4） ； （5） ； 其中正确的结论有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个．
10．已知二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①4a + 2b + c > 0 ；②y随x的增大而增大；③方程ax2 + bx + c = 0两根之和小于零；④一次函数y = ax + bc的图象一定不过第二象限，其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为(0，－2)，则它的表达式为________．
12．抛物线是二次函数，则m=___．
13．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．
14．如果二次函数的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，那么的取值范围是__________.
15．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．则S与x的函数关系式是____________，自变量x的取值范围是____________．
16．抛物线的图象和轴有交点，则的取值范围是______．
17．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为_________．
三、解答题
18．每年九月开学前后是文具盒的销售旺季，商场专门设置了文具盒专柜李经理记录了天的销售数量和销售单价，其中销售单价(元/个)与时间第天(为整数)的数量关系如图所示，日销量(个)与时间第天(为整数)的函数关系式为:
直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
设日销售额为(元) ，求(元)关于(天)的函数解析式;在这天中，哪一天销售额(元)达到最大，最大销售额是多少元；
由于需要进货成本和人员工资等各种开支，如果每天的营业额低于元，文具盒专柜将亏损，直接写出哪几天文具盒专柜处于亏损状态
19．某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
20．如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为．
求二次函数的解析式和直线的解析式；
点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，当点在第一象限时，求线段长度的最大值；
在抛物线上是否存在异于、的点，使中边上的高为？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由．
21．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过（0，1），（1，﹣2），（2，3）三点；
（2）图象的顶点（2，3），且经过点（3，1）；
22．已知抛物线y＝mx2－2mx－3.
(1)若抛物线的顶点的纵坐标是－2，求此时m的值；
(2)已知当m≠0时，无论m为其他何值，每一条抛物线都经过坐标系中的两个定点，求出这两个定点的坐标.
23．某化工材料经售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价每千克70元时日均销售；单价每千克降低一元，日均多售．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按一天计算）．
（1）如果日均获利1950元，求销售单价；
（2）销售单价为多少时，可获得最大利润？最大利润为多少．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的性质对各项进行分析判断即可．
【详解】
解：抛物线解析式可知，
A、由于，故抛物线开口方向向下，选项不符合题意；
B、抛物线对称轴为，结合其开口方向向下，可知当时，y随x增大而减小，选项说法正确，符合题意；
C、由于抛物线开口方向向下，故函数有最大值，且最大值为-2，选项不符合题意；
D、抛物线顶点坐标为（-1，-2），选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，解题关键是熟练运用抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及二次函数图象的增减性解题．
2．B
【解析】
【分析】
令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．
【详解】
由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；
解得m=7或-1；m≠-1，
∴m=7，
故选：B．
【点睛】
利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0．
3．D
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况，再由一次函数的性质解答．
【详解】
解：由势力的线与y轴正半轴相交可知c>0，
对称轴x=-＜0，得b<0．
∴
所以一次函数y＝﹣bx+c的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
4．A
【解析】
【分析】
先求出抛物线的解析式，再列出不等式，求出其解集或，从而可得当x=1时，，有成立，最后求出a的取值范围．
【详解】
解：∵抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线，
∴抛物线P与抛物线关于原点对称，
设点（x，y）在抛物线P’上，则点（-x，-y）一定在抛物线P上，
∴
∴抛物线的解析式为，
∵当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，
即
令，
∴，
解得：或，
设，
∵开口向下，且与x轴的两个交点为（0，0），（4a，0），
即当时，要恒成立，此时，
∴当x=1时，即可，
得：，
解得：，
又∵
∴
故选A
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
5．B
【解析】
【分析】
根据所给函数的顶点式得出函数图象的性质从而判断选项的正确性．
【详解】
解：∵，
∴该函数图象开口向上，有最小值1，故①正确；
函数图象的对称轴为直线，故②错误；
当x≥0时，y随x的增大而增大，故③正确；
当x≤﹣3时，y随x的增大而减小，当﹣3≤x≤0时，y随x的增大而增大，故④错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是能够根据函数解析式分析出函数图象的性质．
6．C
【解析】
【分析】
分别求出t=1、3、24、10时h的值可判断A、B、D三个选项，将解析式配方成顶点式可判断C选项．
【详解】
解：A、当t=1时，h=24；当t=3时，h=64；所以点火后1s和点火后3s的升空高度不相同，此选项错误；
B、当t=24时，h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；
C、由h＝﹣t2＋24t＋1=﹣（t-12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；
D、当t=10时，h=141m，此选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
7．C
【解析】
【分析】
①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，可得出，选项①错误；
②把代入中得，所以②正确；
③由时对应的函数值，可得出，得到，由，，，得到，选项③正确；
④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确．
【详解】
解：①∵抛物线开口向上，∴，
∵抛物线的对称轴在轴右侧，∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，①错误；
②当时，，∴，
∵，∴，
把代入中得，所以②正确；
③当时，，∴，
∴，
∵，，，
∴，即，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线，
∴时，函数的最小值为，
∴，
即，所以④正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
8．C
【解析】
【分析】
加的面积=新正方形的面积-原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．
【详解】
解：∵新正方形的边长为x+4，原正方形的边长为4，
∴新正方形的面积为（x+4）2，原正方形的面积为16，
∴y=（x+4）2-16=x2+8x，
故选：C．
【点睛】
本题考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键．
9．C
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：（1）∵函数开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右边，∴，∴b＞0，故命题正确；
（2）∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故命题正确；
（3）∵当x=-1时，y＜0，∴a-b+c＜0，故命题错误；
（4）∵当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，故命题正确；
（5）∵抛物线与x轴于两个交点，∴b2-4ac＞0，故命题正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
10．D
【解析】
【分析】
根据函数的图象可知x=2时，函数值的正负性；并且可知与x轴有两个交点，即对应方程有两个实数根；函数的增减性需要找到其对称轴才知具体情况；由函数的图象还可知b、c的正负性，一次函数y=ax+bc所经过的象限进而可知正确选项．
【详解】
∵当x=2时，y=4a+2b+c，对应的y值为正，即4a+2b+c＞0，故①正确；
∵因为抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，故②错误；
∵由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可知：函数图象与x轴有两个不同的交点，即对应方程有两个不相等的实数根，且正根的绝对值较大，∴方程ax2+bx+c=0两根之和大于零，故③错误；
∵由图象开口向上，知a＞0，与y轴交于负半轴，知c＜0，由对称轴，知b＜0，
∴bc＞0，
∴一次函数y=ax+bc的图象一定经过第二象限，故④错误；
综上，正确的个数为1个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系以及一次函数的图象，利用了数形结合的思想，此类题涉及的知识面比较广，能正确观察图象是解本题的关键．
11．y＝3x2－2或y＝－3x2－2
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象特点即可分类求解．
【详解】
二次函数的图象与抛物线y＝3x2的形状相同，说明它们的二次项系数的绝对值相等，故本题有两种可能，即y＝3x2－2或y＝－3x2－2．
故答案为y＝3x2－2或y＝－3x2－2．
【点睛】
此题主要考查二次函数的图象，解题的关键是熟知二次函数形状相同，二次项系数的绝对值相等．
12．3
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数且a≠0）的函数叫做二次函数，进行求解即可．
【详解】
解：∵抛物线是二次函数，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键在于能够熟知二次函数的定义．
13．1264
【解析】
【分析】
根据题意，总利润=快餐的总利润＋快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．
【详解】
解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．
据题意：
∴
∵
∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元
故答案为：1264
【点睛】
本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．
14．
【解析】
【分析】
由题意得：二次函数的图像开口向上，进而，可得到答案.
【详解】
∵二次函数的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，
∴二次函数的图像开口向上，
∴.
故答案是：
【点睛】
本题主要考查二次函数图象和二次函数的系数之间的关系，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键.
15． S＝－3x2＋24x ≤x＜8
【解析】
【详解】
可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积=长×宽，得出S与x的函数关系式,并根据墙的最大可用长度为10米，列不等式组即可得出自变量的取值范围．
解：由题可知,花圃的宽AB为x米,则BC为(24 3x)米.
∴S=x(24 3x)= 3x2+24x.
∵0<24 3x≤10，
解得≤x<8，
故答案为S＝－3x2＋24x，≤x＜8.
16．且
【解析】
【分析】
由题意知，，计算求解即可．
【详解】
解：由题意知，
解得
故答案为：且．
【点睛】
本题考查了二次函数与轴的交点个数．解题的关键在于熟练掌握二次函数与轴的交点个数．
17．2
【解析】
【分析】
首先求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标，然后根据“特征三角形”是等腰直角三角形列方程求解即可．
【详解】
解：∵
∴，代入得：
∴抛物线的顶点坐标为
∵当时，即，
解得：，
∴抛物线与x轴两个交点坐标为和
∵的“特征三角形”是等腰直角三角形，
∴，即
解得：．
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了二次函数与x轴的交点问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标．
18．（1）y＝，（2）w＝，在这15天中，第9天销售额达到最大，最大销售额是3600元，（3）第13天、第14天、第15天这3天，专柜处于亏损状态．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法可求与的函数关系式；
（2）利用总销售额=销售单价×销售量，分三种情况，找到(元)关于(天)的函数解析式，然后根据函数的性质即可找到最大值．
（3）先根据第（2）问的结论判断出在这三段内哪一段内会出现亏损，然后列出不等式求出x的范围，即可找到答案．
【详解】
解：（1）当 时，设直线的表达式为
将 代入到表达式中得
解得
∴当时，直线的表达式为
∴ y＝，
（2）由已知得：w＝py．
当1≤x≤5时，w＝py＝（－x＋15）（20x＋180）＝－20x2＋120x＋2700
＝－20（x－3）2＋2880，当x＝3时，w取最大值2880，
当5＜x≤9时，w＝10（20x＋180）＝200x＋1800，
∵x是整数，200＞0，
∴当5＜x≤9时，w随x的增大而增大，
∴当x＝9时，w有最大值为200×9＋1800＝3600，
当9＜x≤15时，w＝10（－60x＋900）＝－600x＋9000，
∵－600＜0，∴w随x的增大而减小，
又∵x＝9时，w＝－600×9＋9000＝3600．
∴当9＜x≤15时，W的最大值小于3600
综合得：w＝，
在这15天中，第9天销售额达到最大，最大销售额是3600元．
（3）当时，
当 时，y有最小值，最小值为
∴不会有亏损
当时，
当 时，y有最小值，最小值为
∴不会有亏损
当时，
解得
∵x为正整数
∴
∴第13天、第14天、第15天这3天，专柜处于亏损状态．
【点睛】
本题主要考查二次函数和一次函数的实际应用，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．
19．（1）y＝-10x+900；（2）每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元
【解析】
【分析】
（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数表达式即可．
（2）根据（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值．
【详解】
解：（1）根据题意，y＝300﹣10（x﹣60）=-10x+900，
∴y与x的函数表达式为：y＝-10x+900；
（2）设利润为w，由（1）知：w＝（x﹣50）（-10x+900）=﹣10x2＋1400x﹣45000，
∴w＝﹣10（x﹣70）2＋4000，
∴每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．
【点睛】
本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．
20．； 有最大值； 存在满足条件的点，其坐标为或
【解析】
【分析】
可设抛物线解析式为顶点式，由点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；
设出点坐标，从而可表示出的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；
过作轴，交于点，过和于，可设出点坐标，表示出的长度，由条件可证得为等腰直角三角形，则可得到关于点坐标的方程，可求得点坐标．
【详解】
解：抛物线的顶点的坐标为，
可设抛物线解析式为，
点在该抛物线的图象上，
，解得，
抛物线解析式为，即，
点在轴上，令可得，
点坐标为，
可设直线解析式为，
把点坐标代入可得，解得，
直线解析式为；
设点横坐标为，则，，
，
当时，有最大值；
如图，过作轴交于点，交轴于点，作于，
设，则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当中边上的高为时，即，
，
，
当时，，方程无实数根，
当时，解得或，
或，
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程思想等知识．在中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用，在中用点坐标表示出的长是解题的关键，在中构造等腰直角三角形求得的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
21．（1）y＝4x2﹣7x+1；（2）y＝﹣2（x﹣2）2+3．
【解析】
【分析】
（1）先设出抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，再将点（0，1），（1， 2），（2，3）代入解析式中，即可求得抛物线的解析式；
（2）由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x 2）2＋3，然后把（3，1）代入求出a的值即可．
【详解】
解：（1）设出抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将（0，1），（1，﹣2），（2，3）代入解析式，
得：，解得：，
∴抛物线解析式为：y＝4x2﹣7x+1；
（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+3，
把（3，1）代入得：a（3﹣2）2+3＝1，
解得a＝﹣2，
所以抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣2）2+3．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
22．(1)-1;(2) (0，－3)与(2，－3).
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的顶点的纵坐标是 2，可以求得m的值；
（2）根据当m≠0时，无论m为其他何值，每一条抛物线都经过坐标系中的两个定点，可以求得这两个定点的坐标．
【详解】
解：(1)∵y＝mx2－2mx－3＝m(x－1)2－m－3，抛物线的顶点的纵坐标是－2，
∴－m－3＝－2，
解得m＝－1，
即m的值是－1；
(2)∵当m≠0时，无论m为其他何值，每一条抛物线都经过坐标系中的两个定点，
当m＝1时，y＝x2－2x－3；当m＝2时，y＝2x2－4x－3，
∴x2－2x－3＝2x2－4x－3.
∴x2－2x＝0.
∴x1＝0，x2＝2.
∴这两个定点为(0，－3)与(2，－3).
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答．
23．（1）65；（2）当单价为65时，日获利最大，最大利润为1950元．
【解析】
【分析】
（1）若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多销售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利（x-30）元，根据题意可得等量关系：每千克利润×销售量-500元=总利润，根据等量关系列出方程即可；
（2）运用配方法配成顶点式，得顶点坐标，结合x的取值范围即可求得结论．
【详解】
解：（1）设销售单价为 x元，由题意得：
（x-30）[60+2（70-x）]-500=1950，
解得：x1=x2=65，
∵销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，
∴x=65符合题意，
答：销售单价为65元时，日均获利为1950元；
（2）设销售单价为 x元，可获得利润为y，由题意得：
y=（x-30）[60+2（70-x）]-500=-2x2+260x-6500（30≤x≤70），
∴y=-2x2+260x-6500可化为y=-2（x-65）2+1950的形式，
∴顶点坐标为（65，1950），
∵30＜65＜70，
当单价定为65元时，日均获利最大，最大利润为1950元．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，关键是根据题意表示出日均销售量，以及每千克的利润．
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