第4章 相似三角形 高频考点精选精练（含解析）

第4章 相似三角形
一、单选题
1．已知A、B两地相距10km，在地图上相距10cm，则这张地图的比例尺是( )．
A．100000:1 B．1000:1 C．1:100000 D．1:1000
2．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，连接DE，下列条件不能判定△ADE与△ABC相似的是（　　）
A．∠ADE＝∠B B．∠AED＝∠C C． D．
3．如图，ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且∠ADE＝60°，AB＝9，BD＝3，则CE的长等于（　　）
A．1 B． C． D．2
4．如图，中，直径为8cm，弦经过的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．与的相似比为1:3，则与的面积比为（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：16
7．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ）
A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米
8．如图，点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且DE∥BC，已知AE＝3，AC＝6，AD＝2，则BD的长为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
9．如果，那么的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法中不正确的是（　　）
A．任意两个等边三角形相似 B．有一个锐角是40°的两个直角三角形相似
C．有一个角是30°的两个等腰三角形相似 D．任意两个正方形相似
二、填空题
11．在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，G是重心，若AG=9cm，则GD=_______cm．
12．已知＝，则＝________．
13．图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽AB1.2厘米，托架斜面长BD6厘米，它有C到F共4个档位调节角度，相邻两个档位间的距离为0.8厘米，档位C到B的距离为2.4厘米．将某型号手机置于托架上（图2)，手机屏幕长AG是15厘米，O是支点且OBOE2.5厘米（支架的厚度忽略不计）．当支架调到E档时，点G离水平面的距离GH为__________cm．
14．若，则________．
15．《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种．中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，，，EF过点A，且步，步，已知每步约40厘米，则正方形的边长约为__________米．
16．如图，在中，，，，是斜边上方一点，连接，点是的中点，垂直平分，交于点，连接，交于点，当为直角三角形时，线段的长为________．
17．如图是用杠杆撬石头的示意图，是支点，当用力压杠杆的端时，杠杆绕点转动，另一端向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的端必须向上翘起，已知杠杆的动力臂与阻力臂之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端向下压______．
三、解答题
18．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝DE＝AB，连接DE．将△ADE绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为θ．
（1）[问题发现]
①当θ＝0°时，＝　　； ②当θ＝180°时，＝　　；
（2）[拓展研究]
试判断：当0°≤θ＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）[问题解决]
在旋转过程中，BE的最大值为　　．
19．已知＝＝，求的值．
20．已知，且，求x，y的值．
21．如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5，AB＝4，当BD的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点；
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为轴上一点，点为直线上一点，过作交轴于点，当四边形为菱形时，请直接写出点坐标；
（3）在（2）的条件下，且点在线段上时，将抛物线向上平移个单位，平移后的抛物线与直线交于点（点在第二象限），点为轴上一点，若，且符合条件的点恰好有2个，求的取值范围．
23．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC，BC，在AC上取点M，使AM＝3MC，作MN∥AB交BC于点N，量得MN＝38m，求AB的长．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
比例尺=图上距离：实际距离，根据题意可直接求得比例尺．
【详解】
∵10km=1000000cm，
∴比例尺为10：1000000=1：100000．
故选C．
【点睛】
掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．比例尺=图上距离：实际距离，图上距离在前，实际距离在后.
2．D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理逐个分析判断即可．
【详解】
解：∵∠ADE＝∠B，
∴
故A能判定△ADE与△ABC相似，不符合题意；
∠AED＝∠C，
∴
故B能判定△ADE与△ABC相似，不符合题意；
，
∴
故C能判定△ADE与△ABC相似，不符合题意；
，条件未给出，不能判定△ADE与△ABC相似，故D符合题意
故选D
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
3．D
【解析】
【分析】
通过△ABD∽△DCE，可得，即可求解．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝9，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝3，
∴CD＝6，
∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
∴
∴CE＝2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的相似，做题的关键是△ABD∽△DCE．
4．B
【解析】
【分析】
连结AD，BC，根据中，直径为8cm，得出OA=OB=4cm，根据弦经过的中点，得出AP=OP=2cm， 根据∠ADP=∠CBP，∠DAP=∠BCP，可证△ADP∽△CBP，得出，得出，（PC-PD）2≥0，即．
【详解】
解：连结AD，BC，
∵中，直径为8cm，
∴OA=OB=4cm，
∵弦经过的中点，
∴AP=OP=2cm，
∵∠ADP=∠CBP，∠DAP=∠BCP，
∴△ADP∽△CBP，
∴，
∴，
∵（PC-PD）2≥0，即．
故选B．
【点睛】
本题考查圆的基本知识，同弧所对圆周角性质，三角形相似判定与性质，非负数应用，掌握圆的基本知识，同弧所对圆周角性质，三角形相似判定与性质，非负数应用是解题关键．
5．A
【解析】
【分析】
作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
【详解】
解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=BC=2，
在Rt,AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴即，
解得CD=，
同理BE=，
∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，
∴DE=CD-CE=4-8，
∴S△ABC===，
故选：A.
【点睛】
本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。
6．C
【解析】
【分析】
由相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的面积比．
【详解】
解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．
7．A
【解析】
【分析】
根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．
【详解】
解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．
故答案为：A
【点睛】
本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．
8．B
【解析】
【分析】
只需要证明△AED∽△ACB即可求解.
【详解】
解∵DE ∥ BC，
∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED
∴△AED∽△ACB
∴
∴
∴BD＝AD+AB＝2+4＝6．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
9．B
【解析】
【分析】
根据比例的性质即可得到结论．
【详解】
∵＝，
∴可设a＝2k，b＝3k，
∴＝＝－．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了比例的性质，解本题的要点根据题意可设a，b的值，从而求出答案．
10．C
【解析】
【分析】
直接利用相似图形的性质分别分析得出答案．
【详解】
A．任意两个等边三角形相似，说法正确；
B．有一个锐角是 40°的两个直角三角形相似，说法正确；
C．有一个角是 30°的两个等腰三角形相似，30°有可能是顶角或底角，故说法错误；
D．任意两个正方形相似，说法正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了图形的相似，正确把握相似图形的判定方法是解题关键．
11．4.5
【解析】
【分析】
由三角形的重心的性质即可得出答案．
【详解】
解：∵AB=AC，AD⊥BC于D，
∴AD是△ABC的中线，
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GD，
∵AG=9 cm，
∴GD=4.5cm，
故答案为：4.5．
【点睛】
本题考查了三角形的重心，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
12．
【解析】
【分析】
利用比例的性质进行变形，然后代入代数式中合并约分即可．
【详解】
解：∵，
∴，
则．
故答案为：．
【点睛】
本题考查比例问题，关键掌握比例的性质，会利用性质把比例式进行恒等变形，会根据需要选择灵活的比例式解决问题．
13．
【解析】
【分析】
如图3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．解直角三角形求出BK，OK，利用相似三角形的性质求出DT，BT，AD，即可求出GH的长．
【详解】
如图3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．
∵OB=OE=2.5cm，BE=2.4+0.82=4(cm)，OK⊥BE，
∴BK=KE=2(cm)，
∴OK(cm)，
∵∠OBK=∠DBT，∠OKB=∠BTD=90°，
∴△BKO∽△BTD，
∴，
∴，
∴BT=4.8(cm)，DT=3.6(cm)，AT=1.2+4.8=6(cm)，
∴AD=(cm)，
∵DT∥GH，
∴△ATD∽△AHG，
∴，
∴，
∴(cm)．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，勾股定理的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
14．
【解析】
【分析】
根据比例的基本性质进行化简，代入求职即可．
【详解】
由可得，，
代入．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键．
15．112
【解析】
【分析】
根据题意，可知Rt△AEN∽Rt△FAN，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．
【详解】
解：∵点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，
∴，
∴AM=AN，
由题意可得，∠ANF=∠EMA=90°，
∠NAF+∠AFN=∠NAF+∠EAM=90°，
∴∠AFN=∠EAM，
∴Rt△AEM∽Rt△FAN，
∴，
∵AM=AN，
∴，
解得：AM=140，
∴AD=2AM=280（步），
∴（米）
故答案为：112．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
16．或
【解析】
【分析】
（1）分别在、、中应用含角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，，再根据垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定求得，最后利用线段的和差即可求得答案；根据垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、分线段成比例定理可证得，然后根据平行线的性质、相似三角形的判定和性质列出方程，解方程即可求得，最后利用线段的和差即可求得答案．
【详解】
解：①当时，如图1:
∵在中，，，
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴ 在中，设，则
∵
∴
∴
∴，
∵垂直平分线段
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴
∴；
②当时，连接、交于点，过点作于，如图2：
设，则，
∵垂直平分线段，点是的中点
∴
∵
∴
∵
∵
∴垂直平分线段
∴
∵，
∴
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
∴综上所述，满足条件的的值为6或．
故答案是：6或
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质和判定、含角的直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等，渗透了逻辑推理的核心素养以及分类讨论的数学思想．
17．60
【解析】
【分析】
首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度．
【详解】
解：如图；AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；
易知：△ACM∽△BCN；
∴，
∵AC与BC之比为6：1，
∴，即AM=6BN；
∴当BN≥10cm时，AM≥60cm；
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压60cm．
故答案为：60．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键．
18．（1）①；②；（2）当0°≤θ＜360°时，的大小没有变化；证明见解析；（3）4+2．
【解析】
【分析】
（1）①利用等腰三角形的性质判断出∠A=∠B，∠A=∠AED，进而得出∠B=∠DEA，得出DE∥BC，即可得出结论；②同①的方法，即可得出结论；
（2）利用两边成比例，夹角相等，判断出△ADC∽△AEB，即可得出结论；
（3）判断出点E在BA的延长线上时，BE最大，再求出AE，即可得出结论．
【详解】
（1）①在Rt△ABC中，AC＝BC，
∴AB＝AC，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵AD＝DE，
∴∠DEA＝∠A，
∴∠DEA＝∠B，
∴DE∥BC，
∴，
∴，
故答案为：；
②如图，当θ＝180°时，
∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠B，
∵AD＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴∠DEA＝∠B，
∴DE∥BC，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）当0°≤θ＜360°时，的大小没有变化；
证明：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴，∠CAB＝45°，
同理，∠DAE＝45°，
∴，
∵∠CAB＝∠DAE，
∴∠CAD＝∠BAE，
∴△ADC∽△AEB，
∴；
（3）如答图，当点E在BA的延长线上时，BE最大，其最大值为AB+AE，
在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，
∴AB＝AC＝×2＝4，
∴AD＝DE＝AB＝2，
由（1）知，DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∴AE＝AD＝2，
∴BE最大＝AB+AE＝4+2，
故答案为：4+2．
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出两三角形相似是解本题的关键．
19．－1
【解析】
【分析】
设＝＝＝k，则a＋b＝3k，b＋c＝4k，c＋a＝5k，把三式相加得到a+b+c=6k，再利用加减消元法可计算出a=2k，b=k，c=3k，然后把a=2k，b=k，c=3k代入中进行分式的化简求值即可．
【详解】
解：设＝＝＝k，
则a＋b＝3k，b＋c＝4k，c＋a＝5k，
三式相加得a+b+c=6k ①
用①式分别减去上述三个式子，可得出
解得a＝2k，b＝k，c＝3k，
所以＝＝－1．
【点睛】
本题考查了比例的性质，掌握设比法求值是解题关键．
20．x=6，y=10
【解析】
【分析】
设，则x=3k，y=5k，z=6k，由可求得k的值，从而可求得x与y的值．
【详解】
设，则x=3k，y=5k，z=6k
∵
∴
解得：k=2
∴x=3×2=6，y=5×2=10
即x、y的值分别为6、10
【点睛】
本题考查了比例的性质，若几个比相等，即，常常设其比值为k，则有a=kb，c=kd，e=kf，再根据题目条件解答则更简便．
21．当BD的长是或时，图中的两个直角三角形相似
【解析】
【分析】
先利用勾股定理计算出BC＝3，再根据相似三角形的判定方法进行讨论：当时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即，当时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即，然后利用比例性质求出对应的BD的长即可．
【详解】
在Rt△ABC中，BC3．
∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∴分两种情况讨论：
①当时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即，解得：BD；
②当时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即，解得：BD．
综上所述：当BD的长是或时，图中的两个直角三角形相似．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
22．（1）；（2）；；（3）
【解析】
【分析】
（1）由题意易得，，然后代入抛物线解析式进行求解即可；
（2）由题意可画出图象，设点，然后求出直线AB的解析式为，则可设点，点，进而根据中点坐标公式及两点距离公式可进行求解；
（3）过作轴交于，由（2）可得：，，则有，设，，进而可得，则，然后可得，则有，最后根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】
解：（1）∵直线与轴、轴分别交于、两点，
∴，，
∵抛物线经过、两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得，，由题意可得如图所示：
设点，直线AB的解析式为，把点A、B代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为，
设点，点，
∵四边形是菱形，
∴根据中点坐标公式可得：，即，
∴，
∵，
∴根据两点距离公式可得：，
解得：或或（不符合题意，舍去），
∴；；
（3）过作轴交于，如图所示：
由（2）可得：，，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
化简得：，
当方程有唯一实根时，满足条件的只有一个，
∴，
化简得：，
解得：，（含去）
∴，
设平移后的抛物线为：，将点坐标代入平移后解析式得：
，
解得：，
．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
23．．
【解析】
【分析】
先根据可判断出，再根据相似三角形的对应边成比例列出方程解答即可．
【详解】
解：，，
，，
，即，．
的长为．
【点睛】
本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
答案第1页，共2页
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