第3章 实数 高频考点精选精练（含解析）

第3章 实数
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的算术平方根是4
C．的平方根是 D．0的平方根和算术平方根都是0
2．如图，数轴的单位长度为1，如果点表示的数是-1，那么点表示的数是( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．在实数中，最小的是（ ）
A． B． C．0 D．
4．下列算式正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列四种叙述中，正确的是（ ）
A．带根号的数是无理数 B．无理数都是带根号的数
C．无理数是无限小数 D．无限小数是无理数
6．已知，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．3的相反数为（　　）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
8．根据以下程序，当输入时，输出结果为（　　）
A． B．2 C．6 D．
9．化简的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列各组数中，互为相反数的一组是（　　）
A．﹣2与 B．﹣2与 C．﹣2与﹣ D．|﹣2|与2
二、填空题
11．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：，如．那么______．
12．如果=4，那么(a-67)3的值是______
13．若的整数部分是，小数部分是，则__．
14．若，则x=____________.
15．若，则_______________________．
16．如果的平方根是，则_________
17．对于任意有理数a，b，定义新运算：a b=a2﹣2b+1，则2 (﹣6)=____．
三、解答题
18．某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长为10m的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，求扩大后绿化带的边长．
19．已知5x＋19的立方根是4，求2x＋7的平方根．
20．求下列各式的值：
（1）；
（2）．
21．阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此，的小数部分不可能全部地写出来，但可以用来表示的小数部分．理由：因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：
已知：的小数部分为，的小数部分为b，计算的值．
22．当运动中的汽车撞击到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量．某种型号的汽车的撞击影响可以用公式I＝2v2来表示，其中v(千米/分)表示汽车的速度．假设某种型号的车在一次撞击试验中测得撞击影响为51.请你求一下该车撞击时的车速是多少．(精确到0.1千米/分)
23．已知，求的值．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数及平方根的定义即可判断各选项．
【详解】
解：A、的平方根为±，故本选项错误；
B、-16没有算术平方根，故本选项错误；
C、(-4)2=16，16的平方根是±4，故本选项错误；
D、0的平方根和算术平方根都是0，故本选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了平方根和算术平方根的定义，一个正数有两个平方根，其中正的平方根称为算术平方根，负数没有平方根，0的平方根和算术平方根都是0.
2．D
【解析】
【分析】
直接利用数轴结合点位置进而得出答案．
【详解】
解：∵数轴的单位长度为1，如果点表示的数是-1，
∴点表示的数是：3
故选D．
【点睛】
此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．
3．D
【解析】
【分析】
由正数比负数大可知比小，又因为，所以最小的是．
【详解】
∵，，
又∵
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较，实数的比较中也遵循正数大于零，零大于负数的法则．比较实数大小的方法较多，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法．
4．D
【解析】
【分析】
根据算术平方根的非负性，立方根的定义即可判断．
【详解】
A、，故 A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确．
【点睛】
本题考查了算术平方根和立方根，掌握相关知识是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
根据无理数的概念逐个判断即可．无理数：无限不循环小数．
【详解】
解：A．，是有理数，故本选项不合题意；
B．是无理数，故本选项不合题意；
C．无理数是无限不循环小数，原说法正确，故本选项符合题意；
D．无限循环小数是有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】
此题考查了无理数的概念，解题的关键是熟练掌握无理数的概念．无理数：无限不循环小数．
6．C
【解析】
【分析】
先估算出的范围，即可得出答案．
【详解】
解：∵，
∴，
∴在3和4之间，即．
故选：C．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小．能估算出的范围是解题的关键．
7．A
【解析】
【分析】
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可．
【详解】
解：3的相反数是﹣3．
故选：A．
【点睛】
此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念．
8．A
【解析】
【分析】
把代入程序，算的结果小于即可输出，故可求解．
【详解】
把代入程序，
故把x=2代入程序得
把代入程序，
输出
故选A．
【点睛】
此题主要考查求一个数的算术平方根，实数大小的比较，解题的关键是根据程序进行计算求解．
9．D
【解析】
【分析】
首先比较与3的大小，然后由绝对值的意义，化简即可得到答案．
【详解】
解：∵<3
∴-3<0
即：；
故选：D．
【点睛】
本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数．
10．A
【解析】
【分析】
根据相反数的概念、性质及根式的性质化简即可判定选择项．
【详解】
解：A、＝2，﹣2与2互为相反数，故选项正确，符合题意；
B、＝﹣2，﹣2与﹣2不互为相反数，故选项错误，不符合题意；
C、﹣2与不互为相反数，故选项错误，不符合题意；
D、|﹣2|＝2，2与2不互为相反数，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了算术平方根，立方根，相反数的概念，解题的关键是掌握相关概念并对数据进行化简．
11．
【解析】
【分析】
根据定义新运算公式和二次根式的乘法公式计算即可．
【详解】
解：根据题意可得
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是定义新运算和二次根式的化简，掌握定义新运算公式和二次根式的乘法公式是解决此题的关键．
12．－343
【解析】
【分析】
利用立方根的定义及已知等式求出a的值，代入所求式子计算即可求出值．
【详解】
∵，
∴a+4=43，
即a+4=64，
∴a=60，
则（a-67）3=（60-67）3=（-7）3=-343，
故答案为-343.
【点睛】
本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
13．．
【解析】
【分析】
先确定出的范围，即可推出a、b的值，把a、b的值代入求出即可．
【详解】
解：，
，，
．
故答案为：．
【点睛】
考查了估算无理数的大，解此题的关键是确定的范围8<<9，得出a,b的值．
14．-1
【解析】
【分析】
根据立方根的定义可得x-1的值，继而可求得答案.
【详解】
∵，
∴x-1=，
即x-1=-2，
∴x=-1，
故答案为-1.
【点睛】
本题考查了立方根的定义，熟练掌握是解题的关键.
15．
【解析】
【分析】
根据实数的性质即可求解．
【详解】
∵，
∴，m≥0，
∴m=5，
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知实数的运算性质．
16．81
【解析】
【分析】
根据平方根的定义即可求解.
【详解】
∵9的平方根为，
∴=9，
所以a=81
【点睛】
此题主要考查平方根的性质，解题的关键是熟知平方根的定义.
17．17．
【解析】
【分析】
根据公式代入计算即可得到答案.
【详解】
∵a b=a2﹣2b+1，
∴2 (﹣6)=22﹣2×(﹣6)+1=4+12+1=17.
故答案为：17.
【点睛】
此题考查新定义计算公式，正确理解公式并正确计算是解题的关键.
18．
【解析】
【分析】
先求出原绿化带的面积，再求出扩大后绿化带的面积，然后开方即可得出答案．
【详解】
解：原绿化带的面积为（m2），
扩大后绿化带的面积为（m2），
则扩大后绿化带的边长是（m），
答：扩大后绿化带的边长为20m．
【点睛】
此题考查了算术平方根，根据题意求出扩大后绿化带的面积是解题的关键．
19．
【解析】
【分析】
由已知根据立方根的定义可得到5x+19=43，继而可求得x的值，进而可以求2x+7的平方根．
【详解】
∵5x＋19的立方根是4，
∴5x+19=43，即64＝5x＋19，解得x=9，
∴2x＋7＝25，
∴2x＋7的平方根为=±5．
【点睛】
本题考查了立方根的定义，平方根的定义，是一个基础的问题，熟练掌握相关定义及求解方法是解题的关键．
20．（1）；（2）0．
【解析】
【分析】
（1）根据立方根定义先将原式中的和计算出来，然后再相加即可得到结果；
（2）根据立方根定义先将原式中的、和计算出来，然后再加减即可得到结果．
【详解】
（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝．
【点睛】
本题考查立方根，熟练掌握立方根的性质是解决本题的关键．
21．1
【解析】
【分析】
先估算2+的大小，算出2+的整数部分，再求出小数部分a，同理求出5﹣的小数部分b，再进行求解．
【详解】
解：∵2＜＜3，
∴4＜2+＜5，
∴2+的整数部分为4，
∴2+的小数部分a=2+-4=
∵-3＜-＜-2
∴2＜5-＜3
∴5-的整数部分为2，
∴5-的小数部分b=5--2=3-
∴a+b=+3-=1
【点睛】
此题主要考查实数的估算，解题的关键是先估算出的大小．
22．5.0
【解析】
【分析】
由I=2，这种型号的汽车在一次撞车实验中测得撞击影响为51，即可得，继而求得答案．
【详解】
由题意知2v2＝51，v2＝，所以v＝≈5.0(千米/分)
∴该车撞击时的车速是5.0千米/分
【点睛】
此题考查了算术平方根的应用．注意理解题意是解此题的关键．
23．2022
【解析】
【分析】
根据算术平方根的非负性确定的范围，进而化简绝对值，在根据平方根的定义求得代数式的值．
【详解】
解：∵，
∴．
∴，
∴原式化简为，
∴，
∴，
故．
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根的非负性确定的范围化简绝对值是解题的关键．
答案第1页，共2页