三角形的初步知识—三角形全等的判定21世纪教育网
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、在锐角△ABC中，三个内角的度数都是质数，且最短边的长为1．则满足这样条件的互不全等的三角形个数为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、多于3
考点：质数与合数；三角形三边关系；三角形内角和定理；全等三角形的判定。
专题：分类讨论。
分析：首先列举出90以内的质数，根据三角形内角和定理可知有1个角为2°，另外2角的和为178°，即可得出三角形有且仅有一个，这是一个等腰三角形，然后根据最短边的长为1，分腰为1与底为1两种情况进行讨论，据此即可解答．
解答：解：90以内的质数有：
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89
质数除2以外均为奇数，
三个奇数相加亦为奇数，
而三角形内角和的度数为180，是偶数，
所以必有一个角的度数为2，不妨设∠A=2°，那么∠B+∠C=178°=89°+89°，
△ABC为锐角三角形，如果不取∠B=∠C=89°，则必有一角＞90°，与锐角矛盾
所以满足条件的三角形有且仅有一个：{2°，89°，89°}；
这是一个等腰三角形，
当腰为1时，底边远小于1（不符合题意，舍去），
当底为1时，腰长远大于1，
所以满足条件的[互不全等]的三角形有且仅有1个．
故选A．
点评：本题主要考查质数与合数，三角形的内角和定理，三角形的三边关系，熟练掌握上述定理与性质是解答本题的关键．
2、命题①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短；⑤直线都相等；⑥任何数都有倒数；⑦如果a2=b2，那么a=b；⑧三角对应相等的两三角形全等；⑨如果∠A+∠B=90°，那么∠A与∠B互余．其中真命题有…（ ）
A、3个 B、4个
C、5个 D、6个
3、如图，已知ABC中，AD为BC边上的中线，且AB=4cm，AC=3cm，则AD的取值范围是（ ）
A、3＜AD＜4 B、1＜AD＜7
C、 D、
考点：三角形三边关系；全等三角形的判定。
分析：此题通过辅助线，即倍长中线．巧妙构造全等三角形，把要求的线段和已知的线段转换到一个三角形中，根据三角形的三边关系进行分析求解．
解答：解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE．
∵点D是中点，
∴BD=CD．
又∠ADB=∠CDE，
∴△ABD≌△EDC，
∴CE=AB．
根据三角形的三边关系，得：（CE﹣AC）＜AE＜（AC+CE），
即1＜AE＜7．
而AD=AE，
∴．
故选C．
点评：本题考查了全等三角形的判定和三角形三边关系．主要通过作辅助线，构造全等三角形，把AB转移为CE，再利用三角形中三边的关系求解．
4、（2011?宿迁）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A、AB=AC B、BD=CD
C、∠B=∠C D、∠BDA=∠CDA
考点：全等三角形的判定。
专题：证明题。
分析：利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．
解答：解：A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故本选项正确，不合题意．
B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故本选项错误，符合题意．
C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故本选项正确，不合题意．
D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故本选项正确，不合题意．
故选B．
点评：此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
5、（2011?十堰）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C作射线OC．由此做法得△MOC≌△NOC的依据是（ ）
A、AAS B、SAS
C、ASA D、SSS
6、（2011?南昌）如图，在下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是（ ）
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A、BD=DC，AB=AC B、∠ADB=∠ADC，BD=DC
C、∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D、∠B=∠C，BD=DC
考点：全等三角形的判定。
专题：证明题。
分析：两个三角形有公共边AD，可利用SSS，SAS，ASA，AAS的方法判断全等三角形．
解答：解：∵AD=AD，
A、当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD，正确；
B、当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABD≌△ACD，正确；
C、当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABD≌△ACD，正确；
D、当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABD≌△ACD，错误．
故选D．
点评：本题考查了全等三角形的几种判定方法．关键是根据图形条件，角与边的位置关系是否符合判定的条件，逐一检验．
7、（2010?岳阳）如图，要使△ABC≌△ABD，下面给出的四组条件中，错误的一组是（ ）
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A、BC=BD，∠BAC=∠BAD B、∠C=∠D，∠BAC=∠BAD
C、∠BAC=∠BAD，∠ABC=∠ABD D、BC=BD，AC=AD
考点：全等三角形的判定。
专题：证明题。
分析：根据全等三角形的判定方法，对每个选项分别分析、解答出即可；
解答：解：A、BC=BD，∠BAC=∠BAD，又由图可知AB为公共边，不能证明△ABC和△ABD全等，故本项错误，符合题意；
B、∠C=∠D，∠BAC=∠BAD，又AB=AB，能证明△ABC和△ABD全等，故本项正确，不符合题意；
C、∠BAC=∠BAD，∠ABC=∠ABD，又AB=AB，能证明△ABC和△ABD全等，故本项正确，不符合题意；
D、BC=BD，AC=AD，又AB=AB，能证明△ABC和△ABD全等，故本项正确，不符合题意．
故选A．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
8、（2010?凉山州）如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：全等三角形的判定。
分析：根据已知的条件，可由AAS判定△AEB≌△AFC，进而可根据全等三角形得出的结论来判断各选项是否正确．
解答：解：∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，
∴△AEB≌△AFC；（AAS）
∴∠FAM=∠EAN，
∴∠EAN﹣∠MAN=∠FAM﹣∠MAN，即∠EAM=∠FAN；（故③正确）
又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，
∴△EAM≌△FAN；（ASA）
∴EM=FN；（故①正确）
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
又∵∠CAB=∠BAC，
∴△ACN≌△ABM；（故④正确）
由于条件不足，无法证得②CD=DN；故正确的结论有：①③④；
故选C．
点评：此题主要考查的是全等三角形的判定和性质，做题时要从最容易，最简单的开始，由易到难．
9、（2010?海南）如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（ ）
A、 B、
C、 D、
10、（2010?巴中）如图所示，AB=AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（ ）
A、∠B=∠C B、AD=AE
C、∠ADC=∠AEB D、DC=BE
考点：全等三角形的判定。
分析：△ADC和△AEB中，已知的条件有AB=AC，∠A=∠A；要判定两三角形全等只需条件一组对应角相等，或AD=AE即可．可据此进行判断，两边及一边的对角相等是不能判定两个三角形全等的．
解答：解：A、当∠B=∠C时，符合ASA的判定条件，故A正确；
B、当AD=AE时，符合SAS的判定条件，故B正确；
C、当∠ADC=∠AEB时，符合AAS的判定条件，故C正确；
D、当DC=BE时，给出的条件是SSA，不能判定两个三角形全等，故D错误；
故选D．
点评：本题主要考查的是全等三角形的判定方法，需注意的是SSA和AAA不能作为判定两个三角形全等的依据．
11、（2009?西宁）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A、（S．S．S．） B、（S．A．S．）
C、（A．S．A．） D、（A．A．S．）
考点：全等三角形的判定。
专题：作图题。
分析：我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
解答：解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
作图完毕．
∵O′D′=OD，O′C′=OC，C′D′=CD，
∴△OCD≌△O′C′D′，
∴∠A′O′B′=∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选A．
点评：此题是一道综合题，不但考查了学生对作图方法的掌握，也是对全等三角形的判定的方法的考查．
12、（2009?江西）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A、CB=CD B、∠BAC=∠DAC
C、∠BCA=∠DCA D、∠B=∠D=90°
考点：全等三角形的判定。
分析：本题要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．
解答：解：添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，A可以；
添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，B可以；
添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，D可以；
但是添加∠BCA=∠DCA时不能判定△ABC≌△ADC．
故选C．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
13、（2009?江苏）如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A、1组 B、2组
C、3组 D、4组
考点：全等三角形的判定。
分析：要判断能不能使△ABC≌△DEF一定要熟练运用判定方法判断，做题时注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等，要根据已知条件的位置来选择判定方法，其中④满足SSA时不能判定三角形全等的．
解答：解：根据全等三角形的判定方法可知：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF，用的判定方法是“边边边”；
②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，用的判定方法是“边角边”；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F用的判定方法是“角边角”；
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．
因此能使△ABC≌△DEF的条件共有3组．
故选C．
点评：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14、（2009?鸡西）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）
A、SAS B、ASA
C、AAS D、SSS
考点：全等三角形的判定。
专题：作图题。
分析：认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．
解答：解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；
以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；
OP公共．
故得△OCP≌△ODP的根据是SSS．
故选D．
点评：考查了三边对应相等的两个三角形全等（SSS）这一判定定理．做题时从作法中找有用的已知条件是正确解答本题的关键．
15、（2008?台湾）如图，有两个三角锥ABCD、EFGH，其中甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．若∠ACB=∠CAD=∠EFG=∠EGH=70°，∠BAC=∠ACD=∠EGF=∠EHG=50°，则下列叙述何者正确（ ）
A、甲、乙全等，丙、丁全等 B、甲、乙全等，丙、丁不全等
C、甲、乙不全等，丙、丁全等 D、甲、乙不全等，丙、丁不全等
考点：全等三角形的判定。
分析：根据题意即是判断甲、乙是否全等，丙丁是否全等．运用判定定理解答．
解答：解：∵∠ACB=CAD=70°，∠BAC=∠ACD=50°，AC为共共边，
∴△ABC≌△ACD，即甲、乙全等；
△EHG中，∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG，
虽∠EFG=∠EGH=70°，∠EGF=∠EHG=50°，
∴△EFG不全等于△EGH，即丙、丁不全等．
综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正确，
故选B．
点评：本题考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空间想象能力．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．找着∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG是正确解决本题的关键．
16、（2008?邵阳）如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是（ ）
A、BC=BD B、AC=AD
C、∠ACB=ADB D、∠CAB=∠DAB
17、（2008?成都）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（ ）
A、∠B=∠E，BC=EF B、BC=EF，AC=DF
C、∠A=∠D，∠B=∠E D、∠A=∠D，BC=EF
考点：全等三角形的判定。
分析：三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等，而SSA是不能判定三角形全等的．
解答：解：添加A选项中条件可用SAS判定两个三角形全等；
添加B选项中条件可用SSS判定两个三角形全等；
添加C选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；
添加D选项以后是SSA，无法证明三角形全等．
故选D．
点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
18、（2007?天津）下列判断中错误的是（ ）
A、有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B、有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C、有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D、有一边对应相等的两个等边三角形全等
考点：全等三角形的判定。
分析：要判断选项的正误一定要结合三角形全等的判定方法对选项逐一验证，其中B满足SSA是不能判定三角形全等的，SSA不能作为三角形全等的判定方法使用．
解答：解：∵两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA，HL．
∴A、是AAS或ASA；可以判定三角形全等．
B、是SSA；是不能判定三角形全等的．
C、利用SSS；可以判定三角形全等．
D、利用SSS．可以判定三角形全等．
故选B．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
19、（2006?十堰）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
考点：全等三角形的判定。
分析：∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或夹已知角的另一边．
解答：解：∠1=∠2，AC=AD，
加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；
加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；
加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；
加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．
故选B．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．
20、（2006?临沂）如图：在平行四边形ABCD中，AB≠BC，AE、CF分别为∠BAD、∠BCD的平分线，连接BD，分别交AE、CF于点G、H，则图中的全等三角形共有（ ）
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A、3对 B、4对
C、5对 D、6对
考点：全等三角形的判定。
分析：此题不妨大胆一点，先把所有可能全等的三角形都找出来，再根据已知条件一个个分析全等的依据，得出正确结论．
解答：解：先从平行四边形的性质入手，得到AD=CB，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠ABC=∠CDA，
再由角平分线的性质得到∠BAE=∠DAE=∠DCF=∠BCF，
从而先得到：△ABD≌△CDB，△ABE≌△CDF，
进而得到△ABG≌△CDH，△ADG≌△CBH，△BGE≌△DHF．
所以全等三角形共5对，分别是：△ABD≌△CDB（SSS），△ABE≌△CDF（ASA），
△ABG≌△CDH（ASA），△ADG≌△CBH（ASA），△BGE≌△DHF（AAS）．
故选C．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．此类题目做题时要由易到难慢慢找寻，做到不重不漏．
二、填空题（共5小题）
21、如图，已知△ABC中，AB=8，AC=6，AD是BC边的中线，则AD的范围是 1＜AD＜7 ，△ABD，△ADC的面积之间的关系是 S△ABD=S△ADC ．
考点：三角形三边关系；全等三角形的判定。
分析：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，易证明△ADC≌△BDE，得到BE=AC；
在△ABE中，根据三角形三边关系，得2＜AE＜14，即2＜2AD＜14，所以AD的范围是1＜AD＜7；
△ADC与△ABD是等底同高，所以两个三角形的面积相等．
解答：解：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．
∵BD=CD，DE=AD，∠ADC=∠EDB，=
∴△ADC≌△BDE，
∴BE=AC．
在△ABE中，根据三角形三边关，得2＜AE＜14，
即2＜2AD＜14，所以AD的范围是1＜AD＜7；
因为△ADC与△ABD是等底同高，所以面积相等．
故填1＜AD＜7，S△ABD=S△ADC．
点评：本题考查了三角形的三边关系及全等三角形的判定；通过作辅助线﹣﹣倍长中线，把要求的线段和已知的线段转换到一个三角形中，根据三角形的三边关系求解是正确解答本题的关键．21世纪教育网版权所有
22、（2011?昭通）如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 ∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一） ．（只需填一个即可）
23、（2011?湛江）如图，点B，C，F，E在同直线上，∠1=∠2，BC=EF，∠1 不是 （填“是”或“不是”）∠2的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，可以是 AC=FD （只需写出一个）
考点：全等三角形的判定；对顶角、邻补角。
专题：开放型。
分析：根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角．要使△ABC≌△DEF，已知∠1=∠2，BC=EF，则只需补充AC=FD或∠BAC=∠FED都可，答案不唯一．
解答：解：根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角
故填：不是．
添加AC=FD或∠BAC=∠FED后可分别根据SAS、AAS判定△ABC≌△DEF，
故答案为：AC=FD，答案不唯一．
点评：本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
24、（2011?郴州）如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有 3 对全等三角形．
考点：全等三角形的判定。
分析：根据题意，结合图形，可得知△AEB≌△ADC，△BED≌△CDE，△BOD≌△COE．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．
解答：解：①△AEB≌△ADC；
∵AE=AD，∠1=∠2=90°，∠A=∠A，
∴△AEC≌△ADC；
∴AB=AC，
∴BD=CE；
②△BED≌△CDE；
∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，
∵∠ADC=∠AEB，∴∠CDE=∠BED，
∴△BED≌△CDE．
③∵BD=CE，∠DBO=∠ECO，∠BOD=∠COE，
∴△BOD≌△COE．
故答案为3．
点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目
25、（2010?天津）如图，已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 ∠C=∠E（答案不惟一，也可以是AB=FD或AD=FB） ．
考点：全等三角形的判定。
专题：开放型。
分析：要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，BC=DE，具备了两组边对应相等，故添加∠C=∠E，利用SAS可证全等．（也可添加其它条件）．
解答：解：增加一个条件：∠C=∠E，
显然能看出，在△ABC和△FDE中，利用SAS可证三角形全等．（答案不唯一）．
故填：∠C=∠E．
点评：本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．
三、解答题（共5小题）
26、附加题：
（1）设计三种不同方案，把△ABC的面积三等分；
（2）如图，点E、A、B、F在同一条直线上，AD与BC交于点O，已知∠CAE=∠DBF，AC=BD．
说出∠CAD=∠DBC的理由．
考点：三角形的面积；全等三角形的性质；全等三角形的判定。
专题：方案型。
分析：（1）利用等底同高的三角形面积相等进行设计．将一边三等分，顺次连接各点与另一顶点即可．
（2）通过证明三角形△ABC≌△DBA得出∠ABC=∠BAD进而证明∠CAD=∠DBC．
解答：解：（1）如图：将一边三等分，顺次连接各点与另一顶点；
（2）∵∠CAE=∠DBF（已知）
∴∠CAB=∠DBA（等角的补角相等）
在△ABC和△DBA中
AC=BD（已知）
∠CAB=∠DBA
AB=BA（公共边）
∴△ABC≌△DBA（SAS）
∴∠ABC=∠BAD（全等三角形的对应角相等）
∴∠CAB﹣∠BAD=∠DBA﹣∠ABC21世纪教育网版权所有
即：∠CAD=∠DBC．
点评：考查了三角形面积公式的灵活应用以及三角形全等的证明，做题时要注意结合图形思考，特别是图形上的有用的条件．
27、选做题：你能用SSS来解释三角形的稳定性吗？
考点：三角形的稳定性；全等三角形的判定。
分析：三角形的三条边长度固定，三角形的形状和大小就固定不变了．因而三角形具有稳定性．
解答：解：因为只要给定了一个三角形的三条边，那么根据全等三角形的判定可知，当两个三角形三条边相等时，两个三角形全等，形状和大小不变，只是位置发生了变化，这样的三角形唯一确定． 故三角形具有稳定性．
点评：本题考查了用SSS来解释三角形的稳定性．
28、（2007?北京）如图，已知△ABC．
（1）请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连接AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．
考点：三角形三边关系；全等三角形的判定。
专题：证明题。
分析：（1）由于都是以BC所在边为底，因此边上的高都相等．要两个三角形的面积相等，只需在BC上找出两条相等线段即可；
（2）可通过构建全等三角形来求解．
分别过点D、B作CA、EA的平行线，两线相交于F点，DF于AB交于G点．
那么我们不难得出△AEC≌△FBD，此时AC=DF，AE=BF，那么只需在三角形BFG和ADG中找出它们的关系即可．
解答：解：（1）如图1，相应的条件就应该是BD=CE≠DE，
这样，三角形ABD和AEC的面积相等，由于BD=CE，因此BE=CD，那么三角形ADC和三角形ABE的面积就相等．
（2）证明：如图2，分别过点D、B作CA、EA的平行线，两线相交于F点，DF于AB交于G点．
∴∠ACE=∠FDB，∠AEC=∠FBD
在△AEC和△FBD中，又CE=BD，
∴△AEC≌△FBD，
∴AC=FD，AE=FB，
在△AGD中，AG+DG＞AD，
在△BFG中，BG+FG＞FB，
∴AG+DG﹣AD＞0，BG+FG﹣FB＞0，
∴AG+DG+BG+FG﹣AD﹣FB＞0，
即AB+FD＞AD+FB
∴AB+AC＞AD+AE．
点评：本题考查了三角形面积的求法，全等三角形的判定以及三角形三边的关系．
本题（2）中通过构建全等三角形将已知和所求条件转化到相关的三角形中是解题的关键．
29、（2011?漳州）如图，∠B=∠D，请在不增加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE，并证明．
（1）添加的条件是 AB=AD，答案不唯一 ；
（2）证明：
考点：全等三角形的判定。
专题：开放型。
分析：三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，由此可添加的条件有：①AB=AD，②BC=DE，③AC=AE．
解答：解：（1）添加的条件是：AB=AD，答案不唯一；
（2）证明：在△ABC和△ADE中，
∠B=∠D，21世纪教育网版权所有
AB=AD，
∠A=∠A，
∴△ABC≌△ADE．
点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，难度适中．
30、（2011?湘西州）如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC．
考点：全等三角形的判定。
分析：首先根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，再利用SAS定理便可证明其全等．
解答：解：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABC和△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找准能使三角形全等的条件．
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三角形的初步知识—三角形全等的判定21世纪教育网
一、选择题（共20小题）
1、在锐角△ABC中，三个内角的度数都是质数，且最短边的长为1．则满足这样条件的互不全等的三角形个数为（ 21世纪教育网）
A、1 B、2
C、3 D、多于3
2、命题①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短；⑤直线都相等；⑥任何数都有倒数；⑦如果a2=b2，那么a=b；⑧三角对应相等的两三角形全等；⑨如果∠A+∠B=90°，那么∠A与∠B互余．其中真命题有…（ ）
A、3个 B、4个
C、5个 D、6个
3、如图，已知ABC中，AD为BC边上的中线，且AB=4cm，AC=3cm，则AD的取值范围是（ ）
A、3＜AD＜4 B、1＜AD＜7
C、 D、
4、（2011?宿迁）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A、AB=AC B、BD=CD
C、∠B=∠C D、∠BDA=∠CDA
5、（2011?十堰）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C作射线OC．由此做法得△MOC≌△NOC的依据是（ ）
A、AAS B、SAS
C、ASA D、SSS
6、（2011?南昌）如图，在下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是（ ）
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A、BD=DC，AB=AC B、∠ADB=∠ADC，BD=DC
C、∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D、∠B=∠C，BD=DC
7、（2010?岳阳）如图，要使△ABC≌△ABD，下面给出的四组条件中，错误的一组是（ ）
A、BC=BD，∠BAC=∠BAD B、∠C=∠D，∠BAC=∠BAD
C、∠BAC=∠BAD，∠ABC=∠ABD D、BC=BD，AC=AD
8、（2010?凉山州）如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有（ 21*cnjy*com ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
9、（2010?海南）如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（ ）
A、 B、
C、 D、
10、（2010?巴中）如图所示，AB=AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（ ）
A、∠B=∠C B、AD=AE
C、∠ADC=∠AEB D、DC=BE
11、（2009?西宁）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A、（S．S．S．） B、（S．A．S．）
C、（A．S．A．） D、（A．A．S．）
12、（2009?江西）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A、CB=CD B、∠BAC=∠DAC
C、∠BCA=∠DCA D、∠B=∠D=90°
13、（2009?江苏）如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A、1组 B、2组
C、3组 D、4组
14、（2009?鸡西）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）
A、SAS B、ASA
C、AAS D、SSS
15、（2008?台湾）如图，有两个三角锥ABCD、EFGH，其中甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．若∠ACB=∠CAD=∠EFG=∠EGH=70°，∠BAC=∠ACD=∠EGF=∠EHG=50°，则下列叙述何者正确（ ）
A、甲、乙全等，丙、丁全等 B、甲、乙全等，丙、丁不全等
C、甲、乙不全等，丙、丁全等 D、甲、乙不全等，丙、丁不全等
16、（2008?邵阳）如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是（ ）
A、BC=BD B、AC=AD
C、∠ACB=ADB D、∠CAB=∠DAB
17、（2008?成都）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（ ）
A、∠B=∠E，BC=EF B、BC=EF，AC=DF
C、∠A=∠D，∠B=∠E D、∠A=∠D，BC=EF
18、（2007?天津）下列判断中错误的是（ ）
A、有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B、有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C、有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D、有一边对应相等的两个等边三角形全等
19、（2006?十堰）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
20、（2006?临沂）如图：在平行四边形ABCD中，AB≠BC，AE、CF分别为∠BAD、∠BCD的平分线，连接BD，分别交AE、CF于点G、H，则图中的全等三角形共有（ ）
A、3对 B、4对
C、5对 D、6对
二、填空题（共5小题）
21、如图，已知△ABC中，AB=8，AC=6，AD是BC边的中线，则AD的范围是 _________ ，△ABD，△ADC的面积之间的关系是 _________ ．
22、（2011?昭通）如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 _________ ．（只需填一个即可）
23、（2011?湛江）如图，点B，C，F，E在同直线上，∠1=∠2，BC=EF，∠1 _________ （填“是”或“不是”）∠2的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，可以是 _________ （只需写出一个）
24、（2011?郴州）如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有 _________ 对全等三角形．
25、（2010?天津）如图，已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、附加题：
（1）设计三种不同方案，把△ABC的面积三等分；
（2）如图，点E、A、B、F在同一条直线上，AD与BC交于点O，已知∠CAE=∠DBF，AC=BD．
说出∠CAD=∠DBC的理由．
27、选做题：你能用SSS来解释三角形的稳定性吗？
28、（2007?北京）如图，已知△ABC．
（1）请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连接AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．
29、（2011?漳州）如图，∠B=∠D，请在不增加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE，并证明．
（1）添加的条件是 _________ ；
（2）证明：
30、（2011?湘西州）如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC．
三角形的初步知识—全等三角形的判定与性质
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、△ABC中，AB=5，AC=3，则BC边上的中线AD的长l的取值范围是（ ）
A、1＜l＜4 B、3＜l＜5
C、2＜l＜3 D、0＜l＜5
考点：三角形三边关系；全等三角形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：根据已知可求得BC的取值范围，再根据中线的定义即可求得BD的取值范围，从而再根据三角形三边关系求得AD的取值范围．
解答：解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴BE=AC=3，
在△AEB中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即5﹣3＜2AD＜5+3，
∴1＜AD＜4，
∴l的取值范围是1＜l＜4，
故选A．
点评：此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
2、（2011?芜湖）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为（ ）
A、 B、4
C、 D、
考点：全等三角形的判定与性质。
分析：先证明AD=BD，再证明∠FBD=∠DAC，从而利用ASA证明△BDF≌△CDA，利用全等三角形对应边相等就可得到答案．
解答：解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠FDB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，
∴∠AEF=90°，
∴∠DAC+∠AFE=90°，
∵∠FDB=90°，
∴∠FBD+∠BFD=90°，
又∵∠BFD=∠AFE，
∴∠FBD=∠DAC，
在△BDF和△ADC中：，
∴△BDF≌△ADC，
∴DF=CD=4．
故选：B．
点评：此题主要考查了全等三角行的判定，关键是找出能使三角形全等的条件．
3、（2010?海南）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A、AD=BD B、BD=CD
C、∠BAD=∠CAD D、∠B=∠C
考点：全等三角形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：根据已知和公共边科证明△ADB≌△ACD，则这两个三角形的对应角、对应边相等，据此作答．
解答：解：∵AB=AC，AD=AD，AD⊥BC，
∴Rt△ADB≌Rt△ACD（HL），
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，∠B=∠C（全等三角形的对应角、对应边相等）
故B、C、D一定成立，A不一定成立．
故选A．
点评：此题考查直角三角形全等的判定和性质，注意利用已知隐含的条件：AD是公共边．
4、（2009?芜湖）如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（ ）
A、330° B、315°
C、310° D、320°
5、（2008?新疆）如图，△ABC中BC边上的高为h1，△DEF中DE边上的高为h2，下列结论正确的是（ ）
A、h1＞h2 B、h1＜h2
C、h1=h2 D、无法确定
6、（2008?潍坊）如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（ ）
A、AB=BF B、AE=ED
C、AD=DC D、∠ABE=∠DFE
考点：全等三角形的判定与性质。
分析：从已知条件思考，利用角平分线的性质，结合平行线的性质，可得很多结论，然后与选项进行逐个比对，答案可得．
解答：解：∵∠BAD+∠ABD=90°，∠ABD+∠C=90°
∴∠BAD=∠C（同角的余角相等）
又∵EF∥AC
∴∠BFE=∠C
∴∠BAD=∠BFE
又∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
又BE=BE
∴△ABE≌△FBE
∴AB=BF．
故选A．
点评：此题考查角平分线的定义，平行线的性质，同角的余角相等，三角形全等的判定等知识点．
7、（2008?泰州）在平面上，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，且满足AB=CD．有下列四个条件：（1）OB=OC；（2）AD∥BC；（3）；（4）∠OAD=∠OBC．若只增加其中的一个条件，就一定能使∠BAC=∠CDB成立，这样的条件可以是（ ）
A、（2），（4） B、（2）
C、（3），（4） D、（4）
考点：全等三角形的判定与性质。
分析：所增加的条件只要能证明△AOB≌△DOC即可．只要验证一下四个条件是否满足这个关系即可判断．
解答：解：△AOB和△DOC全等已经具备的条件是：AB=CD，∠AOB=∠DOC．
①OB=OC，两个三角形是两边及一边的对角对应相等，不能判定三角形全等，故选项错误；
②当AD∥BC时，可推出四边形ABCD是等腰梯形或平行四边形，梯形时可证明△BAC≌△CDB，但平行四边形时，不能证明△BAC≌△CDB，故选项错误；
③∵，不能判定△AOD∽△COB，∴∠BAC=∠CDB不一定相等，故选项正确；
8、（2008?鄂州）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（ ）
A、 B、4
C、 D、5
考点：全等三角形的判定与性质。
分析：由∠ABC=45°，AD是高，得出BD=AD后，证△ADC≌△BDH后求解．
解答：解：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴AD=BD，∠ADC=∠BDH，∠AHE=∠BHD=∠C，
∴△ADC≌△BDH，
∴BH=AC=4．
故选B．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．由∠ABC=45°，AD是高，得出BD=AD是正确解答本题的关键．
9、（2007?玉溪）如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A、50 B、62
C、65 D、68
考点：全等三角形的判定与性质。
分析：由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF=∠ABG，而AE=AB，∠EFA=∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF=BG，AG=EF；
同理证得△BGC≌△DHC，GC=DH，CH=BG．
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．
解答：解：∵AE⊥AB且AE=AB，EF⊥FH，BG⊥FH?∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，
∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°?∠EAF=∠ABG，
∴AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG?△EFA≌△ABG
∴AF=BG，AG=EF．
同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16
故S=（6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50．
故选A．
点评：本题考查的是全等三角形的判定的相关知识．作辅助线是本题的关键．
10、（2007?呼伦贝尔）如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于N，∠E=∠F=90°，∠EAC=∠FAB，AE=AF．给出下列结论：①∠B=∠C；②CD=DN；③BE=CF；④△ACN≌△ABM．
其中正确的结论是（ ）
A、①③④ B、②③④
C、①②③ D、①②④
考点：全等三角形的判定与性质。
分析：根据题目中所给的大部分选项先判断该证明哪两个三角形全等，然后对各选项采取排除法得到正确选项．
解答：解：∵∠EAC=∠FAB
∴∠EAB=∠CAF
又∵∠E=∠F=90°，AE=AF
∴△ABE≌△ACF
∴∠B=∠C，BE=CF．
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
又∵∠CAB=∠BAC，
∴△ACN≌△ABM；（故④正确）
由于条件不足，无法证得②CD=DN；故正确的结论有：①③④；
故选A．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
11、（2002?四川）以下命题：
①同一平面内的两条直线不平行就相交；
②三角形的外角必定大于它的内角；
③两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；
④两个全等三角形的面积相等．
其中的真命题是（ ）
A、①、③ B、①、④
C、①、②、④ D、②、③、④
点评：本考查了全等三角形的判定及性质；此题比较复杂，涉及面较广，比较全面，是一道好题．此题涉及到三角形内角与外角的关系、全等三角形的性质及全等三角形的判定．
12、如图，AB=AC，AD=AE，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（ ）
A、120° B、70°
C、60° D、50°
考点：全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质。
分析：∠DAC=∠DAE+∠EAC．根据内角和定理求∠DAE；根据外角的性质求∠EAC．
解答：解：∵AB=AC，AD=AE，∠B=50°，∠AEC=120°，
∴∠AED=∠ADE=60°，∠EAC=60°﹣∠C=60°﹣50°=10°，
∴∠DAC=60°+10°=70°．
故选B．
点评：主要考查了三角形中内角与外角之间的关系．此题主要运用了外角等于两个不相邻的内角和与等边对等角的性质．
13、如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF，CE、下列说法：①CE=BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（ ）
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A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
14、请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A、SAS B、ASA
C、AAS D、SSS
考点：全等三角形的判定与性质。
专题：作图题。
分析：根据作图过程，O′C′=OC，O′B′=OB，C′D′=CD，所以运用的是三边对应相等，两三角形全等作为依据．
解答：解：根据作图过程可知O′C′=OC，O′B′=OB，C′D′=CD，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）．
故选D．21世纪教育网
点评：本题考查基本作图“作一个角等于已知角”的相关知识，其理论依据是三角形全等的判定“边边边”定理和全等三角形对应角相等．从作法中找已知，根据已知条件选择判定方法．
15、如图，小聪给小芳出了这样一道题：已知，AC=AD，BC=BD，便能知道∠ABC=∠ABD．这是根据什么理由得到的，小芳想了想，马上得出了正确的答案．你猜想小芳说的依据是（ ）21世纪教育网版权所有
A、SAS B、AAS
C、ASA D、SSS
考点：全等三角形的判定与性质。
专题：探究型。
分析：题中已经有两对边对应相等，很明显，当两个三角形有公共边时，公共边是常用的条件之一．
解答：解：∵AC=AD，BC=BD，AB=AB
∴△ABC≌△ABD．（SSS）
∴∠ABC=∠ABD．
故选D
点评：本题考查了全等三角形的判定及性质；需注意公共边在证明全等中的应用，要根据已知条件在三角形中的位置选择全等的判定方法．
16、如图，已知AD，BC相交于点O，∠1=∠2，∠CAB=∠DBA，下面的结论中，错误的是（ ）
A、∠C=∠D B、AC=BD
C、OC=OB D、OA=OB
考点：全等三角形的判定与性质。
分析：由∠1=∠2可知OA=OB；加之已知条件可得△CAB≌△EBA，由全等三角形的性质可判断∠C=∠D、AC=BD．
所以错误的是C，故选C．根据全等三角形的判定和性质解答．
解答：解：∵∠1=∠2，∠CAB=∠DBA，AB=AB，
∴△CAB≌△EBA，
∴∠C=∠D A正确；AC=BD B正确；
又△OAB中∠1=∠2，
∴OA=OB，D正确，
无法证明C、OC=OB是正确的．
故选C．
点评：考查了全等三角形的判定定理及性质，做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．
17、如图，从下列四个条件：①BC=B′C，②AC=A′C，③∠A′CB′=∠ACB，④AB=A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确结论的个数是（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：全等三角形的判定与性质。
分析：本题考查的是全等三角形的判定，可根据全等三角形的判定定理和性质进行求解．
解答：解：①②③为条件，根据SAS，可判定△BCA≌△B′CA′；可得结论④；
①②④为条件，根据SSS，可判定△BCA≌△B′CA′；可得结论③；
①③④为条件，SSA不能证明△BCA≌△B′CA′．
②③④为条件，SSA不能证明△BCA≌△B′CA′．
最多可以构成正确结论2个．
故选B．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
18、如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
考点：全等三角形的判定与性质。
分析：∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF可得△ABE≌ACF，三角形全等的性质BE=CF；∠BAE=∠CAF可得①∠1=∠2；由ASA可得△ACN≌△ABM．④CD=DN不成立．
解答：解：∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF
∴△ABE≌ACF
∴BE=CF
∠BAE=∠CAF
∠BAE﹣∠BAC=∠CAF﹣∠BAC
∴∠1=∠2
△ABE≌ACF
∴∠B=∠C，AB=AC
又∠BAC=∠CAB
△ACN≌△ABM．
④CD=DN不能证明成立，3个结论对．
故选B．
点评：本题考查三角形全等的判定方法和三角形全等的性质，难度适中．
19、如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）
A、相等 B、互余
C、互补或相等 D、不相等
考点：全等三角形的判定与性质。
分析：根据全等三角形的性质，判断两边相等是否能确定两三角形全等．
解答：解：设有两个三角形△ABC和△DEF，其中AB=DE，AC=DF，AB DE上的高为CM和FN垂足为M和N，BC所对的角是∠BAC，EF所对的角是∠EDF
当点M N都落在边AB和DE上时，∠CAB和∠FDE都为锐角且相等；当点M N都落在AB和DE的反向延长线上时，∠CAB和∠FDE都为钝角且相等；当两点中，有一点落在边上，另一点落在延长线上时，两角互补．
故选C．
点评：本题考查全等三角形的性质，应注意的是，两边相等不一定角相等，解题时要多方面考虑．
20、如图，OD=OC，BD=AC，∠O=70度，∠C=30度，则∠BED等于（ ）
A、45度 B、50度
C、55度 D、60度
考点：全等三角形的判定与性质；三角形的外角性质。
分析：在△OBC中，已知∠O、∠C的度数，易求得∠OBC=80°；而∠OBC是△BED的外角，欲求∠BED的度数，需先求出∠D的度数；可通过证△OBC≌△OAD，得∠D=∠C，再由∠BED=∠OBC﹣∠D，得出所求的结论．
解答：解：∵OD=OC，BD=AC，
∴OA=OB；
又∵OD=OC，∠O=∠O，
∴△OAD≌△OBC；（SAS）
∴∠D=∠C=30°；
△OBC中，∠OBC=180°﹣∠O﹣∠C=80°；
∴∠BED=∠OBC﹣∠D=80°﹣30°=50°．
故选B．
点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形的外角性质．能够通过全等三角形来求得∠D的度数，是解答此题的关键．
二、填空题（共5小题）
21、△ABC中，AB=10，AC=8，则BC边上的中线AD的取值范围是 1＜AD＜9 ．
．
点评：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．
注意：倍长中线是常见的辅助线之一．
22、如图，△ABC中AB＞AC，AD是角平分线，P为AD上任意一点．则：AB﹣AC ＞ PB﹣PC．
考点：三角形三边关系；全等三角形的判定与性质。
分析：在AB上取一点E，使AE=AC，连接EP，构造了全等三角形，得PE=PC，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之差小于第三边”，即可证明．
解答：解：在AB上取一点E，使AE=AC，连接EP．
则△AEP≌△ACP，
∴EP=PC，
在△BPE中，
BE＞BP﹣EP=BP﹣PC，
∴AB﹣AC＞PB﹣PC．
故答案为：＞．
点评：此题综合运用了全等三角形的判定和性质以及三角形的三边关系．
23、如图，△ABC中，AB=8，AC=3，AD是中线，设AD=x，则x的取值范围是 cm＜AD＜cm ．
考点：三角形三边关系；全等三角形的判定与性质。
专题：推理填空题。
分析：如图，延长AD至E，使ED=AD，连接CE，然后利用已知条件可以证明△ABD≌△ECD，然后利用全等三角形的性质得到CE=AB，最后在△ACE中，利用三角形的三边关系即可求解．
解答：解：如图，延长AD至E，使ED=AD，连接CE，
∵AD是中线，
∴BD=CD，
而∠ABD=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD，
∴CE=AB=8cm，
在△ACE中，EC﹣AC＜AE＜EC+AC，
∴5＜AE＜11，
∴cm＜AD＜cm．
点评：此题主要考查了三角形的三边关系，也利用了全等三角形的性质，作辅助线是解题的关键．
24、在△ABC中，若AB=5，AC=3．则中线AD的长的取值范围是 1＜AD＜4 ．
考点：三角形三边关系；全等三角形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：先作辅助线，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三边关系定理得出答案．
解答：解：延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，
∵BD=CD，DE=AD，∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD，
∴CE=AB，
∵AB=5，AC=3，CE=5，
设AD=x，则AE=2x，
∴2＜2x＜8，
∴1＜x＜4，
∴1＜AD＜4．
故答案为：1＜AD＜4．
点评：本题考查了三角形的三边关系定理，难度一般，关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．
25、（2011?牡丹江）如图，△ABC的高BD、CE相交于点0．请你添加一对相等的线段或一对相等的角的条件，使BD=CE．你所添加的条件是 ∠DBC=∠ECB或∠EBC=∠DCB 或AB=AC或AE=AD等 ．
考点：全等三角形的判定与性质。
专题：开放型。
分析：由△ABC的高BD、CE相交于点0，可得∠BEC=∠CDB=90°，又由要使BD=CE，只需△BCE≌△CBD，根据全等三角形的判定定理与性质，即可求得答案．
解答：解：此题答案不唯一，如∠DBC=∠ECB或∠EBC=∠DCB 或AB=AC或AE=AD等．
∵△ABC的高BD、CE相交于点0．
∴∠BEC=∠CDB=90°，
∵BC=CB，
要使BD=CE，只需△BCE≌△CBD，
当BE=CD时，利用HL即可证得△BCE≌△CBD；
当∠ABC=∠ACB时，利用AAS即可证得△BCE≌△CBD；
同理：当∠DBC=∠ECB也可证得△BCE≌△CBD；
当AB=AC时，∠ABC=∠ACB，∴当AB=AC时，也可证得△BCE≌△CBD等．
故答案为：∠DBC=∠ECB或∠EBC=∠DCB 或AB=AC或AE=AD等．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，此题属于开放题．解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定定理．
三、解答题（共5小题）
26、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．
求证：AP=AQ．（初二）
考点：四点共圆；全等三角形的判定与性质。
分析：作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ，证明△ADF≌△ABG，所以∠AFC=∠AGE，再利用圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角，证得∠AOP=∠AOQ，进而得到AP=AQ．
解答：证明：作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ．
由于，
∴△ADF≌△ABG，
∴∠AFC=∠AGE，
∵四边形PFOA与四边形QGOA四点共圆，
∴∠AFC=∠AOP；∠AGE=∠AOQ，
∴∠AOP=∠AOQ，
∴AP=AQ．
点评：本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的性质，以及圆的内接四边形性质：对角互补，外角等于内对角，解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形．
27、如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点．
求证：（1）∠PBD=30°；（2）AD=DC．
考点：四点共圆；全等三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：（1）连接PD，四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，根据内角和定理可求∠ADC=90°，则A、B、C、D四点共圆，对角线AC为直径，P点为圆心，△PBD为等腰三角形，根据圆周角定理∠BPD=2∠BAD，可证∠PBD=30°；
（2）作SN⊥BP于点N，由（1）的结论可知SN=SB，利用线段之间个关系证明MS=SB=SN，从而判断Rt△PMS≌Rt△PNS，得出∠MPS=∠NPS=30°，由圆周角定理得∠PAB=∠NPS，则∠DAC=∠BAD﹣∠PAB=45°，又AC为直径，故AD=DC．
解答：证明：（1）由已知得∠ADC=90°，
从而A，B，C，D四点共圆，AC为直径，P为该圆的圆心，
作PM⊥BD于点M，知M为BD的中点，
所以∠BPM==∠BAD=60°，
从而∠PBM=30°；21世纪教育网
（2）作SN⊥BP于点N，则．
又，
∴，
∴Rt△PMS≌Rt△PNS，
∴∠MPS=∠NPS=30°，
又PA=PB，所以，
故∠DAC=45°=∠DCA，
所以AD=DC．
点评：本题考查了四点共圆，三角形全等的判定与性质．关键是判断△ABC，△ADC，公共斜边AC，利用圆周角定理求相关的角．
28、如图，甲、乙两人同时从O点以相同的速度出发，甲沿正东方向前进，乙沿东偏北60°方向前进，到某一时刻他们同时改变方向，甲沿正北方向前进，乙沿东偏南30°方向前进，他们的速度始终保持不变，问他们的相遇时在出发点的什么方向？
考点：方向角；全等三角形的判定与性质。
专题：探究型。
分析：先根据方位角的概念及平行线的性质求出∠OBC=90°，再由直角三角形全等的判定定理求出Rt△OBC≌Rt△OAC，由全等三角形的性质可求出∠COA=30°，根据∠COA=30°即可解答．
解答：解：如图，
∵乙沿东偏北60°方向前进，
∴∠AOB=60°，
∵到某一时刻他们同时改变方向，乙沿东偏南30°
∴∠OBC=30°+60°=90°，
∵甲、乙速度相同，
∴OB=OA，（3分）
∵在Rt△OBC和Rt△OAC中，OC=OC，OB=OA，
∴Rt△OBC≌Rt△OAC，（7分）
∴∠BOC=∠COA，（8分）
∵∠AOB=60°，
∴∠COA=30°，
即甲乙相遇点在出发点的东偏北30°方向．（10分）
故答案为：甲乙相遇点在出发点的东偏北30°方向．
点评：本题考查的是方向角的概念及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是能根据题中的描述找出方向角的度数，再用平行线的性质及三角形的相关知识求解．
29、已知△ABC中∠C=90°，AC=2BC=2，BD是AC边上的中线，CF⊥AB于F，交BD于H（如图）．求S△CBH．
考点：三角形的面积；全等三角形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：过D点作DE⊥BD交AB于E，根据已知条件可得△BCD为等腰直角三角形，又∠C=∠BDE=90°，可得∠CBH=∠ADE=45°，由条件可证明△CBH≌△ADE，S△CBH=S△ADE，问题转化为求S△ADE即可．
点评：本题主要考查三角形的面积问题．关键是根据构造全等三角形，把问题进行转化．此题需要同学们熟练掌握．
30、如图，已知D是△ABC的边BC的中点，过D作两条互相垂直的射线，分别交AB于E，交AC于F，求证：BE+CF＞EF．
考点：三角形三边关系；全等三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：本题可将所求的线段转移到同一个或相关联的三角形中进行求解．如果延长FD到M使MD=DF，连接BM，EM．因此构成了两三角形全等，那么CF=BM．三角形EFM中，ED⊥MF，MD=FD，那么ED就是MF的垂直平分线，因此EM=EF．再根据三角形三边的关系就可证明．
解答：证明：延长FD到M使MD=DF，连接BM，EM．
∵D为BC中点，
∴BD=DC．
∵∠FDC=∠BDM，
∴△BDM≌△CDF．
∴BM=FC．
∵ED⊥DF，
∴EM=EF．
∵BE+BM＞EM，
∴BE+FC＞EF．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定和性质及三角形三边关系；通过构建全等三角形来实现线段之间的转换是解题的关键．
21世纪教育网
三角形的初步知识—全等三角形的判定与性质
一、选择题（共20小题）
1、△ABC中，AB=5，AC=3，则BC边上的中线AD的长l的取值范围是（21世纪教育网版权所有 ）
A、1＜l＜4 B、3＜l＜5
C、2＜l＜3 D、0＜l＜5
2、（2011?芜湖）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为（ ）
A、 B、4
C、 D、
3、（2010?海南）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A、AD=BD B、BD=CD
C、∠BAD=∠CAD D、∠B=∠C
4、（2009?芜湖）如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（ ）
A、330° B、315°
C、310° D、320°
5、（2008?新疆）如图，△ABC中BC边上的高为h1，△DEF中DE边上的高为h2，下列结论正确的是（ 21世纪教育网版权所有 ）
A、h1＞h2 B、h1＜h2
C、h1=h2 D、无法确定
6、（2008?潍坊）如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（ ）
A、AB=BF B、AE=ED
C、AD=DC D、∠ABE=∠DFE
7、（2008?泰州）在平面上，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，且满足AB=CD．有下列四个条件：（1）OB=OC；（2）AD∥BC；（3）；（4）∠OAD=∠OBC．若只增加其中的一个条件，就一定能使∠BAC=∠CDB成立，这样的条件可以是（ ）
A、（2），（4） B、（2）
C、（3），（4） D、（4）
8、（2008?鄂州）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（ ）
A、 B、4
C、 D、5
9、（2007?玉溪）如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A、50 B、62
C、65 D、68
10、（2007?呼伦贝尔）如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于N，∠E=∠F=90°，∠EAC=∠FAB，AE=AF．给出下列结论：①∠B=∠C；②CD=DN；③BE=CF；④△ACN≌△ABM．
其中正确的结论是（ ）
A、①③④ B、②③④
C、①②③ D、①②④
11、（2002?四川）以下命题：
①同一平面内的两条直线不平行就相交；
②三角形的外角必定大于它的内角；
③两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；
④两个全等三角形的面积相等．
其中的真命题是（ ）
A、①、③ B、①、④
C、①、②、④ D、②、③、④
12、如图，AB=AC，AD=AE，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（ ）
A、120° B、70°
C、60° D、50°
13、如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF，CE、下列说法：①CE=BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
14、请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A、SAS B、ASA
C、AAS D、SSS
15、如图，小聪给小芳出了这样一道题：已知，AC=AD，BC=BD，便能知道∠ABC=∠ABD．这是根据什么理由得到的，小芳想了想，马上得出了正确的答案．你猜想小芳说的依据是（ ）
A、SAS B、AAS
C、ASA D、SSS
16、如图，已知AD，BC相交于点O，∠1=∠2，∠CAB=∠DBA，下面的结论中，错误的是（ ）
A、∠C=∠D B、AC=BD
C、OC=OB D、OA=OB
17、如图，从下列四个条件：①BC=B′C，②AC=A′C，③∠A′CB′=∠ACB，④AB=A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确结论的个数是（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
18、如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
19、如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）
A、相等 B、互余
C、互补或相等 D、不相等
20、如图，OD=OC，BD=AC，∠O=70度，∠C=30度，则∠BED等于（ ）
A、45度 B、50度
C、55度 D、60度
二、填空题（共5小题）
21、△ABC中，AB=10，AC=8，则BC边上的中线AD的取值范围是 _________ ．
22、如图，△ABC中AB＞AC，AD是角平分线，P为AD上任意一点．则：AB﹣AC _________ PB﹣PC．
23、如图，△ABC中，AB=8，AC=3，AD是中线，设AD=x，则x的取值范围是 _________ ．
24、在△ABC中，若AB=5，AC=3．则中线AD的长的取值范围是 _________ ．
25、（2011?牡丹江）如图，△ABC的高BD、CE相交于点0．请你添加一对相等的线段或一对相等的角的条件，使BD=CE．你所添加的条件是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．
求证：AP=AQ．（初二）
27、如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点．
求证：（1）∠PBD=30°；（2）AD=DC．
28、如图，甲、乙两人同时从O点以相同的速度出发，甲沿正东方向前进，乙沿东偏北60°方向前进，到某一时刻他们同时改变方向，甲沿正北方向前进，乙沿东偏南30°方向前进，他们的速度始终保持不变，问他们的相遇时在出发点的什么方向？
29、已知△ABC中∠C=90°，AC=2BC=2，BD是AC边上的中线，CF⊥AB于F，交BD于H（如图）．求S△CBH．
30、如图，已知D是△ABC的边BC的中点，过D作两条互相垂直的射线，分别交AB于E，交AC于F，求证：BE+CF＞EF．
