有理数的运算—有理数的乘方
一、选择题（共20小题）
1、如果n是正整数，那么[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）的值（ ）21世纪教育网版权所有
A、一定是零 B、一定是偶数
C、是整数但不一定是偶数 D、不一定是整数
2、在0，﹣（﹣1），（﹣3）2，﹣32，﹣|﹣3|，，a2中，负数的个数有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
4、下列各数中：，0，﹣（﹣1.5），20000，﹣|﹣5|，﹣24，﹣（﹣2）3，正整数的个数为（ ）
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
5、在中，负数共有（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
6、下列各数中是负数的是（ ）
A、 B、﹣|﹣2|
C、（﹣2）2 D、﹣（﹣2）3
7、在﹣（﹣8），|﹣1|，﹣|0|，（﹣2）3，﹣24这四个数中，负数共有（ ）
A、4个 B、3个21世纪教育网版权所有
C、2个 D、1个
8、下列五个数：﹣（﹣1），﹣32，（﹣2）2，（﹣1）2007，﹣|﹣3|，0，其中正数的个数为（ ）
A、4 B、2
C、3 D、1
11、下列算式中，运算结果为负数的是（ ）
A、﹣（﹣3） B、|﹣3|
C、﹣32 D、（﹣3）2
12、在﹣22，﹣（﹣3），（﹣2）×3，|﹣2|﹣3中，正数共有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
13、下列说法中正确的是（ ）
A、﹣a一定是负数 B、|a|一定是负数
C、|﹣a|一定不是负数 D、﹣a2一定是负数
A、1 B、2
C、3 D、4
15、下列各数中，负数是（ ）
A、﹣（﹣5） B、﹣|﹣5|
C、（﹣5）2 D、﹣（﹣5）3
17、在+（﹣5），﹣（﹣3.14），﹣32，﹣|﹣0.3|，﹣（﹣2）3中，正数的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
18、下列各数中：，0，﹣（﹣1.5），﹣|﹣5|，2，﹣24，﹣（﹣2）3，正整数有几个？（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
19、若a为任何有理数，下列叙述中，正确的是（ ）
A、﹣a是负数 B、a2＞0
C、a2≥0 D、＜a
20、下面四个命题中，正确的是（ ）
A、一切有理数的倒数还是有理数 B、一切正有理数的相反数必是负有理数
C、一切有理数的绝对值必是正有理数 D、一切有理数的平方是正有理数
二、填空题（共5小题）
21、初一“数学晚会”上，有10个同学藏在10个大盾牌后面．男同学的盾牌前面写的是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这10个盾牌如下所示．，则盾牌后面的同学中有女同学 _________ 人；男同学 _________ 人．
22、下列各数是负数的有 _________ 个．﹣，0，﹣（﹣2），+2，3，﹣0.01，﹣，﹣（+2）
23、在有理数﹣3，0，20，﹣1.25，1，﹣（﹣2），（﹣4）2中，正数有 _________ 个．
24、下列数中：1、﹣2、1、0、﹣0.2、（﹣）2、|﹣2|，负数有 _________ 个．
25、下列各数0.01，10，﹣6.67，，0，﹣（﹣3），|﹣2|，﹣22，属于非负整数的共有 _________ 个．
三、解答题（共5小题）
26、阅读材料，解决问题：由31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，
不难发现3的正整数幂的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环出现，由此可以得到：
因为3100=34×25，所以3100的个位数字与34的个位数字相同，应为1；
因为32009=34×502+1，所以32009的个位数字与31的个位数字相同，应为3．
（1）请你仿照材料，分析求出299的个位数字及999的个位数字；
（2）请探索出22010+32010+92010的个位数字；
（3）请直接写出92010﹣22010﹣32010的个位数字．21*cnjy*com
27、请你帮助下面的数找到自己的家：
+8，0.275，﹣|﹣2|，﹣1.04，﹣（10），0.1010010001…，﹣（﹣2）2，，﹣，+．
负有理数集合：{ _________ }21世纪教育网
整数集合：{ _________ }
正分数集合：{ _________ }
28、把下列各数填在相应的大括号里（填序号）．
①﹣8，②0.275，③，④0，⑤﹣1.04，⑥﹣（﹣10），⑦，⑧﹣（﹣2）2，
正数集合{ _________ }；
负整数集合{ _________ }；
整数集合{ _________ }；
负分数集合{ _________ }．
29、﹣（﹣3）2，+，0.275，2，0，﹣1.04，，﹣8，﹣100，﹣，﹣32+（﹣3）2
负整数集合：{ …}，
正分数集合：{ …}，
负分数集合：{ …}．
有理数的运算—有理数的乘方
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、如果n是正整数，那么[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）的值（ 21世纪教育网 ）
A、一定是零 B、一定是偶数
C、是整数但不一定是偶数 D、不一定是整数
考点：整数的奇偶性问题；有理数的乘方。
分析：因为n是正整数，即n可以是奇数，也可以是偶数．因此要分n为奇数，n为偶数情况讨论．
解答：解：当n为奇数时，（﹣1）n=﹣1，1﹣（﹣1）n=2，
设不妨n=2k+1（k取自然数），
则n2﹣1=（2k+1）2﹣1=（2k+1+1）（2k+1﹣1）=4k（k+1），
∴k与（k+1）必有一个是偶数，
∴n2﹣1是8的倍数．
所以[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）=×2×8的倍数，
即此时[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）的值是偶数；
当n为偶数时，（﹣1）n=1，1﹣（﹣1）n=0，
所以[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）=0，
此时[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）的值是0，也是偶数．
综上所述，如果n是正整数，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）的值是偶数．
故选B．
点评：解题关键是掌握负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1．偶数与偶数的积是偶数，偶数与奇数的积是偶数，奇数与奇数的积是奇数．
2、在0，﹣（﹣1），（﹣3）2，﹣32，﹣|﹣3|，，a2中，负数的个数有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
3、在有理数：3，﹣32，|﹣2|，+0，﹣（+5），﹣（﹣3），+（﹣3），|﹣（﹣1）|中，正数有（ ）
A、3个 B、4个
C、5个 D、6个
考点：正数和负数；相反数；绝对值；有理数的乘方。
分析：根据正数和负数的定义即可作出判断，正数是大于0的数，据此选择正确选项．
解答：解：3，﹣32=﹣9，|﹣2|=2，+0，﹣（+5）=﹣5，﹣（﹣3）=3，+（﹣3）=﹣3，|﹣（﹣1）|=1，
正数有3，|﹣2|，﹣（﹣3），|﹣（﹣1）|．
故选B．
点评：本题主要考查正数和负数的知识点，解答本题的关键是掌握正负数的定义，此题基础题，比较简单．
4、下列各数中：，0，﹣（﹣1.5），20000，﹣|﹣5|，﹣24，﹣（﹣2）3，正整数的个数为（ ）
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
5、在中，负数共有（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
6、下列各数中是负数的是（ ）
A、 B、﹣|﹣2|
C、（﹣2）2 D、﹣（﹣2）3
考点：正数和负数；相反数；绝对值；有理数的乘方。
专题：计算题。
分析：根据相反数、绝对值的意义及乘方的运算法则，对选项一一化简，再根据负数的定义求解．
解答：解：A、﹣（﹣）=，不符合题意；
B、﹣|﹣2|=﹣2，符合题意；
C、（﹣2）2=4，不符合题意；
D、﹣（﹣2）3=﹣（﹣8）=8，不符合题意；
故选：B．
点评：本题考查了相反数、绝对值、负数的意义及乘方的运算法则．
7、在﹣（﹣8），|﹣1|，﹣|0|，（﹣2）3，﹣24这四个数中，负数共有（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
考点：正数和负数；绝对值；有理数的乘方。
专题：计算题。
分析：先把这一组数进行计算，再根据正数和负数的定义解答即可．
解答：解：∵﹣（﹣8）=8，|﹣1|=1，﹣|0|=0，（﹣2）3=﹣8，﹣24=﹣16，
数中负数有2，（﹣2）3=﹣8，﹣24=﹣16，
故选C．
点评：本题考查的知识点是正数和负数，判断一个数是正数还是负数，要把它化简成最后形式再判断．
8、下列五个数：﹣（﹣1），﹣32，（﹣2）2，（﹣1）2007，﹣|﹣3|，0，其中正数的个数为（ ）
A、4 B、2
C、3 D、1
考点：正数和负数；绝对值；有理数的乘方。
分析：本题需先把各式进行化简，得出正确得数，再根据正数的定义进行选择即可求出答案．
解答：解：∵﹣（﹣1）=1，
﹣32=﹣9，
（﹣2）2=4，
（﹣1）2007=﹣1，
﹣|﹣3|=﹣3，
0=0，
∴其中正数有：﹣（﹣1），（﹣2）2=4，
共2个，
故选B
点评：本题主要考查了正数和负数，在解题时要根据正数和负数的定义来进行判断一个数是正数还是负数，要把它化简成最后形式再判断是本题的关键．
9、下列各数|﹣2|，﹣（﹣2），（﹣2）2，﹣（﹣2）3中，正数的个数为（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
10、在﹣（﹣8），|﹣1|，﹣|0|，（﹣2）3这四个数中，负数共有（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
考点：正数和负数；相反数；绝对值；有理数的乘方。
专题：计算题。
分析：先把这一组数进行计算，再根据正数和负数的定义解答即可．
解答：解：∵﹣（﹣8）=8，|﹣1|=1，﹣|0|=0，（﹣2）3=﹣8，
∴这四个数中负数有1个，（﹣2）3=﹣8，
故选：D．
点评：此题考查的知识点是正数和负数，判断一个数是正数还是负数，要把它化简成最后形式再判断．
11、下列算式中，运算结果为负数的是（ ）
A、﹣（﹣3） B、|﹣3|
C、﹣32 D、（﹣3）2
考点：正数和负数；相反数；绝对值；有理数的乘方。
专题：计算题。
分析：本题涉及相反数、绝对值、乘方等知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算．
解答：解：A、﹣（﹣3）=3，
B|、﹣3|=3，
C、﹣32=﹣9，
D、（﹣3）2=9，
故选：C．
点评：此题考查了相反数、绝对值、乘方等知识点．注意﹣32和（﹣3）2的区别．
12、在﹣22，﹣（﹣3），（﹣2）×3，|﹣2|﹣3中，正数共有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：正数和负数；有理数的乘方。
专题：计算题。
分析：此题先化简计算，然后根据正负数的意义确定正数共有几个．
解答：解：﹣22=﹣4，﹣（﹣3）=3，（﹣2）×3=﹣6，|﹣2|﹣3=2﹣3=﹣1，
其中，3是正数．
故选：A．
点评：此题考查的知识点是正数与负数，其关键是先化简计算，然后根据正负数的意义确定正数共有几个．
13、下列说法中正确的是（ ）
A、﹣a一定是负数 B、|a|一定是负数
C、|﹣a|一定不是负数 D、﹣a2一定是负数
14、在数﹣32、﹣|﹣2.5|、、﹣（﹣3）2、（﹣3）2、（﹣3）3中，负数的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：正数和负数；绝对值；有理数的乘方。
专题：计算题。
分析：先根据乘方、绝对值、相反数的概念对各数进行化简，结合正负数的概念进行判断即可．
解答：解：因为：﹣32=﹣9，﹣|﹣2.5|=﹣2.5，﹣（﹣2）=2，﹣（﹣3）2=﹣9，（﹣3）2=9，（﹣3）3=﹣27，
所以负数的个数是4个，21世纪教育网版权所有
故选：D．
点评：此题考查的知识点是正数和负数，关键是理解负数的概念，而且要把这些数化为最后结果才能得出正确答案．这就又要理解平方、立方、绝对值，正负号的变化等知识点．
15、下列各数中，负数是（ ）
A、﹣（﹣5） B、﹣|﹣5|
C、（﹣5）2 D、﹣（﹣5）3
考点：正数和负数；相反数；绝对值；有理数的乘方。
专题：常规题型。
分析：明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
解答：解：A、﹣（﹣5）=5，是正数，故本选项错误；
B、﹣|﹣5|=﹣5，是负数，故本选项正确；
C、（﹣5）2=25，是正数，故本选项错误；
D、﹣（﹣5）3=125，是正数，故本选项错误．
故选B．
点评：本题主要考查了正负数的判断，对各选项化简是解题的关键，是基础题．
16、在﹣（﹣2），﹣|﹣2|，（﹣2）2，﹣22这4个数中，属于负数的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：正数和负数；相反数；绝对值；有理数的乘方。
专题：计算题。
分析：根据小于0的数是负数，把题中各数据化简后即可判断．
解答：解：﹣（﹣2）=2，
﹣|﹣2|=﹣2，
（﹣2）2=4，
﹣22=﹣4，
∴是负数的有﹣|﹣2|，﹣22共2个．
故选B．
点评：本题主要考查了负数的定义，把各数正确进行计算化简是解题的关键．
17、在+（﹣5），﹣（﹣3.14），﹣32，﹣|﹣0.3|，﹣（﹣2）3中，正数的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
18、下列各数中：，0，﹣（﹣1.5），﹣|﹣5|，2，﹣24，﹣（﹣2）3，正整数有几个？（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
考点：正数和负数；有理数的乘方。
分析：正整数是指大于0的整数，由此可得出答案．
解答：解：指大于0的整数有：﹣|﹣5|，2，﹣（﹣2）3，共三个．
故选D．
点评：本题考查正数的知识，属于基础题，注意概念的掌握．
19、若a为任何有理数，下列叙述中，正确的是（ ）
A、﹣a是负数 B、a2＞0
C、a2≥0 D、＜a
考点：有理数；有理数的乘方。
分析：A、C、D选项若成立，则a必须满足适当的取值范围，而a为任何有理数，故正确的选项应该是C．
解答：解：A、当a≤0时，﹣a不是负数，故A错误；
B、当a=0时，a2＞0不成立，故B错误；
C、由于正、负数的平方大于0，0的平方等于0，所以任何有理数的平方都是非负数，故C正确；
D、当a≤0时，原式不成立，故D错误．
故选C．
点评：认真掌握正数、负数、非负数的定义与特点．
20、下面四个命题中，正确的是（ ）
A、一切有理数的倒数还是有理数 B、一切正有理数的相反数必是负有理数
C、一切有理数的绝对值必是正有理数 D、一切有理数的平方是正有理数
考点：有理数；正数和负数；有理数的乘方。
专题：常规题型。
分析：根据有理数的倒数、相反数、绝对值、平方的有关概念选择．
解答：解：根据有理数的相反数的定义可得一切正有理数的相反数必是负有理数．
故选B．
点评：本题主要考查学生对有理数的倒数、相反数、绝对值、平方的有关概念的理解和掌握，解答此题的关键是对有关概念的灵活掌握和应用．
二、填空题（共5小题）
21、初一“数学晚会”上，有10个同学藏在10个大盾牌后面．男同学的盾牌前面写的是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这10个盾牌如下所示．，则盾牌后面的同学中有女同学 4 人；男同学 6 人．
是负数，
|﹣8|是正数，
﹣|﹣2|是负数，
是负数，
4×（﹣2）是负数，
5×|﹣1|为正数，
∵有六个正数，四个负数，
∴有六个男同学，四个女同学．
故答案为：4，6．
点评：本题是简单的正负数的确认，是基础题．
22、下列各数是负数的有 5 个．﹣，0，﹣（﹣2），+2，3，﹣0.01，﹣，﹣（+2）
考点：正数和负数；有理数的乘方。
专题：计算题。
分析：根据相反数的意义及乘方的运算法则，对其中的数进行计算，再根据负数的定义求解．
解答：解：﹣（﹣2）=2，﹣（﹣3）2=﹣9，是负数，﹣（+2）=﹣2，
所以负数有：﹣，﹣0.01，﹣（﹣3）2，，﹣（+2），共5个．
故答案为：5．
点评：此题考查的知识点是正数和负数及有理数的乘方，关键是先对其中的数根据相反数的意义及乘方的运算法则进行计算再确定答案．
23、在有理数﹣3，0，20，﹣1.25，1，﹣（﹣2），（﹣4）2中，正数有 4 个．
考点：正数和负数；有理数的乘方。
专题：应用题。
分析：根据正数和负数的定义即可作出判断．
解答：解：有理数﹣3，0，20，﹣1.25，1，﹣（﹣2），（﹣4）2中，
正数有：20，1，﹣（﹣2），（﹣4）2．
故答案为：4．
点评：本题考查了正数和负数的知识，属于基础题，难度不大．
24、下列数中：1、﹣2、1、0、﹣0.2、（﹣）2、|﹣2|，负数有 2 个．
25、下列各数0.01，10，﹣6.67，，0，﹣（﹣3），|﹣2|，﹣22，属于非负整数的共有 4 个．
考点：正数和负数；绝对值；有理数的乘方。
专题：计算题。
分析：整数包括0，正整数、负整数，显然非负整数指的就是0和正整数．
解答：解：根据非负整数指的就是0和正整数．
又因为﹣（﹣3）=3，|﹣2|=2，﹣22=﹣4
所以0.01，10，﹣6.67，，0，﹣（﹣3），|﹣2|，﹣22中属于非负整数的有10，0，﹣（﹣3），|﹣2|
故答案为4个．
点评：本题主要考查同学们对整数、正整数、负整数、零、非负整数、非正整数、有理数的乘方等的理解．希望同学们一定要掌握清楚．
三、解答题（共5小题）21*cnjy*com
26、阅读材料，解决问题：由31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，
不难发现3的正整数幂的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环出现，由此可以得到：
因为3100=34×25，所以3100的个位数字与34的个位数字相同，应为1；
因为32009=34×502+1，所以32009的个位数字与31的个位数字相同，应为3．
（1）请你仿照材料，分析求出299的个位数字及999的个位数字；
（2）请探索出22010+32010+92010的个位数字；
（3）请直接写出92010﹣22010﹣32010的个位数字．
考点：尾数特征；有理数的乘方。
专题：规律型。
分析：（1）此题不难发现：2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以99÷4=24…3，则299的个位数字是8；9n的个位数字是9，1两个一循环，所以99÷2=49…1，则999的个位数字是9．
（2）分别找出22010和32010和92010的个位数字，然后个位数字相加所得个位数字就是22010+32010+92010的个位数字．
（3）分别找出92010和22010和32010的个位数字，然后个位数字相减所得个位数字就是92010﹣22010﹣32010的个位数字，注意不够借位再减．
解答：解：（1）由21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，
不难发现2的正整数幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期循环出现，由此可以得到：
因为299=24×24+3，所以299的个位数字与23的个位数字相同，应为8．
不难发现9的正整数幂的个位数字以9、1为一个周期循环出现，由此可以得到：
因为999=92×49+1，所以999的个位数字与91的个位数字相同，应为9．
（2）因为22010=24×502+2，所以22010的个位数字与22的个位数字相同，应为4；
因为32010=34×502+2，所以32010的个位数字与32的个位数字相同，应为9；
因为92010=92×1005，所以92009的个位数字与92的个位数字相同，应为1．
∴4+9+1=14．
∴22010+32010+92010的个位数字为4；
（3）92010﹣22010﹣32010的个位数字为21﹣4﹣9=﹣8．
点评：此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算．
27、请你帮助下面的数找到自己的家：
考点：有理数；有理数的乘方。
分析：按照有理数的分类填写：有理数．
注意负有理数是指小于0的有理数．
解答：解：负有理数集合：{﹣|﹣2|，﹣1.04，﹣（﹣2）2，﹣…}；
整数集合：{+8，﹣|﹣2|，﹣（﹣10），﹣（﹣2）2…}；
正分数集合：{0.275，，+…}．
点评：认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．
注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
28、把下列各数填在相应的大括号里（填序号）．
①﹣8，②0.275，③，④0，⑤﹣1.04，⑥﹣（﹣10），⑦，⑧﹣（﹣2）2，
正数集合{ ②③⑥ }；
负整数集合{ ①⑧ }；
整数集合{ ①④⑥⑧ }；21世纪教育网
负分数集合{ ⑤⑦ }．21世纪教育网版权所有
考点：有理数；有理数的乘方。
分析：先化简，再按照有理数的分类填写：有理数．
注意正数是大于0的数．
解答：解：正数集合{②③⑥}；
负整数集合{①⑧}；
整数集合{①④⑥⑧}；
负分数集合{⑤⑦}．
点评：本题考查了有理数的分类．认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．
29、﹣（﹣3）2，+，0.275，2，0，﹣1.04，，﹣8，﹣100，﹣，﹣32+（﹣3）2
负整数集合：{ …}，
正分数集合：{ …}，
负分数集合：{ …}．
考点：有理数；有理数的乘方。
分析：按照有理数的分类填写：
有理数．
解答：解：负整数集合：{﹣（﹣3）2，﹣8，﹣100…}；
正分数集合：{+，0.275，…}；
负分数集合：{﹣1.04，…}
点评：认真掌握有理数的分类；注意整数、0、正数之间的区别：0是整数但不是正数．
30、把下列各数分别填入它所属于的集合的括号内．
9，，+4.3，|﹣0.5|，﹣（+7），18%，（13）4，﹣（﹣2）5，﹣62，0．
正分数集合{ +4.3，|0.5|，18% }
负分数集合{ ﹣ }
负整数集合{ ﹣（+7），﹣62 }
非负整数集合{ 9，（﹣3）4，（﹣2）5，0 }．
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