初中数学浙教版八年级下册第一章 二次根式 单元测试
一、单选题
1．（2020八下·大化期末）下列各式中是二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A. 符合定义条件，故正确；B. ，没有强调a≥0故错；C. 根指数是3，不是二次根式；D. 中，-3<0，故错.
故正确选项是A.
【分析】定义：一般地，形如 （a≥0）的代数式叫做二次根式. 根据定义可以进行逐个判断.
2．（2020八上·金牛期末）在关于 的函数， 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得： ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的定义列出不等式求解即可。
3．（2020八上·杨浦期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A． ，故此选项不符合题意；
B． ，故此选项不符合题意；
C． 是最简二次根式，故此选项符合题意；
D． = ，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据最简二次根式的性质，计算得到答案即可。
4．（2020八上·松江期中）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，与 不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
B、 是最简二次根式，与 不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
C、 ，与 是同类二次根式，故该选项符合题意；
D、 ，与 不是同类二次根式，故该选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据同类二次根式的含义，分别进行判断得到答案即可。
5．（2020八上·松江期中）若等式 ，成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵等式 成立，
∴a≥0．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质，求出a的取值范围即可。
6．（2020八上·上海期中）在下列各式中，二次根式 的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵ ，
∴二次根式 的有理化因式是： .
故答案为：C.
【分析】根据题意，将二次根式有理化，即去掉根号，即可得到答案。
7．（2020八上·青山期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A. ，故本选项不符合题意；
B. ，故本选项不符合题意；
C. ，故本选项符合题意；
D. ，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】分别根据二次根式的性质进行化简与计算即可得出答案
8．（2020八上·北京期中）设 ，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
故 ，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的值，判断得到答案即可。
9．已知x为实数，化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】由原式成立，所以x<0，所以原式= + = ，故选C．
【分析】根据二次根式成立的条件，正确判断字母的正负性，从而判断每一项的正负性，最后进行二次根式的加减法计算．
10．等式 成立的条件是( ).
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的乘除法
【解析】解答：由二次根式的概念可知，被开方数非负，于是 ，解得 x≥1 .
故答案为：A
分析：根据题意列出关于x的不等式组，并正确求解即可求出正确答案
二、填空题
11．写出两个 的同类二次根式:
【答案】，(答案不唯一）
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：开放性的命题，答案不唯一：与 是同类二次根式的有，等.
故答案为：，.
【分析】将各个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数完全相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式，根据定义即可写出答案.
12．（2020八下·温州月考）若 是整数，则最小正整数n的值为 。
【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=,
∴最小的正整数n=5.
故答案为：5.
【分析】根据二次根式的性质进行解答即可.
13．已知 , = .
【答案】1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵ ,
∴
解之：
∴x=2
∴y=-3
∴（x+y）4=（-3+2）4=1.
故答案为：1.
【分析】利用二次根式的非负性，建立关于x的不等式组，解不等式组求出x的值，再将x的值代入代数式计算。
14．三角形的三边长分别为 cm, cm, cm,则这个三角形的周长为 cm.
【答案】
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：由题意得
.
故答案为：.
【分析】将三角形的三边相加，再将各二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。
15．当 <0时, = .
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵x＜0,
∴.
故答案为：
【分析】利用二次根式的性质：,进行化简即可。
16．已知1 且 为偶数,则 的值为 .
【答案】8
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵
∴
解之：9≤x＜6，
∵x为偶数，
∴x=8.
故答案为：8.
【分析】利用商的算术平方根的法则：，建立关于x的不等式组，求出不等式组的解集，再根据x为偶数可得到x的值。
三、综合题
17．（2020八上·高台月考）化简、计算：
（1） .
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的性质“，”和二次根式的加减法法则计算即可求解.
18．化简：4x2
【答案】解：4x2
=4x2÷12×3
=x2
=xy．
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．
19．（2017八下·椒江期末）已知 ，求 的值.
【答案】解：由二次根式有意义的条件可得
，解得 ，则x= .
当x= 时，y=3.
= .
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】在y与x的关系中，由二次根式有意义的条件可解出x的值，从而得到y的值.先对 进行代简，再代入求值.
20．（2020八上·上海期中）化简
【答案】解：设原式=x，
则x2=
=
=
=
=8+2（ ）
=6-
=（ ）2
根据二次根式的性质可得x= ，
即原式= ．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【分析】根据二次根式的性质将二次根式化简即可。
21．已知A=2，B=，C=其中A，B都是最简二次根式，且A+B=C，分别求出a和x的值．
【答案】解：∵A=2，B=，A，B都是最简二次根式，C=，A+B=C，
∴a+3=3a﹣1，
解得：a=2，
∴A=2，B=，
∴A+B=3，
∵A+B=C，
∴=3
∴20（x+1）=180，
∴x=8．
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】根据最简二次根式的定义得出关于a的方程，求出a的值，求出A和B，得出=3，求出方程的解即可．
22．（2020八下·衢州期中）有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm 和32dm 的正方形木板。
（1）求剩余木料的面积。
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 块这样的木条。
【答案】（1）解：∵两个正方形的面积分别为18dm 和32dm ，
∴这两个正方形的边长分别为3 dm和4 dm，
∴剩余木料的面积为(4 -3 )×3 =6(dm).
（2）2
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：（2）4<3 <4.5，1< <2，
∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条
【分析】（1）利用正方形的面积等于边长的平方，可求出两个正方形的边长，然后求出剩余木材的面积。
（2）分别求出和3的范围，就可得出答案。
23．（2020八上·青山期中）我们将 、 称为一对“对偶式”，因为 ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将 和 中的“ ”去掉.于是二次根式除法可以这样解：如 ， ．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）比较大小 （用“ ”、“ ”或“ ”填空）；
（2）已知 ， ，求 的值；
（3）计算：
【答案】（1）>
（2）解：∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝（ ）2﹣2
＝182﹣2
＝324﹣2
＝322
答：x2+y2的值为322．
（3）解：
＝ ＝1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
＝1﹣
＝
【知识点】无理数的估值；分母有理化
【解析】【解答】解：（1）∵ ＝
；
比较 与
∵ ＞ ，2＞ ，
∴ +2＞ + ，
∴ 〉 ．
【分析】（1）先利用分母有理化的方法化简，再比较分子即可；（2）利用x2+y2＝（x+y）2﹣2xy变形计算较为简单；（3）先把各个式子进行分母有理化，再裂项相消即可．
24．观察下列各式及其验算过程：
=2 ，验证： = = =2 ；
=3 ，验证： = = =3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
【答案】（1）解：∵ =2 ， =3 ，
∴ =4 =4 = ，
验证： = = ，正确
（2）解：由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，
∴ = ，
验证： = = ；正确
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）观察所给的几个式子的特点可得出结论，再利用二次根式的性质化简来验证；
（2）由（1）可得规律；再利用分式的加减运算和二次根式的性质化简可验证.
1 / 1初中数学浙教版八年级下册第一章 二次根式 单元测试
一、单选题
1．（2020八下·大化期末）下列各式中是二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020八上·金牛期末）在关于 的函数， 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020八上·杨浦期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020八上·松江期中）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020八上·松江期中）若等式 ，成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020八上·上海期中）在下列各式中，二次根式 的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020八上·青山期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020八上·北京期中）设 ，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
9．已知x为实数，化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
10．等式 成立的条件是( ).
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
二、填空题
11．写出两个 的同类二次根式:
12．（2020八下·温州月考）若 是整数，则最小正整数n的值为 。
13．已知 , = .
14．三角形的三边长分别为 cm, cm, cm,则这个三角形的周长为 cm.
15．当 <0时, = .
16．已知1 且 为偶数,则 的值为 .
三、综合题
17．（2020八上·高台月考）化简、计算：
（1） .
（2）
18．化简：4x2
19．（2017八下·椒江期末）已知 ，求 的值.
20．（2020八上·上海期中）化简
21．已知A=2，B=，C=其中A，B都是最简二次根式，且A+B=C，分别求出a和x的值．
22．（2020八下·衢州期中）有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm 和32dm 的正方形木板。
（1）求剩余木料的面积。
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 块这样的木条。
23．（2020八上·青山期中）我们将 、 称为一对“对偶式”，因为 ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将 和 中的“ ”去掉.于是二次根式除法可以这样解：如 ， ．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）比较大小 （用“ ”、“ ”或“ ”填空）；
（2）已知 ， ，求 的值；
（3）计算：
24．观察下列各式及其验算过程：
=2 ，验证： = = =2 ；
=3 ，验证： = = =3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A. 符合定义条件，故正确；B. ，没有强调a≥0故错；C. 根指数是3，不是二次根式；D. 中，-3<0，故错.
故正确选项是A.
【分析】定义：一般地，形如 （a≥0）的代数式叫做二次根式. 根据定义可以进行逐个判断.
2．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得： ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的定义列出不等式求解即可。
3．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A． ，故此选项不符合题意；
B． ，故此选项不符合题意；
C． 是最简二次根式，故此选项符合题意；
D． = ，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据最简二次根式的性质，计算得到答案即可。
4．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，与 不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
B、 是最简二次根式，与 不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
C、 ，与 是同类二次根式，故该选项符合题意；
D、 ，与 不是同类二次根式，故该选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据同类二次根式的含义，分别进行判断得到答案即可。
5．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵等式 成立，
∴a≥0．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质，求出a的取值范围即可。
6．【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵ ，
∴二次根式 的有理化因式是： .
故答案为：C.
【分析】根据题意，将二次根式有理化，即去掉根号，即可得到答案。
7．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A. ，故本选项不符合题意；
B. ，故本选项不符合题意；
C. ，故本选项符合题意；
D. ，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】分别根据二次根式的性质进行化简与计算即可得出答案
8．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
故 ，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的值，判断得到答案即可。
9．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】由原式成立，所以x<0，所以原式= + = ，故选C．
【分析】根据二次根式成立的条件，正确判断字母的正负性，从而判断每一项的正负性，最后进行二次根式的加减法计算．
10．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的乘除法
【解析】解答：由二次根式的概念可知，被开方数非负，于是 ，解得 x≥1 .
故答案为：A
分析：根据题意列出关于x的不等式组，并正确求解即可求出正确答案
11．【答案】，(答案不唯一）
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：开放性的命题，答案不唯一：与 是同类二次根式的有，等.
故答案为：，.
【分析】将各个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数完全相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式，根据定义即可写出答案.
12．【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=,
∴最小的正整数n=5.
故答案为：5.
【分析】根据二次根式的性质进行解答即可.
13．【答案】1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵ ,
∴
解之：
∴x=2
∴y=-3
∴（x+y）4=（-3+2）4=1.
故答案为：1.
【分析】利用二次根式的非负性，建立关于x的不等式组，解不等式组求出x的值，再将x的值代入代数式计算。
14．【答案】
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：由题意得
.
故答案为：.
【分析】将三角形的三边相加，再将各二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。
15．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵x＜0,
∴.
故答案为：
【分析】利用二次根式的性质：,进行化简即可。
16．【答案】8
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵
∴
解之：9≤x＜6，
∵x为偶数，
∴x=8.
故答案为：8.
【分析】利用商的算术平方根的法则：，建立关于x的不等式组，求出不等式组的解集，再根据x为偶数可得到x的值。
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的性质“，”和二次根式的加减法法则计算即可求解.
18．【答案】解：4x2
=4x2÷12×3
=x2
=xy．
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．
19．【答案】解：由二次根式有意义的条件可得
，解得 ，则x= .
当x= 时，y=3.
= .
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】在y与x的关系中，由二次根式有意义的条件可解出x的值，从而得到y的值.先对 进行代简，再代入求值.
20．【答案】解：设原式=x，
则x2=
=
=
=
=8+2（ ）
=6-
=（ ）2
根据二次根式的性质可得x= ，
即原式= ．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【分析】根据二次根式的性质将二次根式化简即可。
21．【答案】解：∵A=2，B=，A，B都是最简二次根式，C=，A+B=C，
∴a+3=3a﹣1，
解得：a=2，
∴A=2，B=，
∴A+B=3，
∵A+B=C，
∴=3
∴20（x+1）=180，
∴x=8．
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】根据最简二次根式的定义得出关于a的方程，求出a的值，求出A和B，得出=3，求出方程的解即可．
22．【答案】（1）解：∵两个正方形的面积分别为18dm 和32dm ，
∴这两个正方形的边长分别为3 dm和4 dm，
∴剩余木料的面积为(4 -3 )×3 =6(dm).
（2）2
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：（2）4<3 <4.5，1< <2，
∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条
【分析】（1）利用正方形的面积等于边长的平方，可求出两个正方形的边长，然后求出剩余木材的面积。
（2）分别求出和3的范围，就可得出答案。
23．【答案】（1）>
（2）解：∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝（ ）2﹣2
＝182﹣2
＝324﹣2
＝322
答：x2+y2的值为322．
（3）解：
＝ ＝1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
＝1﹣
＝
【知识点】无理数的估值；分母有理化
【解析】【解答】解：（1）∵ ＝
；
比较 与
∵ ＞ ，2＞ ，
∴ +2＞ + ，
∴ 〉 ．
【分析】（1）先利用分母有理化的方法化简，再比较分子即可；（2）利用x2+y2＝（x+y）2﹣2xy变形计算较为简单；（3）先把各个式子进行分母有理化，再裂项相消即可．
24．【答案】（1）解：∵ =2 ， =3 ，
∴ =4 =4 = ，
验证： = = ，正确
（2）解：由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，
∴ = ，
验证： = = ；正确
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）观察所给的几个式子的特点可得出结论，再利用二次根式的性质化简来验证；
（2）由（1）可得规律；再利用分式的加减运算和二次根式的性质化简可验证.
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