浙教版八年级下册第1章 1.3二次根式的运算 同步练习
一、单选题
1．（2015八下·绍兴期中）下列计算正确的是（ ）
A． × = B． =3
C．（ ）（ ）=﹣2 D． × =
2．（内蒙古乌海市第四中学2016-2017学年八年级下学期数学期末考试试卷）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2015八下·六合期中）先化简再求值：当a=9时，求a+ 的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式= ；
乙的解答为：原式= ．在两人的解法中（ ）
A．甲正确 B．乙正确 C．都不正确 D．无法确定
4．（2017八上·高邑期末）下列说法中正确的是（ ）
A．9的平方根为3 B． 化简后的结果是
C． 最简二次根式 D．﹣27没有立方根
5．（2016-2017学年河北省石家庄市高邑县八年级（上）期末数学试卷）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2017八上·高邑期末）化简 × 结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（2018八上·栾城期末）已知等腰三角形的两条边长为1和，则这个三角形的周长为（ ）
A．2+ B．1+2 C．2+2或1+2 D．1+
8．（2017八上·滕州期末）下列说法中正确的是（ ）
A． 化简后的结果是 B．9的平方根为3
C． 是最简二次根式 D．﹣27没有立方根
9．（2016八下·高安期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2016八下·和平期中）把 化成最简二次根式为（ ）
A． B． C． D．
11．（2016八下·和平期中）计算： + =（ ）
A．8 B． C．8a D．15
12．（2016八下·周口期中）下列各式与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2015八下·杭州期中）已知 ，那么 的值等于 ．
14．（2015八下·江东期中）已知一个无理数与 +1的积为有理数，这个无理数为 ．
15．（2015八下·杭州期中）化简计算： = ， = ．
16．（2017八上·雅安期末）已知y= ﹣ +4，则 = ．
17．（2016八下·广州期中）已知 ﹣ = ，那么 + 的值是
18．（2016八下·潮南期中）如果最简二次根式 与 的被开方数相同，则a=
19．（2016八下·周口期中）当m= 时，代数式m2+2m﹣2的值是 ．
三、解答题
20．（2016八下·红安期中）若a=1﹣ ，先化简再求 的值．
21．（2016八下·枝江期中）如图，已知矩形纸板面积为8a，两邻边之比为3：4，现欲在每个角处裁下一个面积为a的正方形后，制成一个无盖的纸箱．求制成的纸箱的侧面积．
22．阅读下面问题：
；
；
．
试求：（1）的值；
（2）（n为正整数）的值．
（3）计算：．
四、综合题
23．（2015八下·洞头期中）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，请在所给网格中按下列要求画出图形．
（1）（i）已知点A在格点（即小正方形的顶点）上，画一条线段AB，长度为 ，且点B在格点上．
（ii）以上题所画的线段AB为一边，另外两条边长分别为 ， ．画一个△ABC，使点C在格点上（只需画出符合条件的一个三角形）．
（2）所画出的△ABC的边AB上的高线长为 ．（直接写出答案）
24．（2015八下·金平期中）阅读下面材料，回答问题：
（1）在化简 的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下： = = = ﹣
小李的化简如下： = = = ﹣
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
（2）请你利用上面所学的方法化简 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、 与 没有意义，所以A选项错误；
B、 与 不能合并，所以B选项错误；
C、原式=3﹣5=﹣2，所以C选项正确；
D、 没有意义，所以D选项错误．
故选C．
【分析】根据二次根式有意义的条件对A、D进行判断；根据二次根式的加减法B进行判断；利用平方差公式对C进行判断．
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、=3，故A错误；
B、是最简二次根式，故B正确；
C、=2，不是最简二次根式，故C错误；
D、= ，不是最简二次根式，故D错误；
故选：B．
【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
3．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵a+ = ，
∴乙计算正确．
故选B．
【分析】由于二次根式的结果为非负数，甲计算中的根号的结果错误，乙计算的正确．
4．【答案】B
【知识点】平方根；立方根及开立方；最简二次根式；分母有理化
【解析】【解答】解：A、9的平方根是±3，所以选项A不正确；
B、 = = ，所以选项B正确；
C、 =2 ，所以 不是最简二次根式，选项C不正确；
D、﹣27的立方根是﹣3，所以选项D不正确．
故选B．
【分析】根据平方根和立方根的定义作判断．
5．【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 =3 ，与 不是同类二次根式，故此选项错误；
B、 = ，与 ，是同类二次根式，故此选项正确；
C、 =2 ，与 不是同类二次根式，故此选项错误；
D、 = = ，与 不是同类二次根式，故此选项错误；
故选：B．
【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．
6．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： × = = ．
故选：A．
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
7．【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：1是腰时，三角形的三边分别为1、1、，
∵1+1=2＜，
∴此时不能组成三角形；
1是底边时，三角形的三边分别为1、、，
能够组成三角形，
周长为1++=1+2，
综上所述，这个三角形的周长为1+2．
故选B．
【分析】分1是腰长和底边长两种情况讨论求解．
8．【答案】A
【知识点】平方根；立方根及开立方；最简二次根式；分母有理化
【解析】【解答】解：A、 = ，故正确．
B、9的平方根为±3，故错误．
C、 =2 ， 不是最简二次根式，故错误．
D、﹣27的立方根为﹣3，故错误．
故选A．
【分析】根据平方根、立方根的定义、最简二次根式的定义、二次根式的化简法则一一判断即可．
9．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
10．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： = = = ．
故选：B．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
11．【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式=3 +5
=8 ．
故选A．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
12．【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 为最简二次根式，与 不是同类二次根式；、
B、 =2 ， 与 不是同类二次根式；
C、 是最简二次根式，与 不是同类二次根式；
D、 =2B ， 与 是同类二次根式．
故选D．
【分析】先化简各二次根式，然后找出化简后被开方数为3的二次根式即可．
13．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：由 ，两边分别平方得：x+ =2，
原式= ﹣ = ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
【分析】通过平方或分式的性质，把已知条件和待求式的被开方数都用 的代数式表示，然后再进行计算．
14．【答案】 ﹣1
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵（ ﹣1）×（ +1）=2﹣1=1，
∴这个无理数是 ﹣1；
故答案为： ﹣1．
【分析】根据平方差公式得出这个无理数是 ﹣1，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
15．【答案】2； ﹣1
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【解答】解： = =2， = = ﹣1，
故答案为：2， ﹣1．
【分析】根据二次根式的性质，可得答案；
根据平方差公式，可分母有理化．
16．【答案】2
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：根据题意得x﹣1=0，
解得x=1，
则y=4．
则原式= =2．
故答案是：2．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求得x的值，进而求得y的值，从而求得所求式子的值．
17．【答案】2017
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ ﹣ = ，
∴
= ，
∴x+2016﹣x﹣2015= ，
∴1= ，
解得， =2017，
故答案为：2017．
【分析】根据题意和平方差公式可以解答本题．
18．【答案】5
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式 与 的被开方数相同，
∴3a﹣8=7，解得a=5．
故答案为：5．
【分析】根据同类二次根式的定义列出关于a的方程，求出a的值即可．
19．【答案】0
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵m= ，
∴m+1= ，
∴（m+1）2=3，
即m2+2m+1=3，
∴m2+2m=2，
∴m2+2m﹣2=2﹣2=0．
故答案为0．
【分析】由m= 得到m+1= ，两边平方得到m2+2m=2，然后利用整体代入的方法计算．
20．【答案】解：
= + ．
∵a=1﹣ ＜1，
∴原式= + = ．
把a=1﹣ 代入得：
= = =（1+ ）2=3+2
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】根据a=1﹣ ＜1，先把 化成最简二次根式，然后代入a的值即可得出答案．
21．【答案】解：设矩形的长宽分别为4k，3k．
由题意12k2=8a，
∴k= ，
∴矩形的长为 ，宽为 ，
∴纸箱的侧面积=2（ + ﹣2 ） =
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】设矩形的长宽分别为4k，3k．根据已知条件先求出矩形的长宽，再根据侧面积公式计算即可．
22．【答案】解：（1）=
=
=﹣；
（2）=
=
=﹣；
（3）原式=﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣
=﹣1=10﹣1=9．
【知识点】分母有理化
【解析】【分析】（1）（2）仿照题目所给的分母有理化的方法进行计算；
（3）将每一个二次根式分母有理化，再寻找抵消规律．
23．【答案】（1）解：（i）如图所示：B点即为所求
（ii）如图所示：△ABC，即为所求
（2）
【知识点】二次根式的应用；勾股定理
【解析】【解答】解：（2）设AB上的高线长为x，根据题意可得：
x AB=9﹣ ×3×2﹣ ×1×2﹣ ×1×3=3.5，
故 x=7，
解得：x= ．
故答案为： ．
【分析】（1）（i）直接利用勾股定理得出符合题意的答案；（ii）直接利用勾股定理得出符合题意的三角形；（2）利用三角形面积求法得出△ABC的边AB上的高线长．
24．【答案】（1）解：小李化简正确，小张的化简结果错误．
因为 =| ﹣ |= ﹣
（2）解：原式= = = ﹣1
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质对他们的化简结果进行判断；（2）利用完全平方公式把原式变形为 ，然后根据二次根式的性质化简即可．
1 / 1浙教版八年级下册第1章 1.3二次根式的运算 同步练习
一、单选题
1．（2015八下·绍兴期中）下列计算正确的是（ ）
A． × = B． =3
C．（ ）（ ）=﹣2 D． × =
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、 与 没有意义，所以A选项错误；
B、 与 不能合并，所以B选项错误；
C、原式=3﹣5=﹣2，所以C选项正确；
D、 没有意义，所以D选项错误．
故选C．
【分析】根据二次根式有意义的条件对A、D进行判断；根据二次根式的加减法B进行判断；利用平方差公式对C进行判断．
2．（内蒙古乌海市第四中学2016-2017学年八年级下学期数学期末考试试卷）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、=3，故A错误；
B、是最简二次根式，故B正确；
C、=2，不是最简二次根式，故C错误；
D、= ，不是最简二次根式，故D错误；
故选：B．
【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
3．（2015八下·六合期中）先化简再求值：当a=9时，求a+ 的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式= ；
乙的解答为：原式= ．在两人的解法中（ ）
A．甲正确 B．乙正确 C．都不正确 D．无法确定
【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵a+ = ，
∴乙计算正确．
故选B．
【分析】由于二次根式的结果为非负数，甲计算中的根号的结果错误，乙计算的正确．
4．（2017八上·高邑期末）下列说法中正确的是（ ）
A．9的平方根为3 B． 化简后的结果是
C． 最简二次根式 D．﹣27没有立方根
【答案】B
【知识点】平方根；立方根及开立方；最简二次根式；分母有理化
【解析】【解答】解：A、9的平方根是±3，所以选项A不正确；
B、 = = ，所以选项B正确；
C、 =2 ，所以 不是最简二次根式，选项C不正确；
D、﹣27的立方根是﹣3，所以选项D不正确．
故选B．
【分析】根据平方根和立方根的定义作判断．
5．（2016-2017学年河北省石家庄市高邑县八年级（上）期末数学试卷）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 =3 ，与 不是同类二次根式，故此选项错误；
B、 = ，与 ，是同类二次根式，故此选项正确；
C、 =2 ，与 不是同类二次根式，故此选项错误；
D、 = = ，与 不是同类二次根式，故此选项错误；
故选：B．
【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．
6．（2017八上·高邑期末）化简 × 结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： × = = ．
故选：A．
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
7．（2018八上·栾城期末）已知等腰三角形的两条边长为1和，则这个三角形的周长为（ ）
A．2+ B．1+2 C．2+2或1+2 D．1+
【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：1是腰时，三角形的三边分别为1、1、，
∵1+1=2＜，
∴此时不能组成三角形；
1是底边时，三角形的三边分别为1、、，
能够组成三角形，
周长为1++=1+2，
综上所述，这个三角形的周长为1+2．
故选B．
【分析】分1是腰长和底边长两种情况讨论求解．
8．（2017八上·滕州期末）下列说法中正确的是（ ）
A． 化简后的结果是 B．9的平方根为3
C． 是最简二次根式 D．﹣27没有立方根
【答案】A
【知识点】平方根；立方根及开立方；最简二次根式；分母有理化
【解析】【解答】解：A、 = ，故正确．
B、9的平方根为±3，故错误．
C、 =2 ， 不是最简二次根式，故错误．
D、﹣27的立方根为﹣3，故错误．
故选A．
【分析】根据平方根、立方根的定义、最简二次根式的定义、二次根式的化简法则一一判断即可．
9．（2016八下·高安期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
10．（2016八下·和平期中）把 化成最简二次根式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： = = = ．
故选：B．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
11．（2016八下·和平期中）计算： + =（ ）
A．8 B． C．8a D．15
【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式=3 +5
=8 ．
故选A．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
12．（2016八下·周口期中）下列各式与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 为最简二次根式，与 不是同类二次根式；、
B、 =2 ， 与 不是同类二次根式；
C、 是最简二次根式，与 不是同类二次根式；
D、 =2B ， 与 是同类二次根式．
故选D．
【分析】先化简各二次根式，然后找出化简后被开方数为3的二次根式即可．
二、填空题
13．（2015八下·杭州期中）已知 ，那么 的值等于 ．
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：由 ，两边分别平方得：x+ =2，
原式= ﹣ = ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
【分析】通过平方或分式的性质，把已知条件和待求式的被开方数都用 的代数式表示，然后再进行计算．
14．（2015八下·江东期中）已知一个无理数与 +1的积为有理数，这个无理数为 ．
【答案】 ﹣1
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵（ ﹣1）×（ +1）=2﹣1=1，
∴这个无理数是 ﹣1；
故答案为： ﹣1．
【分析】根据平方差公式得出这个无理数是 ﹣1，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
15．（2015八下·杭州期中）化简计算： = ， = ．
【答案】2； ﹣1
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【解答】解： = =2， = = ﹣1，
故答案为：2， ﹣1．
【分析】根据二次根式的性质，可得答案；
根据平方差公式，可分母有理化．
16．（2017八上·雅安期末）已知y= ﹣ +4，则 = ．
【答案】2
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：根据题意得x﹣1=0，
解得x=1，
则y=4．
则原式= =2．
故答案是：2．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求得x的值，进而求得y的值，从而求得所求式子的值．
17．（2016八下·广州期中）已知 ﹣ = ，那么 + 的值是
【答案】2017
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ ﹣ = ，
∴
= ，
∴x+2016﹣x﹣2015= ，
∴1= ，
解得， =2017，
故答案为：2017．
【分析】根据题意和平方差公式可以解答本题．
18．（2016八下·潮南期中）如果最简二次根式 与 的被开方数相同，则a=
【答案】5
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式 与 的被开方数相同，
∴3a﹣8=7，解得a=5．
故答案为：5．
【分析】根据同类二次根式的定义列出关于a的方程，求出a的值即可．
19．（2016八下·周口期中）当m= 时，代数式m2+2m﹣2的值是 ．
【答案】0
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵m= ，
∴m+1= ，
∴（m+1）2=3，
即m2+2m+1=3，
∴m2+2m=2，
∴m2+2m﹣2=2﹣2=0．
故答案为0．
【分析】由m= 得到m+1= ，两边平方得到m2+2m=2，然后利用整体代入的方法计算．
三、解答题
20．（2016八下·红安期中）若a=1﹣ ，先化简再求 的值．
【答案】解：
= + ．
∵a=1﹣ ＜1，
∴原式= + = ．
把a=1﹣ 代入得：
= = =（1+ ）2=3+2
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】根据a=1﹣ ＜1，先把 化成最简二次根式，然后代入a的值即可得出答案．
21．（2016八下·枝江期中）如图，已知矩形纸板面积为8a，两邻边之比为3：4，现欲在每个角处裁下一个面积为a的正方形后，制成一个无盖的纸箱．求制成的纸箱的侧面积．
【答案】解：设矩形的长宽分别为4k，3k．
由题意12k2=8a，
∴k= ，
∴矩形的长为 ，宽为 ，
∴纸箱的侧面积=2（ + ﹣2 ） =
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】设矩形的长宽分别为4k，3k．根据已知条件先求出矩形的长宽，再根据侧面积公式计算即可．
22．阅读下面问题：
；
；
．
试求：（1）的值；
（2）（n为正整数）的值．
（3）计算：．
【答案】解：（1）=
=
=﹣；
（2）=
=
=﹣；
（3）原式=﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣
=﹣1=10﹣1=9．
【知识点】分母有理化
【解析】【分析】（1）（2）仿照题目所给的分母有理化的方法进行计算；
（3）将每一个二次根式分母有理化，再寻找抵消规律．
四、综合题
23．（2015八下·洞头期中）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，请在所给网格中按下列要求画出图形．
（1）（i）已知点A在格点（即小正方形的顶点）上，画一条线段AB，长度为 ，且点B在格点上．
（ii）以上题所画的线段AB为一边，另外两条边长分别为 ， ．画一个△ABC，使点C在格点上（只需画出符合条件的一个三角形）．
（2）所画出的△ABC的边AB上的高线长为 ．（直接写出答案）
【答案】（1）解：（i）如图所示：B点即为所求
（ii）如图所示：△ABC，即为所求
（2）
【知识点】二次根式的应用；勾股定理
【解析】【解答】解：（2）设AB上的高线长为x，根据题意可得：
x AB=9﹣ ×3×2﹣ ×1×2﹣ ×1×3=3.5，
故 x=7，
解得：x= ．
故答案为： ．
【分析】（1）（i）直接利用勾股定理得出符合题意的答案；（ii）直接利用勾股定理得出符合题意的三角形；（2）利用三角形面积求法得出△ABC的边AB上的高线长．
24．（2015八下·金平期中）阅读下面材料，回答问题：
（1）在化简 的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下： = = = ﹣
小李的化简如下： = = = ﹣
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
（2）请你利用上面所学的方法化简 ．
【答案】（1）解：小李化简正确，小张的化简结果错误．
因为 =| ﹣ |= ﹣
（2）解：原式= = = ﹣1
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质对他们的化简结果进行判断；（2）利用完全平方公式把原式变形为 ，然后根据二次根式的性质化简即可．
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