浙教版八年级下册第4章 4.4平行四边形的判定 同步练习
一、单选题
1．（2016八下·费县期中）下列条件中，能确定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等 B．一组对角相等
C．两条对角线相等 D．两条对角线互相平分
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定可知，只有D满足条件，故选D．
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据判定方法知D正确．
2．（2016八下·青海期末）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB=DC，AD=BC
C．AO=CO，BO=DO D．AB∥DC，AD=BC
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB∥DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；
故选D．
【分析】根据平行四边形判定定理进行判断．
3．（2016八下·石城期中）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（ ）
A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形
B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形
C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴A不正确；
∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴B正确；
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴C不正确；
∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，
∴D不正确；
故选：B．
【分析】由平行四边形的判定方法得出A不正确、B正确；由矩形和正方形的判定方法得出C、D不正确．
4．（2016八下·大石桥期中）能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（ ）
A．AD=BC，AB∥CD B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=BC，AD=DC D．AB∥CD，CD=AB
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定定理知，A、B、C均不符合是平行四边形的条件；
D、满足一组对边相等且平行的四边形是平行四边形．
故选D．
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
5．（2015八下·绍兴期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．24
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得
CE= = =5．
∵BE=DE=3，AE=CE=5，
∴四边形ABCD是平行四边形．
四边形ABCD的面积为BC BD=4×（3+3）=24，
故选：D．
【分析】根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
6．（2015八下·绍兴期中）下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AD=BC，AB=CD
C．AB∥CD，AD=BC D．∠A=∠C，∠B=∠D
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不合题意；
B、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不合题意；
C、不能判断这个四边形是平行四边形，符合题意；
D、根据平行四边形的判定定理：两对角相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形；
故选：C．
【分析】根据平行四边形的判断定理分别作出判断得出即可．
7．（2015八下·绍兴期中）若以A（﹣0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：
分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；
②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；
③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，
则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选：C．
【分析】令点A为（﹣0.5，4），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案．
8．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】
【解答】如图示，根据平行四边形的判定定理知，只有C符合条件．
故选C．
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据判定定理逐项判定即可．
9．（2015八下·六合期中）能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB∥CD，∠C=∠A D．AB=AD，CB=CD
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定可知：
A、若AB∥CD，AD=BC，则可以判定四边形是梯形，故A错误，
B、两组邻角相等也有可能是等腰梯形，故B错误．
C、可判定是平行四边形的条件，故C正确．
D、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故D错误．
故选C．
【分析】根据已知条件结合平行四边形的性质直接作出判断即可．
10．（2016八下·寿光期中）不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC B．AB=CD，AB∥CD
C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定：A、B、D可判定为平行四边形，而C不具备平行四边形的条件，
故选：C．
【分析】A、B、D，都能判定是平行四边形，只有C不能，因为等腰梯形也满足这样的条件，但不是平行四边形．
11．（2015八下·绍兴期中）在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D，G，K，Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、延长AC、BE交于S，
∵∠CAB=∠EDB=45°，
∴AS∥ED，则SC∥DE．
同理SE∥CD，
∴四边形SCDE是平行四边形，
∴SE=CD，DE=CS，
即走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；
B、延长AF、BH交于S1，作FK∥GH与BH的延长线交于点K，
∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，
∴△SAB≌△S1AB，
∴AS=AS1，BS=BS1，
∵∠FGH=180°﹣70°﹣43°=67°=∠GHB，
∴FG∥KH，
∵FK∥GH，
∴四边形FGHK是平行四边形，
∴FK=GH，FG=KH，
∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，
∵FS1+S1K＞FK，
∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，
即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB，
C、D、同理可证得AI+IK+KM+MB＜AS2+BS2＜AN+NQ+QP+PB．
综上所述，D选项的所走的线路最长．
故选：D．
【分析】分别构造出平行四边形和三角形，根据平行四边形的性质和全等三角形的性质进行比较，即可判断．
12．（2016八下·和平期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确．
B、两条对角线相等且平分的四边形是矩形；故本选项错误．
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故本选项错误．
D、两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．故本选项错误．
故选A．
【分析】真命题就是判断事情正确的语句．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；两条对角线相等且平分的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．
13．（2016八下·周口期中）如图，四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列不能判断四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）
A．OA=OC，AD∥BC B．∠ABC=∠ADC，AD∥BC
C．AB=DC，AD=BC D．∠ABD=∠ADB，∠BAO=∠DCO
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
在△BOC和△DOA中
，
∴△BOC≌△DOA（AAS），
∴BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、∵∠ABC=∠ADC，AD∥BC，
∴∠ADC+∠DCB=180°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
C、∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
D、由∠ABD=∠ADB，∠BAO=∠DCO，
无法得出四边形ABCD是平行四边形，错误，故本选项正确；
故选：D．
【分析】平行四边形的性质有①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②两组对边分别平行的四边形是平行四边形③两组对角分别相等的四边形是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据以上内容判断即可．
14．（2015八下·深圳期中）设计一张折叠型方桌子如图，若AO=BO=50cm，CO=DO=30cm，将桌子放平后，要使AB距离地面的高为40cm，则两条桌腿需要叉开的∠AOB应为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E．
∵AD=50+30=80cm，DE=40cm，
∴∠A=30°，
∵AO=BO，
∴∠B=∠A=30°，
∴∠AOB=180°﹣30°﹣30°=120°．
故选C．
【分析】作DE⊥AB于E，根据题意，得在Rt△ADE中，AD=50+30=80cm，DE=40cm，由此可以推出∠A=30°，接着可以求出∠B=∠A=30°，再根据三角形的内角和即可求出∠AOB的度数．
二、填空题
15．在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD 中，AD∥BC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形”．经过思考，小明说“添加AD=BC”，小红说“添加AB=DC”．你同意 的观点，理由是
【答案】小明；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：四边形ABCD 中，AD∥BC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形，应添加AD=BC，
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此小明说的对；
小红添加的条件，也可能是等腰梯形，因此小红错误，
故答案为：小明；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得小明正确．
16．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1cm/s的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2cm/s的速度移动，若AB=7cm，CD=9cm，则 秒时四边形ADFE是平行四边形．
【答案】3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设t秒时四边形ADFE是平行四边形；
理由：当四边形ADFE是平行四边形，则AE=DF，
即t=9﹣2t，
解得：t=3，故3秒时四边形ADFE是平行四边形．
故答案为：3．
【分析】直接利用平行四边形的判定与性质得出AE=DF，进而得出答案．
17．如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为
【答案】8
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，
∵EO⊥AC，
∴AE=EC，
∵AB+BC+CD+AD=16，
∴AD+DC=8，
∴△DCE的周长是：CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD+CD=8，
故答案为：8．
【分析】根据平行四边形性质得出AD=BC，AB=CD，OA=OC，根据线段垂直平分线得出AE=CE，求出CD+DE+EC=AD+CD，代入求出即可．
18．如图，已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若BD=12cm，△DOE的周长为15cm，则 ABCD的周长为 cm．
【答案】36
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=BD= ×12=6（cm），
∵△DOE的周长为15cm，
∴OE+DE+OD=15cm，
∴OE+DE=9cm，
∵点E是CD的中点，
∴BC=2OE，CD=2DE，
∴BC+CD=18cm，
∴ ABCD的周长为：36cm．
故答案为：36．
【分析】由 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD=12cm，求得OD的长，又由△DOE的周长为15cm，即可求得BC+CD的长，继而求得 ABCD的周长．
19．（2015八下·绍兴期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为 ．
【答案】10+2
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE．
又∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形．
∴DE=AC=2．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD= =2 ，
∵D是BC的中点，
∴BC=2CD=4 ，
在△ABC中，∠ACB=90°，
由勾股定理得AB= =2 ，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB=EC=4．
∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+2 ，
故答案为：10+2 ．
【分析】先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．
三、解答题
20．（2015八下·沛县期中）已知：如图，在 ABCD中，M、N是对角线BD上的两点，且BM=DN．
求证：四边形AMCN是平行四边形．
【答案】证明：如图，连结AC，交BD于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，
∴OB﹣BM=OD﹣DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连结AC，交BD于点O，由平行四边形的性质可知：OA=OC，OB=OD，再证明OM=ON即可证明四边形AMCN是平行四边形．
21．（2015八下·嵊州期中）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=24cm，DC=10cm，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速度为每秒3cm，试求几秒后，P、Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？
【答案】解：①以PQAD构成四边形
设X秒成为平行四边形
根据题意得：
x=24﹣3x
∴x=6
∴当运动6s时成为平行四边形；
②以PQBC构成四边形
设Y秒成为平行四边形
根据题意得：
10﹣y=3y
∴y=2.5
∴当运动2.5s时也成为平行四边形．
③四边形PAQC、四边形PDQB其实也可能成为平行四边形，其中，PDQB是错误的，四边形PAQC成为平行四边形时是7秒．
故答案为6秒、2.5秒、7秒
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】根据题意P，Q和梯形ABCD的两个顶点构成平行四边形，分两种情况讨论：①可以构成四边形PQAD；②可以构成四边形PQBC两种．
四、综合题
22．（2016八下·费县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．
（1）证明DE∥CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．
【答案】（1）证明：连结CE．
∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，
∴CE= AB=AE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=CD．
在△ADE与△CDE中， ，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE=∠CDE=30°．
∵∠DCB=150°，
∴∠EDC+∠DCB=180°．
∴DE∥CB．
（2）解：当AC= AB或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形，
理由：∵AC= AB，∠ACB=90°，
∴∠B=30°，
∵∠DCB=150°，
∴∠DCB+∠B=180°，
∴DC∥BE，又∵DE∥BC，
∴四边形DCBE是平行四边形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE= AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可证明DE∥CB；（2）当AC= AB或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．根据（1）中所求得出DC∥BE，进而得到四边形DCBE是平行四边形．
23．（2015八下·萧山期中）已知：如图， ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若AD=AE=2，∠A=60°，求四边形EBFD的周长．
【答案】（1）证明：在 ABCD中，
AB=CD，AB∥CD．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴ ．
∴BE=DF．
∴四边形EBFD是平行四边形
（2）解：∵AD=AE，∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形．
∴DE=AD=2，
又∵BE=AE=2，
由（1）知四边形EBFD是平行四边形，
∴四边形EBFD的周长=2（BE+DE）=8
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）、在 ABCD中，AB=CD，AB∥CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，所以BE=CF，因此四边形EBFD是平行四边形；（2）、由AD=AE=2，∠A=60°知△ADE是等边三角形，又E、F分别是边AB、CD的中点，四边形EBFD是平行四边形，所以EB=BF=FD=DE=2，四边形EBFD是平行四边形的周长是2+2+2+2=8
24．（2015八下·金平期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5 ，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）AC的长是 ，AB的长是 ．
（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（4）当t为何值，△BEF的面积是2 ？
【答案】（1）10；5
（2）解：EF与AD平行且相等．证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t．又∵AE=t，∴AE=DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
∴四边形AEFD为平行四边形．∴EF与AD平行且相等
（3）解：能；理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵AB=BC tan30°=5 × =5，∴AC=2AB=10．∴AD=AC﹣DC=10﹣2t．若使 AEFD为菱形，则需AE=AD，
即t=10﹣2t，t= ．
即当t= 时，四边形AEFD为菱形
（4）解：∵在Rt△CDF中，∠A=30°，∴DF= CD，∴CF= t，又∵BE=AB﹣AE=5﹣t，BF=BC﹣CF=5 ﹣ t，
∴ ，
即： ，
解得：t=3，t=7（不合题意舍去），∴t=3．故当t=3时，△BEF的面积为2 ．
故答案为：5，10；平行且相等； ；3
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴AC=2AB，
根据勾股定理得：AC2﹣AB2=BC2，
∴3AB2=75，
∴AB=5，AC=10；
在Rt△ABC中，∠C=30°，则AC=2AB，根据勾股定理得到AC和AB的值．（2）先证四边形AEFD是平行四边形，从而证得AD∥EF，并且AD=EF，在运动过程中关系不变．（3）求得四边形AEFD为平行四边形，若使 AEFD为菱形则需要满足的条件及求得．（4）BE=AB﹣AE=5﹣t，BF=BC﹣CF=5 ﹣ t，从而得到 ，然后求得t的值．
1 / 1浙教版八年级下册第4章 4.4平行四边形的判定 同步练习
一、单选题
1．（2016八下·费县期中）下列条件中，能确定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等 B．一组对角相等
C．两条对角线相等 D．两条对角线互相平分
2．（2016八下·青海期末）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB=DC，AD=BC
C．AO=CO，BO=DO D．AB∥DC，AD=BC
3．（2016八下·石城期中）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（ ）
A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形
B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形
C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
4．（2016八下·大石桥期中）能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（ ）
A．AD=BC，AB∥CD B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=BC，AD=DC D．AB∥CD，CD=AB
5．（2015八下·绍兴期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．24
6．（2015八下·绍兴期中）下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AD=BC，AB=CD
C．AB∥CD，AD=BC D．∠A=∠C，∠B=∠D
7．（2015八下·绍兴期中）若以A（﹣0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD
9．（2015八下·六合期中）能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB∥CD，∠C=∠A D．AB=AD，CB=CD
10．（2016八下·寿光期中）不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC B．AB=CD，AB∥CD
C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
11．（2015八下·绍兴期中）在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D，G，K，Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2016八下·和平期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
13．（2016八下·周口期中）如图，四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列不能判断四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）
A．OA=OC，AD∥BC B．∠ABC=∠ADC，AD∥BC
C．AB=DC，AD=BC D．∠ABD=∠ADB，∠BAO=∠DCO
14．（2015八下·深圳期中）设计一张折叠型方桌子如图，若AO=BO=50cm，CO=DO=30cm，将桌子放平后，要使AB距离地面的高为40cm，则两条桌腿需要叉开的∠AOB应为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
二、填空题
15．在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD 中，AD∥BC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形”．经过思考，小明说“添加AD=BC”，小红说“添加AB=DC”．你同意 的观点，理由是
16．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1cm/s的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2cm/s的速度移动，若AB=7cm，CD=9cm，则 秒时四边形ADFE是平行四边形．
17．如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为
18．如图，已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若BD=12cm，△DOE的周长为15cm，则 ABCD的周长为 cm．
19．（2015八下·绍兴期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为 ．
三、解答题
20．（2015八下·沛县期中）已知：如图，在 ABCD中，M、N是对角线BD上的两点，且BM=DN．
求证：四边形AMCN是平行四边形．
21．（2015八下·嵊州期中）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=24cm，DC=10cm，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速度为每秒3cm，试求几秒后，P、Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？
四、综合题
22．（2016八下·费县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．
（1）证明DE∥CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．
23．（2015八下·萧山期中）已知：如图， ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若AD=AE=2，∠A=60°，求四边形EBFD的周长．
24．（2015八下·金平期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5 ，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）AC的长是 ，AB的长是 ．
（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（4）当t为何值，△BEF的面积是2 ？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定可知，只有D满足条件，故选D．
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据判定方法知D正确．
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB∥DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；
故选D．
【分析】根据平行四边形判定定理进行判断．
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴A不正确；
∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴B正确；
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴C不正确；
∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，
∴D不正确；
故选：B．
【分析】由平行四边形的判定方法得出A不正确、B正确；由矩形和正方形的判定方法得出C、D不正确．
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定定理知，A、B、C均不符合是平行四边形的条件；
D、满足一组对边相等且平行的四边形是平行四边形．
故选D．
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
5．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得
CE= = =5．
∵BE=DE=3，AE=CE=5，
∴四边形ABCD是平行四边形．
四边形ABCD的面积为BC BD=4×（3+3）=24，
故选：D．
【分析】根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不合题意；
B、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不合题意；
C、不能判断这个四边形是平行四边形，符合题意；
D、根据平行四边形的判定定理：两对角相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形；
故选：C．
【分析】根据平行四边形的判断定理分别作出判断得出即可．
7．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：
分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；
②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；
③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，
则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选：C．
【分析】令点A为（﹣0.5，4），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案．
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】
【解答】如图示，根据平行四边形的判定定理知，只有C符合条件．
故选C．
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据判定定理逐项判定即可．
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定可知：
A、若AB∥CD，AD=BC，则可以判定四边形是梯形，故A错误，
B、两组邻角相等也有可能是等腰梯形，故B错误．
C、可判定是平行四边形的条件，故C正确．
D、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故D错误．
故选C．
【分析】根据已知条件结合平行四边形的性质直接作出判断即可．
10．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定：A、B、D可判定为平行四边形，而C不具备平行四边形的条件，
故选：C．
【分析】A、B、D，都能判定是平行四边形，只有C不能，因为等腰梯形也满足这样的条件，但不是平行四边形．
11．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、延长AC、BE交于S，
∵∠CAB=∠EDB=45°，
∴AS∥ED，则SC∥DE．
同理SE∥CD，
∴四边形SCDE是平行四边形，
∴SE=CD，DE=CS，
即走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；
B、延长AF、BH交于S1，作FK∥GH与BH的延长线交于点K，
∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，
∴△SAB≌△S1AB，
∴AS=AS1，BS=BS1，
∵∠FGH=180°﹣70°﹣43°=67°=∠GHB，
∴FG∥KH，
∵FK∥GH，
∴四边形FGHK是平行四边形，
∴FK=GH，FG=KH，
∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，
∵FS1+S1K＞FK，
∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，
即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB，
C、D、同理可证得AI+IK+KM+MB＜AS2+BS2＜AN+NQ+QP+PB．
综上所述，D选项的所走的线路最长．
故选：D．
【分析】分别构造出平行四边形和三角形，根据平行四边形的性质和全等三角形的性质进行比较，即可判断．
12．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确．
B、两条对角线相等且平分的四边形是矩形；故本选项错误．
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故本选项错误．
D、两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．故本选项错误．
故选A．
【分析】真命题就是判断事情正确的语句．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；两条对角线相等且平分的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．
13．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
在△BOC和△DOA中
，
∴△BOC≌△DOA（AAS），
∴BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、∵∠ABC=∠ADC，AD∥BC，
∴∠ADC+∠DCB=180°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
C、∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
D、由∠ABD=∠ADB，∠BAO=∠DCO，
无法得出四边形ABCD是平行四边形，错误，故本选项正确；
故选：D．
【分析】平行四边形的性质有①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②两组对边分别平行的四边形是平行四边形③两组对角分别相等的四边形是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据以上内容判断即可．
14．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E．
∵AD=50+30=80cm，DE=40cm，
∴∠A=30°，
∵AO=BO，
∴∠B=∠A=30°，
∴∠AOB=180°﹣30°﹣30°=120°．
故选C．
【分析】作DE⊥AB于E，根据题意，得在Rt△ADE中，AD=50+30=80cm，DE=40cm，由此可以推出∠A=30°，接着可以求出∠B=∠A=30°，再根据三角形的内角和即可求出∠AOB的度数．
15．【答案】小明；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：四边形ABCD 中，AD∥BC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形，应添加AD=BC，
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此小明说的对；
小红添加的条件，也可能是等腰梯形，因此小红错误，
故答案为：小明；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得小明正确．
16．【答案】3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设t秒时四边形ADFE是平行四边形；
理由：当四边形ADFE是平行四边形，则AE=DF，
即t=9﹣2t，
解得：t=3，故3秒时四边形ADFE是平行四边形．
故答案为：3．
【分析】直接利用平行四边形的判定与性质得出AE=DF，进而得出答案．
17．【答案】8
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，
∵EO⊥AC，
∴AE=EC，
∵AB+BC+CD+AD=16，
∴AD+DC=8，
∴△DCE的周长是：CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD+CD=8，
故答案为：8．
【分析】根据平行四边形性质得出AD=BC，AB=CD，OA=OC，根据线段垂直平分线得出AE=CE，求出CD+DE+EC=AD+CD，代入求出即可．
18．【答案】36
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=BD= ×12=6（cm），
∵△DOE的周长为15cm，
∴OE+DE+OD=15cm，
∴OE+DE=9cm，
∵点E是CD的中点，
∴BC=2OE，CD=2DE，
∴BC+CD=18cm，
∴ ABCD的周长为：36cm．
故答案为：36．
【分析】由 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD=12cm，求得OD的长，又由△DOE的周长为15cm，即可求得BC+CD的长，继而求得 ABCD的周长．
19．【答案】10+2
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE．
又∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形．
∴DE=AC=2．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD= =2 ，
∵D是BC的中点，
∴BC=2CD=4 ，
在△ABC中，∠ACB=90°，
由勾股定理得AB= =2 ，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB=EC=4．
∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+2 ，
故答案为：10+2 ．
【分析】先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．
20．【答案】证明：如图，连结AC，交BD于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，
∴OB﹣BM=OD﹣DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连结AC，交BD于点O，由平行四边形的性质可知：OA=OC，OB=OD，再证明OM=ON即可证明四边形AMCN是平行四边形．
21．【答案】解：①以PQAD构成四边形
设X秒成为平行四边形
根据题意得：
x=24﹣3x
∴x=6
∴当运动6s时成为平行四边形；
②以PQBC构成四边形
设Y秒成为平行四边形
根据题意得：
10﹣y=3y
∴y=2.5
∴当运动2.5s时也成为平行四边形．
③四边形PAQC、四边形PDQB其实也可能成为平行四边形，其中，PDQB是错误的，四边形PAQC成为平行四边形时是7秒．
故答案为6秒、2.5秒、7秒
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】根据题意P，Q和梯形ABCD的两个顶点构成平行四边形，分两种情况讨论：①可以构成四边形PQAD；②可以构成四边形PQBC两种．
22．【答案】（1）证明：连结CE．
∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，
∴CE= AB=AE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=CD．
在△ADE与△CDE中， ，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE=∠CDE=30°．
∵∠DCB=150°，
∴∠EDC+∠DCB=180°．
∴DE∥CB．
（2）解：当AC= AB或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形，
理由：∵AC= AB，∠ACB=90°，
∴∠B=30°，
∵∠DCB=150°，
∴∠DCB+∠B=180°，
∴DC∥BE，又∵DE∥BC，
∴四边形DCBE是平行四边形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE= AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可证明DE∥CB；（2）当AC= AB或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．根据（1）中所求得出DC∥BE，进而得到四边形DCBE是平行四边形．
23．【答案】（1）证明：在 ABCD中，
AB=CD，AB∥CD．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴ ．
∴BE=DF．
∴四边形EBFD是平行四边形
（2）解：∵AD=AE，∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形．
∴DE=AD=2，
又∵BE=AE=2，
由（1）知四边形EBFD是平行四边形，
∴四边形EBFD的周长=2（BE+DE）=8
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）、在 ABCD中，AB=CD，AB∥CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，所以BE=CF，因此四边形EBFD是平行四边形；（2）、由AD=AE=2，∠A=60°知△ADE是等边三角形，又E、F分别是边AB、CD的中点，四边形EBFD是平行四边形，所以EB=BF=FD=DE=2，四边形EBFD是平行四边形的周长是2+2+2+2=8
24．【答案】（1）10；5
（2）解：EF与AD平行且相等．证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t．又∵AE=t，∴AE=DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
∴四边形AEFD为平行四边形．∴EF与AD平行且相等
（3）解：能；理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵AB=BC tan30°=5 × =5，∴AC=2AB=10．∴AD=AC﹣DC=10﹣2t．若使 AEFD为菱形，则需AE=AD，
即t=10﹣2t，t= ．
即当t= 时，四边形AEFD为菱形
（4）解：∵在Rt△CDF中，∠A=30°，∴DF= CD，∴CF= t，又∵BE=AB﹣AE=5﹣t，BF=BC﹣CF=5 ﹣ t，
∴ ，
即： ，
解得：t=3，t=7（不合题意舍去），∴t=3．故当t=3时，△BEF的面积为2 ．
故答案为：5，10；平行且相等； ；3
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴AC=2AB，
根据勾股定理得：AC2﹣AB2=BC2，
∴3AB2=75，
∴AB=5，AC=10；
在Rt△ABC中，∠C=30°，则AC=2AB，根据勾股定理得到AC和AB的值．（2）先证四边形AEFD是平行四边形，从而证得AD∥EF，并且AD=EF，在运动过程中关系不变．（3）求得四边形AEFD为平行四边形，若使 AEFD为菱形则需要满足的条件及求得．（4）BE=AB﹣AE=5﹣t，BF=BC﹣CF=5 ﹣ t，从而得到 ，然后求得t的值．
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