初中数学浙教版八年级下册1.3 二次根式的运算 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·西安期中）下列二次根式中，不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 与 被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项不符合题意；
B、 与 被开方数不相同，不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项符合题意；
C、 与 被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项不符合题意；
D、 与 被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由二次根式的性质“”将各选项中的二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义“几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式”即可判断求解.
2．（2020八上·浦东月考）二次根式 的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵，
∴二次根式的有理化因式是.
故答案为：D.
【分析】两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式，根据有理化因式的定义，利用平方差公式得出，即可求解.
3．（2020八上·上海期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据二次根式的加减法及二次根式的性质进行计算即可。
4．（2020八上·四川月考）以下二次根式：① ；② ；③ ；④ 中，与 是同类二次根式的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】① ；② ；③ ；④ 中，与 是同类二次根式的是①④
故答案为：C．
【分析】将题中四个数分别化成最简二次根式，再结合同类二次根式的定义解题即可．
5．（2020八上·锦江月考）如果 ， ，那么 与 的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数大小的比较；分母有理化
【解析】【解答】解： ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】先利用分母有理化得到a=-( )，从而得到a与b的关系．
6．（2020八上·皇姑月考）计算 × + × 的结果估计在（ ）
A．6至7之间 B．7至8之间 C．8至9之间 D．9至10之间
【答案】B
【知识点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： × + ×
＝3+2 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 × + × 的结果在7至8之间，
故答案为：B.
【分析】首先把二次根式的化简计算，然后估算无理数的大小即可解决问题.
7．（2020八下·西宁期末）如图，在长方形 中无重叠放入面积分别为 和 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，
∴它们的边长分别为 (cm)， (cm)，
∴AB=4cm，BC=( )cm，
∴空白部分的面积为： ( )-16-12
(cm2) .
故答案为：C
【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解.
8．（2020八上·深圳期中）若 ， ，则代数式 的值为（ ）
A．3 B． C．5 D．9
【答案】A
【知识点】代数式求值；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴
∴
故答案为：A
【分析】根据 ，求出 、 的值代入计算即可.
二、填空题
9．（2020八上·上海期中）计算： ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
=
=
= ．
【分析】先把二次根式化为最简的二次根式，再进行合并即可。
10．（2020八下·陇县期末）若最简二次根式 与 可以合并，则m＝ ．
【答案】4
【知识点】同类二次根式；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ 最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴2m+5=4m-3，
∴m=4.
故答案为：4.
【分析】根据同类二次根式的定义，列出方程，求出方程的解，即可求解.
11．（2020八上·雅安期中）比较大小： （用 或 填空）
【答案】<
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解： ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案是：<．
【分析】将两个式子进行分母有理化，再比较大小即可。
12．（2020八上·四川月考）实数 的整数部分 ，小数部分 ．
【答案】2；
【知识点】估算无理数的大小；分母有理化
【解析】【解答】解： 化简之后得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴整数部分 ，小数部分 ．
故答案为： ， ．
【分析】先对 进行分母有理化，然后再求出它的整数部分和小数部分．
13．（2020八下·余干期末）一个矩形的长为 ，宽为 ，则它的周长是 cm．（写出最简结果）
【答案】
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：矩形的周长= ．
故答案为： ．
【分析】先根据矩形的周长公式列式，括号内化为最简二次根式后再合并，最后计算乘法即可．
14．计算（ +1）2015（ ﹣1）2014=
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；积的乘方
【解析】【解答】解：原式=[（ +1） （ ﹣1）]2014 （ +1）
=（2﹣1）2014 （ +1）
= +1．
故答案为： +1．
【分析】先把化成，利用积的乘方的逆运算和平方差公式计算可得.
三、综合题
15．计算
（1）（ ﹣ + ）（﹣ ）
（2） ﹣ ﹣（ ﹣2 ）
（3）（1+ ）2（1+ ）2（1﹣ ）2（1﹣ ）2
（4）（ ﹣2 ）（ +5）﹣（ ﹣ ）2．
【答案】（1）解：（1）原式=（4 ﹣5 +5 ） （﹣ ）
=（9 ﹣5 ） （﹣ ）
=﹣27 +10
（2）解：原式=2 ﹣ ﹣ +
= +
（3）解：原式=[（1+ ）（1﹣ ）]2 [（1+ ）（1﹣ ）]2
=（1﹣2）2 （1﹣3）2
=1×4
=4
（4）解：原式=3 +5 ﹣10 ﹣10 ﹣（10﹣4 +2）
=3 +5 ﹣10 ﹣10 ﹣10+4 ﹣2
=﹣3 ﹣5 ﹣2
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；（3）利用平方差公式计算（4）利用乘方公式展开，然后合并即可．
16．（2020八上·松江期中）已知 ，求 的值
【答案】解：由 可得： ，
∴ ．
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【分析】将x的值代入代数式，根据分母有理化以及二次根式运算的性质，求出答案即可。
17．（2020八下·潮南月考）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t= （不考虑风速的影响）
（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；
（2）t2是t1的多少倍？
（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？
【答案】（1）解：当h=50时，t1= = （秒）；
当h=100时，t2= = =2 （秒）
（2）解：∵ = ，
∴t2是t1的 倍．
（3）解：当t=1.5时，1.5= ，解得h=11.25，
∴下落的高度是11.25米．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）将h=50代入t1= 进行计算即可；将h=100代入t2= 进行计算即可；（2）计算t2与t1的比值即可得出结论；（3）将t=1.5代入公式t= 进行计算即可．
18．（2020八上·景泰期中）观察下列式子的变形过程，然后回答问题：
例1：
例2： ， ，
（1） ； ；
（2）请你用含 （ 为正整数）的关系式表示上述各式子；
（3）利用上面的结论，求下面式子的值.
【答案】（1）；
（2）解：
（3）解：
，
.
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）将 ； 分母有理化，有理化因式分别为 ， ；（2）被开方数是两个相邻的数，即 ，它的有理化因式为 ；（3）由（1）（2）得，原式 ，合并可得结果.
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一、单选题
1．（2020八上·西安期中）下列二次根式中，不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020八上·浦东月考）二次根式 的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020八上·上海期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020八上·四川月考）以下二次根式：① ；② ；③ ；④ 中，与 是同类二次根式的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
5．（2020八上·锦江月考）如果 ， ，那么 与 的关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020八上·皇姑月考）计算 × + × 的结果估计在（ ）
A．6至7之间 B．7至8之间 C．8至9之间 D．9至10之间
7．（2020八下·西宁期末）如图，在长方形 中无重叠放入面积分别为 和 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020八上·深圳期中）若 ， ，则代数式 的值为（ ）
A．3 B． C．5 D．9
二、填空题
9．（2020八上·上海期中）计算： ．
10．（2020八下·陇县期末）若最简二次根式 与 可以合并，则m＝ ．
11．（2020八上·雅安期中）比较大小： （用 或 填空）
12．（2020八上·四川月考）实数 的整数部分 ，小数部分 ．
13．（2020八下·余干期末）一个矩形的长为 ，宽为 ，则它的周长是 cm．（写出最简结果）
14．计算（ +1）2015（ ﹣1）2014=
三、综合题
15．计算
（1）（ ﹣ + ）（﹣ ）
（2） ﹣ ﹣（ ﹣2 ）
（3）（1+ ）2（1+ ）2（1﹣ ）2（1﹣ ）2
（4）（ ﹣2 ）（ +5）﹣（ ﹣ ）2．
16．（2020八上·松江期中）已知 ，求 的值
17．（2020八下·潮南月考）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t= （不考虑风速的影响）
（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；
（2）t2是t1的多少倍？
（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？
18．（2020八上·景泰期中）观察下列式子的变形过程，然后回答问题：
例1：
例2： ， ，
（1） ； ；
（2）请你用含 （ 为正整数）的关系式表示上述各式子；
（3）利用上面的结论，求下面式子的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 与 被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项不符合题意；
B、 与 被开方数不相同，不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项符合题意；
C、 与 被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项不符合题意；
D、 与 被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由二次根式的性质“”将各选项中的二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义“几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式”即可判断求解.
2．【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵，
∴二次根式的有理化因式是.
故答案为：D.
【分析】两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式，根据有理化因式的定义，利用平方差公式得出，即可求解.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据二次根式的加减法及二次根式的性质进行计算即可。
4．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】① ；② ；③ ；④ 中，与 是同类二次根式的是①④
故答案为：C．
【分析】将题中四个数分别化成最简二次根式，再结合同类二次根式的定义解题即可．
5．【答案】A
【知识点】实数大小的比较；分母有理化
【解析】【解答】解： ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】先利用分母有理化得到a=-( )，从而得到a与b的关系．
6．【答案】B
【知识点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： × + ×
＝3+2 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 × + × 的结果在7至8之间，
故答案为：B.
【分析】首先把二次根式的化简计算，然后估算无理数的大小即可解决问题.
7．【答案】C
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，
∴它们的边长分别为 (cm)， (cm)，
∴AB=4cm，BC=( )cm，
∴空白部分的面积为： ( )-16-12
(cm2) .
故答案为：C
【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解.
8．【答案】A
【知识点】代数式求值；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴
∴
故答案为：A
【分析】根据 ，求出 、 的值代入计算即可.
9．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
=
=
= ．
【分析】先把二次根式化为最简的二次根式，再进行合并即可。
10．【答案】4
【知识点】同类二次根式；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ 最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴2m+5=4m-3，
∴m=4.
故答案为：4.
【分析】根据同类二次根式的定义，列出方程，求出方程的解，即可求解.
11．【答案】<
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解： ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案是：<．
【分析】将两个式子进行分母有理化，再比较大小即可。
12．【答案】2；
【知识点】估算无理数的大小；分母有理化
【解析】【解答】解： 化简之后得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴整数部分 ，小数部分 ．
故答案为： ， ．
【分析】先对 进行分母有理化，然后再求出它的整数部分和小数部分．
13．【答案】
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：矩形的周长= ．
故答案为： ．
【分析】先根据矩形的周长公式列式，括号内化为最简二次根式后再合并，最后计算乘法即可．
14．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；积的乘方
【解析】【解答】解：原式=[（ +1） （ ﹣1）]2014 （ +1）
=（2﹣1）2014 （ +1）
= +1．
故答案为： +1．
【分析】先把化成，利用积的乘方的逆运算和平方差公式计算可得.
15．【答案】（1）解：（1）原式=（4 ﹣5 +5 ） （﹣ ）
=（9 ﹣5 ） （﹣ ）
=﹣27 +10
（2）解：原式=2 ﹣ ﹣ +
= +
（3）解：原式=[（1+ ）（1﹣ ）]2 [（1+ ）（1﹣ ）]2
=（1﹣2）2 （1﹣3）2
=1×4
=4
（4）解：原式=3 +5 ﹣10 ﹣10 ﹣（10﹣4 +2）
=3 +5 ﹣10 ﹣10 ﹣10+4 ﹣2
=﹣3 ﹣5 ﹣2
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；（3）利用平方差公式计算（4）利用乘方公式展开，然后合并即可．
16．【答案】解：由 可得： ，
∴ ．
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【分析】将x的值代入代数式，根据分母有理化以及二次根式运算的性质，求出答案即可。
17．【答案】（1）解：当h=50时，t1= = （秒）；
当h=100时，t2= = =2 （秒）
（2）解：∵ = ，
∴t2是t1的 倍．
（3）解：当t=1.5时，1.5= ，解得h=11.25，
∴下落的高度是11.25米．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）将h=50代入t1= 进行计算即可；将h=100代入t2= 进行计算即可；（2）计算t2与t1的比值即可得出结论；（3）将t=1.5代入公式t= 进行计算即可．
18．【答案】（1）；
（2）解：
（3）解：
，
.
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）将 ； 分母有理化，有理化因式分别为 ， ；（2）被开方数是两个相邻的数，即 ，它的有理化因式为 ；（3）由（1）（2）得，原式 ，合并可得结果.
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