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2022-2023学年浙教版数学九年级上册第一章 二次函数 单元检测
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·涟水月考）下列函数中，二次函数是（ ）.
A．
B．
C．
D．
2．（2021九上·海曙期末）已知抛物线 ， 其对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．（2021九上·长沙期末）在平面直角坐标系中，不论m取何值时，抛物线 的顶点一定在（ ）上.
A． B． C． D．
4．（2021九上·槐荫期末）二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列选项不正确的是（ ）
A．ac＜0 B．对称轴为直线
C．a－b+c＞0 D．
5．（2021九上·莱芜期末）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列五个结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程有两个实数根，一个大于3，一个小于-1．其中结论正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2021九上·吴兴期末）对于二次函数y＝x2 4x 1的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线x＝2
C．顶点坐标为（ 2， 5） D．当x≥2时，y随x增大而减小
7．（2021九上·红桥期末）已知两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点．若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021九上·河东期末）抛物线的图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
9．（2021九上·海珠期末）如图，抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A(﹣1，0)，则另一交点的坐标是（ ）
A．(3，0) B．(﹣3，0) C．(1，0) D．(2，0)
10．（2021九上·无棣期末）已知二次函数的图像与x轴的一个交点为，则它与x轴的另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2021九上·泰山期末）已知抛物线的顶点为，与轴交于点，（在的左边），直线过，两点．当时，自变量x的取值范围是 ．
12．（2021九上·怀宁期末）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣2，p），B（5，q），则不等式ax2+mx+c≤n的解集是 ．
13．（2021九上·南昌期末）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），则线段AB的长为 ．
14．（2021九上·大兴期末）已知抛物线经过点、，则与的大小关系是 ．
15．（2021九上·潮安期末）二次函数向上平移2个单位后的解析式为 ．
16．（2021九上·金山期末）抛物线经过点，那么这个抛物线的开口向 ．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2021九上·淮阴月考）已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（﹣2，8）和（﹣1，5），求这个二次函数的表达式.
18．（2021九上·黄冈月考）用配方法把函数 化成 的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值.
19．（2021九上·龙游期末）已知二次函数y＝2x2﹣x+1，当﹣1≤x≤1时，求函数y的最小值和最大值.彤彤的解答如下：
解：当x＝﹣1时，则y＝2×（﹣1）2﹣（﹣1）+1＝4；
当x＝1时，则y＝2×12﹣1+1＝2；
所以函数y的最小值为2，最大值为4.
彤彤的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答.
20．（2021九上·朝阳期中）如图，矩形绿地的长、宽各增加 ，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式．
21．（2021九上·邗江期末）已知函数y＝x2-2kx＋k2+1.
（1）求证：不论k取何值，函数y>0；
（2）若函数图象与y轴的交点坐标为（0，10），求函数图象的顶点坐标.
22．（2021九上·海曙期末）如图， 在平面直角坐标系中， 过点 两点的拋物线的顶点 在 轴正半轴上，
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点 的坐标；
（3） 为线段 上一点， ， 作 轴交抛物线于点 ， 求PM的最大值与最小值.
23．（2021九上·南充期末）在实施乡村振兴战略和移动互联快速进化的大背景下，某电商平台以10元/千克的价格收购一批农产品进行销售，经前期销售发现日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间满足一次函数关系，整理部分数据如下表：
销售价格x（元/千克） 12 13 14 15 16
日销售量y（千克） 1000 900 800 700 600
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）为了稳定物价，有关管理部门规定这种农产品利润率不得高于50%，该平台应如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润w最大？（利润=售价－成本，利润率=利润÷成本×100%）
24．（2021九上·邗江期末） 2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元.为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件.
（1）若降价x元，则平均每天销售数量为 件（用含x的代数式表示）；
（2）若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？
（3）若每件盈利不少于24元，不多于36元，求该经销商每天获得的最高利润和最低利润分别为多少？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、是二次函数，故此选项符合题意；
C、自变量最高次数为3，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、不是整式，故不是二次函数，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 二次函数的一般式为：y=ax2+bx+c（a≠0，且a、b、c是常数).
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线y=2（x-3）2-5的对称轴为直线x=3.
故答案为：B.
【分析】二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；据此可求解.
3．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：抛物线 =（x-m-1）2+m2+1，
∴抛物线的顶点（m+1，m2+1），
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】将抛物线解析式化为顶点式，得顶点坐标为（m+1，m2+1），令x=m+1，y=m2+1，表示出y与x的关系，据此判断.
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由图可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故该选项不符合题意；
B、对称轴是直线x==1，故该选项不符合题意；
C、由图可知：当x=-1时，y=a-b+c=0，故该选项符合题意；
D、抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，故该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系对各选项逐一分析即可。
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：根据函数图象可知，开口向下，则，
对称轴为
∴
函数图象与轴的交点位于轴正半轴，则
故①不符合题意
对称轴为直线，抛物线图象过点，
则抛物线过点
当时，
故②符合题意
如图，时，
故③不符合题意
对称轴为直线，则时，，则顶点坐标为
（为任意实数）
（为任意实数）
故④不符合题意；
如上图，方程即的两根，可以看作与的交点，则一个大于3，一个小于．故⑤符合题意
故正确的为②⑤
故答案为：A
【分析】 ① 根据据函数图象确定a、b、c的正负可知，错误； ② 根据函数的对称轴求出函数与X轴的另一个交点，代入抛物线解析式，正确；③将函数图象补全，由图像可知当x=-2时，y0；错误； ④ 由图象可知当x=1时，该函数有最大值a+b+c；则，错误；
6．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=x2-4x-1=（x-2）2-5，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-5），当x≥2时，y随x增大而增大，
∴ACD错误，B正确.
故答案为：B.
【分析】先把抛物线的解析式化为顶点式，得出抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-5），当x≥2时，y随x增大而增大，逐项进行判断，即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点．
∴函数有最小值，抛物线开口向上，且点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴，
解得，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的性质得出函数有最小值，抛物线开口向上，且点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，从而得出答案。
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 抛物线的图象过点，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为： 则 故②符合题意；
抛物线与轴交于正半轴，则
则
故①不符合题意；
对称轴为直线，
当时， 故③不符合题意；
当时，则
而函数与的图象有两个交点，
方程有实数根．故④符合题意；
综上：正确的是：②④
故答案为：D
【分析】根据抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判断得到b和0的关系，当x=-1时，y=a-b+c，继而根据图象确定y=-1时，x的值有两个。
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：抛物线对称轴为直线x=1，点A坐标为（-1，0），
由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为（3，0），
故答案为：A．
【分析】根据抛物线图象的对称性可得得到抛物线与x轴的另一个交点坐标。
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】抛物线的对称轴为直线，设抛物线与x轴的另一个交点坐标为(a，0)
由于点与点(a，0)关于直线x=1对称
∴
∴
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)
故答案为：B
【分析】根据题中的函数解析式可得该函数的对称轴，再根据二次函数与x轴的一个交点俄日（-1，0）和二次函数图象具有对称性，即可求得该函数与x轴的另一个交点坐标，本题得以解决。
11．【答案】-3＜x＜-1
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴点 ，
当 时，，
解得：，
∵在的左边，
∴点 ，
当 时，直线AB位于抛物线的上方，
∴当时，自变量的取值范围是-3＜x＜-1．
故答案为：-3＜x＜-1
【分析】将解析式化为顶点式求出，再求出y=0时y=中的x值，即得B，观察图象知当 时，直线AB位于抛物线的上方，据此即得结论.
12．【答案】﹣5≤x≤2
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（5，q）两点，
∴﹣2m+n＝p，5m+n＝q，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（2，p），Q（﹣5，q）两点，
观察函数图象可知：当﹣5≤x≤2时，
直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，
不等式
∴不等式ax2+mx+c≤n的解集是﹣5≤x≤2．
故答案为：﹣5≤x≤2．
【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解。
13．【答案】8
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】∵y＝ax2－4ax+c（a≠0），
∴对称轴为直线，
∵点A的坐标为(－2，0)，且A、B两点关于直线x=2对称，
∴点B的坐标为(6，0)，
∴AB=6－(－2)=8．
故答案为：8．
【分析】根据函数解析式先求出对称轴为直线x=2，再求出点B的坐标为(6，0)，最后求出AB的值即可。
14．【答案】y
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点A(2，y1)点B（3，y2）经过抛物线y=x2-x-3，
∴y1=22-2-3=1， y2=32-3-3=3，
∴y1＜y2．
故答案为：y1＜y2．
【分析】根据抛物线的解析式求出与的值，再求解即可。
15．【答案】y=2x2+2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位后得到y=2x2+2．
故答案为：y=2x2+2.
【分析】二次函数y=ax2向上平移m个单位长度可得y=ax2+m，据此解答.
16．【答案】下
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点，
∴ ，
∵ ，
∴这个抛物线的开口向下．
故答案为：下
【分析】利用待定系数法求二次函数解析式，即可得出开口方向。
17．【答案】解： 二次函数y=ax2+c的图象经过点（﹣2，8）和（﹣1，5），
，解得：.
∴二次函数的表达式为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据已知的两点坐标分别代入二次函数y=ax2+c ，得出关于a、c的二元一次方程组，求解即可得出a、c的值，从而即可求二次函数解析式即可.
18．【答案】解：∵ ，
∴开口向下，对称轴x=-1，顶点坐标（-1，13），最大值13.
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】将二次函数的解析式化为顶点式就可得到开口方向、对称轴、顶点坐标以及最大值.
19．【答案】解：彤彤的解答不正确，
正确做法如下，
∵二次函数y＝2x2﹣x+1=，
∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是直线x=，当x=时取最小值，最小值为，
∵-1≤x≤1，
∴当x=-1时取得最大值，此时y=4，
当x=时取最小值，最小值为y=.
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴以及开口方向，然后判断出函数的增减性，据此不难求出最值.
20．【答案】解：∵矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm，
∴增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，
∴ .
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm，得出增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，即可得出扩充后的绿地的面积y与x的关系式．
21．【答案】（1）解：y＝（x-k）2+1
∵不论k取何值，（x-k）2
∴（x-k）2+1＞0；
即不论k取何值，函数y＞0；
（2）解：∵二次函数图象与y轴交于点（0，10）
∴当x＝0时，y＝10，
∴k2+1＝10，解得k＝±3，
∴y＝x2±9x+10＝（x±3）2+1
∴顶点坐标为（3，1）或（﹣3，1）.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；偶次幂的非负性；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）函数解析式可变形为 y＝(x-k)2+1，然后结合偶次幂的非负性进行证明；
（2）根据题意可得k2+1＝10，求出k的值，进而得到函数解析式，然后化为顶点式，据此可得顶点坐标.
22．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点在x轴上，
∴设抛物线的解析式为y=a（x-h）2
∴
解之：h1=2，h2=-10（不符合题意）
当h=2时a=1
∴抛物线的解析式为y=（x-2）2=x2-4x+4.
（2）解：∵抛物线的解析式为y=（x-2）2，
∴点C（2，0）.
（3）解：设AB的解析式为：y＝kx＋b，
把点A（0，4）、B（5，9）代入y＝kx＋b中可得：
解之：
∴AB的解析式为：y＝x＋4，
∵点P为线段AB上一点，点M为抛物线y＝（x 2）2上一点，PM∥y轴，
设，则，
∴，
又∵1≤t≤4，
∴当时，PM的值随t的增大而增大；当时，PM的值随t的增大而减小；
∴当时，；
由∵，∴当t=1与t=4时，PM值最小，.
综上，PM的最大值为，PM的最小值为4.
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）抛物线的顶点在x轴上，可设抛物线的解析式为y=a（x-h）2，将点A，B的坐标代入，解方程组求出h，a的值，由此可得到函数解析式.
（2）利用（1）中的函数解析式可得到抛物线的顶点坐标.
（3）利用待定系数法求出直线AB的函数解析式，设动点P为(t，t+4)，可将PM的长度用t表示，进而对此时PM的长度与t进行函数最值分析，即可得到PM的最大值和最小值.
23．【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为 ，则把 和 代入得：
，解得： ，
∴y关于x的函数表达式为
（2）解：由（1）及题意得：
，
∴-100＜0，开口向下，对称轴为直线 ，
∵这种农产品利润率不得高于50%，
∴ ，
解得： ，
∴当 时，w随x的增大而增大，
∴当 时，w有最大值；
答：当销售价格为15元时，才能使日销售利润最大.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y与x的函数表达式为y=kx+b，将x=12、y=1000；x=13、y=900代入求出k、b的值，进而可得y与x的函数表达式；
（2）根据日销售利润w=(售价-进价)×日销售量可得w与x的关系式，根据这种农产品利润率不得高于50%可得x-10≤10×50%，求出x的范围，然后利用二次函数的性质进行求解.
24．【答案】（1）（30+3x）
（2）解：由题意得，
整理得：
解得：
∵要尽快减少库存
∴ 舍去
答：每件商品应降价20元.
（3）解：设该经销商每天获得的利润为W元，则由题意得，
W=
由
得
∴当x=15时， 元
当x=4时， 元
答：该经销商每天获得的最高利润和最低利润分别为1875元，1512元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）降价x元，则平均每天销售数量为（30+3x）件.
故答案为：（30+3x）
【分析】（1）若降价x元，则平均每天可多售出3x件，然后加上30即可表示出平均每天售出的件数；
（2）由题意可得每件的利润为(40-x)元，然后根据每件的利润×每天的销售量=每天获得的利润建立方程，求解即可；
（3）设该经销商每天获得的利润为W元，根据每件的利润×每天的销售量=每天获得的利润可得W与x的关系式，根据：每件盈利不少于24元，不多于36元可得24≤40-x≤36， 求出x的范围，接下来利用二次函数的性质进行解答即可.
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2022-2023学年浙教版数学九年级上册第一章 二次函数 单元检测
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·涟水月考）下列函数中，二次函数是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、是二次函数，故此选项符合题意；
C、自变量最高次数为3，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、不是整式，故不是二次函数，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 二次函数的一般式为：y=ax2+bx+c（a≠0，且a、b、c是常数).
2．（2021九上·海曙期末）已知抛物线 ， 其对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线y=2（x-3）2-5的对称轴为直线x=3.
故答案为：B.
【分析】二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；据此可求解.
3．（2021九上·长沙期末）在平面直角坐标系中，不论m取何值时，抛物线 的顶点一定在（ ）上.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：抛物线 =（x-m-1）2+m2+1，
∴抛物线的顶点（m+1，m2+1），
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】将抛物线解析式化为顶点式，得顶点坐标为（m+1，m2+1），令x=m+1，y=m2+1，表示出y与x的关系，据此判断.
4．（2021九上·槐荫期末）二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列选项不正确的是（ ）
A．ac＜0 B．对称轴为直线
C．a－b+c＞0 D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由图可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故该选项不符合题意；
B、对称轴是直线x==1，故该选项不符合题意；
C、由图可知：当x=-1时，y=a-b+c=0，故该选项符合题意；
D、抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，故该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系对各选项逐一分析即可。
5．（2021九上·莱芜期末）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列五个结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程有两个实数根，一个大于3，一个小于-1．其中结论正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：根据函数图象可知，开口向下，则，
对称轴为
∴
函数图象与轴的交点位于轴正半轴，则
故①不符合题意
对称轴为直线，抛物线图象过点，
则抛物线过点
当时，
故②符合题意
如图，时，
故③不符合题意
对称轴为直线，则时，，则顶点坐标为
（为任意实数）
（为任意实数）
故④不符合题意；
如上图，方程即的两根，可以看作与的交点，则一个大于3，一个小于．故⑤符合题意
故正确的为②⑤
故答案为：A
【分析】 ① 根据据函数图象确定a、b、c的正负可知，错误； ② 根据函数的对称轴求出函数与X轴的另一个交点，代入抛物线解析式，正确；③将函数图象补全，由图像可知当x=-2时，y0；错误； ④ 由图象可知当x=1时，该函数有最大值a+b+c；则，错误；
6．（2021九上·吴兴期末）对于二次函数y＝x2 4x 1的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线x＝2
C．顶点坐标为（ 2， 5） D．当x≥2时，y随x增大而减小
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=x2-4x-1=（x-2）2-5，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-5），当x≥2时，y随x增大而增大，
∴ACD错误，B正确.
故答案为：B.
【分析】先把抛物线的解析式化为顶点式，得出抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-5），当x≥2时，y随x增大而增大，逐项进行判断，即可得出答案.
7．（2021九上·红桥期末）已知两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点．若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点．
∴函数有最小值，抛物线开口向上，且点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴，
解得，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的性质得出函数有最小值，抛物线开口向上，且点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，从而得出答案。
8．（2021九上·河东期末）抛物线的图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 抛物线的图象过点，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为： 则 故②符合题意；
抛物线与轴交于正半轴，则
则
故①不符合题意；
对称轴为直线，
当时， 故③不符合题意；
当时，则
而函数与的图象有两个交点，
方程有实数根．故④符合题意；
综上：正确的是：②④
故答案为：D
【分析】根据抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判断得到b和0的关系，当x=-1时，y=a-b+c，继而根据图象确定y=-1时，x的值有两个。
9．（2021九上·海珠期末）如图，抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A(﹣1，0)，则另一交点的坐标是（ ）
A．(3，0) B．(﹣3，0) C．(1，0) D．(2，0)
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：抛物线对称轴为直线x=1，点A坐标为（-1，0），
由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为（3，0），
故答案为：A．
【分析】根据抛物线图象的对称性可得得到抛物线与x轴的另一个交点坐标。
10．（2021九上·无棣期末）已知二次函数的图像与x轴的一个交点为，则它与x轴的另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】抛物线的对称轴为直线，设抛物线与x轴的另一个交点坐标为(a，0)
由于点与点(a，0)关于直线x=1对称
∴
∴
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)
故答案为：B
【分析】根据题中的函数解析式可得该函数的对称轴，再根据二次函数与x轴的一个交点俄日（-1，0）和二次函数图象具有对称性，即可求得该函数与x轴的另一个交点坐标，本题得以解决。
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2021九上·泰山期末）已知抛物线的顶点为，与轴交于点，（在的左边），直线过，两点．当时，自变量x的取值范围是 ．
【答案】-3＜x＜-1
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴点 ，
当 时，，
解得：，
∵在的左边，
∴点 ，
当 时，直线AB位于抛物线的上方，
∴当时，自变量的取值范围是-3＜x＜-1．
故答案为：-3＜x＜-1
【分析】将解析式化为顶点式求出，再求出y=0时y=中的x值，即得B，观察图象知当 时，直线AB位于抛物线的上方，据此即得结论.
12．（2021九上·怀宁期末）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣2，p），B（5，q），则不等式ax2+mx+c≤n的解集是 ．
【答案】﹣5≤x≤2
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（5，q）两点，
∴﹣2m+n＝p，5m+n＝q，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（2，p），Q（﹣5，q）两点，
观察函数图象可知：当﹣5≤x≤2时，
直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，
不等式
∴不等式ax2+mx+c≤n的解集是﹣5≤x≤2．
故答案为：﹣5≤x≤2．
【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解。
13．（2021九上·南昌期末）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），则线段AB的长为 ．
【答案】8
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】∵y＝ax2－4ax+c（a≠0），
∴对称轴为直线，
∵点A的坐标为(－2，0)，且A、B两点关于直线x=2对称，
∴点B的坐标为(6，0)，
∴AB=6－(－2)=8．
故答案为：8．
【分析】根据函数解析式先求出对称轴为直线x=2，再求出点B的坐标为(6，0)，最后求出AB的值即可。
14．（2021九上·大兴期末）已知抛物线经过点、，则与的大小关系是 ．
【答案】y
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点A(2，y1)点B（3，y2）经过抛物线y=x2-x-3，
∴y1=22-2-3=1， y2=32-3-3=3，
∴y1＜y2．
故答案为：y1＜y2．
【分析】根据抛物线的解析式求出与的值，再求解即可。
15．（2021九上·潮安期末）二次函数向上平移2个单位后的解析式为 ．
【答案】y=2x2+2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位后得到y=2x2+2．
故答案为：y=2x2+2.
【分析】二次函数y=ax2向上平移m个单位长度可得y=ax2+m，据此解答.
16．（2021九上·金山期末）抛物线经过点，那么这个抛物线的开口向 ．
【答案】下
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点，
∴ ，
∵ ，
∴这个抛物线的开口向下．
故答案为：下
【分析】利用待定系数法求二次函数解析式，即可得出开口方向。
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2021九上·淮阴月考）已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（﹣2，8）和（﹣1，5），求这个二次函数的表达式.
【答案】解： 二次函数y=ax2+c的图象经过点（﹣2，8）和（﹣1，5），
，解得：.
∴二次函数的表达式为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据已知的两点坐标分别代入二次函数y=ax2+c ，得出关于a、c的二元一次方程组，求解即可得出a、c的值，从而即可求二次函数解析式即可.
18．（2021九上·黄冈月考）用配方法把函数 化成 的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值.
【答案】解：∵ ，
∴开口向下，对称轴x=-1，顶点坐标（-1，13），最大值13.
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】将二次函数的解析式化为顶点式就可得到开口方向、对称轴、顶点坐标以及最大值.
19．（2021九上·龙游期末）已知二次函数y＝2x2﹣x+1，当﹣1≤x≤1时，求函数y的最小值和最大值.彤彤的解答如下：
解：当x＝﹣1时，则y＝2×（﹣1）2﹣（﹣1）+1＝4；
当x＝1时，则y＝2×12﹣1+1＝2；
所以函数y的最小值为2，最大值为4.
彤彤的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答.
【答案】解：彤彤的解答不正确，
正确做法如下，
∵二次函数y＝2x2﹣x+1=，
∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是直线x=，当x=时取最小值，最小值为，
∵-1≤x≤1，
∴当x=-1时取得最大值，此时y=4，
当x=时取最小值，最小值为y=.
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴以及开口方向，然后判断出函数的增减性，据此不难求出最值.
20．（2021九上·朝阳期中）如图，矩形绿地的长、宽各增加 ，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式．
【答案】解：∵矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm，
∴增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，
∴ .
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm，得出增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，即可得出扩充后的绿地的面积y与x的关系式．
21．（2021九上·邗江期末）已知函数y＝x2-2kx＋k2+1.
（1）求证：不论k取何值，函数y>0；
（2）若函数图象与y轴的交点坐标为（0，10），求函数图象的顶点坐标.
【答案】（1）解：y＝（x-k）2+1
∵不论k取何值，（x-k）2
∴（x-k）2+1＞0；
即不论k取何值，函数y＞0；
（2）解：∵二次函数图象与y轴交于点（0，10）
∴当x＝0时，y＝10，
∴k2+1＝10，解得k＝±3，
∴y＝x2±9x+10＝（x±3）2+1
∴顶点坐标为（3，1）或（﹣3，1）.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；偶次幂的非负性；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）函数解析式可变形为 y＝(x-k)2+1，然后结合偶次幂的非负性进行证明；
（2）根据题意可得k2+1＝10，求出k的值，进而得到函数解析式，然后化为顶点式，据此可得顶点坐标.
22．（2021九上·海曙期末）如图， 在平面直角坐标系中， 过点 两点的拋物线的顶点 在 轴正半轴上，
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点 的坐标；
（3） 为线段 上一点， ， 作 轴交抛物线于点 ， 求PM的最大值与最小值.
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点在x轴上，
∴设抛物线的解析式为y=a（x-h）2
∴
解之：h1=2，h2=-10（不符合题意）
当h=2时a=1
∴抛物线的解析式为y=（x-2）2=x2-4x+4.
（2）解：∵抛物线的解析式为y=（x-2）2，
∴点C（2，0）.
（3）解：设AB的解析式为：y＝kx＋b，
把点A（0，4）、B（5，9）代入y＝kx＋b中可得：
解之：
∴AB的解析式为：y＝x＋4，
∵点P为线段AB上一点，点M为抛物线y＝（x 2）2上一点，PM∥y轴，
设，则，
∴，
又∵1≤t≤4，
∴当时，PM的值随t的增大而增大；当时，PM的值随t的增大而减小；
∴当时，；
由∵，∴当t=1与t=4时，PM值最小，.
综上，PM的最大值为，PM的最小值为4.
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）抛物线的顶点在x轴上，可设抛物线的解析式为y=a（x-h）2，将点A，B的坐标代入，解方程组求出h，a的值，由此可得到函数解析式.
（2）利用（1）中的函数解析式可得到抛物线的顶点坐标.
（3）利用待定系数法求出直线AB的函数解析式，设动点P为(t，t+4)，可将PM的长度用t表示，进而对此时PM的长度与t进行函数最值分析，即可得到PM的最大值和最小值.
23．（2021九上·南充期末）在实施乡村振兴战略和移动互联快速进化的大背景下，某电商平台以10元/千克的价格收购一批农产品进行销售，经前期销售发现日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间满足一次函数关系，整理部分数据如下表：
销售价格x（元/千克） 12 13 14 15 16
日销售量y（千克） 1000 900 800 700 600
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）为了稳定物价，有关管理部门规定这种农产品利润率不得高于50%，该平台应如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润w最大？（利润=售价－成本，利润率=利润÷成本×100%）
【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为 ，则把 和 代入得：
，解得： ，
∴y关于x的函数表达式为
（2）解：由（1）及题意得：
，
∴-100＜0，开口向下，对称轴为直线 ，
∵这种农产品利润率不得高于50%，
∴ ，
解得： ，
∴当 时，w随x的增大而增大，
∴当 时，w有最大值；
答：当销售价格为15元时，才能使日销售利润最大.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y与x的函数表达式为y=kx+b，将x=12、y=1000；x=13、y=900代入求出k、b的值，进而可得y与x的函数表达式；
（2）根据日销售利润w=(售价-进价)×日销售量可得w与x的关系式，根据这种农产品利润率不得高于50%可得x-10≤10×50%，求出x的范围，然后利用二次函数的性质进行求解.
24．（2021九上·邗江期末） 2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元.为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件.
（1）若降价x元，则平均每天销售数量为 件（用含x的代数式表示）；
（2）若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？
（3）若每件盈利不少于24元，不多于36元，求该经销商每天获得的最高利润和最低利润分别为多少？
【答案】（1）（30+3x）
（2）解：由题意得，
整理得：
解得：
∵要尽快减少库存
∴ 舍去
答：每件商品应降价20元.
（3）解：设该经销商每天获得的利润为W元，则由题意得，
W=
由
得
∴当x=15时， 元
当x=4时， 元
答：该经销商每天获得的最高利润和最低利润分别为1875元，1512元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）降价x元，则平均每天销售数量为（30+3x）件.
故答案为：（30+3x）
【分析】（1）若降价x元，则平均每天可多售出3x件，然后加上30即可表示出平均每天售出的件数；
（2）由题意可得每件的利润为(40-x)元，然后根据每件的利润×每天的销售量=每天获得的利润建立方程，求解即可；
（3）设该经销商每天获得的利润为W元，根据每件的利润×每天的销售量=每天获得的利润可得W与x的关系式，根据：每件盈利不少于24元，不多于36元可得24≤40-x≤36， 求出x的范围，接下来利用二次函数的性质进行解答即可.
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