2022-2023学年浙教版数学九年级上册第一章二次函数 综合题加练

2022-2023学年浙教版数学九年级上册第一章二次函数 综合题加练
一、综合题
1．（2021九上·厦门期中）疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测.某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数 （单位：人）随时间 （单位：分钟）的变化情况如图所示，当 时， 可看作是 的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为 ；当 时，累计人数保持不变.
（1）求 与 之间的函数表达式；
（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测棚，每个检测点每分钟可检测20人.校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？
（3）在（2）的条件下，如果要在8分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
【答案】（1）解：当 时，设 与 之间的函数关系式为： ，
把 代入上式得： ，
解得： ，
故函数关系式为：
当 时，累计人数保持不变，即y=500.
∴
（2）设第 分钟时的排队等待人数为 人，由题意可得：
① 时， ，
∴当 时， 的最大值 ，
②当 时， 随 的增大而减小，
，
∴排队人数最多时是180人，
要全部学生都完成体温检测，根据题意得：
解得：
答：排队人数最多时有180人，全部考生都完成体温检测需要12.5分钟；
（3）设从一开始就应该增加 个检测点，
由题意得： ，
解得
的最小整数是2，
∴一开始就应该至少增加2个检测点.
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）当0≤x≤10时，设y与x之间的函数关系式为：y=a(x-10)2+500，将（0，0）代入求出a，据此可得此时的函数解析式；当10（2）设第x分钟时的排队等待人数为w人，由题意可得：w=y-40x，将（1）中的关系式代入并结合二次函数、一次函数的性质进行解答；
（3）设从一开始就应该增加m个检测点，由题意得：8×20(m+2)≥500，求出m的范围，进而可得m的最小整数解.
2．（2021九上·温州月考）如图，抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知 ．
（1）求m的值和直线 对应的函数表达式；
（2）Q为抛物线上一点，若 ，求点Q的坐标．
【答案】（1）解：将 代入 ，
化简得 ，则 （舍）或 ，
∴ ，
得： ，则 ．
设直线 对应的函数表达式为 ，
将 、 代入可得 ，解得 ，
则直线 对应的函数表达式为
（2）解：如图，取点 ，连接 ，过点 作 于点 ，
过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴AD=CD，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，则 ， ．
设 ，
∵ ， ，
∴ ．
由 ，则 ，即 ，解之得， ．
所以 ，又 ，
可得直线 对应的表达式为 ，
设 ，代入 ，
得 ， ， ，
又 ，则 ．所以
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入函数解析式，可建立关于m的方程，解方程求出m的值，可得到抛物线的解析式，同时可得到点C的坐标；再利用点B，C的坐标，可求出直线BC的函数解析式.
（2）连接CQ，过点A作AD⊥AQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，利用已知可证得AD=CD，利用余角的性质可证得∠DCE=∠ADF，利用AAS证明△CDE≌△DAF，利用全等三角形的性质，可证得AF=DE，CE=DF；设DE=AF=a，表示出CE，DF，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到点D和点C的坐标；利用待定系数法求出直线CD的函数解析式，利用函数解析式设 ， 将其代入二次函数解析式，建立关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点Q的坐标.
3．（2021九上·北京月考）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求出该二次函数图象顶点坐标；
（2）求图象与两坐标轴的交点坐标；
（3）结合函数图象，直接写出y＜0时x的取值范围．
【答案】（1）解：将 化为顶点式为： ，
∴该二次函数图象顶点坐标为 ．
（2）解：对于 ，当 时， ；
当 时，即 ，
解得： ， ．
∴该二次函数图象与x轴交点坐标为： ，与y轴交点坐标为： 、 ．
（3）解：根据图象可直接确定y＜0时， ．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据二次函数的解析式，计算得到顶点坐标；
（2）分别令x=0和y=0，求出图象与两个坐标轴交点的坐标即可；
（3）根据图象，写出函数值小于0时x的取值范围即可。
4．（2021九上·温州月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交y轴于点A，交x轴于点 和点 .
（1）求此抛物线的表达式.
（2）若点P是直线 下方的抛物线上一动点，当 的面积最大时，求出此时点P的坐标和 的最大面积.
（3）设抛物线顶点为D，在（2）的条件下直线 上确定一点H，使 为等腰三角形，请直接写出此时点H的坐标　 　.
【答案】（1）解：由题意，将点 代入 得： ，
解得 ，
则此抛物线的表达式为 ；
（2）解：对于 ，
当 时， ，即 ，
设直线AB的函数解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则直线AB的函数解析式为 ，
如图，过点P作 轴于点F，交AB于点E，
设点P的坐标为 ， 的面积为S，则点E坐标为 ，
，
点P是直线 下方的抛物线上一动点，
，
，
的PE边上的高为 ， 的PE边上的高为 ，
，
，
，
，
由二次函数的性质可知，在 内，当 时， 取最大值，最大值为 ，
此时 ，
故点P的坐标为 ， 的最大面积为 ；
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（3）将 化成顶点式为 ，
则顶点D的坐标为 ，
由题意，设点H的坐标为 ，
由（2）可知， ，
则 ，
，
，
，
，
因此，分以下两种情况：
①当 时， 是等腰三角形，
则 ，即 ，
整理得： ，
此方程根的判别式 ，方程无解；
②当 时， 是等腰三角形，
则 ，即 ，解得 ，
此时 ，
则点H的坐标为 ；
综上，所求的点H的坐标为 .
【分析】（1）将点B、C的坐标代入y=ax2+bx-3中可得a、b，据此可得抛物线的解析式；
（2）易得A（0，-3），求出直线AB的解析式，过点P作PF⊥x轴于点F，交AB于点E，设P（m，m2+2m-3），E（m，-m-3），表示出PE，接下来根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系表示出△ABP的面积，接下来根据二次函数的性质就可得到最大值以及对应的点P的坐标；
（3）易得顶点坐标为D（-1，-4），设H（n，-n-3），由（2）可得点P的坐标，然后表示出PD2、DH2、PH2，接下来分PH=PD、DH=PH求出n的值，进而可得点H的坐标.
5．（2021九上·富平期末）如图，已知抛物线 与一直线相交于 ， 两点，与y轴交于点N，其顶点为D.
（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出M点的坐标.若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由抛物线 过点 及
得 ，解得
故抛物线的函数表达式为 .
设直线 的函数表达式为 ，
将 、 分别代入 中可得
，解得
故直线 的函数表达式为 .
（2）解：存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为 ，设点 ，
∵ ， ， ，
∴ ，同理 ， .
当 是斜边时，则 ，解得 ；
当 是斜边时， 可得： 或2；
当 是斜边时， 可得： .
故点M的坐标为 或 或 或 .
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(1)直接把 及 代入 抛物线 和 ，就可以得到抛物线和直线AC的函数表达式.
（2）由 对称轴为 ，设点 ，得到 ， ， ，先由两点间距离公式得到 ，同理 ， ，再分类讨论AM、AN、MN哪个是斜边，由勾股定理得到m的值，进而得到M的坐标.
6．（2021九上·扶风期末）如图，已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A(-1，0)，B(3，0)，交y轴于点C(0，-3)，直线 交抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)于点M，N(M在N的左侧)，抛物线顶点为P.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求ΔPMN的面积；
（3）若y1【答案】（1）解：根据题意得，
，
解得， ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：根据题意，解方程组 ，
得： 或 ，
∴ ；
∵ ；
∴P(1， )；
过P作PE垂直x轴于E，与MN交于点F，
∴ ，
∴ ；
∴ ；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）∵ ， ，
∴当 时，x的取值范围为 ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
综合上述，得：x的取值范围为： .
故答案为： .
【分析】（1）直接将A、B、C的坐标代入抛物线解析式中，求出a、b、c的值，即得结论；
（2） 先联立方程组 ，求解即得M、N的坐标，再求出抛物线的顶点P(1， )，过P作PE垂直x轴于E，与MN交于点F， 可得 ，从而求出 ，根据∴ 进行计算即可 ；
（3）由于 时，可求出x的取值范围为 ，根据 ，可得 ，
求出x的范围，再求其公共部分即可.
7．（2021九上·炎陵期末）如图，直线y1=kx+b与函数y2=的图象相交于点A(-1，6)，与x轴交于点C，且∠ACO=45°，点D是线段AC上一点.
（1）求k的值与一次函数的解析式.
（2）若直线与反比例函数的另一支交于B点，直接写出y1＜y2自变量x的取值范围，并求出△AOB的面积.
（3）若S△COD：S△AOC=2：3，求点D的坐标.
【答案】（1）解：∵反比例函数经过点A(-1，6) ，
∴k=-1×6==-6.
如图1，作AE⊥x轴，交x轴于点E，
∴E(-1，0)，EA=6，
∵∠ACO=45°，
∴CE=AE=6，
∴C(5，0) ，
∴，
∴，
∴直线y1`=-x+5；
（2）解：，
得x1=-1，x2=6，
故B(6，-1).
如图2，由图象可知，当y1＜y2时，-16 ，
S△AOB==；
（3）解：如图1，作DF⊥x轴，交x轴于点F.
∵S△COD：S△AOC=2：3，
∴DF：AE=2：3.
设点D(x，-x+5)，
即有(-x+5)：6=2：3，
∴x=1，
∴D（1，4）.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1） 将A（ 1，6）代入y2＝(x＜0)求出k的值，作AE⊥x轴，交x轴于点E．则E（ 1，0），EA＝6，根据等腰直角三角形的性质得CE＝AE＝6，即C（5，0），然后根据待定系数法即可求一次函数解析式；
（2）将y1、y2的解析式联立解方程组可求得B点的坐标，求y1＜y2自变量x的取值范围，就是求一次函数图象在反比例函数图象下方部分相应的自变量的取值范围，据此即可得出答案；然后根据三角形面积公式可求得△AOB的面积；
（3）过点D作DF⊥x轴，垂足为F，由△ODC与△OAC的面积比为2：3，可得DF：AE＝2：3，设点D（x， x＋5）．即有（ x＋5）：6＝2：3，解方程求得x的值，则点D坐标可求解.
8．（2021九上·临海期末）王大伯有一条渔船用于捕鱼和捕蟹作业，一年共安排20次出海作业，其中x次捕鱼，t次捕蟹 (x，t均为正整数，且x+t=20).每次捕鱼的平均收入y(单位:万元)与捕鱼次数x的关系为 ，每次捕蟹的平均收入p(单位:万元)与捕蟹次数t的关系如图所示.
（1）求p关于t的函数解析式.
（2）设王大伯捕鱼和捕蟹的年总收入为W(单位:万元)
①若x=8，W的值为　 　;
②求W关于x的函数解析式.　 　
（3）王大伯一年的收入能否超过216万元 若能，请写出如何安排捕鱼和捕蟹次数；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解： 设P=kt+b,
当1≤t≤6时，,
解得,
∴ ,
当6≤t≤16时，,
解得,
∴ ,
∴ ；
（2）174；解： 当1≤x<10时，10＜t≤19， ∴W=yx+Pt=(x+4)x+(-t+)t=(x+4)x+[-(20-x)+](20-x) =x2+x+90， 当10≤x＜14时，6＜t≤10， ∴W=yx+Pt=(-x+19)x+(-t+)t=(x+4)x+[-(20-x)+](20-x) =-x2+x+90， 当14≤x≤19时，1≤t≤6， ∴W=yx+Pt=(-x+19)x+(t+5)t=(x+4)x+[(20-x)+5](20-x) =-6x+300, ∴ ；
（3）解：能，理由如下：
当x=13时，
W=-x2+x+90=×132+×13+90=216.75>216,
∴ 安排捕鱼13次，捕蟹7次，收入为216.75元超过216元.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（2） ①当x=8，t=12,
，
∴W=174；
【分析】（1）分别根据线段端点坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）根据全年收入等于捕鱼收入与补蟹收入之和即可求出结果；分别根据x的范围再求出t的范围，再根据W=P+y，把相应的p与t的关系式和y与t的关系式代入，结合x+t=20即可求出W关于x的函数关系式；
（3）把x=13代入题（2）的函数式求出全年收入即可验证.
9．（2021九上·覃塘期末）如图，已知抛物线 经过 和 三点，其顶点为E，直线 轴，且在第一象限内与抛物线相交于点P.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求 的值；
（3）当直线m将 的面积分成 两部分时，求点P的坐标.
【答案】（1）解： 抛物线 经过 和 三点，
，
解得： ，
抛物线的表达式为 .
（2）解： ，
顶点E的坐标为 ，
又 ，
，
是直角三角形，且 ，
.
（3）解： ，
直线l将 分成面积分别为 和 两部分，
①当直线m经过点E时，m将 分成面积分别为 和 的两个三角形，
此时点P的坐标为 ；
②当直线m不经过点E时(如图所示)，设直线m与 分别交于点 ，
则满足题意时， ， ，
的表达式为 ，
的表达式为 ，
设此时点P的横坐标为 ，
则 ，
，
， （舍去）
此时点P的坐标为 ；
综上所述，满足题意的点P的坐标为 或
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法可求解；
（2）将抛物线的解析式配成顶点式可求得顶点E的坐标；用勾股定理可分别求得BC2、BE2、CE2的值，由勾股定理的逆定理可判断三角形BCE是直角三角形；再根据锐角三角函数定义tan∠BEC=可求解；
（3）由题意可先求得S△BCE的值；因为直线m将△BCE分成面积分别为 和 两部分，结合题意可分两种情况：
①当直线m经过点E时，m将△BCE分成面积分别为 和 的两个三角形，点P的坐标即为顶点E的坐标；
②当直线m不经过点E时(如图所示)，设直线m与BC、BE分别交于点M、N，根据三角形BMN的面积等于1可求解.
10．（2021九上·平果期末）如图，已知二次函数 的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，且 ，直线 与二次函数的图象交于点M，N（点M在点N的右边），交y轴于点P，交x轴于点Q.
（1）求二次函数的解析式；
（2）若 ， ，求直线 的解析式；
（3）若 ，直线 与y轴相交于点H，求 的取值范围.
【答案】（1）解：二次函数图象的对称轴是直线 ，
，
， ，
将 代入 ，
，
二次函数的解析式： ；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
设直线 的解析式为： ，代入 、 得，
，
直线 的解析式为 ；
（3）解：当 时， 直线 ，
整理得 ，
，
，
①当 时， ，
，
， ，
， ，
，即 ，
②当 时， ，
，
则 所在直线的解析式为 ，
，
， ，
， ，
，
综上可知， 的取值范围为 .
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】
【分析】（1）首先利用抛物线的对称轴直线公式求出该抛物线的对称轴直线，从而根据抛物线的对称性求出A、B两点的坐标，进而用待定系数法即可求解；
（2）由S△OPQ=＝×OP×OQ＝×5×OQ可求出OQ的值，即为点Q的横坐标，然后用待定系数法可求直线MN的解析式；
（3） 当b=-3k时， 直线y=kx-3k，联立两函数的解析式得：x2 （2k＋1）x＋6k 6＝0，求出x＝3或2k 2，再分2k 2＞3和2k 2＜3两种情况，分别求解即可．
11．（2021九上·长安期末）如图抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C（0，2），动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线BC于点F，点P运动到B点即停止运动，连接CE，设点P运动的时间为t秒.
（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）当t＝ 时，求△CEF的面积；
（3）当△CEF是等腰三角形时，求出此时t的值.
【答案】（1）解：将A（﹣1，0）、B（4，0），C（0，2）代入抛物线y＝ax2+bx+c，
得 ，
解得 ，
∴ ；
（2）由题意知：当t＝ 时，P（ ，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则有 ，
∴ ，
∴ ，
∵PF⊥x轴，
∴点P，E，F的横坐标均为 ，
∴分别代入一次函数和二次函数求出两点坐标：F ，E ，
∴ ；
（3）P（t，0），则）F（t，- ），E（t， ），
∵△CEF为等腰三角形，
①当CE＝CF时，此时EF的中点的纵坐标为2，
∴ ，
∴t＝2或t＝0（舍），
∴t＝2；
②当CE＝EF时，
解得 ；（ 不合题意舍去）
③当CF＝EF时，
解得 （舍）或 ；
综上所述：t的值为2或 或 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）分别将点A，B，C的坐标代入函数y＝ax2+bx+c ，建立关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到二次函数解析式；
（2）利用点P的运动速度和方向，由t的值可得到点P的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，根据PF⊥x轴，可得到点P，E，F三个点的横坐标相等，由此可求出点E，F的坐标；然后利用三角形的面积公式求出△CEF的面积；
（3）分别用含t的代数式表示出点P，F，E的坐标，利用等腰三角形的性质分情况讨论：①当CE＝CF时，此时EF的中点的纵坐标为2；②当CE＝EF时；③当CF＝EF时；分别利用勾股定理建立关于t的方程，解方程求出t的值.
12．（2020九上·罗庄期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m= ，试求m的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，
∴设y=a（x+2）（x﹣4），
∵OC=2OA，OA=2，
∴C（0，4），
代入解析式得到a=﹣ ，
∴y=﹣ （x+2）（x﹣4），
即y=﹣ x2+x+4；
（2）解：如图，作PE⊥x轴于E，交BC于F，
∵CD//PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m= ，
∵直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，
∴D（0，1），
∴CD=4-1=3，
设BC的解析式为y=dx+e，代入点B（4，0）， C（0，4），得
，
，
BC的解析式为 ，
设P（n，﹣ n2+n+4），则F（n，﹣n+4），且0＜n＜4，
∴PF=﹣ n2+n+4﹣（﹣n+4）=﹣ （n﹣2）2+2，
∴m= =﹣ （n﹣2）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴当n=2时，m有最大值，最大值为 ，此时P（2，4）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）因为抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，设y=a（x+2）（x﹣4），求出点C坐标代入求出a的值即可；
（2）由△CMD∽△FMP，得出m= ，根据关于m关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可得出结论。
13．（2021九上·和平期末）如图，抛物线 与 轴负半轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 为点 关于 轴的对称点.
（1）求抛物线的函数表达式及抛物线顶点坐标；
（2）直线以每秒2个单位的速度沿 轴的负方向平移，平移 （ ）秒后，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 关于直线 的对称点为 .
①请直接写出点 的横坐标为　 　（用含字母 的代数式表示）
②当点 落在抛物线上时，请直接写出此时 为　 　秒，点 的坐标为　 　；
③点 是第二象限内一点，当四边形 为矩形时，过抛物线顶点的一条直线将这个矩形分成面积相等的两部分，请直接写出此时 为　 　秒，这条过抛物线顶点的直线表达式为　 　.
【答案】（1）解：将点A、C的坐标代入抛物线表达式得： ，解得 ，
故抛物线的表达式为 ；
函数的对称轴为x=-2，当x=-2时， ，
故顶点的坐标为 ；
（2）（2-2t，0）；2；（-4，-2 ）；； .
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（2）令 ，解得x=-6或2，
故点B（2，0），
∵点D为点C关于x轴的对称点，故点D（0，2 ），
由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为y=- （x-2）=- x+2 ，
则t秒后直线的表达式为y=- （x+2t）+2 ①，①令y=- （x+2t）+2 =0，解得x=2-2t，
故点E的坐标为（2-2t，0）；②如图，
由直线BD的表达式y=- x+2 知，D（0，2 ），B（2，0）
∴tan∠DBO= ，
故∠DBO=60°，
则∠OBB′=90°-60°=30°，
∵
∴
∴F(0， )
设BB′的表达式为y=mx+n
将点F(0， )，B（2，0）的坐标代入上式并解得： ，
故直线BB′的表达式为y= ②，
设BB′的中点为点F，
联立①②并解得 ，即点 ，
∵点F是BB′的中点，由中点公式得：点B′（2-3t，- t），
将点B′的坐标代入抛物线表达式并解得t=2，
故点B′（-4，-2 ）；（3）设AE的中点为H，
由点A、E的坐标得，点H（-2-t，0），AE=2-2t-（-6）=8-2t，
∵四边形EGAB′为矩形，故△AB′E为直角三角形，
故BH= AE，即BH2= AE2，
则4[（2-3t+2+t）2+（- t）2]=（8-2t）2，
解得t=0（舍去）或 ，
故t= ，
则点H（- ，0），
∵过抛物线顶点的一条直线将这个矩形分成面积相等的两部分，
则该直线过点H，
由顶点坐标（-2，- ）和点H的坐标得，该直线的表达式为 ；
故答案为①（2-2t，0）；②2，（-4，-2 ）；（3） ， .
【分析】（1）由待定系数法即可求解析式；将解析式配成顶点式可求顶点坐标；
（2）①求出直线BD的表达式，进而得到t秒后直线的表达式为y＝ （x＋2t）＋2即可求解；
②求出BB′的表达式为y＝（x 2），联立解①②可把点F的坐标用含t的代数式表示出来，由中点公式可求得点B′的坐标；
（3）设AE的中点为H，结合已知易得BH=AE，即BH2=AE2，于是可得关于t的方程，解之可求得t的值，则H的坐标可求解；过抛物线顶点的一条直线将这个矩形分成面积相等的两部分，则该直线过点H，用抛物线的顶点坐标和点H的坐标根据待定系数法可求直线解析式.
14．（2021九上·新抚期末）如图，抛物线 经过A（－3，0），B（1，0）两点，与 轴交于点C，P为 轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当正方形AMPN与△AOP面积之比为5∶2时，求点P的坐标；
（3）当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线 经过A（－3，0），B（1，0）两点，
∴ ，
解得： ，
所以抛物线的解析式是 .
（2）解：设P点的纵坐标为y，
∵ ， ， .
∴ ，
解得： .
点P的坐标是： .
（3）（0，－3）或（0， ）或（0，－ ）或（0，2－ ）或（0，2＋ ）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（3）①当对角线上两点在抛物线上时，即点P在抛物线上，P点又在y轴上移动，此时P点和C点重合，所以此时P点坐标为（0，-3）.
②当边的相邻两点在抛物线上时，即点Q（Q点为M点或N点）在抛物线上，如图.
设P点坐标为（0，y），Q（ ），则 ， .
∵ ，
∴ .
作 于点D，作 于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
联立方程 ，
解得 ，
所以P点坐标为（0， ）或（0， ）.
综上可知满足条件的点P的坐标是（0，－3）或（0， ）或（0，－ ）或（0，2－ ）或（0，2＋ ）.
【分析】（1）将点A，B的坐标代入函数解析式，建立关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，由此可得到函数解析式.
（2）设P点的纵坐标为y，根据正方形AMPN与△AOP面积之比为5∶2，由此建立关于y的方程，解方程求出y的值，可得到点P的坐标.
（3）①当对角线上两点在抛物线上时，即点P在抛物线上，P点又在y轴上移动，此时P点和C点重合，可得到点P的坐标；②当边的相邻两点在抛物线上时，即点Q（Q点为M点或N点）在抛物线上，如图，设P点坐标为（0，y），利用函数解析式设Q（ ），利用两点之间的距离公式表示出AM，AP的长，用含m的代数式表示出AM，PM的长；作 于点D，作 于点E，利用AAS证明△ADM≌△PEM，利用全等三角形的性质可证得MD=ME，即可得到关于m的方程，然后解方程组求出m和y的值，即可得到点P的坐标.
15．（2020九上·长春期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ （x-1）2-2与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），第一象限内的点C在该抛物线上．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）若 的面积为12，求点C坐标；
（3）在（2）问的条件下，直线y＝mx+n经过点A、C， （x-1）2-2＞mx+n时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：令y=0，则 （x-1）2-2=0，
解得 ，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）解：∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵ ，
∴ ×4×yC=12，
解得yC=6，
∴ ，
解得 （不符题意，舍去），
∴C（5，6）；
（3）解：由图象可知，当 时，x的取值范围是x＜-1或x＞5，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；三角形的面积
【解析】【分析】（1）令y=0，可得（x-1）2-2=0，解出x的值，即得点A、B的坐标；
（2）利用（1）先求出AB=4，由yC=6，将yC=6代入函数解析式中，求出x的值并检验即得点C 坐标；
（3）观察图形可得当x＜-1或x＞5时，抛物线图象在直线y＝mx+n的图象的上方，据此即得结论.
16．（2019九上·同安月考）阅读下列材料
我们通过下列步骤估计方程2x2+x﹣2=0的根的所在的范围．
第一步：画出函数y=2x2+x﹣2的图象，发现图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，1之间．
第二步：因为当x=0时，y=﹣2＜0；当x=1时，y=1＞0．
所以可确定方程2x2+x﹣2=0的一个根x1所在的范围是0＜x1＜1．
第三步：通过取0和1的平均数缩小x1所在的范围；
取x= ，因为当x= 时，y＜0，
又因为当x=1时，y＞0，
所以 ＜x1＜1．
（1）请仿照第二步，通过运算，验证2x2+x﹣2=0的另一个根x2所在范围是﹣2＜x2＜﹣1；
（2）在﹣2＜x2＜﹣1的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在范围缩小至m＜x2＜n，使得n﹣m≤ ．
【答案】（1）解：因为当x=﹣2时，y＞0；当x=﹣1时，y＜0，
所以方程2x2+x﹣2=0的另一个根x2所在的范围是﹣2＜x2＜﹣1．…
（2）解：取x= =﹣ ，因为当x=﹣ 时，y=2× ﹣ ﹣2=1＞0，
又因为当x=﹣1时，y=﹣1＜0，
所以﹣ ＜x2＜﹣1，
取x= =﹣ ，因为当x=﹣ 时，y=2× ﹣ ﹣2=﹣ ＜0，
又因为当x=﹣ 时，y＞0，
所以﹣ ＜x2＜﹣ ，
又因为﹣ ﹣（﹣ ）= ，
所以﹣ ＜x2＜﹣ 即为所求x2 的范围.
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）计算x=﹣2和x=﹣1时，y的值，确定其x2所在范围是﹣2＜x2＜﹣1；（2）先根据第三步﹣2和﹣1的平均数确定x=﹣ ，计算x=﹣ 时y的值，得﹣ ＜x2＜﹣1，同理再求﹣1和﹣ 的平均数为﹣ ，计算x=﹣ 时y的值，从而得结论．
17．（2018九上·荆州期末）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养 天的总成本为 万元；放养 天的总成本为 万元（总成本 放养总费用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是 万元，收购成本为 万元，求 和 的值；
（2）设这批淡水鱼放养 天后的质量为 ，销售单价为 元 ．根据以往经验可知： 与 的函数关系为 ； 与 的函数关系如图所示．
①分别求出当 和 时， 与 的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养 天后一次性出售所得利润为 元，求当 为何值时， 最大？并求出最大值．（利润 销售总额-总成本）
【答案】（1）解：由题意，得： ，解得： ，答：a的值为0.04，b的值为30
（2）解：①当0≤t≤50时，设y与t的函数解析式为y=kt+n，将（0，15）、（50，25）代入，得： ，解得： ，∴y与t的函数解析式为 ；
当50＜t≤100时，设y与t的函数解析式为y=at+b，将点（50，25）、（100，20）代入，得： ，解得： ，∴y与t的函数解析式为y=﹣ t+30；
综上所述： ；
②由题意，当0≤t≤50时，W=20000（ t+15）﹣（400t+300000）=3600t，∵3600＞0，∴当t=50时，W最大值=180000（元）；
当50＜t≤100时，W=（100t+15000）（﹣ t+30）﹣（400t+300000）
=﹣10t2+1100t+150000
=﹣10（t﹣55）2+180250，∵﹣10＜0，∴当t=55时，W最大值=180250（元）．
综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；分段函数；一次函数的实际应用；二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：10×每天放养的费用+收购成本=30.4；20×每天放养的费用+收购成本=30.8，列出关于a、b的方程组，求出方程组的解即可。
（2）① 观察函数图象可知当0≤t≤50，图像经过点（0，15），（50，25）；50＜t≤100时图像经过（50，25），（100，20），分别利用待定系数法，求出两函数的解析式；②分两种情况讨论：当0≤t≤50时； 当50＜t≤100时，分别根据w=my-总成本，列出w与t的函数关系式，分别根据一次函数的增减性和二次函数的增减性，即可解决问题。
18．（2021九上·宁波月考）如图，已知抛物线 y=－x2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，与 x 轴相交于 A，B两点，与 y 轴交于点 C(0，3)．
（1）求 b，c 的值．
（2）点 C 关于直线x=1的对称点为点 D，直线 l⊥x 轴，分别交线段 AC，抛物线于 E，F 两点（点 F 在 CD 上方），连结 CF，FD，DE，CD．
①求四边形 CEDF 面积的最大值．
②若△CDE 是等腰三角形，求点 E 的坐标．
【答案】（1）解：由题意，得
解得 b=2．
将(0，3)代入 y=－x2+bx+c，得 c=3
∴b=2，c=3
（2）解：①由（1）知，抛物线的解析式为 y=－x2+2x+3．
∵点 C(0，3)关于直线 x=1 的对称点为点 D
∴点 D 的坐标为(2，3)，点 A 的坐标为(3，0)
∴直线 AC 的解析式为 y=－x+3
设直线 l 的解析式为 x=m，则点 E，F 的坐标分别为(m，－m+3)，(m，－m2+2m+3)
S 四边形 CEDF=
∵a=－1<0
∴当 m= 时， 的值最大，最大值为
②由①知，直线 AC 的解析式为 y=－x+3
∵点 E 在直线 AC 上
∴设点 E 的坐标为(t，-t+3)．当 CD=CE 时，CE=2，t2+[3－(－t+3)]2=22
解得t = （负值已舍）
∴点 E 的坐标为
当 EC=ED 时，点 E 在 CD 的中垂线上，
直线 l 为抛物线的对称轴，
∴点 E 的坐标为(1，2)．
当 DC=DE 时，由∠ECD=45°，可知∠CDE=90°，
∴点 F 与点 D 重合，不合题意，
综上：点 E 的坐标 或（1，2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称轴为直线x=1，可求出b的值；再将点C的坐标代入函数解析式，可求出c的值.
（2）①由（1）知，抛物线的解析式为 y=－x2+2x+3， 点 C(0，3)关于直线 x=1 的对称点为点D，可得到点D，A的坐标，利用待定系数法求出直线 AC 的解析式； 设直线 l 的解析式为 x=m，则点 E，F 的坐标分别为(m，－m+3)，(m，－m2+2m+3) ，然后可得到四边形CEDF与m之间的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出结果；②由①知，直线 AC 的解析式为 y=－x+3，设点 E 的坐标为(t，-t+3)．当 CD=CE 时，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点E的坐标；当 EC=ED 时，点 E 在 CD 的中垂线上，可得到点E的坐标；当 DC=DE 时，由∠ECD=45°，可知∠CDE=90°，点 F 与点 D 重合，不合题意；综上所述可得到符合题意的点E的坐标.
19．（2021九上·宜州期末）如图所示，抛物线 经过 、 两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，求四边形 的面积；
（3）若点Q在y轴上，点P在抛物线上.是否存在以点A、B、P、Q为顶点的平行四边形，若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标.
【答案】（1）解：
把 和 代入解析式得，
，
解得 .
∴所求解析式为 .
（2）解：由（1）可求顶点 ，
∵ ， ，
∴
.
（3）存在， ， ，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）
由解析式可求得 ，则 ，
当 为平行四边形的边时，有 ， ，
①Q点在P点左边时，可设 ，
把 代入解析式得
∴ ；
②Q点在P点右边时（图象略），可设 ，
把 代入解析式得
∴ ，
当 为平行四边形的对角线时，有 ， ，
此时 ， 的中点为 ，由对称性可设 ，
把 代入抛物线的解析式可得 ，
满足条件的点为 ， ， .
【分析】（1）将点B，D的坐标分别代入函数解析式，建立关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，可得到函数解析式；
（2）利用函数解析式求出抛物线的顶点坐标，利用点的坐标求出OB，OC的长，再根据四边形BOCM的面积=△COM的面积+△OBM的面积，利用三角形的面积公式可求出四边形BOCM的面积；
（3）利用函数解析式求出点A的坐标可求出AB的长，分情况讨论：当AB为平行四边形的边时，Q点在P点左边时，可设 ，将点P的横坐标代入解析式，可求出点P的坐标；Q点在P点右边时（图象略），可设 ，利用同样的方法可求出点P的坐标；当AB为平行四边形的对角线时，可得到AB=PQ=4，可求出AB和PQ的交点E的坐标，利用对称性可求出点P的横坐标，然后将点P的横坐标代入函数解析式，可求出n的值，即可得到点P的坐标，综上所述可得到符合题意的点P的坐标.
20．（2021九上·瑞安月考）某蛋糕店有线下和网上两种销售方式，每天共销售50个。已知线下和网上销售的纯利润分别为24元/个，20元/个，每天的总纯利润为1120元.
（1）求线下和网上的销售量分别是多少.
（2）该店为了扩大业务，增加了销售量。调查发现，线下销售的每个蛋糕的纯利润保持不变；网上销售在原来的基础上每降低1元的纯利润，销售量增加2个.
①该店当天线下和网上销售量均为34个，求当天的总纯利润？
②若线下增加的销售量不超过原来线下销售量的，该店每天生产多少个蛋糕，可使当天的总纯利润最大？
【答案】（1）解：设线下的销售量为x个，则网上的销售量为（50-x）个
x=30
∴线下的销售量为30个，则网上的销售量为20个.
（2）解：①总纯利润=34×24+34×（20-7）=1258（元）
②设网上销售在原来的基础上降低x元的纯利润
∵
∴当时，网上销售量为20+2×5=30个
有最大值
设线下的销售量m个，则
∵k=24，随着m的增大而增大
∵线下增加的销售量不超过原来线下销售量的
∴m个
∴当m=40时，有最大值
∴当每天生产40+30=70个蛋糕时，当天总利润最大.
【知识点】二次函数的最值；一元一次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设线下的销售量为x个，网上的销售量为（50-x）个，根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案；
（2）①总利润=线下销售的纯利润+网上销售的纯利润，列出算式进行计算，即可得出答案；
②设网上销售在原来的基础上降低x元的纯利润，利用利润=每个蛋糕的利润×销售量得出W网=（20-x）（20+2x），得出当网上销售量为30个时，W网有最大值，设线下的销售量m个，得出W线=24m，再求出当m=40时，W线有最大值，即可得出答案.
21．（2020九上·蓬莱期末）某公司计划投资 、 两种产品，若只投资 产品，所获得利润 （万元）与投资金额 （万元）之间的关系如图所示，若只投资 产品，所获得利润 （万元）与投资金额 （万元）的函数关系式为 ．
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）若投资 产品所获得利润的最大值比投资 产品所获得利润的最大值少140万元，求 的值；
（3）该公司筹集 万元资金，同时投资 、 两种产品，设投资 产品的资金为 万元，所获得的总利润记作 万元，若 时， 随 的增大而减少，求 的取值范围．
【答案】（1）解：由图象可知点 是抛物线的顶点坐标，
设 与 之间的函数关系式为 ，
又 点 在抛物线 上，
，
解得 ．
与 之间的函数关系式为 ；
（2）解：由（1）得，投资 产品所获得利润的最大值为 ，
，
投资 产品所获得利润的最大值为 ．
由题意可得， ，解得 ．
当 时不符合题意，
；
（3）解：由题意可得， ．
当 时， 随 的增大而减小，
解得 ．
的取值范围为 ．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2） ，则 ，即可求解；
（3）由题意得出 ． 当 时， 随 的增大而减小， 则 ，即可求解。
22．（2020九上·河东期末）某公司在市场销售“国耀2020”品牌手机，第一年售价定为4500元时，销售量为14百万台，根据以往市场调查经验，从第二年开始，手机每降低500元，销售量就增加2百万台，设该手机在市场销售的年份为x年（x为整数）．
（1）根据题意，填写下表：
第x年 1 2 3 … x
售价（元） 4500 4000 　 … 　
销售量（百万台） 14 16 　 … 　
（2）设第x年“国耀2020”手机的年销售额为y（百万元），试问该公司销售“国耀2020”手机在第几年的年销售额可以达到最大？最大值为多少百万元？
（3）若生产一台“国耀2020”手机的成本为3000元，如果你是该公司的决策者，要使公司的累计总利润最大，那么“国耀2020”手机销售　 　年就应该停产，去创新新的手机．
【答案】（1）解：根据题意，填写下表：
第x年 1 2 3 … x
售价（元） 4500 4000 3500 … ﹣500x＋5000
销售量（百万台） 14 16 18 … 2x＋12
（2）解：由题意得：W＝（2x＋12）（﹣500x＋5000）＝﹣1000（x﹣2）2＋64000，
∵﹣1000＜0，故抛物线开口向下，W有最大值，
当x＝2（年）时，W最大值为64000（百万元），
第二年销售额最大，为64000百万元
（3）四
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（3）由题意得：（2x＋12）（﹣500x＋5000﹣3000）＝0，
﹣1000（x＋1）2＋25000＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣6（舍），
∴第四年该手机应该停产，
【分析】（1）根据题意填写表格即可；
（2）根据销售额=售价×销售量，求出W关于x的函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）利用（2）结论，令w=0建立方程，解之即可.
23．（2020九上·台安月考）在高尔夫球训练中，运动员在距球洞 处击球，其飞行路线满足抛物线 ，其图象如图所示，其中球飞行高度为 ，球飞行的水平距离为 ，球落地时距球洞的水平距离为 .
（1）求 的值；
（2）若运动员再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球的飞行路线应满足怎样的抛物线，求抛物线的解析式；
（3）若球洞 处有一横放的 高的球网，球的飞行路线仍满足抛物线 ，要使球越过球网，又不越过球洞（刚好进洞），求 的取值范围.
【答案】（1）解： 由题意得点 在抛物线 上，
，
；
（2）解：要使球刚好进球洞，则抛物线 需经过 ， 两点，
要使球飞行的高度不变，则最高点的纵坐标为 ，
抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，
抛物线经过 ，
， ，
；
（3）解：把 ， 代入 中，得 ，
把 ， 代入 中，得 ，
要使球越过球网，又不越过球洞（刚好进洞），
则 的取值范围是 .
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）把 代入 ，利用待定系数法即可求出抛物线解析式；
（2）根据飞行高度不变可得抛物线的顶点坐标，设出顶点式，进而把原点坐标代入即可求得相应的解析式；
（3）把 ， ， ， 分别代入 中即可得到结论.
24．（2019九上·衢州期中）“阳光体育活动”促进了学校体育活动的开展，小杰在一次铅球比赛中，铅球出手以后的轨迹是抛物线的一部分（如图所示），已知铅球出手时离地面1.6米，铅球离投掷点3米时达到最高点，在离投掷点8米处落地，
（1）请求出此轨迹所在抛物线的关系式.
（2）设抛物线与X轴另一个交点是E，点Q是对称轴上的一个动点，求当△EBQ的周长最短时点Q的坐标。
（3）在抛物线上是否存在点G使得S△DEG=19.5,若存在请求出点G的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】（1）解： 由题意得y=a(x-3)2+k,
则1.6=a(0-3)2+k, 0=a(8-3)2+k,
解得a=-0.1, k=2.5,
∴ .
（2）解：如图，
由题意知，FC是ED的垂直平分线，
∴BQ+QD＞BQ‘+Q'D=BD，
∴当B、Q'、D共线时，△EBQ的周长最短，
设直线BD的函数解析式为y=kx+b,
则b=1.6, 0=k×8+b,
解得k=-0.2,
∴y=-0.2x+1.6,
当x=3, y=-0.2×3+1.6=1，
∴Q(3,1) .
（3）解：
时，0.1(x-3)2+2.5=3.9,整理得x2-6x+23=0,△=36-4×23=-56<0,∴x无实数根，-0.1(x-3)2+2.5=-3.9,整理得x2-6x-55=0,(x-11)(x+5)=0, ∴x=11或x=-5,
∴G(-5,-3.9),G(11,-3.9).
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）因为球距投掷点3米时达到最高点，可设抛物线的方程为y=a(x-3)2+k, 把C、D点坐标代入列式求出a,k值，则函数式可求；
（2）根据垂直平分线的性质定理，结合三角形三边的关系推得当B、Q、D三点共线时， △EBQ的周长最短 ，于是利用待定系数法求出直线BD的函数式，求出其与抛物线对称轴的交点坐标即可；
（3）设抛物线的纵坐标为y, 根据三角形的面积公式列式，求得y=±3.9，将其代入二次函数式，求出此时的x值即可.
25．（2018九上·新乡期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．
（1）当a＝﹣ 时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为 m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．
【答案】（1）解：①当a= 时， ，将点P（0，1）代入，得： ×16+h=1，解得：h= ；
②把x=5代入 ，得： =1.625，∵1.625＞1.55，∴此球能过网
（2）解：把（0，1）、（7， ）代入 ，得： ，解得： ，∴a=
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）由题意分别把a=-和点P（0,1）、x=5代入解析式计算即可求解；
（2）由题意知抛物线过点（0,1）和点（7，），所以用待定系数法计算即可求解析式。
26．（2021九上·舞阳期末）如图，已知抛物线 的图象的顶点坐标是 ，并且经过点 ，直线 与抛物线交于 ， 两点，以 为直径作圆，圆心为点 ，圆 与直线 交于对称轴右侧的点 ，直线 上每一点的纵坐标都等于1.
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：圆 与 轴相切；
（3）过点 作 ，垂足为 ，再过点 作 ，垂足为 ，求 的值.（或者求 的值）
【答案】（1）解：∵已知抛物线 的图象的顶点坐标是 ，
∴可设抛物线解析式为 ，
∵抛物线经过点 ，∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，即 .
（2）证明：联立直线和抛物线解析式可得 ，
解得： 或 ，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，∴点 的纵坐标为 ，
∵ ，
∴圆的半径为 ，∴点 到 轴的距离等于圆的半径，
∴圆 与 轴相切.
（3）解：如图，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，
由（2）知 ，
在 中，由勾股定理求得 ，
∵ ，∴ .
BE=
∴
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据已知的顶点坐标可设抛物线的解析式为顶点式，再结合抛物线过点（4，2），可求得抛物线的解析式；
（2）把直线和抛物线解析式联立解方程组可求得B、D两点的坐标，再根据线段中点的意义可求得C点坐标，用两点间的距离公式求得线段BD的长，则圆的半径可求解，比较圆的半径和点C的纵坐标的大小并结合圆的切线的判定可求解；
（3）过点C作CH⊥m于点H，连接CM，用勾股定理可求得MH的值，利用（2）中所求B、D的坐标可求得FH，则可求得MF和BE的长，再求其比值即可.
27．（2020九上·泗水期末）如图所示，在平面直角坐标系中， 经过原点 ，且与 轴、 轴分别相交于 ， 两点．
（1）请求出直线 的函数表达式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于 轴且经过点 ，顶点 在 上，开口向下，且经过点 ，求此抛物线的函数表达式；
（3）设 中的抛物线交 轴于 ， 两点，在抛物线上是否存在点 ，使得 若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设直线 的函数表达式为 ，
直线 经过 ， ，
由此可得
解得
直线 的函数表达式为 ．
（2）解：在 中，由勾股定理，得 ，
经过 ， ， 三点，且 ，
为 的直径，
半径 ，
设抛物线的对称轴交 轴于点 ，
，
由垂径定理，得 ．
在 中， ，
，
顶点 的坐标为 ，
设抛物线的表达式为 ，
它经过 ，
把 ， 代入上式，
得 ，
解得 ，
抛物线的表达式为 ．
（3）解：如图，连接 ， ，
．
在抛物线 中，
设 ，则 ，
解得 ， ．
， 的坐标分别是 ， ，
；
设在抛物线上存在点 ，使得 ，
则 ，
，
当 时， ，
解得 ，
；
当 时， ，
解得 ， ，
， ．
综上所述，这样的 点存在，且有三个， ， ， ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据两点法可求得直线AB的解析式；
（2）求出直径AB，得出半径MC的值，由中位线定理得出， ，设抛物线的表达式为 ， 因为 经过 ，把 ， 代入上式， 得出a的值即可得出 抛物线的表达式 ；
（3）由（2）可求出线段DE的长，三角形ABC的面积可求，即可得出DE边上的高，可表示出点P的纵坐标，代入抛物线解析式求出点P的横坐标即可。
28．（2021九上·武汉期末）如图，经过定点A的直线 （k＜0）交抛物线y=﹣x2+4x于B，C两点（点C在点B的右侧），D为抛物线的顶点.
（1）直接写出点A的坐标；
（2）如图（1），若△ACD的面积是△ABD面积的两倍，求k的值；
（3）如图（2），以AC为直径作⊙E，若⊙E与直线y=t所截的弦长恒为定值，求t的值.
【答案】（1）A（2，1）
（2）解：∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
∴顶点D的坐标为（2，4）.
∵点A的坐标为（2，1），
∴AD⊥x轴.
如图（1），分别过点B，C作直线AD的垂线，垂足分别为M，N，设B，C的横坐标分别为x1，x2，
∵△ACD的面积是△ABD面积的两倍，
∴CN=2BM，
∴x2﹣2=2（2﹣x1），
∴2x1+x2=6.
联立 ，
得x2+（k﹣4）x﹣2k+1=0，①
解得：x1= ，x2= ，
∴2× =6，
化简得： =﹣3k，
解得：k=﹣ .
（3）解：如图（2），设⊙E与直线y=t交于点G，H，点C的坐标为（a，﹣a2+4a）.
∵E是AC的中点，
∴将线段AE沿AC方向平移与EC重合，
∴xE﹣xA=xC﹣xE，yE﹣yA=yC﹣yE，
∴xE= xA+xC），yE= （yA+yC），
∴E（ ）.
分别过点E，A作x轴，y轴的平行线交于点F.
在Rt△AEF中，由勾股定理得：
EA2=
= ，
过点E作PE⊥GH，垂足为P，连接EH，
∴GH=2PH，EP2= ，
又∵AE=EH，
∴GH2=4PH2
=4（EH2﹣EP2）
=4（EA2﹣EP2）
.
∵GH的长为定值，
∴ ﹣t=0，且4t﹣5=0，
∴t= .
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵A为直线y=k（x﹣2）+1上的定点，
∴A的坐标与k无关，
∴x﹣2=0，
∴x=2，此时y=1，
∴点A的坐标为（2，1）；
【分析】（1）根据A为直线y=k（x﹣2）+1上的定点，可知A的坐标与k无关，由此可得到x-2=0，可求出x的值，即可求出y的值，可得到点A的坐标；
（2）将函数解析式转化为顶点式，可得到点D的坐标，分别过点B，C作直线AD的垂线，垂足分别为M，N，设B，C的横坐标分别为x1，x2， 再根据△ACD的面积是△ABD面积的两倍， 可推出CN=2BM，可得到2x1+x2=6；再将两函数联立方程组求出方程组的解，然后根据2x1+x2=6建立关于k的方程，解方程求出k的值；
（3）设⊙E与直线y=t交于点G，H，点C的坐标为（a，﹣a2+4a）， 利用线段中点可知将线段AE沿AC方向平移与EC重合， 可得到xE﹣xA=xC﹣xE，yE﹣yA=yC﹣yE，分别求出点E的横纵坐标，可得到点E的坐标；分别过点E，A作x轴，y轴的平行线交于点F，在Rt△AEF中，利用勾股定理可得到EA2与a的函数解析式， 过点E作PE⊥GH，垂足为P，连接EH，可得到GH=2PH，可求出EP2；然后根据AE=EH，可得到GH2=4PH2，可建立 GH2=4PH2关于a，t的函数解析式，根据GH的长为定值，可建立关于t的函数解析式，解方程求出t的值.
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级上册第一章二次函数 综合题加练
一、综合题
1．（2021九上·厦门期中）疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测.某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数 （单位：人）随时间 （单位：分钟）的变化情况如图所示，当 时， 可看作是 的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为 ；当 时，累计人数保持不变.
（1）求 与 之间的函数表达式；
（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测棚，每个检测点每分钟可检测20人.校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？
（3）在（2）的条件下，如果要在8分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
2．（2021九上·温州月考）如图，抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知 ．
（1）求m的值和直线 对应的函数表达式；
（2）Q为抛物线上一点，若 ，求点Q的坐标．
3．（2021九上·北京月考）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求出该二次函数图象顶点坐标；
（2）求图象与两坐标轴的交点坐标；
（3）结合函数图象，直接写出y＜0时x的取值范围．
4．（2021九上·温州月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交y轴于点A，交x轴于点 和点 .
（1）求此抛物线的表达式.
（2）若点P是直线 下方的抛物线上一动点，当 的面积最大时，求出此时点P的坐标和 的最大面积.
（3）设抛物线顶点为D，在（2）的条件下直线 上确定一点H，使 为等腰三角形，请直接写出此时点H的坐标　 　.
5．（2021九上·富平期末）如图，已知抛物线 与一直线相交于 ， 两点，与y轴交于点N，其顶点为D.
（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出M点的坐标.若不存在，请说明理由.
6．（2021九上·扶风期末）如图，已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A(-1，0)，B(3，0)，交y轴于点C(0，-3)，直线 交抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)于点M，N(M在N的左侧)，抛物线顶点为P.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求ΔPMN的面积；
（3）若y17．（2021九上·炎陵期末）如图，直线y1=kx+b与函数y2=的图象相交于点A(-1，6)，与x轴交于点C，且∠ACO=45°，点D是线段AC上一点.
（1）求k的值与一次函数的解析式.
（2）若直线与反比例函数的另一支交于B点，直接写出y1＜y2自变量x的取值范围，并求出△AOB的面积.
（3）若S△COD：S△AOC=2：3，求点D的坐标.
8．（2021九上·临海期末）王大伯有一条渔船用于捕鱼和捕蟹作业，一年共安排20次出海作业，其中x次捕鱼，t次捕蟹 (x，t均为正整数，且x+t=20).每次捕鱼的平均收入y(单位:万元)与捕鱼次数x的关系为 ，每次捕蟹的平均收入p(单位:万元)与捕蟹次数t的关系如图所示.
（1）求p关于t的函数解析式.
（2）设王大伯捕鱼和捕蟹的年总收入为W(单位:万元)
①若x=8，W的值为　 　;
②求W关于x的函数解析式.　 　
（3）王大伯一年的收入能否超过216万元 若能，请写出如何安排捕鱼和捕蟹次数；若不能，请说明理由.
9．（2021九上·覃塘期末）如图，已知抛物线 经过 和 三点，其顶点为E，直线 轴，且在第一象限内与抛物线相交于点P.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求 的值；
（3）当直线m将 的面积分成 两部分时，求点P的坐标.
10．（2021九上·平果期末）如图，已知二次函数 的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，且 ，直线 与二次函数的图象交于点M，N（点M在点N的右边），交y轴于点P，交x轴于点Q.
（1）求二次函数的解析式；
（2）若 ， ，求直线 的解析式；
（3）若 ，直线 与y轴相交于点H，求 的取值范围.
11．（2021九上·长安期末）如图抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C（0，2），动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线BC于点F，点P运动到B点即停止运动，连接CE，设点P运动的时间为t秒.
（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）当t＝ 时，求△CEF的面积；
（3）当△CEF是等腰三角形时，求出此时t的值.
12．（2020九上·罗庄期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m= ，试求m的最大值及此时点P的坐标．
13．（2021九上·和平期末）如图，抛物线 与 轴负半轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 为点 关于 轴的对称点.
（1）求抛物线的函数表达式及抛物线顶点坐标；
（2）直线以每秒2个单位的速度沿 轴的负方向平移，平移 （ ）秒后，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 关于直线 的对称点为 .
①请直接写出点 的横坐标为　 　（用含字母 的代数式表示）
②当点 落在抛物线上时，请直接写出此时 为　 　秒，点 的坐标为　 　；
③点 是第二象限内一点，当四边形 为矩形时，过抛物线顶点的一条直线将这个矩形分成面积相等的两部分，请直接写出此时 为　 　秒，这条过抛物线顶点的直线表达式为　 　.
14．（2021九上·新抚期末）如图，抛物线 经过A（－3，0），B（1，0）两点，与 轴交于点C，P为 轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当正方形AMPN与△AOP面积之比为5∶2时，求点P的坐标；
（3）当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标.
15．（2020九上·长春期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ （x-1）2-2与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），第一象限内的点C在该抛物线上．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）若 的面积为12，求点C坐标；
（3）在（2）问的条件下，直线y＝mx+n经过点A、C， （x-1）2-2＞mx+n时，直接写出x的取值范围．
16．（2019九上·同安月考）阅读下列材料
我们通过下列步骤估计方程2x2+x﹣2=0的根的所在的范围．
第一步：画出函数y=2x2+x﹣2的图象，发现图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，1之间．
第二步：因为当x=0时，y=﹣2＜0；当x=1时，y=1＞0．
所以可确定方程2x2+x﹣2=0的一个根x1所在的范围是0＜x1＜1．
第三步：通过取0和1的平均数缩小x1所在的范围；
取x= ，因为当x= 时，y＜0，
又因为当x=1时，y＞0，
所以 ＜x1＜1．
（1）请仿照第二步，通过运算，验证2x2+x﹣2=0的另一个根x2所在范围是﹣2＜x2＜﹣1；
（2）在﹣2＜x2＜﹣1的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在范围缩小至m＜x2＜n，使得n﹣m≤ ．
17．（2018九上·荆州期末）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养 天的总成本为 万元；放养 天的总成本为 万元（总成本 放养总费用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是 万元，收购成本为 万元，求 和 的值；
（2）设这批淡水鱼放养 天后的质量为 ，销售单价为 元 ．根据以往经验可知： 与 的函数关系为 ； 与 的函数关系如图所示．
①分别求出当 和 时， 与 的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养 天后一次性出售所得利润为 元，求当 为何值时， 最大？并求出最大值．（利润 销售总额-总成本）
18．（2021九上·宁波月考）如图，已知抛物线 y=－x2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，与 x 轴相交于 A，B两点，与 y 轴交于点 C(0，3)．
（1）求 b，c 的值．
（2）点 C 关于直线x=1的对称点为点 D，直线 l⊥x 轴，分别交线段 AC，抛物线于 E，F 两点（点 F 在 CD 上方），连结 CF，FD，DE，CD．
①求四边形 CEDF 面积的最大值．
②若△CDE 是等腰三角形，求点 E 的坐标．
19．（2021九上·宜州期末）如图所示，抛物线 经过 、 两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，求四边形 的面积；
（3）若点Q在y轴上，点P在抛物线上.是否存在以点A、B、P、Q为顶点的平行四边形，若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标.
20．（2021九上·瑞安月考）某蛋糕店有线下和网上两种销售方式，每天共销售50个。已知线下和网上销售的纯利润分别为24元/个，20元/个，每天的总纯利润为1120元.
（1）求线下和网上的销售量分别是多少.
（2）该店为了扩大业务，增加了销售量。调查发现，线下销售的每个蛋糕的纯利润保持不变；网上销售在原来的基础上每降低1元的纯利润，销售量增加2个.
①该店当天线下和网上销售量均为34个，求当天的总纯利润？
②若线下增加的销售量不超过原来线下销售量的，该店每天生产多少个蛋糕，可使当天的总纯利润最大？
21．（2020九上·蓬莱期末）某公司计划投资 、 两种产品，若只投资 产品，所获得利润 （万元）与投资金额 （万元）之间的关系如图所示，若只投资 产品，所获得利润 （万元）与投资金额 （万元）的函数关系式为 ．
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）若投资 产品所获得利润的最大值比投资 产品所获得利润的最大值少140万元，求 的值；
（3）该公司筹集 万元资金，同时投资 、 两种产品，设投资 产品的资金为 万元，所获得的总利润记作 万元，若 时， 随 的增大而减少，求 的取值范围．
22．（2020九上·河东期末）某公司在市场销售“国耀2020”品牌手机，第一年售价定为4500元时，销售量为14百万台，根据以往市场调查经验，从第二年开始，手机每降低500元，销售量就增加2百万台，设该手机在市场销售的年份为x年（x为整数）．
（1）根据题意，填写下表：
第x年 1 2 3 … x
售价（元） 4500 4000 　 … 　
销售量（百万台） 14 16 　 … 　
（2）设第x年“国耀2020”手机的年销售额为y（百万元），试问该公司销售“国耀2020”手机在第几年的年销售额可以达到最大？最大值为多少百万元？
（3）若生产一台“国耀2020”手机的成本为3000元，如果你是该公司的决策者，要使公司的累计总利润最大，那么“国耀2020”手机销售　 　年就应该停产，去创新新的手机．
23．（2020九上·台安月考）在高尔夫球训练中，运动员在距球洞 处击球，其飞行路线满足抛物线 ，其图象如图所示，其中球飞行高度为 ，球飞行的水平距离为 ，球落地时距球洞的水平距离为 .
（1）求 的值；
（2）若运动员再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球的飞行路线应满足怎样的抛物线，求抛物线的解析式；
（3）若球洞 处有一横放的 高的球网，球的飞行路线仍满足抛物线 ，要使球越过球网，又不越过球洞（刚好进洞），求 的取值范围.
24．（2019九上·衢州期中）“阳光体育活动”促进了学校体育活动的开展，小杰在一次铅球比赛中，铅球出手以后的轨迹是抛物线的一部分（如图所示），已知铅球出手时离地面1.6米，铅球离投掷点3米时达到最高点，在离投掷点8米处落地，
（1）请求出此轨迹所在抛物线的关系式.
（2）设抛物线与X轴另一个交点是E，点Q是对称轴上的一个动点，求当△EBQ的周长最短时点Q的坐标。
（3）在抛物线上是否存在点G使得S△DEG=19.5,若存在请求出点G的坐标,若不存在,请说明理由.
25．（2018九上·新乡期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．
（1）当a＝﹣ 时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为 m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．
26．（2021九上·舞阳期末）如图，已知抛物线 的图象的顶点坐标是 ，并且经过点 ，直线 与抛物线交于 ， 两点，以 为直径作圆，圆心为点 ，圆 与直线 交于对称轴右侧的点 ，直线 上每一点的纵坐标都等于1.
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：圆 与 轴相切；
（3）过点 作 ，垂足为 ，再过点 作 ，垂足为 ，求 的值.（或者求 的值）
27．（2020九上·泗水期末）如图所示，在平面直角坐标系中， 经过原点 ，且与 轴、 轴分别相交于 ， 两点．
（1）请求出直线 的函数表达式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于 轴且经过点 ，顶点 在 上，开口向下，且经过点 ，求此抛物线的函数表达式；
（3）设 中的抛物线交 轴于 ， 两点，在抛物线上是否存在点 ，使得 若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
28．（2021九上·武汉期末）如图，经过定点A的直线 （k＜0）交抛物线y=﹣x2+4x于B，C两点（点C在点B的右侧），D为抛物线的顶点.
（1）直接写出点A的坐标；
（2）如图（1），若△ACD的面积是△ABD面积的两倍，求k的值；
（3）如图（2），以AC为直径作⊙E，若⊙E与直线y=t所截的弦长恒为定值，求t的值.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：当 时，设 与 之间的函数关系式为： ，
把 代入上式得： ，
解得： ，
故函数关系式为：
当 时，累计人数保持不变，即y=500.
∴
（2）设第 分钟时的排队等待人数为 人，由题意可得：
① 时， ，
∴当 时， 的最大值 ，
②当 时， 随 的增大而减小，
，
∴排队人数最多时是180人，
要全部学生都完成体温检测，根据题意得：
解得：
答：排队人数最多时有180人，全部考生都完成体温检测需要12.5分钟；
（3）设从一开始就应该增加 个检测点，
由题意得： ，
解得
的最小整数是2，
∴一开始就应该至少增加2个检测点.
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）当0≤x≤10时，设y与x之间的函数关系式为：y=a(x-10)2+500，将（0，0）代入求出a，据此可得此时的函数解析式；当10（2）设第x分钟时的排队等待人数为w人，由题意可得：w=y-40x，将（1）中的关系式代入并结合二次函数、一次函数的性质进行解答；
（3）设从一开始就应该增加m个检测点，由题意得：8×20(m+2)≥500，求出m的范围，进而可得m的最小整数解.
2．【答案】（1）解：将 代入 ，
化简得 ，则 （舍）或 ，
∴ ，
得： ，则 ．
设直线 对应的函数表达式为 ，
将 、 代入可得 ，解得 ，
则直线 对应的函数表达式为
（2）解：如图，取点 ，连接 ，过点 作 于点 ，
过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴AD=CD，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，则 ， ．
设 ，
∵ ， ，
∴ ．
由 ，则 ，即 ，解之得， ．
所以 ，又 ，
可得直线 对应的表达式为 ，
设 ，代入 ，
得 ， ， ，
又 ，则 ．所以
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入函数解析式，可建立关于m的方程，解方程求出m的值，可得到抛物线的解析式，同时可得到点C的坐标；再利用点B，C的坐标，可求出直线BC的函数解析式.
（2）连接CQ，过点A作AD⊥AQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，利用已知可证得AD=CD，利用余角的性质可证得∠DCE=∠ADF，利用AAS证明△CDE≌△DAF，利用全等三角形的性质，可证得AF=DE，CE=DF；设DE=AF=a，表示出CE，DF，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到点D和点C的坐标；利用待定系数法求出直线CD的函数解析式，利用函数解析式设 ， 将其代入二次函数解析式，建立关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点Q的坐标.
3．【答案】（1）解：将 化为顶点式为： ，
∴该二次函数图象顶点坐标为 ．
（2）解：对于 ，当 时， ；
当 时，即 ，
解得： ， ．
∴该二次函数图象与x轴交点坐标为： ，与y轴交点坐标为： 、 ．
（3）解：根据图象可直接确定y＜0时， ．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据二次函数的解析式，计算得到顶点坐标；
（2）分别令x=0和y=0，求出图象与两个坐标轴交点的坐标即可；
（3）根据图象，写出函数值小于0时x的取值范围即可。
4．【答案】（1）解：由题意，将点 代入 得： ，
解得 ，
则此抛物线的表达式为 ；
（2）解：对于 ，
当 时， ，即 ，
设直线AB的函数解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则直线AB的函数解析式为 ，
如图，过点P作 轴于点F，交AB于点E，
设点P的坐标为 ， 的面积为S，则点E坐标为 ，
，
点P是直线 下方的抛物线上一动点，
，
，
的PE边上的高为 ， 的PE边上的高为 ，
，
，
，
，
由二次函数的性质可知，在 内，当 时， 取最大值，最大值为 ，
此时 ，
故点P的坐标为 ， 的最大面积为 ；
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（3）将 化成顶点式为 ，
则顶点D的坐标为 ，
由题意，设点H的坐标为 ，
由（2）可知， ，
则 ，
，
，
，
，
因此，分以下两种情况：
①当 时， 是等腰三角形，
则 ，即 ，
整理得： ，
此方程根的判别式 ，方程无解；
②当 时， 是等腰三角形，
则 ，即 ，解得 ，
此时 ，
则点H的坐标为 ；
综上，所求的点H的坐标为 .
【分析】（1）将点B、C的坐标代入y=ax2+bx-3中可得a、b，据此可得抛物线的解析式；
（2）易得A（0，-3），求出直线AB的解析式，过点P作PF⊥x轴于点F，交AB于点E，设P（m，m2+2m-3），E（m，-m-3），表示出PE，接下来根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系表示出△ABP的面积，接下来根据二次函数的性质就可得到最大值以及对应的点P的坐标；
（3）易得顶点坐标为D（-1，-4），设H（n，-n-3），由（2）可得点P的坐标，然后表示出PD2、DH2、PH2，接下来分PH=PD、DH=PH求出n的值，进而可得点H的坐标.
5．【答案】（1）解：由抛物线 过点 及
得 ，解得
故抛物线的函数表达式为 .
设直线 的函数表达式为 ，
将 、 分别代入 中可得
，解得
故直线 的函数表达式为 .
（2）解：存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为 ，设点 ，
∵ ， ， ，
∴ ，同理 ， .
当 是斜边时，则 ，解得 ；
当 是斜边时， 可得： 或2；
当 是斜边时， 可得： .
故点M的坐标为 或 或 或 .
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(1)直接把 及 代入 抛物线 和 ，就可以得到抛物线和直线AC的函数表达式.
（2）由 对称轴为 ，设点 ，得到 ， ， ，先由两点间距离公式得到 ，同理 ， ，再分类讨论AM、AN、MN哪个是斜边，由勾股定理得到m的值，进而得到M的坐标.
6．【答案】（1）解：根据题意得，
，
解得， ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：根据题意，解方程组 ，
得： 或 ，
∴ ；
∵ ；
∴P(1， )；
过P作PE垂直x轴于E，与MN交于点F，
∴ ，
∴ ；
∴ ；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）∵ ， ，
∴当 时，x的取值范围为 ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
综合上述，得：x的取值范围为： .
故答案为： .
【分析】（1）直接将A、B、C的坐标代入抛物线解析式中，求出a、b、c的值，即得结论；
（2） 先联立方程组 ，求解即得M、N的坐标，再求出抛物线的顶点P(1， )，过P作PE垂直x轴于E，与MN交于点F， 可得 ，从而求出 ，根据∴ 进行计算即可 ；
（3）由于 时，可求出x的取值范围为 ，根据 ，可得 ，
求出x的范围，再求其公共部分即可.
7．【答案】（1）解：∵反比例函数经过点A(-1，6) ，
∴k=-1×6==-6.
如图1，作AE⊥x轴，交x轴于点E，
∴E(-1，0)，EA=6，
∵∠ACO=45°，
∴CE=AE=6，
∴C(5，0) ，
∴，
∴，
∴直线y1`=-x+5；
（2）解：，
得x1=-1，x2=6，
故B(6，-1).
如图2，由图象可知，当y1＜y2时，-16 ，
S△AOB==；
（3）解：如图1，作DF⊥x轴，交x轴于点F.
∵S△COD：S△AOC=2：3，
∴DF：AE=2：3.
设点D(x，-x+5)，
即有(-x+5)：6=2：3，
∴x=1，
∴D（1，4）.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1） 将A（ 1，6）代入y2＝(x＜0)求出k的值，作AE⊥x轴，交x轴于点E．则E（ 1，0），EA＝6，根据等腰直角三角形的性质得CE＝AE＝6，即C（5，0），然后根据待定系数法即可求一次函数解析式；
（2）将y1、y2的解析式联立解方程组可求得B点的坐标，求y1＜y2自变量x的取值范围，就是求一次函数图象在反比例函数图象下方部分相应的自变量的取值范围，据此即可得出答案；然后根据三角形面积公式可求得△AOB的面积；
（3）过点D作DF⊥x轴，垂足为F，由△ODC与△OAC的面积比为2：3，可得DF：AE＝2：3，设点D（x， x＋5）．即有（ x＋5）：6＝2：3，解方程求得x的值，则点D坐标可求解.
8．【答案】（1）解： 设P=kt+b,
当1≤t≤6时，,
解得,
∴ ,
当6≤t≤16时，,
解得,
∴ ,
∴ ；
（2）174；解： 当1≤x<10时，10＜t≤19， ∴W=yx+Pt=(x+4)x+(-t+)t=(x+4)x+[-(20-x)+](20-x) =x2+x+90， 当10≤x＜14时，6＜t≤10， ∴W=yx+Pt=(-x+19)x+(-t+)t=(x+4)x+[-(20-x)+](20-x) =-x2+x+90， 当14≤x≤19时，1≤t≤6， ∴W=yx+Pt=(-x+19)x+(t+5)t=(x+4)x+[(20-x)+5](20-x) =-6x+300, ∴ ；
（3）解：能，理由如下：
当x=13时，
W=-x2+x+90=×132+×13+90=216.75>216,
∴ 安排捕鱼13次，捕蟹7次，收入为216.75元超过216元.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（2） ①当x=8，t=12,
，
∴W=174；
【分析】（1）分别根据线段端点坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）根据全年收入等于捕鱼收入与补蟹收入之和即可求出结果；分别根据x的范围再求出t的范围，再根据W=P+y，把相应的p与t的关系式和y与t的关系式代入，结合x+t=20即可求出W关于x的函数关系式；
（3）把x=13代入题（2）的函数式求出全年收入即可验证.
9．【答案】（1）解： 抛物线 经过 和 三点，
，
解得： ，
抛物线的表达式为 .
（2）解： ，
顶点E的坐标为 ，
又 ，
，
是直角三角形，且 ，
.
（3）解： ，
直线l将 分成面积分别为 和 两部分，
①当直线m经过点E时，m将 分成面积分别为 和 的两个三角形，
此时点P的坐标为 ；
②当直线m不经过点E时(如图所示)，设直线m与 分别交于点 ，
则满足题意时， ， ，
的表达式为 ，
的表达式为 ，
设此时点P的横坐标为 ，
则 ，
，
， （舍去）
此时点P的坐标为 ；
综上所述，满足题意的点P的坐标为 或
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法可求解；
（2）将抛物线的解析式配成顶点式可求得顶点E的坐标；用勾股定理可分别求得BC2、BE2、CE2的值，由勾股定理的逆定理可判断三角形BCE是直角三角形；再根据锐角三角函数定义tan∠BEC=可求解；
（3）由题意可先求得S△BCE的值；因为直线m将△BCE分成面积分别为 和 两部分，结合题意可分两种情况：
①当直线m经过点E时，m将△BCE分成面积分别为 和 的两个三角形，点P的坐标即为顶点E的坐标；
②当直线m不经过点E时(如图所示)，设直线m与BC、BE分别交于点M、N，根据三角形BMN的面积等于1可求解.
10．【答案】（1）解：二次函数图象的对称轴是直线 ，
，
， ，
将 代入 ，
，
二次函数的解析式： ；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
设直线 的解析式为： ，代入 、 得，
，
直线 的解析式为 ；
（3）解：当 时， 直线 ，
整理得 ，
，
，
①当 时， ，
，
， ，
， ，
，即 ，
②当 时， ，
，
则 所在直线的解析式为 ，
，
， ，
， ，
，
综上可知， 的取值范围为 .
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】
【分析】（1）首先利用抛物线的对称轴直线公式求出该抛物线的对称轴直线，从而根据抛物线的对称性求出A、B两点的坐标，进而用待定系数法即可求解；
（2）由S△OPQ=＝×OP×OQ＝×5×OQ可求出OQ的值，即为点Q的横坐标，然后用待定系数法可求直线MN的解析式；
（3） 当b=-3k时， 直线y=kx-3k，联立两函数的解析式得：x2 （2k＋1）x＋6k 6＝0，求出x＝3或2k 2，再分2k 2＞3和2k 2＜3两种情况，分别求解即可．
11．【答案】（1）解：将A（﹣1，0）、B（4，0），C（0，2）代入抛物线y＝ax2+bx+c，
得 ，
解得 ，
∴ ；
（2）由题意知：当t＝ 时，P（ ，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则有 ，
∴ ，
∴ ，
∵PF⊥x轴，
∴点P，E，F的横坐标均为 ，
∴分别代入一次函数和二次函数求出两点坐标：F ，E ，
∴ ；
（3）P（t，0），则）F（t，- ），E（t， ），
∵△CEF为等腰三角形，
①当CE＝CF时，此时EF的中点的纵坐标为2，
∴ ，
∴t＝2或t＝0（舍），
∴t＝2；
②当CE＝EF时，
解得 ；（ 不合题意舍去）
③当CF＝EF时，
解得 （舍）或 ；
综上所述：t的值为2或 或 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）分别将点A，B，C的坐标代入函数y＝ax2+bx+c ，建立关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到二次函数解析式；
（2）利用点P的运动速度和方向，由t的值可得到点P的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，根据PF⊥x轴，可得到点P，E，F三个点的横坐标相等，由此可求出点E，F的坐标；然后利用三角形的面积公式求出△CEF的面积；
（3）分别用含t的代数式表示出点P，F，E的坐标，利用等腰三角形的性质分情况讨论：①当CE＝CF时，此时EF的中点的纵坐标为2；②当CE＝EF时；③当CF＝EF时；分别利用勾股定理建立关于t的方程，解方程求出t的值.
12．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，
∴设y=a（x+2）（x﹣4），
∵OC=2OA，OA=2，
∴C（0，4），
代入解析式得到a=﹣ ，
∴y=﹣ （x+2）（x﹣4），
即y=﹣ x2+x+4；
（2）解：如图，作PE⊥x轴于E，交BC于F，
∵CD//PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m= ，
∵直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，
∴D（0，1），
∴CD=4-1=3，
设BC的解析式为y=dx+e，代入点B（4，0）， C（0，4），得
，
，
BC的解析式为 ，
设P（n，﹣ n2+n+4），则F（n，﹣n+4），且0＜n＜4，
∴PF=﹣ n2+n+4﹣（﹣n+4）=﹣ （n﹣2）2+2，
∴m= =﹣ （n﹣2）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴当n=2时，m有最大值，最大值为 ，此时P（2，4）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）因为抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，设y=a（x+2）（x﹣4），求出点C坐标代入求出a的值即可；
（2）由△CMD∽△FMP，得出m= ，根据关于m关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可得出结论。
13．【答案】（1）解：将点A、C的坐标代入抛物线表达式得： ，解得 ，
故抛物线的表达式为 ；
函数的对称轴为x=-2，当x=-2时， ，
故顶点的坐标为 ；
（2）（2-2t，0）；2；（-4，-2 ）；； .
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（2）令 ，解得x=-6或2，
故点B（2，0），
∵点D为点C关于x轴的对称点，故点D（0，2 ），
由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为y=- （x-2）=- x+2 ，
则t秒后直线的表达式为y=- （x+2t）+2 ①，①令y=- （x+2t）+2 =0，解得x=2-2t，
故点E的坐标为（2-2t，0）；②如图，
由直线BD的表达式y=- x+2 知，D（0，2 ），B（2，0）
∴tan∠DBO= ，
故∠DBO=60°，
则∠OBB′=90°-60°=30°，
∵
∴
∴F(0， )
设BB′的表达式为y=mx+n
将点F(0， )，B（2，0）的坐标代入上式并解得： ，
故直线BB′的表达式为y= ②，
设BB′的中点为点F，
联立①②并解得 ，即点 ，
∵点F是BB′的中点，由中点公式得：点B′（2-3t，- t），
将点B′的坐标代入抛物线表达式并解得t=2，
故点B′（-4，-2 ）；（3）设AE的中点为H，
由点A、E的坐标得，点H（-2-t，0），AE=2-2t-（-6）=8-2t，
∵四边形EGAB′为矩形，故△AB′E为直角三角形，
故BH= AE，即BH2= AE2，
则4[（2-3t+2+t）2+（- t）2]=（8-2t）2，
解得t=0（舍去）或 ，
故t= ，
则点H（- ，0），
∵过抛物线顶点的一条直线将这个矩形分成面积相等的两部分，
则该直线过点H，
由顶点坐标（-2，- ）和点H的坐标得，该直线的表达式为 ；
故答案为①（2-2t，0）；②2，（-4，-2 ）；（3） ， .
【分析】（1）由待定系数法即可求解析式；将解析式配成顶点式可求顶点坐标；
（2）①求出直线BD的表达式，进而得到t秒后直线的表达式为y＝ （x＋2t）＋2即可求解；
②求出BB′的表达式为y＝（x 2），联立解①②可把点F的坐标用含t的代数式表示出来，由中点公式可求得点B′的坐标；
（3）设AE的中点为H，结合已知易得BH=AE，即BH2=AE2，于是可得关于t的方程，解之可求得t的值，则H的坐标可求解；过抛物线顶点的一条直线将这个矩形分成面积相等的两部分，则该直线过点H，用抛物线的顶点坐标和点H的坐标根据待定系数法可求直线解析式.
14．【答案】（1）解：∵抛物线 经过A（－3，0），B（1，0）两点，
∴ ，
解得： ，
所以抛物线的解析式是 .
（2）解：设P点的纵坐标为y，
∵ ， ， .
∴ ，
解得： .
点P的坐标是： .
（3）（0，－3）或（0， ）或（0，－ ）或（0，2－ ）或（0，2＋ ）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（3）①当对角线上两点在抛物线上时，即点P在抛物线上，P点又在y轴上移动，此时P点和C点重合，所以此时P点坐标为（0，-3）.
②当边的相邻两点在抛物线上时，即点Q（Q点为M点或N点）在抛物线上，如图.
设P点坐标为（0，y），Q（ ），则 ， .
∵ ，
∴ .
作 于点D，作 于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
联立方程 ，
解得 ，
所以P点坐标为（0， ）或（0， ）.
综上可知满足条件的点P的坐标是（0，－3）或（0， ）或（0，－ ）或（0，2－ ）或（0，2＋ ）.
【分析】（1）将点A，B的坐标代入函数解析式，建立关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，由此可得到函数解析式.
（2）设P点的纵坐标为y，根据正方形AMPN与△AOP面积之比为5∶2，由此建立关于y的方程，解方程求出y的值，可得到点P的坐标.
（3）①当对角线上两点在抛物线上时，即点P在抛物线上，P点又在y轴上移动，此时P点和C点重合，可得到点P的坐标；②当边的相邻两点在抛物线上时，即点Q（Q点为M点或N点）在抛物线上，如图，设P点坐标为（0，y），利用函数解析式设Q（ ），利用两点之间的距离公式表示出AM，AP的长，用含m的代数式表示出AM，PM的长；作 于点D，作 于点E，利用AAS证明△ADM≌△PEM，利用全等三角形的性质可证得MD=ME，即可得到关于m的方程，然后解方程组求出m和y的值，即可得到点P的坐标.
15．【答案】（1）解：令y=0，则 （x-1）2-2=0，
解得 ，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）解：∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵ ，
∴ ×4×yC=12，
解得yC=6，
∴ ，
解得 （不符题意，舍去），
∴C（5，6）；
（3）解：由图象可知，当 时，x的取值范围是x＜-1或x＞5，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；三角形的面积
【解析】【分析】（1）令y=0，可得（x-1）2-2=0，解出x的值，即得点A、B的坐标；
（2）利用（1）先求出AB=4，由yC=6，将yC=6代入函数解析式中，求出x的值并检验即得点C 坐标；
（3）观察图形可得当x＜-1或x＞5时，抛物线图象在直线y＝mx+n的图象的上方，据此即得结论.
16．【答案】（1）解：因为当x=﹣2时，y＞0；当x=﹣1时，y＜0，
所以方程2x2+x﹣2=0的另一个根x2所在的范围是﹣2＜x2＜﹣1．…
（2）解：取x= =﹣ ，因为当x=﹣ 时，y=2× ﹣ ﹣2=1＞0，
又因为当x=﹣1时，y=﹣1＜0，
所以﹣ ＜x2＜﹣1，
取x= =﹣ ，因为当x=﹣ 时，y=2× ﹣ ﹣2=﹣ ＜0，
又因为当x=﹣ 时，y＞0，
所以﹣ ＜x2＜﹣ ，
又因为﹣ ﹣（﹣ ）= ，
所以﹣ ＜x2＜﹣ 即为所求x2 的范围.
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）计算x=﹣2和x=﹣1时，y的值，确定其x2所在范围是﹣2＜x2＜﹣1；（2）先根据第三步﹣2和﹣1的平均数确定x=﹣ ，计算x=﹣ 时y的值，得﹣ ＜x2＜﹣1，同理再求﹣1和﹣ 的平均数为﹣ ，计算x=﹣ 时y的值，从而得结论．
17．【答案】（1）解：由题意，得： ，解得： ，答：a的值为0.04，b的值为30
（2）解：①当0≤t≤50时，设y与t的函数解析式为y=kt+n，将（0，15）、（50，25）代入，得： ，解得： ，∴y与t的函数解析式为 ；
当50＜t≤100时，设y与t的函数解析式为y=at+b，将点（50，25）、（100，20）代入，得： ，解得： ，∴y与t的函数解析式为y=﹣ t+30；
综上所述： ；
②由题意，当0≤t≤50时，W=20000（ t+15）﹣（400t+300000）=3600t，∵3600＞0，∴当t=50时，W最大值=180000（元）；
当50＜t≤100时，W=（100t+15000）（﹣ t+30）﹣（400t+300000）
=﹣10t2+1100t+150000
=﹣10（t﹣55）2+180250，∵﹣10＜0，∴当t=55时，W最大值=180250（元）．
综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；分段函数；一次函数的实际应用；二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：10×每天放养的费用+收购成本=30.4；20×每天放养的费用+收购成本=30.8，列出关于a、b的方程组，求出方程组的解即可。
（2）① 观察函数图象可知当0≤t≤50，图像经过点（0，15），（50，25）；50＜t≤100时图像经过（50，25），（100，20），分别利用待定系数法，求出两函数的解析式；②分两种情况讨论：当0≤t≤50时； 当50＜t≤100时，分别根据w=my-总成本，列出w与t的函数关系式，分别根据一次函数的增减性和二次函数的增减性，即可解决问题。
18．【答案】（1）解：由题意，得
解得 b=2．
将(0，3)代入 y=－x2+bx+c，得 c=3
∴b=2，c=3
（2）解：①由（1）知，抛物线的解析式为 y=－x2+2x+3．
∵点 C(0，3)关于直线 x=1 的对称点为点 D
∴点 D 的坐标为(2，3)，点 A 的坐标为(3，0)
∴直线 AC 的解析式为 y=－x+3
设直线 l 的解析式为 x=m，则点 E，F 的坐标分别为(m，－m+3)，(m，－m2+2m+3)
S 四边形 CEDF=
∵a=－1<0
∴当 m= 时， 的值最大，最大值为
②由①知，直线 AC 的解析式为 y=－x+3
∵点 E 在直线 AC 上
∴设点 E 的坐标为(t，-t+3)．当 CD=CE 时，CE=2，t2+[3－(－t+3)]2=22
解得t = （负值已舍）
∴点 E 的坐标为
当 EC=ED 时，点 E 在 CD 的中垂线上，
直线 l 为抛物线的对称轴，
∴点 E 的坐标为(1，2)．
当 DC=DE 时，由∠ECD=45°，可知∠CDE=90°，
∴点 F 与点 D 重合，不合题意，
综上：点 E 的坐标 或（1，2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称轴为直线x=1，可求出b的值；再将点C的坐标代入函数解析式，可求出c的值.
（2）①由（1）知，抛物线的解析式为 y=－x2+2x+3， 点 C(0，3)关于直线 x=1 的对称点为点D，可得到点D，A的坐标，利用待定系数法求出直线 AC 的解析式； 设直线 l 的解析式为 x=m，则点 E，F 的坐标分别为(m，－m+3)，(m，－m2+2m+3) ，然后可得到四边形CEDF与m之间的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出结果；②由①知，直线 AC 的解析式为 y=－x+3，设点 E 的坐标为(t，-t+3)．当 CD=CE 时，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点E的坐标；当 EC=ED 时，点 E 在 CD 的中垂线上，可得到点E的坐标；当 DC=DE 时，由∠ECD=45°，可知∠CDE=90°，点 F 与点 D 重合，不合题意；综上所述可得到符合题意的点E的坐标.
19．【答案】（1）解：
把 和 代入解析式得，
，
解得 .
∴所求解析式为 .
（2）解：由（1）可求顶点 ，
∵ ， ，
∴
.
（3）存在， ， ，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）
由解析式可求得 ，则 ，
当 为平行四边形的边时，有 ， ，
①Q点在P点左边时，可设 ，
把 代入解析式得
∴ ；
②Q点在P点右边时（图象略），可设 ，
把 代入解析式得
∴ ，
当 为平行四边形的对角线时，有 ， ，
此时 ， 的中点为 ，由对称性可设 ，
把 代入抛物线的解析式可得 ，
满足条件的点为 ， ， .
【分析】（1）将点B，D的坐标分别代入函数解析式，建立关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，可得到函数解析式；
（2）利用函数解析式求出抛物线的顶点坐标，利用点的坐标求出OB，OC的长，再根据四边形BOCM的面积=△COM的面积+△OBM的面积，利用三角形的面积公式可求出四边形BOCM的面积；
（3）利用函数解析式求出点A的坐标可求出AB的长，分情况讨论：当AB为平行四边形的边时，Q点在P点左边时，可设 ，将点P的横坐标代入解析式，可求出点P的坐标；Q点在P点右边时（图象略），可设 ，利用同样的方法可求出点P的坐标；当AB为平行四边形的对角线时，可得到AB=PQ=4，可求出AB和PQ的交点E的坐标，利用对称性可求出点P的横坐标，然后将点P的横坐标代入函数解析式，可求出n的值，即可得到点P的坐标，综上所述可得到符合题意的点P的坐标.
20．【答案】（1）解：设线下的销售量为x个，则网上的销售量为（50-x）个
x=30
∴线下的销售量为30个，则网上的销售量为20个.
（2）解：①总纯利润=34×24+34×（20-7）=1258（元）
②设网上销售在原来的基础上降低x元的纯利润
∵
∴当时，网上销售量为20+2×5=30个
有最大值
设线下的销售量m个，则
∵k=24，随着m的增大而增大
∵线下增加的销售量不超过原来线下销售量的
∴m个
∴当m=40时，有最大值
∴当每天生产40+30=70个蛋糕时，当天总利润最大.
【知识点】二次函数的最值；一元一次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设线下的销售量为x个，网上的销售量为（50-x）个，根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案；
（2）①总利润=线下销售的纯利润+网上销售的纯利润，列出算式进行计算，即可得出答案；
②设网上销售在原来的基础上降低x元的纯利润，利用利润=每个蛋糕的利润×销售量得出W网=（20-x）（20+2x），得出当网上销售量为30个时，W网有最大值，设线下的销售量m个，得出W线=24m，再求出当m=40时，W线有最大值，即可得出答案.
21．【答案】（1）解：由图象可知点 是抛物线的顶点坐标，
设 与 之间的函数关系式为 ，
又 点 在抛物线 上，
，
解得 ．
与 之间的函数关系式为 ；
（2）解：由（1）得，投资 产品所获得利润的最大值为 ，
，
投资 产品所获得利润的最大值为 ．
由题意可得， ，解得 ．
当 时不符合题意，
；
（3）解：由题意可得， ．
当 时， 随 的增大而减小，
解得 ．
的取值范围为 ．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2） ，则 ，即可求解；
（3）由题意得出 ． 当 时， 随 的增大而减小， 则 ，即可求解。
22．【答案】（1）解：根据题意，填写下表：
第x年 1 2 3 … x
售价（元） 4500 4000 3500 … ﹣500x＋5000
销售量（百万台） 14 16 18 … 2x＋12
（2）解：由题意得：W＝（2x＋12）（﹣500x＋5000）＝﹣1000（x﹣2）2＋64000，
∵﹣1000＜0，故抛物线开口向下，W有最大值，
当x＝2（年）时，W最大值为64000（百万元），
第二年销售额最大，为64000百万元
（3）四
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（3）由题意得：（2x＋12）（﹣500x＋5000﹣3000）＝0，
﹣1000（x＋1）2＋25000＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣6（舍），
∴第四年该手机应该停产，
【分析】（1）根据题意填写表格即可；
（2）根据销售额=售价×销售量，求出W关于x的函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）利用（2）结论，令w=0建立方程，解之即可.
23．【答案】（1）解： 由题意得点 在抛物线 上，
，
；
（2）解：要使球刚好进球洞，则抛物线 需经过 ， 两点，
要使球飞行的高度不变，则最高点的纵坐标为 ，
抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，
抛物线经过 ，
， ，
；
（3）解：把 ， 代入 中，得 ，
把 ， 代入 中，得 ，
要使球越过球网，又不越过球洞（刚好进洞），
则 的取值范围是 .
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）把 代入 ，利用待定系数法即可求出抛物线解析式；
（2）根据飞行高度不变可得抛物线的顶点坐标，设出顶点式，进而把原点坐标代入即可求得相应的解析式；
（3）把 ， ， ， 分别代入 中即可得到结论.
24．【答案】（1）解： 由题意得y=a(x-3)2+k,
则1.6=a(0-3)2+k, 0=a(8-3)2+k,
解得a=-0.1, k=2.5,
∴ .
（2）解：如图，
由题意知，FC是ED的垂直平分线，
∴BQ+QD＞BQ‘+Q'D=BD，
∴当B、Q'、D共线时，△EBQ的周长最短，
设直线BD的函数解析式为y=kx+b,
则b=1.6, 0=k×8+b,
解得k=-0.2,
∴y=-0.2x+1.6,
当x=3, y=-0.2×3+1.6=1，
∴Q(3,1) .
（3）解：
时，0.1(x-3)2+2.5=3.9,整理得x2-6x+23=0,△=36-4×23=-56<0,∴x无实数根，-0.1(x-3)2+2.5=-3.9,整理得x2-6x-55=0,(x-11)(x+5)=0, ∴x=11或x=-5,
∴G(-5,-3.9),G(11,-3.9).
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）因为球距投掷点3米时达到最高点，可设抛物线的方程为y=a(x-3)2+k, 把C、D点坐标代入列式求出a,k值，则函数式可求；
（2）根据垂直平分线的性质定理，结合三角形三边的关系推得当B、Q、D三点共线时， △EBQ的周长最短 ，于是利用待定系数法求出直线BD的函数式，求出其与抛物线对称轴的交点坐标即可；
（3）设抛物线的纵坐标为y, 根据三角形的面积公式列式，求得y=±3.9，将其代入二次函数式，求出此时的x值即可.
25．【答案】（1）解：①当a= 时， ，将点P（0，1）代入，得： ×16+h=1，解得：h= ；
②把x=5代入 ，得： =1.625，∵1.625＞1.55，∴此球能过网
（2）解：把（0，1）、（7， ）代入 ，得： ，解得： ，∴a=
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）由题意分别把a=-和点P（0,1）、x=5代入解析式计算即可求解；
（2）由题意知抛物线过点（0,1）和点（7，），所以用待定系数法计算即可求解析式。
26．【答案】（1）解：∵已知抛物线 的图象的顶点坐标是 ，
∴可设抛物线解析式为 ，
∵抛物线经过点 ，∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，即 .
（2）证明：联立直线和抛物线解析式可得 ，
解得： 或 ，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，∴点 的纵坐标为 ，
∵ ，
∴圆的半径为 ，∴点 到 轴的距离等于圆的半径，
∴圆 与 轴相切.
（3）解：如图，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，
由（2）知 ，
在 中，由勾股定理求得 ，
∵ ，∴ .
BE=
∴
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据已知的顶点坐标可设抛物线的解析式为顶点式，再结合抛物线过点（4，2），可求得抛物线的解析式；
（2）把直线和抛物线解析式联立解方程组可求得B、D两点的坐标，再根据线段中点的意义可求得C点坐标，用两点间的距离公式求得线段BD的长，则圆的半径可求解，比较圆的半径和点C的纵坐标的大小并结合圆的切线的判定可求解；
（3）过点C作CH⊥m于点H，连接CM，用勾股定理可求得MH的值，利用（2）中所求B、D的坐标可求得FH，则可求得MF和BE的长，再求其比值即可.
27．【答案】（1）解：设直线 的函数表达式为 ，
直线 经过 ， ，
由此可得
解得
直线 的函数表达式为 ．
（2）解：在 中，由勾股定理，得 ，
经过 ， ， 三点，且 ，
为 的直径，
半径 ，
设抛物线的对称轴交 轴于点 ，
，
由垂径定理，得 ．
在 中， ，
，
顶点 的坐标为 ，
设抛物线的表达式为 ，
它经过 ，
把 ， 代入上式，
得 ，
解得 ，
抛物线的表达式为 ．
（3）解：如图，连接 ， ，
．
在抛物线 中，
设 ，则 ，
解得 ， ．
， 的坐标分别是 ， ，
；
设在抛物线上存在点 ，使得 ，
则 ，
，
当 时， ，
解得 ，
；
当 时， ，
解得 ， ，
， ．
综上所述，这样的 点存在，且有三个， ， ， ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据两点法可求得直线AB的解析式；
（2）求出直径AB，得出半径MC的值，由中位线定理得出， ，设抛物线的表达式为 ， 因为 经过 ，把 ， 代入上式， 得出a的值即可得出 抛物线的表达式 ；
（3）由（2）可求出线段DE的长，三角形ABC的面积可求，即可得出DE边上的高，可表示出点P的纵坐标，代入抛物线解析式求出点P的横坐标即可。
28．【答案】（1）A（2，1）
（2）解：∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
∴顶点D的坐标为（2，4）.
∵点A的坐标为（2，1），
∴AD⊥x轴.
如图（1），分别过点B，C作直线AD的垂线，垂足分别为M，N，设B，C的横坐标分别为x1，x2，
∵△ACD的面积是△ABD面积的两倍，
∴CN=2BM，
∴x2﹣2=2（2﹣x1），
∴2x1+x2=6.
联立 ，
得x2+（k﹣4）x﹣2k+1=0，①
解得：x1= ，x2= ，
∴2× =6，
化简得： =﹣3k，
解得：k=﹣ .
（3）解：如图（2），设⊙E与直线y=t交于点G，H，点C的坐标为（a，﹣a2+4a）.
∵E是AC的中点，
∴将线段AE沿AC方向平移与EC重合，
∴xE﹣xA=xC﹣xE，yE﹣yA=yC﹣yE，
∴xE= xA+xC），yE= （yA+yC），
∴E（ ）.
分别过点E，A作x轴，y轴的平行线交于点F.
在Rt△AEF中，由勾股定理得：
EA2=
= ，
过点E作PE⊥GH，垂足为P，连接EH，
∴GH=2PH，EP2= ，
又∵AE=EH，
∴GH2=4PH2
=4（EH2﹣EP2）
=4（EA2﹣EP2）
.
∵GH的长为定值，
∴ ﹣t=0，且4t﹣5=0，
∴t= .
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵A为直线y=k（x﹣2）+1上的定点，
∴A的坐标与k无关，
∴x﹣2=0，
∴x=2，此时y=1，
∴点A的坐标为（2，1）；
【分析】（1）根据A为直线y=k（x﹣2）+1上的定点，可知A的坐标与k无关，由此可得到x-2=0，可求出x的值，即可求出y的值，可得到点A的坐标；
（2）将函数解析式转化为顶点式，可得到点D的坐标，分别过点B，C作直线AD的垂线，垂足分别为M，N，设B，C的横坐标分别为x1，x2， 再根据△ACD的面积是△ABD面积的两倍， 可推出CN=2BM，可得到2x1+x2=6；再将两函数联立方程组求出方程组的解，然后根据2x1+x2=6建立关于k的方程，解方程求出k的值；
（3）设⊙E与直线y=t交于点G，H，点C的坐标为（a，﹣a2+4a）， 利用线段中点可知将线段AE沿AC方向平移与EC重合， 可得到xE﹣xA=xC﹣xE，yE﹣yA=yC﹣yE，分别求出点E的横纵坐标，可得到点E的坐标；分别过点E，A作x轴，y轴的平行线交于点F，在Rt△AEF中，利用勾股定理可得到EA2与a的函数解析式， 过点E作PE⊥GH，垂足为P，连接EH，可得到GH=2PH，可求出EP2；然后根据AE=EH，可得到GH2=4PH2，可建立 GH2=4PH2关于a，t的函数解析式，根据GH的长为定值，可建立关于t的函数解析式，解方程求出t的值.
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