2022-2023学年浙教版数学九年级上册3.3 垂径定理 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·庐江期末）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是（ ）
A．3.1 B．4.2 C．5.3 D．6.4
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【解答】如图，取AB的中点O，分别连接OC、OB，则OC⊥AB，且
在Rt△OBC中，OB=5，由勾股定理得：
点P线段BC上，则，即
由对称性，当点P在线段AC上时，
∴当点P在弦AB上时，
∵
∴选项B符合题意
故答案为：B
【分析】先作辅助线，取AB的中点O，分别连接OC、OB，取AB的中点O，根据垂径定理得OC⊥AB，且，然后在Rt△OBC中由勾股定理得OC=4，再由垂线段最短可得答案。
2．（2022九上·新昌期末）如图，AB是的弦，OC⊥AB于点C，连结OB，P是半径OB上任意一点，连结AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（ ）.
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图1，连接OA，
OC⊥AB于点C， OB= 5， OC= 3，
BC= ，
AB= ，
AO≤AP≤AB，
5≤AP≤8，
AP的长度不可能是： 9
故答案为：D.
【分析】首先利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理求出AB的长，再利用大角对大边得出AO≤AP≤AB，即可得出答案.
3．（2021九上·温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D.已知OC=5，OD=4，则弦AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB ，
∴AD=DB，
∵OC=OB=5，OD=4
∴在Rt △ODB中，由勾股定理得：BD=
∴AB=2BD=2×3=6.
故答案为：D.
【分析】由垂径定理得AB=2DB，又又勾股定理可求得BD，再通过计算可求得AB.
4．（2021九上·海珠期末）如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r，
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，AB=8，
∴AE=AB=4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：AE2+OE2=OA2，
即42+（r-2）2=r2，
解得：r=5，
即⊙O的半径为5，
故答案为：D．
【分析】设⊙O的半径为r，根据垂径定理和勾股定理列出方程42+（r-2）2=r2，求解即可。
5．（2021九上·南沙期末）如图，在⊙O中，OC⊥AB，若∠BOC＝40°，则∠OAB等于（ ）
A．40° B．50° C．80° D．120°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；垂径定理
【解析】【解答】解：在⊙O中，OA=OB，
∴△AOB为等腰三角形，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=40°，
∴∠AOB=80°，
∴∠OAB=（180°-∠AOB）÷2=50°．
【分析】先利用垂径定理求出∠AOB=80°，再利用等腰三角形的内角和求解即可。
6．（2021九上·红桥期末）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（ ）
A．2 B．8 C．2 D．2
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接BE，
∵AE为⊙O直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OD⊥AB，OD过O，
∴AC＝BC＝AB＝＝4，
∵AO＝OE，
∴BE＝2OC，
∵OC＝3，
∴BE＝6，
在Rt△CBE中，EC＝==.
故答案为：D．
【分析】连接BE，先利用三角形的中位线求出BE=2OC=6，再利用垂径定理可得BC=AC=4，再利用勾股定理求出CE长即可。
7．（2022九上·东阳期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD，作ON⊥AB与CD、AB的交点为 M、N
由题意知
，
，
在
中，由勾股定理得
在
中，由勾股定理得
∴
②如图2，宽度为8cm的油面EF，作PN⊥EF与AB、EF的交点为N、P，连接OB
由题意知
，
，
在
中，由勾股定理得
在
中，由勾股定理得
∴
∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；
故答案为：D.
【分析】分两种情况：①当油面没超过圆心O，油面宽为8cm；②当油面超过圆心O，油面宽为8cm；根据垂径定理及勾股定理分别解答即可.
8．（2021九上·芜湖期末）往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
则，
的直径为，
，
在中，，
，
即水的最大深度为，
故答案为：C．
【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，如图，，由垂径定理可得，在中，利用勾股定理求出OD，利用CD=OC-OD求出CD即可.
9．（2021九上·天河期末）半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图
由题意知，OA=4，OD=CD=2，OC⊥AB，
∴AD=BD，
在Rt△AOD中，，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理和勾股定理得出答案。
10．（2021九上·大石桥期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（ ）
A．8 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD．
∵AB⊥CD，
∴CE＝ED＝4，
∵∠OED＝90°，OD＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴AE＝OA+OE＝8，
∴AD＝＝＝4，
故答案为：D．
【分析】如图，连接OD．由垂径定理可得CE＝ED＝4，利用勾股定理求出OE＝=3，从而得出AE＝OA+OE＝8，再次利用勾股定理求出AD＝＝4.
二、填空题
11．（2021九上·陵城期末）如图，舞台地面上有一段以点O为圆心的，某同学要站在的中点C的位置上．于是他想：只要从点O出发，沿着与弦垂直的方向走到上，就能找到的中点C，老师肯定了他的想法．这位同学确定点C所用方法的依据是 ．
【答案】垂径定理
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，
这位同学确定点C所用的方法依据是：垂径定理，
即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，
故答案为：垂径定理．
【分析】结合题意，利用垂径定理，求解即可。
12．（2021九上·历城期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O、A、B、C均在格点上，则过A、B、C三点的圆的圆心坐标为 ．
【答案】（1，4）
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】如图，分别作线段AB和BC的垂直平分线，其交点D，即为过A、B、C三点的圆的圆心．
根据图可知D点，即圆心坐标为(1，4)．
故答案为：(1，4)．
【分析】根据垂径定理分别作线段AB和BC的垂直平分线，其交点即为圆心，写出坐标即可。
13．（2021九上·江城期末）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，若OB＝5，AB＝8，则AC的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设AB与CD交于E，
∵CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，AB＝8，
∴AE=BE=，
在Rt△OEB中，根据勾股定理OE=，
∴CE=OC+OE=5+3=8，
在Rt△AEC中，AC=，
故答案为．
【分析】先可利用垂径定理求出AE=BE，再利用勾股定理求出OE的长，再利用线段的和差求出CE的长，最后利用勾股定理求出AC的长即可。
14．（2021九上·丰台期末）数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径．如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交于点D，连接CD，经测量cm，cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为 cm．
【答案】5
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：设圆心为O，连接OB．
Rt△OBC中，BC＝AB＝4cm，
根据勾股定理得：OC2＋BC2＝OB2，即：（OB 2）2＋42＝OB2，
解得：OB＝5；
故轮子的半径为5cm．
故答案为：5．
【分析】设圆心为O，连接OB．Rt△OBC中，BC＝AB＝4cm，根据勾股定理得（OB 2）2＋42＝OB2，解得OB的值，即可得出答案。
15．（2021九上·温州期末）如图，点 在半圆 上，BC是直径， .若 ，则BC的长为 .
【答案】
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：∵点A在半圆O上，弧AB=弧AC，
∴AB=AC，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，即三角形BAC为等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴BC=AB=.
故答案为：.
【分析】先根据同圆中等弧所对的弦相等得出AB=AC，再由圆周角定理得∠BAC=90°，在等腰直角三角形ABC中即可求得BC长.
16．（2021九上·昌平期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，则OH的长为
【答案】3
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解： AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，
在中，
故答案为：3
【分析】根据垂径定理及直径AB=10，可得，在中，利用勾股定理求出OH即可.
三、解答题
17．（2021九上·番禺期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，BE＝2，求弦CD的长．
【答案】解：连接，如图所示：
为的直径，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OC，先利用勾股定理求出CE的长，再根据垂径定理可得CD=2CE=8。
18．（2021九上·燕山期末）如图，是的弦，C是上的一点，且，于点E，交于点D．若的半径为6，求弦的长．
【答案】解：如图，连接OB，
则∠AOB=2∠ACB=120°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOE=∠AOB=60°，
∵AO=6，
∴在Rt△AOE中，，
∴AB=2AE，
故答案为：．
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理
【解析】【分析】连接OB，根据垂直的性质得出∠AOE=∠AOB=60°，再根据勾股定理得出AE的值，由此得出AB的值。
19．（2021九上·香洲期末）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝6，求所在圆的半径．
【答案】解：连接OC，
∵M是CD的中点，EM⊥CD，
∴EM过⊙O的圆心点O， CM＝CD＝2 ，
设半径为x，
∵EM＝6，
∴OM＝EM－OE＝6－x，
在Rt△OCM中，OM2＋CM2＝OC2， 即（6－x）2＋22＝x2，
解得：x＝．
∴所在圆的半径为．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OC，设半径为x，由EM＝6，得出OM＝EM－OE＝6－x，在Rt△OCM中，OM2＋CM2＝OC2，解得x的值，由此得出答案。
20．（2021九上·硚口月考）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF
【答案】证明：∵E为AB中点，MN过圆心O，
∴MN⊥AB ，
∴∠MEB＝90°，
∵AB∥CD ，
∴∠MFD＝∠MEB＝90°，
即MN⊥CD ，
∴CF＝DF.
【知识点】平行线的性质；垂径定理
【解析】 【分析】易得MN⊥AB ，则∠MEB＝90°，根据平行线的性质可得∠MFD＝∠MEB＝90°，则MN⊥CD，然后根据垂径定理进行证明.
21．（2021九上·澄海期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D．
（1）请用尺规作图作出三角形ABC的外接圆⊙O；（不写作法及证明，应保留作图痕迹）
（2）若BC＝4，AD=5，求⊙O的半径r．
【答案】（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，即AD垂直平分BC，
∴作AB边的垂直平分线交AD于点O，再以O点为圆心，OA长为半径画圆，⊙O即为所求作，如下图所示；
（2）解：连结OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，BC＝4，
∴BD=CD=2 ，
设⊙O的半径为r，则AO=BO=r，，
在Rt△BOD中，由勾股定理可得：
，
解得：，
∴⊙O的半径．
【知识点】勾股定理；垂径定理；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）作AB边的垂直平分线交AD于点O，再以O点为圆心，OA长为半径画圆，⊙O即为所求作；
（2）设⊙O的半径为r，则AO=BO=r，OD=5-r，根据勾股定理列出方程求出r的值即可。
22．（2021九上·温州期末）如图，AB是 的直径，弦 于点M，连结CO，CB.
（1）若 ， ，求CD的长度；
（2）若 平分 ，求证： .
【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM＝DM，
∵AM＝2，BM＝8，
∴AB＝10，
∴OA＝OC＝5，
在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，
∴CM 4，
∴CD＝8；
（2）证明：过点O作ON⊥BC，垂足为N，
∵CO平分∠DCB，
∴OM＝ON，
∵CO=CO
∴Rt△COM≌Rt△CON
∴CM=CN
∴CB＝CD.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）利用垂径定理可证得CM=DM，由已知条件可求出圆的直径和半径，再利用勾股定理求出CM的长，即可得到CD的长.
（2）过点O作ON⊥BC，垂足为N，利用角平分线的性质可证得ON=OM，利用HL证明Rt△COM≌Rt△CON，利用全等三角形的性质可证得CM=CN，利用垂径定理可证得结论.
23．（2021九上·淮南月考）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点P．
（1）PA与PB的数量关系是 ；
（2）若AB＝12，求圆环的面积．
【答案】（1）PA=PB
（2）解：如图，连接
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：（1） 理由如下：
如图，连接
是小圆的切线，
故答案为：
【分析】（1）先求出再求解即可；
（2）利用圆形的面积公式计算求解即可。
24．（2021九上·杭州月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：
（1）拱桥所在的圆的半径；
（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施.
【答案】（1）解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，
设半径为xm，
则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，
∵AB＝30m，
∴AM＝ AB＝15（m），
在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m，
由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣9）2+152，
解得：x＝17，
即拱桥所在的圆的半径为17m；
（2）解：∵OP＝17m，
∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝ ＝8（m），
∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m，
∴不需要采取紧急措施.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为xm，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM=AB=15m，A′N＝B′N，易得OM＝OP-PM＝(x-9)m，然后由勾股定理求解即可；
（2）易得ON＝OP-PN＝15（m），在Rt△A′ON中，由勾股定理求出A′N，根据垂径定理可得A′B′，据此判断.
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级上册3.3 垂径定理 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·庐江期末）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是（ ）
A．3.1 B．4.2 C．5.3 D．6.4
2．（2022九上·新昌期末）如图，AB是的弦，OC⊥AB于点C，连结OB，P是半径OB上任意一点，连结AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（ ）.
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（2021九上·温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D.已知OC=5，OD=4，则弦AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2021九上·海珠期末）如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C．3 D．5
5．（2021九上·南沙期末）如图，在⊙O中，OC⊥AB，若∠BOC＝40°，则∠OAB等于（ ）
A．40° B．50° C．80° D．120°
6．（2021九上·红桥期末）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（ ）
A．2 B．8 C．2 D．2
7．（2022九上·东阳期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
8．（2021九上·芜湖期末）往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm
9．（2021九上·天河期末）半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021九上·大石桥期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（ ）
A．8 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2021九上·陵城期末）如图，舞台地面上有一段以点O为圆心的，某同学要站在的中点C的位置上．于是他想：只要从点O出发，沿着与弦垂直的方向走到上，就能找到的中点C，老师肯定了他的想法．这位同学确定点C所用方法的依据是 ．
12．（2021九上·历城期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O、A、B、C均在格点上，则过A、B、C三点的圆的圆心坐标为 ．
13．（2021九上·江城期末）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，若OB＝5，AB＝8，则AC的长为 ．
14．（2021九上·丰台期末）数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径．如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交于点D，连接CD，经测量cm，cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为 cm．
15．（2021九上·温州期末）如图，点 在半圆 上，BC是直径， .若 ，则BC的长为 .
16．（2021九上·昌平期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，则OH的长为
三、解答题
17．（2021九上·番禺期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，BE＝2，求弦CD的长．
18．（2021九上·燕山期末）如图，是的弦，C是上的一点，且，于点E，交于点D．若的半径为6，求弦的长．
19．（2021九上·香洲期末）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝6，求所在圆的半径．
20．（2021九上·硚口月考）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF
21．（2021九上·澄海期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D．
（1）请用尺规作图作出三角形ABC的外接圆⊙O；（不写作法及证明，应保留作图痕迹）
（2）若BC＝4，AD=5，求⊙O的半径r．
22．（2021九上·温州期末）如图，AB是 的直径，弦 于点M，连结CO，CB.
（1）若 ， ，求CD的长度；
（2）若 平分 ，求证： .
23．（2021九上·淮南月考）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点P．
（1）PA与PB的数量关系是 ；
（2）若AB＝12，求圆环的面积．
24．（2021九上·杭州月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：
（1）拱桥所在的圆的半径；
（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【解答】如图，取AB的中点O，分别连接OC、OB，则OC⊥AB，且
在Rt△OBC中，OB=5，由勾股定理得：
点P线段BC上，则，即
由对称性，当点P在线段AC上时，
∴当点P在弦AB上时，
∵
∴选项B符合题意
故答案为：B
【分析】先作辅助线，取AB的中点O，分别连接OC、OB，取AB的中点O，根据垂径定理得OC⊥AB，且，然后在Rt△OBC中由勾股定理得OC=4，再由垂线段最短可得答案。
2．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图1，连接OA，
OC⊥AB于点C， OB= 5， OC= 3，
BC= ，
AB= ，
AO≤AP≤AB，
5≤AP≤8，
AP的长度不可能是： 9
故答案为：D.
【分析】首先利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理求出AB的长，再利用大角对大边得出AO≤AP≤AB，即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB ，
∴AD=DB，
∵OC=OB=5，OD=4
∴在Rt △ODB中，由勾股定理得：BD=
∴AB=2BD=2×3=6.
故答案为：D.
【分析】由垂径定理得AB=2DB，又又勾股定理可求得BD，再通过计算可求得AB.
4．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r，
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，AB=8，
∴AE=AB=4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：AE2+OE2=OA2，
即42+（r-2）2=r2，
解得：r=5，
即⊙O的半径为5，
故答案为：D．
【分析】设⊙O的半径为r，根据垂径定理和勾股定理列出方程42+（r-2）2=r2，求解即可。
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；垂径定理
【解析】【解答】解：在⊙O中，OA=OB，
∴△AOB为等腰三角形，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=40°，
∴∠AOB=80°，
∴∠OAB=（180°-∠AOB）÷2=50°．
【分析】先利用垂径定理求出∠AOB=80°，再利用等腰三角形的内角和求解即可。
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接BE，
∵AE为⊙O直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OD⊥AB，OD过O，
∴AC＝BC＝AB＝＝4，
∵AO＝OE，
∴BE＝2OC，
∵OC＝3，
∴BE＝6，
在Rt△CBE中，EC＝==.
故答案为：D．
【分析】连接BE，先利用三角形的中位线求出BE=2OC=6，再利用垂径定理可得BC=AC=4，再利用勾股定理求出CE长即可。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD，作ON⊥AB与CD、AB的交点为 M、N
由题意知
，
，
在
中，由勾股定理得
在
中，由勾股定理得
∴
②如图2，宽度为8cm的油面EF，作PN⊥EF与AB、EF的交点为N、P，连接OB
由题意知
，
，
在
中，由勾股定理得
在
中，由勾股定理得
∴
∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；
故答案为：D.
【分析】分两种情况：①当油面没超过圆心O，油面宽为8cm；②当油面超过圆心O，油面宽为8cm；根据垂径定理及勾股定理分别解答即可.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
则，
的直径为，
，
在中，，
，
即水的最大深度为，
故答案为：C．
【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，如图，，由垂径定理可得，在中，利用勾股定理求出OD，利用CD=OC-OD求出CD即可.
9．【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图
由题意知，OA=4，OD=CD=2，OC⊥AB，
∴AD=BD，
在Rt△AOD中，，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理和勾股定理得出答案。
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD．
∵AB⊥CD，
∴CE＝ED＝4，
∵∠OED＝90°，OD＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴AE＝OA+OE＝8，
∴AD＝＝＝4，
故答案为：D．
【分析】如图，连接OD．由垂径定理可得CE＝ED＝4，利用勾股定理求出OE＝=3，从而得出AE＝OA+OE＝8，再次利用勾股定理求出AD＝＝4.
11．【答案】垂径定理
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，
这位同学确定点C所用的方法依据是：垂径定理，
即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，
故答案为：垂径定理．
【分析】结合题意，利用垂径定理，求解即可。
12．【答案】（1，4）
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】如图，分别作线段AB和BC的垂直平分线，其交点D，即为过A、B、C三点的圆的圆心．
根据图可知D点，即圆心坐标为(1，4)．
故答案为：(1，4)．
【分析】根据垂径定理分别作线段AB和BC的垂直平分线，其交点即为圆心，写出坐标即可。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设AB与CD交于E，
∵CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，AB＝8，
∴AE=BE=，
在Rt△OEB中，根据勾股定理OE=，
∴CE=OC+OE=5+3=8，
在Rt△AEC中，AC=，
故答案为．
【分析】先可利用垂径定理求出AE=BE，再利用勾股定理求出OE的长，再利用线段的和差求出CE的长，最后利用勾股定理求出AC的长即可。
14．【答案】5
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：设圆心为O，连接OB．
Rt△OBC中，BC＝AB＝4cm，
根据勾股定理得：OC2＋BC2＝OB2，即：（OB 2）2＋42＝OB2，
解得：OB＝5；
故轮子的半径为5cm．
故答案为：5．
【分析】设圆心为O，连接OB．Rt△OBC中，BC＝AB＝4cm，根据勾股定理得（OB 2）2＋42＝OB2，解得OB的值，即可得出答案。
15．【答案】
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：∵点A在半圆O上，弧AB=弧AC，
∴AB=AC，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，即三角形BAC为等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴BC=AB=.
故答案为：.
【分析】先根据同圆中等弧所对的弦相等得出AB=AC，再由圆周角定理得∠BAC=90°，在等腰直角三角形ABC中即可求得BC长.
16．【答案】3
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解： AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，
在中，
故答案为：3
【分析】根据垂径定理及直径AB=10，可得，在中，利用勾股定理求出OH即可.
17．【答案】解：连接，如图所示：
为的直径，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OC，先利用勾股定理求出CE的长，再根据垂径定理可得CD=2CE=8。
18．【答案】解：如图，连接OB，
则∠AOB=2∠ACB=120°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOE=∠AOB=60°，
∵AO=6，
∴在Rt△AOE中，，
∴AB=2AE，
故答案为：．
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理
【解析】【分析】连接OB，根据垂直的性质得出∠AOE=∠AOB=60°，再根据勾股定理得出AE的值，由此得出AB的值。
19．【答案】解：连接OC，
∵M是CD的中点，EM⊥CD，
∴EM过⊙O的圆心点O， CM＝CD＝2 ，
设半径为x，
∵EM＝6，
∴OM＝EM－OE＝6－x，
在Rt△OCM中，OM2＋CM2＝OC2， 即（6－x）2＋22＝x2，
解得：x＝．
∴所在圆的半径为．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OC，设半径为x，由EM＝6，得出OM＝EM－OE＝6－x，在Rt△OCM中，OM2＋CM2＝OC2，解得x的值，由此得出答案。
20．【答案】证明：∵E为AB中点，MN过圆心O，
∴MN⊥AB ，
∴∠MEB＝90°，
∵AB∥CD ，
∴∠MFD＝∠MEB＝90°，
即MN⊥CD ，
∴CF＝DF.
【知识点】平行线的性质；垂径定理
【解析】 【分析】易得MN⊥AB ，则∠MEB＝90°，根据平行线的性质可得∠MFD＝∠MEB＝90°，则MN⊥CD，然后根据垂径定理进行证明.
21．【答案】（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，即AD垂直平分BC，
∴作AB边的垂直平分线交AD于点O，再以O点为圆心，OA长为半径画圆，⊙O即为所求作，如下图所示；
（2）解：连结OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，BC＝4，
∴BD=CD=2 ，
设⊙O的半径为r，则AO=BO=r，，
在Rt△BOD中，由勾股定理可得：
，
解得：，
∴⊙O的半径．
【知识点】勾股定理；垂径定理；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）作AB边的垂直平分线交AD于点O，再以O点为圆心，OA长为半径画圆，⊙O即为所求作；
（2）设⊙O的半径为r，则AO=BO=r，OD=5-r，根据勾股定理列出方程求出r的值即可。
22．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM＝DM，
∵AM＝2，BM＝8，
∴AB＝10，
∴OA＝OC＝5，
在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，
∴CM 4，
∴CD＝8；
（2）证明：过点O作ON⊥BC，垂足为N，
∵CO平分∠DCB，
∴OM＝ON，
∵CO=CO
∴Rt△COM≌Rt△CON
∴CM=CN
∴CB＝CD.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）利用垂径定理可证得CM=DM，由已知条件可求出圆的直径和半径，再利用勾股定理求出CM的长，即可得到CD的长.
（2）过点O作ON⊥BC，垂足为N，利用角平分线的性质可证得ON=OM，利用HL证明Rt△COM≌Rt△CON，利用全等三角形的性质可证得CM=CN，利用垂径定理可证得结论.
23．【答案】（1）PA=PB
（2）解：如图，连接
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：（1） 理由如下：
如图，连接
是小圆的切线，
故答案为：
【分析】（1）先求出再求解即可；
（2）利用圆形的面积公式计算求解即可。
24．【答案】（1）解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，
设半径为xm，
则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，
∵AB＝30m，
∴AM＝ AB＝15（m），
在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m，
由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣9）2+152，
解得：x＝17，
即拱桥所在的圆的半径为17m；
（2）解：∵OP＝17m，
∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝ ＝8（m），
∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m，
∴不需要采取紧急措施.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为xm，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM=AB=15m，A′N＝B′N，易得OM＝OP-PM＝(x-9)m，然后由勾股定理求解即可；
（2）易得ON＝OP-PN＝15（m），在Rt△A′ON中，由勾股定理求出A′N，根据垂径定理可得A′B′，据此判断.
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