2022-2023学年浙教版数学九年级上册3.4 圆心角 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·阳信期中）已知 是半径为6的圆的一条弦，则 的长不可能是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
2．（2021九上·顺义期末）如图，在中，如果＝2 ，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（ ）
A．AB＝AC B．AB＝ 2AC C．AB ＞2AC D．AB ＜ 2AC
3．（2021九上·南京月考）下列命题中，正确的个数是（ ）
（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）正五边形是轴对称图形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2021九上·姑苏月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心
5．（2021九上·息县月考）如图，在 ⊙O中，，D、E分别是半径OA，OB的中点，连接OC，AC，BC，CD，CE，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AC＝BC B．CD＝CE
C．∠ACD＝∠BCE D．CD⊥OA
6．（2021九上·崆峒期末）如图，在
中，
，连接AC，CD，则AC与CD的关系是（ ）.
A．
B．
C．
D．无法比较
7．（2021九上·拱墅月考）如图，△ABC内接于圆O，AC＝10，BC＝24，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（ ）
A． B． C．2.4 D．
8．（2021九上·杭州期中）下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等.其中正确的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①②④
9．（2021九上·上城期中）在⊙O上作一条弦AB，再作一条与弦AB垂直的直径CD，CD与AB交于点E，则下列结论中不一定正确是（ ）
A．AE＝BE B． C．CE＝EO D．
10．（2021九上·旅顺口期中）在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（ ）
A．90° B．60° C．30° D．15°
二、填空题
11．（2021九上·凯里期中）如图，在⊙O中， = ，则下列结论中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④ = ，正确的是 填序号.
12．（2021九上·前进期末）如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，，点P是OC上的一个动点，则BP＋DP的最小值为 ．
13．（2021九上·芜湖月考）如图，在⊙O中， =2 ， 于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“=”）．
14．（2021九上·鹿城期中）如图，
为 的直径， 点 是弧 的中点， 过点 作 于点 ， 延长 交 于点 ， 若 ， 则 的半径长为
15．（2021九上·孝义期中）如图，在⊙O中， ，半径OC与AB交于点D，若AB＝8cm，OB＝5cm，则CD＝ cm．
16．（2021九上·上城期中）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD＝CD.若AC＝10，DE＝4，则BC的长为 .
三、解答题
17．（2021九上·汕尾期末）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，．请判断△ABC的形状，并说明理由．
18．（2021九上·黄埔期末）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF．
19．（2021九上·杜尔伯特期末）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD，求证：PB＝PD．
20．（2021九上·淮南月考）如图，已知⊙O的两条弦AB、CD，且AB＝CD．求证：AD＝BC．
21．（2021九上·瑞安月考）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AD为⊙O的直径.连结BD，若
（1）求证：∠1=∠2
（2）当AD=
，BC=4时，求△ABD的面积.
22．（2021九上·嘉兴期中）已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1＝∠2，AC＝3cm。
（1）求证： ；
（2）能否求出BD的长？如能，求出BD的长；如不能，说明理由。
23．（2021九上·上城期中）如图， ， 是 的两条弦，点 分别在 ， 上，且 ， 是 的中点.
求证：
（1） .
（2）过 作 于点 .当 ， 时，求 的半径.
24．（2021九上·江阴月考）如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB.
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，
故答案为：D．
【分析】根据直径是圆中最长的弦可求出答案。
2．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】如图，取弧的中点，连接，，
则＝2 ＝2
∵＝2
∴ ＝=
．
在中，，
，即．
故答案为：D．
【分析】取弧的中点，连接，，则＝2 ＝2，由条件得出＝2 ，得出 ＝=，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出，又在中，，根据三角形三边关系定理得出，即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件；轴对称图形
【解析】【解答】解：（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法错误；
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误；
（3）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误；
（4）正五边形是轴对称图形，故原说法正确.
故答案为：A.
【分析】利用不在同一直线上的三点确定一个圆，可对（1）作出判断；利用垂径定理，可对（2）作出判断；利用在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，可对（3）作出判断；利用正多边形的对称性，可对（4）作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.
4．【答案】B
【知识点】圆的认识；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A、圆心相同，半径不相等的圆是同心圆，所以周长不相等，故此选项错误，不符合题意；
B、面积相等的圆半径一定相等，所以是等圆，故此选项正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故此选项错误，不符合题意；
D、平分弧的弦不一定经过圆心，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据圆心相同，半径不相等的圆同心圆，可对A作出判断；利用等圆的定义，可对B作出判断；再根据在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，可对C作出判断；利用垂径定理的推论，可对D作出判断.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在 ⊙O中，，
，故A选项正确；
在△AOC与△BOC中，
，
，
，
D、E分别是半径OA，OB的中点，
，
在△ACD与△BCE中，
，
，
，，故B、C选项正确；
∵CA和CO不一定相等，
∴CD和OA不一定垂直，故D选项不成立.
故答案为：D.
【分析】根据等弧所对的弦相等可判断A；证明△AOC≌△BOC，得到∠CAD=∠CBE，易得AD=BE，进而证明△ACD≌△BCE，得到CD=CE，∠ACD=∠BCE，据此判断B、C；CA与CO不一定相等，据此判断D.
6．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接AB，BC，如图，
∵
∴
又
∴
故答案为：B.
【分析】连接AB，BC，根据等弧所对的弦相等得AB=BC=CD，然后根据三角形三边的关系得出AB+BC>AC，再比较即可得出结果.
7．【答案】A
【知识点】点到直线的距离；平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，
则∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°+∠ABC，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠ABD+∠D＝∠A+∠D＝180°，
∴CD∥AB，
∴∠BCD＝∠ABC，
∴ ＝ ，
∴BD＝AC＝10.
∴OM＝BN，
在Rt△CBD中，CD＝ ＝26，
∵S△BCD＝ ×BN×CD＝ ×BC×BD，
∴BN＝ ＝ ＝ ，
∴OM＝ .
即点O到AB的距离为 .
故答案为：A.
【分析】作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，则∠CBD＝90°，易得CD∥AB，根据平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC，则BD＝AC＝10，利用勾股定理求出CD，根据△BCD的面积可得BN，据此可得OM.
8．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦，选项正确，符合题意；
②如果平分的弦是直径的话，平分这条弦的直径不一定垂直于弦，选项错误，不符合题意；
③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角不一定相等，选项错误，不符合题意；
④同弧或等弧所对的弦相等，选项正确，符合题意.
∴正确的有：①④.
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理可判断①②；根据弧、圆周角的关系可判断③；根据弧、弦的关系可判断④.
9．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：根据垂径定理可得A、B、D三个选项都是正确的.
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理结合弦、弧的关系进行判断.
10．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 在半径为1的 中，弦 的长为1，如下图：
，
为等边三角形，
弦 所对的圆心角的度数为 ．
故答案为：B．
【分析】先求出 为等边三角形，再求解即可。
11．【答案】①②③④
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， = ，
∴AB=CD，故①正确；
∵BC为公共弧，
∴ = ，故④正确；
∴AC=BD，故②正确；
∴∠AOC=∠BOD，故③正确.
故答案为：①②③④.
【分析】根据等量减去等量差相等得 = ，根据等弧所对的弦相等可得AB=CD，AC=BD，由等弧所对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOD，据此判断.
12．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AD，PA，PD，OD．
∵OC⊥AB，OA=OB，
∴PA=PB，∠COB=90°，
∵，
∴∠DOB=×90°=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ABD=60°
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD=AB sin∠ABD=2，
∵PB+PD=PA+PD≥AD，
∴PD+PB≥2，
∴PD+PB的最小值为2，
故答案为：2．
【分析】连接AD，PA，PD，OD．根据垂直的性质得出△OBD是等边三角形，再根据PB+PD=PA+PD≥AD，得出PD+PB≥2，即可得出结论。
13．【答案】=
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：延长AD交⊙O于点M，
∵AD⊥OC，
∴，AM=2AD，
∵，
∴，
∴AB=AM=2AD.
故答案为：=.
【分析】延长AD交⊙O于点M，根据垂径定理得出，AM=2AD，从而得出，从而得出AB=AM=2AD.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OF.
∵DE⊥AB，
∴DE=EF， ，
∵点D是弧AC的中点，
∴ ，
∴ ，
∴AC=DF=12，
∴EF= DF=6，设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，则有x2=62+（x-3）2，
解得x= .
故答案为：.
【分析】连接OF，由垂径定理可得DE=EF，，根据点D是弧AC的中点可得，推出，根据等弧所对的弦相等得AC=DF=12，由垂径定理可得EF，设OA=OF=x，然后在Rt△OEF中，应用勾股定理求解即可.
15．【答案】2
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴OC⊥AB，
∴AD＝DB＝ AB＝4（cm），
∴ （cm），
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2（cm），
故答案为：2．
【分析】先求出OC⊥AB，再求出AD=DB=4cm，最后利用勾股定理计算求解即可。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AD＝CD，
∴ ，
∴OD⊥AC，
∴AE＝CE＝ AC＝5，
设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣4，
在Rt△OAE中，52+（r﹣4）2＝r2，解得r＝
∴OE＝ ﹣4＝ ，
∵OB＝OA，AE＝CE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴BC＝2OE＝.
故答案为：.
【分析】根据弧、弦的关系可得，根据垂径定理得OD⊥AC，AE＝CE＝5，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r-4，在Rt△OAE中，由勾股定理可得r，进而求出OE，推出OE为△ABC的中位线，据此求解.
17．【答案】解：△ABC是等边三角形，
理由：∵
∴AC=BC，
∵∠ADC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据可得AC=BC，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABC=∠ADC=60°，即可证明△ABC是等边三角形．
18．【答案】解：分别连接OA、OC，
∵＝，
∴AB＝CD，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝ AB，CF＝ CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴AE＝CF ，
又∵OA＝OC，
∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），
∴OE＝OF．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据＝，可得AB=CD，再利用垂径定理可得AE＝ AB，CF＝ CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，再利用“HL”证明Rt△OAE≌Rt△OCF，再利用全等三角形的性质可得OE=OF。
19．【答案】证明：连接AC，如图，
∵AB＝CD，
∴．
∴．
即．
∴∠A＝∠C．
∴PA＝PC．
∴PA﹣AB＝PC﹣CD．
即：PB＝PD．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接AC，利用圆心角、弧、弦的关系即可得出结论。
20．【答案】证明： ⊙O的两条弦AB、CD，AB＝CD，
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】先求出 再证明求解即可。
21．【答案】（1）证明：∵
∴
∴
∴∠1=∠2
（2）解：过O点作OE⊥BC于点E
∴BE=CE=
∵AD为⊙O的直径
∴OB=
∴
∴
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据题意得出
，再根据等弧所对的圆周角相等，即可得出∠1=∠2；
（2） 过O点作OE⊥BC于点E， 根据垂径定理得出BE=CE=2，根据勾股定理求出OE的长，再根据三角形面积公式进行计算，即可得出△ABD的面积.
22．【答案】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠COB＝∠2+∠COB，
即：∠DOB＝∠COA，
∴
（2）解：∵
∴BD＝AC，
∵AC＝3cm，
∴BD＝3cm
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】(1)利用角的和差关系求出 ∠DOB＝∠COA，根据圆心角和弧的关系得出；
(2)根据等弧对等弦得出BD=AC，即可解答.
23．【答案】（1）证明：∵ 为 的中点
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴
（2）解：连接OM，
∵ ，
∴ ，
∵
根据勾股定理得：
∴半径为
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）由中点的概念可得，根据弦、弧的关系可得 ，进而推出 ，据此证明；
（2）连接OM，由垂径定理可得ME=MB=2，利用勾股定理求出OM，据此可得半径.
24．【答案】（1）证明：如图，∵AD=BC，
∴ = ，
∴ ﹣ = ﹣ ，即 = ，
∴AB=CD；
（2）解：如图，过 O 作 OF⊥AD 于点 F，作 OG⊥BC 于点 G，连接 OA、OC.
则 AF=FD，BG=CG.
∵AD=BC，
∴AF=CG.
在 Rt△AOF 与 Rt△COG 中， ，
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF=OG，
∴四边形 OFEG 是正方形，
∴OF=EF.
设 OF=EF=x，则 AF=FD=x+1，
在直角△OAF 中.由勾股定理得到：x2+（x+1）2=52， 解得 x=5.
则 AF=3+1=4，即 AE=AF+3=7.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；正方形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据弧、弦的关系可得=，进而推出=，据此证明；
（2）过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC，则AF=FD，BG=CG，利用HL证明Rt△AOF≌Rt△COG，得到OF=OG，推出四边形OFEG是正方形，得到OF=EF，设OF=EF=x，则AF=x+1，在Rt△OAF中，由勾股定理可得x，进而得到AF、AE的值.
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级上册3.4 圆心角 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·阳信期中）已知 是半径为6的圆的一条弦，则 的长不可能是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，
故答案为：D．
【分析】根据直径是圆中最长的弦可求出答案。
2．（2021九上·顺义期末）如图，在中，如果＝2 ，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（ ）
A．AB＝AC B．AB＝ 2AC C．AB ＞2AC D．AB ＜ 2AC
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】如图，取弧的中点，连接，，
则＝2 ＝2
∵＝2
∴ ＝=
．
在中，，
，即．
故答案为：D．
【分析】取弧的中点，连接，，则＝2 ＝2，由条件得出＝2 ，得出 ＝=，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出，又在中，，根据三角形三边关系定理得出，即可得出答案。
3．（2021九上·南京月考）下列命题中，正确的个数是（ ）
（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）正五边形是轴对称图形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件；轴对称图形
【解析】【解答】解：（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法错误；
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误；
（3）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误；
（4）正五边形是轴对称图形，故原说法正确.
故答案为：A.
【分析】利用不在同一直线上的三点确定一个圆，可对（1）作出判断；利用垂径定理，可对（2）作出判断；利用在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，可对（3）作出判断；利用正多边形的对称性，可对（4）作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.
4．（2021九上·姑苏月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心
【答案】B
【知识点】圆的认识；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A、圆心相同，半径不相等的圆是同心圆，所以周长不相等，故此选项错误，不符合题意；
B、面积相等的圆半径一定相等，所以是等圆，故此选项正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故此选项错误，不符合题意；
D、平分弧的弦不一定经过圆心，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据圆心相同，半径不相等的圆同心圆，可对A作出判断；利用等圆的定义，可对B作出判断；再根据在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，可对C作出判断；利用垂径定理的推论，可对D作出判断.
5．（2021九上·息县月考）如图，在 ⊙O中，，D、E分别是半径OA，OB的中点，连接OC，AC，BC，CD，CE，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AC＝BC B．CD＝CE
C．∠ACD＝∠BCE D．CD⊥OA
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在 ⊙O中，，
，故A选项正确；
在△AOC与△BOC中，
，
，
，
D、E分别是半径OA，OB的中点，
，
在△ACD与△BCE中，
，
，
，，故B、C选项正确；
∵CA和CO不一定相等，
∴CD和OA不一定垂直，故D选项不成立.
故答案为：D.
【分析】根据等弧所对的弦相等可判断A；证明△AOC≌△BOC，得到∠CAD=∠CBE，易得AD=BE，进而证明△ACD≌△BCE，得到CD=CE，∠ACD=∠BCE，据此判断B、C；CA与CO不一定相等，据此判断D.
6．（2021九上·崆峒期末）如图，在
中，
，连接AC，CD，则AC与CD的关系是（ ）.
A．
B．
C．
D．无法比较
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接AB，BC，如图，
∵
∴
又
∴
故答案为：B.
【分析】连接AB，BC，根据等弧所对的弦相等得AB=BC=CD，然后根据三角形三边的关系得出AB+BC>AC，再比较即可得出结果.
7．（2021九上·拱墅月考）如图，△ABC内接于圆O，AC＝10，BC＝24，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（ ）
A． B． C．2.4 D．
【答案】A
【知识点】点到直线的距离；平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，
则∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°+∠ABC，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠ABD+∠D＝∠A+∠D＝180°，
∴CD∥AB，
∴∠BCD＝∠ABC，
∴ ＝ ，
∴BD＝AC＝10.
∴OM＝BN，
在Rt△CBD中，CD＝ ＝26，
∵S△BCD＝ ×BN×CD＝ ×BC×BD，
∴BN＝ ＝ ＝ ，
∴OM＝ .
即点O到AB的距离为 .
故答案为：A.
【分析】作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，则∠CBD＝90°，易得CD∥AB，根据平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC，则BD＝AC＝10，利用勾股定理求出CD，根据△BCD的面积可得BN，据此可得OM.
8．（2021九上·杭州期中）下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等.其中正确的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①②④
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦，选项正确，符合题意；
②如果平分的弦是直径的话，平分这条弦的直径不一定垂直于弦，选项错误，不符合题意；
③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角不一定相等，选项错误，不符合题意；
④同弧或等弧所对的弦相等，选项正确，符合题意.
∴正确的有：①④.
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理可判断①②；根据弧、圆周角的关系可判断③；根据弧、弦的关系可判断④.
9．（2021九上·上城期中）在⊙O上作一条弦AB，再作一条与弦AB垂直的直径CD，CD与AB交于点E，则下列结论中不一定正确是（ ）
A．AE＝BE B． C．CE＝EO D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：根据垂径定理可得A、B、D三个选项都是正确的.
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理结合弦、弧的关系进行判断.
10．（2021九上·旅顺口期中）在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（ ）
A．90° B．60° C．30° D．15°
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 在半径为1的 中，弦 的长为1，如下图：
，
为等边三角形，
弦 所对的圆心角的度数为 ．
故答案为：B．
【分析】先求出 为等边三角形，再求解即可。
二、填空题
11．（2021九上·凯里期中）如图，在⊙O中， = ，则下列结论中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④ = ，正确的是 填序号.
【答案】①②③④
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， = ，
∴AB=CD，故①正确；
∵BC为公共弧，
∴ = ，故④正确；
∴AC=BD，故②正确；
∴∠AOC=∠BOD，故③正确.
故答案为：①②③④.
【分析】根据等量减去等量差相等得 = ，根据等弧所对的弦相等可得AB=CD，AC=BD，由等弧所对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOD，据此判断.
12．（2021九上·前进期末）如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，，点P是OC上的一个动点，则BP＋DP的最小值为 ．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AD，PA，PD，OD．
∵OC⊥AB，OA=OB，
∴PA=PB，∠COB=90°，
∵，
∴∠DOB=×90°=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ABD=60°
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD=AB sin∠ABD=2，
∵PB+PD=PA+PD≥AD，
∴PD+PB≥2，
∴PD+PB的最小值为2，
故答案为：2．
【分析】连接AD，PA，PD，OD．根据垂直的性质得出△OBD是等边三角形，再根据PB+PD=PA+PD≥AD，得出PD+PB≥2，即可得出结论。
13．（2021九上·芜湖月考）如图，在⊙O中， =2 ， 于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“=”）．
【答案】=
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：延长AD交⊙O于点M，
∵AD⊥OC，
∴，AM=2AD，
∵，
∴，
∴AB=AM=2AD.
故答案为：=.
【分析】延长AD交⊙O于点M，根据垂径定理得出，AM=2AD，从而得出，从而得出AB=AM=2AD.
14．（2021九上·鹿城期中）如图，
为 的直径， 点 是弧 的中点， 过点 作 于点 ， 延长 交 于点 ， 若 ， 则 的半径长为
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OF.
∵DE⊥AB，
∴DE=EF， ，
∵点D是弧AC的中点，
∴ ，
∴ ，
∴AC=DF=12，
∴EF= DF=6，设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，则有x2=62+（x-3）2，
解得x= .
故答案为：.
【分析】连接OF，由垂径定理可得DE=EF，，根据点D是弧AC的中点可得，推出，根据等弧所对的弦相等得AC=DF=12，由垂径定理可得EF，设OA=OF=x，然后在Rt△OEF中，应用勾股定理求解即可.
15．（2021九上·孝义期中）如图，在⊙O中， ，半径OC与AB交于点D，若AB＝8cm，OB＝5cm，则CD＝ cm．
【答案】2
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴OC⊥AB，
∴AD＝DB＝ AB＝4（cm），
∴ （cm），
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2（cm），
故答案为：2．
【分析】先求出OC⊥AB，再求出AD=DB=4cm，最后利用勾股定理计算求解即可。
16．（2021九上·上城期中）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD＝CD.若AC＝10，DE＝4，则BC的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AD＝CD，
∴ ，
∴OD⊥AC，
∴AE＝CE＝ AC＝5，
设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣4，
在Rt△OAE中，52+（r﹣4）2＝r2，解得r＝
∴OE＝ ﹣4＝ ，
∵OB＝OA，AE＝CE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴BC＝2OE＝.
故答案为：.
【分析】根据弧、弦的关系可得，根据垂径定理得OD⊥AC，AE＝CE＝5，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r-4，在Rt△OAE中，由勾股定理可得r，进而求出OE，推出OE为△ABC的中位线，据此求解.
三、解答题
17．（2021九上·汕尾期末）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，．请判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】解：△ABC是等边三角形，
理由：∵
∴AC=BC，
∵∠ADC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据可得AC=BC，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABC=∠ADC=60°，即可证明△ABC是等边三角形．
18．（2021九上·黄埔期末）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF．
【答案】解：分别连接OA、OC，
∵＝，
∴AB＝CD，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝ AB，CF＝ CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴AE＝CF ，
又∵OA＝OC，
∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），
∴OE＝OF．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据＝，可得AB=CD，再利用垂径定理可得AE＝ AB，CF＝ CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，再利用“HL”证明Rt△OAE≌Rt△OCF，再利用全等三角形的性质可得OE=OF。
19．（2021九上·杜尔伯特期末）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD，求证：PB＝PD．
【答案】证明：连接AC，如图，
∵AB＝CD，
∴．
∴．
即．
∴∠A＝∠C．
∴PA＝PC．
∴PA﹣AB＝PC﹣CD．
即：PB＝PD．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接AC，利用圆心角、弧、弦的关系即可得出结论。
20．（2021九上·淮南月考）如图，已知⊙O的两条弦AB、CD，且AB＝CD．求证：AD＝BC．
【答案】证明： ⊙O的两条弦AB、CD，AB＝CD，
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】先求出 再证明求解即可。
21．（2021九上·瑞安月考）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AD为⊙O的直径.连结BD，若
（1）求证：∠1=∠2
（2）当AD=
，BC=4时，求△ABD的面积.
【答案】（1）证明：∵
∴
∴
∴∠1=∠2
（2）解：过O点作OE⊥BC于点E
∴BE=CE=
∵AD为⊙O的直径
∴OB=
∴
∴
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据题意得出
，再根据等弧所对的圆周角相等，即可得出∠1=∠2；
（2） 过O点作OE⊥BC于点E， 根据垂径定理得出BE=CE=2，根据勾股定理求出OE的长，再根据三角形面积公式进行计算，即可得出△ABD的面积.
22．（2021九上·嘉兴期中）已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1＝∠2，AC＝3cm。
（1）求证： ；
（2）能否求出BD的长？如能，求出BD的长；如不能，说明理由。
【答案】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠COB＝∠2+∠COB，
即：∠DOB＝∠COA，
∴
（2）解：∵
∴BD＝AC，
∵AC＝3cm，
∴BD＝3cm
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】(1)利用角的和差关系求出 ∠DOB＝∠COA，根据圆心角和弧的关系得出；
(2)根据等弧对等弦得出BD=AC，即可解答.
23．（2021九上·上城期中）如图， ， 是 的两条弦，点 分别在 ， 上，且 ， 是 的中点.
求证：
（1） .
（2）过 作 于点 .当 ， 时，求 的半径.
【答案】（1）证明：∵ 为 的中点
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴
（2）解：连接OM，
∵ ，
∴ ，
∵
根据勾股定理得：
∴半径为
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）由中点的概念可得，根据弦、弧的关系可得 ，进而推出 ，据此证明；
（2）连接OM，由垂径定理可得ME=MB=2，利用勾股定理求出OM，据此可得半径.
24．（2021九上·江阴月考）如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB.
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长.
【答案】（1）证明：如图，∵AD=BC，
∴ = ，
∴ ﹣ = ﹣ ，即 = ，
∴AB=CD；
（2）解：如图，过 O 作 OF⊥AD 于点 F，作 OG⊥BC 于点 G，连接 OA、OC.
则 AF=FD，BG=CG.
∵AD=BC，
∴AF=CG.
在 Rt△AOF 与 Rt△COG 中， ，
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF=OG，
∴四边形 OFEG 是正方形，
∴OF=EF.
设 OF=EF=x，则 AF=FD=x+1，
在直角△OAF 中.由勾股定理得到：x2+（x+1）2=52， 解得 x=5.
则 AF=3+1=4，即 AE=AF+3=7.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；正方形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据弧、弦的关系可得=，进而推出=，据此证明；
（2）过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC，则AF=FD，BG=CG，利用HL证明Rt△AOF≌Rt△COG，得到OF=OG，推出四边形OFEG是正方形，得到OF=EF，设OF=EF=x，则AF=x+1，在Rt△OAF中，由勾股定理可得x，进而得到AF、AE的值.
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