2022-2023学年浙教版数学九年级上册3.5 圆周角 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·番禺期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝110°，则∠A的度数为（ ）
A．65° B．55° C．70° D．30°
2．（2021九上·槐荫期末）如图，点A、B、C在⊙O上，∠CAB＝70°，则∠BOC等于（ ）
A．100° B．110° C．130° D．140°
3．（2021九上·合肥期末）以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·海曙期末）如图， 是 的直径， 是弦， ， 则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·鄂城期末）如图， 中的半径为1， 内接于 .若 ， ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·南充期末）如图，AB，CD是⊙O的弦，且 ，若 ，则 的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
7．（2021九上·蓬江期末）如图，△ABC的外接圆半径为8，∠ACB＝60°，则AB的长为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．4
8．（2021九上·无棣期末）如图，内接于，是的直径，，则的度数是（ ）
A．36° B．34° C．56° D．78°
9．（2021九上·准格尔旗期末）如图，是⊙O的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则圆心到弦的距离等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2021九上·南昌期末）如图，AD为的直径，，，则AC的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
二、填空题
11．（2021九上·长沙期末）如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若弦BC的长度为 ，则∠BAC＝ 度.
12．（2021九上·长沙期末）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是 .
13．（2021九上·澄海期末）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于点E，若OA=5，AB=8，则AD的长为 ．
14．（2021九上·白云期末）如图，AB是的直径，，BC交于点D，AC交于点E，，则 °．
15．（2021九上·准格尔旗期末）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠CAB＝24°，则∠ADC的度数为 ．
16．（2021九上·南昌期末）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是
三、解答题
17．（2020九上·惠城期末）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2．求半径OB的长．
18．（2021九上·虎林期末）如图，是的外接圆⊙O的直径，若∠ACB=50°，求∠BAD的度数．
19．（2021九上·武汉月考）如图，是上的四个点，.判断的形状，并证明你的结论.
20．（2021九上·余杭期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F.
求证： .
四、综合题
21．（2021九上·邗江期末）如图1， ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F.直线BE交直线CD于G点.
（1）小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：
∵AC＝BC＝EC，
∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，
∴∠AEB＝ ∠ACB，（填写数量关系）
∴∠AEB＝ °.
（2）如图2，连接BF，求证A、B、F、C四点共圆；
（3）线段AE最大值为 ，若取BC的中点M，则线段MF的最小值为 .
22．（2021九上·潮安期末）如图，中，，按要求完成下列问题：
（1）作出的外接圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法）；
（2）在（1）的条件下，若CD平分，CD交于点D，连接AD，BD．求证：．
23．（2022九上·诸暨期末）如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，.连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E.
（1）求证：；
（2）若，半径，求BD的长.
24．（2021九上·扬州月考）在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：已知线段
，使用作图工具作
，尝试操作后思考：这样的点A唯一吗？点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），….小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）.
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决.
①该弧所在圆的半径长为 ；
②面积的最大值为 ；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形外部，我们记为
，请你利用图1证明
.
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形
的边长
，
，点P在直线CD的左侧，且
，则线段PB长的最小值为 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：是的外接圆，，
．
故答案为：B．
【分析】根据圆周角的性质可得。
2．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠CAB=70°，
∴∠BOC=2∠CAB=140°，
故答案为：D．
【分析】根据圆周角定理可得。
3．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
点所对应的读数为，
，
为直径，，
点在上，
，
，
是的外角，
，
故答案为：B．
【分析】先利用圆周角定理求出，再求出然后根据三角形外角性质求出的度数。
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACN=90°，
∴∠B=90°-∠CAB=90°-50°=40°；
∵弧AC=弧AC，
∴∠B=∠D=40°.
故答案为：C.
【分析】利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ACN=90°，再利用三角形的内角和定理求出∠B的度数；然后利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠D的度数.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：
如图，连接OA、OB，过点O作 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】连接OA、OB，过点O作OD⊥AB， 根据内角和定理可得∠C=60°，由圆周角定理可得∠AOB=120°，根据等腰三角形的性质可得∠AOD=60°，AD=BD=AB，则∠DAO=30°，然后求出OD，AD，据此可得AB.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理可得∠ADC=
∠AOC=40°，然后利用平行线的性质进行解答.
7．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=120°，
∵OB=OA=8，
∴∠AOH=∠BOH=60°，
∴∠OAB=30°，
∴OH=OA=4，
∴AH= ，
∴AB=2AH=8，
故答案为：A．
【分析】连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，先求出∠OAB=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得OH的长，再利用勾股定理求出AH的长，最后利用垂径定理可得AB=2AH。
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接
是的直径，
故答案为：B
【分析】连接BD，先利用圆周角和三角形的内角和求出∠D，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D。
9．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA、OC，OC交AB于E，
∵，
∴∠AOC=2，
∵点是弧中点，
∴OC⊥AB，
∴∠AEO=90°，，
∴∠OAE=30°，
∴AO=2EO，
∵，
∴，
∴，即圆心到弦的距离等于，
故答案为：B．
【分析】连接OA、OC，OC交AB于E，根据垂径定理可得OC⊥AB，，再由圆周角定理推出∠AOC=2∠ADC=60°，从而根据直角三角形的性质进行求解即可。
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接CD
∵
∴AC=DC
又∵AD为的直径
∴∠ACD=90°
∴
∴
∴
故答案为：A．
【分析】先求出AC=DC，再求出∠ACD=90°，最后利用勾股定理计算求解即可。
11．【答案】60
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图作OE⊥BC于E.
∵OE⊥BC，
∴BE=EC=
，∠BOE=∠COE，
∴OE=
1，
∴OB=2OE，
∴∠OBE=30°，
∴∠BOE=∠COE=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BAC=60°.
故答案为：60.
【分析】作OE⊥BC于E，根据垂径定理可得BE=EC=
，利用勾股定理得OE，推出∠OBE=30°，则∠BOE=∠COE=60°，∠BOC=120°，然后利用圆周角定理进行计算.
12．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵∠A=30°，
∴∠COH=2∠A=60°，
∵弦CD⊥AB于H，
∴∠OHC=90°，
∴∠OCH=30°，
∵OH=1，
∴OC=2OH=2.
故答案为：2.
【分析】连接OC，根据圆周角定理得∠COH=2∠A=60°，则∠OCH=30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行解答.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，AB＝8，
∴AE=BE=，
在Rt△OEB中，根据勾股定理OE=，
∴CD=OD+OE=5+3=8，
在Rt△AED中，AD=，
故答案为．
【分析】先利用垂径定理求出AE的长，再利用勾股定理求出OE的长，最后利用勾股定理求出AD的长即可。
14．【答案】22.5
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠ABE=45°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=×（180°-45°）=67.5°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=67.5°-45°=22.5°．
故答案为：22.5．
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠ABC，再利用圆周角和三角形的内角和求出∠ABE，最后利用∠EBC=∠ABC-∠ABE计算即可。
15．【答案】114°
【知识点】角的运算；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，如图：
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠CAB＝∠BDC＝24°，
∴∠ADC＝∠BDC+∠ADB＝24°+90°＝114°．
故答案为：114°．
【分析】连接BD，先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠BDC=∠CAB=24°，即可得到∠ADC的度数。
16．【答案】26°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵在⊙O中，OC⊥AB，
∴，∠BOC+∠OBA=90°，
∴∠BOC=2∠ADC=64°，
∴∠OBA=90°﹣∠BOC=90°﹣64°=26°，
故答案为：26°．
【分析】先求出
，∠BOC+∠OBA=90°，再求出∠BOC=64°，最后求∠OBA的度数即可。
17．【答案】解：半径弦AB于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】先利用圆周角的性质证明 是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出OB的长。
18．【答案】解：如图，连接BD，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∵∠D=∠C=50°，
∴∠BAD=90°-∠D=90°-50°=40°．
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【分析】连接BD，先根据圆周角的性质求出∠D=∠C=50°，再利用三角形的内角和可得∠BAD=90°-∠D=90°-50°=40°．
19．【答案】解：△ABC是等边三角形.证明如下：
由圆周角定理：∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC
∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°.
∴△ABC是等边三角形.
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定；圆周角定理
【解析】【分析】由圆周角定理结合已知条件可得：∠BAC=∠CPB=60°，∠ABC=∠APC=60°，在△ABC中，由内角和定理可得∠ACB＝60°，据此判断.
20．【答案】证明：连接BE、AF，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝∠AFB＝90°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠ABE＝∠BAF，
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】连接BE、AF，由圆周角定理得∠AEB＝∠AFB＝90°，由等腰三角形性质得∠CAB＝∠CBA，推出∠ABE＝∠BAF，据此证明.
21．【答案】（1）；45
（2）解：由题意知，CD垂直平分BE，
连接BF，则BF=EF，
∴∠EBF=∠AEB＝45°.
∴∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴A、B、F、C在以AB为直径的圆上，即A、B、F、C四点共圆；
（3）8；
【知识点】垂线段最短；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：（1）∵AC＝BC＝EC，
∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，
∴∠AEB＝
∠ACB，
∴∠AEB＝45°.
故答案为：
，45；
（3）当点A、C、E在一条直线上时，线段AE最大，最大值为4+4=8，
当MF⊥BC时线段MF最小，
∵BC的中点M，
∴CF=BF，
设BG=FG=x，则CF=BF=
x，CG=（
+1）x，
∵ ，
∴ ，
得
，
∵ ，
∴ ，
得
，
故答案为：8，
.
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠AEB＝ ∠ACB，据此计算；
（2）由题意知：CD垂直平分BE，连接BF，则BF=EF，∠EBF=∠AEB＝45°，根据外角的性质可得∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°，据此证明；
（3）当点A、C、E在一条直线上时，线段AE最大，最大值为AC+CE；当MF⊥BC时线段MF最小，根据中点的概念可得CF=BF， 设BG=FG=x，则CF=BF= x，CG=( +1)x，在Rt△CGB中，由勾股定理求出x2，然后在Rt△BMF中，利用勾股定理就可求出MF.
22．【答案】（1）解：如图，为所求；
（2）证明：如图，连接OD，
∵CD平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，与AB的交点为O，然后以O为圆心，以OA为半径作圆即可；
（2）连接OD，根据角平分线的概念可得∠ACD=∠BCD，根据圆周角定理可得∠ACD=∠AOD，∠BCD=∠BOD，推出∠AOD=∠BOD，据此证明.
23．【答案】（1）证明：连接BC，
∵O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，
∴，
∴，
在中，.
∵，
∴，
∴，
∴三角形ECD为等腰三角形，
∴.
（2）解：在中，，
∵CD=DE，CD=BD，
∴BD=ED
在和中
，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接BC， CD=BD，可以得到，由直径所对的圆周角是直角，可得到，可得到，即可解答；
（2）由题意可以很容易得到 ，由全等三角形的性质可以得到，进而易求CE，在中， 由勾股定理可以得到BE的长度，即可得到BD的长度.
24．【答案】（1）4；
（2）解：设A'B交 于E，
由圆周角定理知 ，
是△ 的外角，
，
；
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：（1）①设圆心为O，连接OB，OC，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：4；
②当OA⊥BC时，以BC为底时，高最高；
最大，
此时
，
，
，故答案为：
；
（3）如图，作等腰△ODC，使∠COD=120°，以O为圆心，OD为半径作圆，则点P在优弧CD上，连接OB交
于P，此时BP最小，
过O作OG⊥CD于G，OH⊥BC于H，
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
的最小值为
，
故答案为：
.
【分析】（1）①设圆心为O，连接OB，OC，求出△OBC是等边三角形，则可求出圆的半径长；②当AO⊥BC时， △ABC的面积最大，求出AD的长，再计算△ABC的面积即可；
(2) 设AB交于E， 由圆周角定理求出∠BEC的度数，根据三角形外角的性质证明∠BEC>∠A'，即可得证；
(3)如图，作等腰△ODC，使∠COD=120°，以O为圆心，OD为半径作圆，则点P在优弧CD上，连接OB交 于P，此时BP最小，过O作OG⊥CD于G，OH⊥BC于H，利用垂径定理及含30°角的直角三角形的性质得出OG、OC的长，再利用勾股定理求出BO的长，则可求出BP长即可.
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级上册3.5 圆周角 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·番禺期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝110°，则∠A的度数为（ ）
A．65° B．55° C．70° D．30°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：是的外接圆，，
．
故答案为：B．
【分析】根据圆周角的性质可得。
2．（2021九上·槐荫期末）如图，点A、B、C在⊙O上，∠CAB＝70°，则∠BOC等于（ ）
A．100° B．110° C．130° D．140°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠CAB=70°，
∴∠BOC=2∠CAB=140°，
故答案为：D．
【分析】根据圆周角定理可得。
3．（2021九上·合肥期末）以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
点所对应的读数为，
，
为直径，，
点在上，
，
，
是的外角，
，
故答案为：B．
【分析】先利用圆周角定理求出，再求出然后根据三角形外角性质求出的度数。
4．（2021九上·海曙期末）如图， 是 的直径， 是弦， ， 则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACN=90°，
∴∠B=90°-∠CAB=90°-50°=40°；
∵弧AC=弧AC，
∴∠B=∠D=40°.
故答案为：C.
【分析】利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ACN=90°，再利用三角形的内角和定理求出∠B的度数；然后利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠D的度数.
5．（2021九上·鄂城期末）如图， 中的半径为1， 内接于 .若 ， ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：
如图，连接OA、OB，过点O作 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】连接OA、OB，过点O作OD⊥AB， 根据内角和定理可得∠C=60°，由圆周角定理可得∠AOB=120°，根据等腰三角形的性质可得∠AOD=60°，AD=BD=AB，则∠DAO=30°，然后求出OD，AD，据此可得AB.
6．（2021九上·南充期末）如图，AB，CD是⊙O的弦，且 ，若 ，则 的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理可得∠ADC=
∠AOC=40°，然后利用平行线的性质进行解答.
7．（2021九上·蓬江期末）如图，△ABC的外接圆半径为8，∠ACB＝60°，则AB的长为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．4
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=120°，
∵OB=OA=8，
∴∠AOH=∠BOH=60°，
∴∠OAB=30°，
∴OH=OA=4，
∴AH= ，
∴AB=2AH=8，
故答案为：A．
【分析】连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，先求出∠OAB=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得OH的长，再利用勾股定理求出AH的长，最后利用垂径定理可得AB=2AH。
8．（2021九上·无棣期末）如图，内接于，是的直径，，则的度数是（ ）
A．36° B．34° C．56° D．78°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接
是的直径，
故答案为：B
【分析】连接BD，先利用圆周角和三角形的内角和求出∠D，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D。
9．（2021九上·准格尔旗期末）如图，是⊙O的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则圆心到弦的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA、OC，OC交AB于E，
∵，
∴∠AOC=2，
∵点是弧中点，
∴OC⊥AB，
∴∠AEO=90°，，
∴∠OAE=30°，
∴AO=2EO，
∵，
∴，
∴，即圆心到弦的距离等于，
故答案为：B．
【分析】连接OA、OC，OC交AB于E，根据垂径定理可得OC⊥AB，，再由圆周角定理推出∠AOC=2∠ADC=60°，从而根据直角三角形的性质进行求解即可。
10．（2021九上·南昌期末）如图，AD为的直径，，，则AC的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接CD
∵
∴AC=DC
又∵AD为的直径
∴∠ACD=90°
∴
∴
∴
故答案为：A．
【分析】先求出AC=DC，再求出∠ACD=90°，最后利用勾股定理计算求解即可。
二、填空题
11．（2021九上·长沙期末）如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若弦BC的长度为 ，则∠BAC＝ 度.
【答案】60
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图作OE⊥BC于E.
∵OE⊥BC，
∴BE=EC=
，∠BOE=∠COE，
∴OE=
1，
∴OB=2OE，
∴∠OBE=30°，
∴∠BOE=∠COE=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BAC=60°.
故答案为：60.
【分析】作OE⊥BC于E，根据垂径定理可得BE=EC=
，利用勾股定理得OE，推出∠OBE=30°，则∠BOE=∠COE=60°，∠BOC=120°，然后利用圆周角定理进行计算.
12．（2021九上·长沙期末）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是 .
【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵∠A=30°，
∴∠COH=2∠A=60°，
∵弦CD⊥AB于H，
∴∠OHC=90°，
∴∠OCH=30°，
∵OH=1，
∴OC=2OH=2.
故答案为：2.
【分析】连接OC，根据圆周角定理得∠COH=2∠A=60°，则∠OCH=30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行解答.
13．（2021九上·澄海期末）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于点E，若OA=5，AB=8，则AD的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，AB＝8，
∴AE=BE=，
在Rt△OEB中，根据勾股定理OE=，
∴CD=OD+OE=5+3=8，
在Rt△AED中，AD=，
故答案为．
【分析】先利用垂径定理求出AE的长，再利用勾股定理求出OE的长，最后利用勾股定理求出AD的长即可。
14．（2021九上·白云期末）如图，AB是的直径，，BC交于点D，AC交于点E，，则 °．
【答案】22.5
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠ABE=45°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=×（180°-45°）=67.5°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=67.5°-45°=22.5°．
故答案为：22.5．
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠ABC，再利用圆周角和三角形的内角和求出∠ABE，最后利用∠EBC=∠ABC-∠ABE计算即可。
15．（2021九上·准格尔旗期末）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠CAB＝24°，则∠ADC的度数为 ．
【答案】114°
【知识点】角的运算；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，如图：
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠CAB＝∠BDC＝24°，
∴∠ADC＝∠BDC+∠ADB＝24°+90°＝114°．
故答案为：114°．
【分析】连接BD，先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠BDC=∠CAB=24°，即可得到∠ADC的度数。
16．（2021九上·南昌期末）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是
【答案】26°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵在⊙O中，OC⊥AB，
∴，∠BOC+∠OBA=90°，
∴∠BOC=2∠ADC=64°，
∴∠OBA=90°﹣∠BOC=90°﹣64°=26°，
故答案为：26°．
【分析】先求出
，∠BOC+∠OBA=90°，再求出∠BOC=64°，最后求∠OBA的度数即可。
三、解答题
17．（2020九上·惠城期末）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2．求半径OB的长．
【答案】解：半径弦AB于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】先利用圆周角的性质证明 是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出OB的长。
18．（2021九上·虎林期末）如图，是的外接圆⊙O的直径，若∠ACB=50°，求∠BAD的度数．
【答案】解：如图，连接BD，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∵∠D=∠C=50°，
∴∠BAD=90°-∠D=90°-50°=40°．
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【分析】连接BD，先根据圆周角的性质求出∠D=∠C=50°，再利用三角形的内角和可得∠BAD=90°-∠D=90°-50°=40°．
19．（2021九上·武汉月考）如图，是上的四个点，.判断的形状，并证明你的结论.
【答案】解：△ABC是等边三角形.证明如下：
由圆周角定理：∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC
∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°.
∴△ABC是等边三角形.
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定；圆周角定理
【解析】【分析】由圆周角定理结合已知条件可得：∠BAC=∠CPB=60°，∠ABC=∠APC=60°，在△ABC中，由内角和定理可得∠ACB＝60°，据此判断.
20．（2021九上·余杭期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F.
求证： .
【答案】证明：连接BE、AF，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝∠AFB＝90°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠ABE＝∠BAF，
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】连接BE、AF，由圆周角定理得∠AEB＝∠AFB＝90°，由等腰三角形性质得∠CAB＝∠CBA，推出∠ABE＝∠BAF，据此证明.
四、综合题
21．（2021九上·邗江期末）如图1， ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F.直线BE交直线CD于G点.
（1）小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：
∵AC＝BC＝EC，
∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，
∴∠AEB＝ ∠ACB，（填写数量关系）
∴∠AEB＝ °.
（2）如图2，连接BF，求证A、B、F、C四点共圆；
（3）线段AE最大值为 ，若取BC的中点M，则线段MF的最小值为 .
【答案】（1）；45
（2）解：由题意知，CD垂直平分BE，
连接BF，则BF=EF，
∴∠EBF=∠AEB＝45°.
∴∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴A、B、F、C在以AB为直径的圆上，即A、B、F、C四点共圆；
（3）8；
【知识点】垂线段最短；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：（1）∵AC＝BC＝EC，
∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，
∴∠AEB＝
∠ACB，
∴∠AEB＝45°.
故答案为：
，45；
（3）当点A、C、E在一条直线上时，线段AE最大，最大值为4+4=8，
当MF⊥BC时线段MF最小，
∵BC的中点M，
∴CF=BF，
设BG=FG=x，则CF=BF=
x，CG=（
+1）x，
∵ ，
∴ ，
得
，
∵ ，
∴ ，
得
，
故答案为：8，
.
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠AEB＝ ∠ACB，据此计算；
（2）由题意知：CD垂直平分BE，连接BF，则BF=EF，∠EBF=∠AEB＝45°，根据外角的性质可得∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°，据此证明；
（3）当点A、C、E在一条直线上时，线段AE最大，最大值为AC+CE；当MF⊥BC时线段MF最小，根据中点的概念可得CF=BF， 设BG=FG=x，则CF=BF= x，CG=( +1)x，在Rt△CGB中，由勾股定理求出x2，然后在Rt△BMF中，利用勾股定理就可求出MF.
22．（2021九上·潮安期末）如图，中，，按要求完成下列问题：
（1）作出的外接圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法）；
（2）在（1）的条件下，若CD平分，CD交于点D，连接AD，BD．求证：．
【答案】（1）解：如图，为所求；
（2）证明：如图，连接OD，
∵CD平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，与AB的交点为O，然后以O为圆心，以OA为半径作圆即可；
（2）连接OD，根据角平分线的概念可得∠ACD=∠BCD，根据圆周角定理可得∠ACD=∠AOD，∠BCD=∠BOD，推出∠AOD=∠BOD，据此证明.
23．（2022九上·诸暨期末）如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，.连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E.
（1）求证：；
（2）若，半径，求BD的长.
【答案】（1）证明：连接BC，
∵O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，
∴，
∴，
在中，.
∵，
∴，
∴，
∴三角形ECD为等腰三角形，
∴.
（2）解：在中，，
∵CD=DE，CD=BD，
∴BD=ED
在和中
，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接BC， CD=BD，可以得到，由直径所对的圆周角是直角，可得到，可得到，即可解答；
（2）由题意可以很容易得到 ，由全等三角形的性质可以得到，进而易求CE，在中， 由勾股定理可以得到BE的长度，即可得到BD的长度.
24．（2021九上·扬州月考）在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：已知线段
，使用作图工具作
，尝试操作后思考：这样的点A唯一吗？点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），….小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）.
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决.
①该弧所在圆的半径长为 ；
②面积的最大值为 ；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形外部，我们记为
，请你利用图1证明
.
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形
的边长
，
，点P在直线CD的左侧，且
，则线段PB长的最小值为 .
【答案】（1）4；
（2）解：设A'B交 于E，
由圆周角定理知 ，
是△ 的外角，
，
；
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：（1）①设圆心为O，连接OB，OC，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：4；
②当OA⊥BC时，以BC为底时，高最高；
最大，
此时
，
，
，故答案为：
；
（3）如图，作等腰△ODC，使∠COD=120°，以O为圆心，OD为半径作圆，则点P在优弧CD上，连接OB交
于P，此时BP最小，
过O作OG⊥CD于G，OH⊥BC于H，
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
的最小值为
，
故答案为：
.
【分析】（1）①设圆心为O，连接OB，OC，求出△OBC是等边三角形，则可求出圆的半径长；②当AO⊥BC时， △ABC的面积最大，求出AD的长，再计算△ABC的面积即可；
(2) 设AB交于E， 由圆周角定理求出∠BEC的度数，根据三角形外角的性质证明∠BEC>∠A'，即可得证；
(3)如图，作等腰△ODC，使∠COD=120°，以O为圆心，OD为半径作圆，则点P在优弧CD上，连接OB交 于P，此时BP最小，过O作OG⊥CD于G，OH⊥BC于H，利用垂径定理及含30°角的直角三角形的性质得出OG、OC的长，再利用勾股定理求出BO的长，则可求出BP长即可.
1 / 1
