2022-2023学年浙教版数学九年级上册3.6 圆内接四边形 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·新乡期末）下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤圆内接四边形的对角互补；⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，①错误；
②同圆或者等圆中相等的圆心角所对的弧相等，②错误；
③必须是完全重合的两条弧是等弧，③错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，④错误；
⑤圆内接四边形的对角互补，正确；
⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，⑥错误；
故答案为：A.
【分析】根据垂径定理可判断①；根据弧、圆心角的关系可判断②；根据等弧的概念可判断③；根据轴对称图形的概念可判断④；根据圆内接四边形的性质可判断⑤；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，据此判断⑥.
2．（2021九上·泰山期末）如图，是⊙O的内接四边形，且，那么等于（ ）
A．125° B．120° C．110° D．130°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴
∵
∴∠D=180°-∠A=180°-125°=55°，
由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=110°，
故答案为：C．
【分析】根据圆内接四边形对角互补，可得，据此求出∠D的度数，由圆周角定理得∠AOC=2∠D，从而得解.
3．（2021九上·莱芜期末）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，，则（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵是上的点，，
∴
故答案为：C
【分析】根据圆内接四边形的性质内对角互补即可求出.
4．（2021九上·温州期末）如图，D是等边△ABC外接圆 上的点，且∠CAD=20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∴∠B=60°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D=180° ∠B=120°，
∴∠ACD=180° ∠DAC ∠D=40°，
故答案为：C.
【分析】利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠D的度数；再利用三角形的内角和为180°可求出∠ACD的度数.
5．（2021九上·石景山期末）如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是菱形，则的度数为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【知识点】菱形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：设∠ADC=α，∠ABC=β；
∵四边形ABCO是菱形，
∴∠ABC=∠AOC；
∠ADC=β；
四边形为圆的内接四边形，
α+β=180°，
∴，
解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质可得∠ABC=∠AOC，再利用圆周角的性质可得∠ADC=β，再根据圆内接四边形的性质可得，再求出β=120°，α=60°，即可得到答案。
6．（2021九上·吉林期末）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上的一点，连接为上的点，连接若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵，
∴∠CAB=50°，
∵四边形ABCD是半圆O的内接四边形，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据圆内接四边形的性质即可得出的度数。
7．（2021九上·宽城期末）如图，在圆内接五边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形的内角和为，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据五边形内角和求出∠B=540°-（）=115°，根据圆内接四边形对角互补即可求解.
8．（2021九上·富裕期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝140°，则∠AOC的度数为（ ）
A．25° B．80° C．130° D．100°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝140°
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】先利用圆内接四边形的性质可得，再利用圆周角的性质可得。
9．（2021九上·阳信期中）下列语句中，一定正确的是（ ）
①过三点有且只有一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；④同弧或等弧所对的圆周角相等；⑤圆内接平行四边形是矩形．
A．①②③ B．①②④ C．②③⑤ D．③④⑤
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；确定圆的条件
【解析】【解答】解：过不在同一直线上的三点有且只有一个圆，所以①不符合题意；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②不符合题意；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以③符合题意；
同弧或等弧所对的圆周角相等，所以④符合题意；
圆内接平行四边形的对角相等且互补，此时四边形是矩形，所以⑤符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据确定圆的条件对①进行判断；根据垂径定理的推论对②进行判断；根据三角形外心的性质对③进行判断；根据圆周角定理对④进行判断；根据平行四边形的性质、圆内接四边形的性质和矩形的判定方法对进行判断⑤。
10．如图，A、B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝140°．在这个图中，画出下列度数的圆周角：40°，50°，90°，140°，仅用无刻度的直尺能画出的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，作直径AD，连接BD，AB，在劣弧BC上取点E，连接AE，BE，
∵四边形ADC是圆的内接四边形，
∴∠ACB+∠D=180°，
∴∠D=180°-140°=40°；
∵四边形ADBE是圆的内接四边形，
∴∠AEB+∠D=180°，
∴∠AEB=180°-40°=140°；
∵AD是直径，
∴∠ADB=90°；
∴∠BAD+∠D=90°
∴∠BAD=90°-40°=50°.
∴能画出圆周角为40°，50°，90°，140° ，
故答案为：D.
【分析】作直径AD，连接BD，AB，在劣弧BC上取点E，连接AE，BE，利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠D的度数，同时可求出∠AEB的度数，利用圆周角定理及三角形的内角和定理可求出∠BAD，∠ADB的度数，即可作出判断.
二、填空题
11．（2021九上·吴兴期末）如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，其中AB是直径，点C是弧DB的中点，若∠C＝110°，则∠ABC的度数= ．
【答案】55°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OC，OD，
∵四边形ABCD是半圆O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCD=110°，
∴∠A=70°，
∴∠BOD=2∠A=140°，
∵点C是弧DB的中点，
∴∠BOC=70°，
∴∠AOC=110°，
∴∠ABC=∠AOC=55°.
故答案为：55°.
【分析】连接OC，OD，利用圆内接四边形的性质可求出∠A的度数；再利用圆周角定理可证得∠COD=∠BOC=70°，从而得出∠AOC=110°；然后根据一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠ABC的度数.
12．（2021九上·广饶期末）如图，圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40°，∠F=60°，则∠A= °
【答案】40
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连结EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+40°+60°=180°，∴∠A=40°．
【分析】先求出∠ECD=∠A，再求出∠A=∠1+∠2，最后计算求解即可。
13．（2021九上·萧山期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝30°，则∠E的度数为 度.
【答案】45
【知识点】三角形的外角性质；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，∠BAC＝30°，
∴∠DCF＝∠BAC＝30°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝75°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCF＝75°﹣30°＝45°.
故答案为：45.
【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得∠DCF＝∠BAC＝30°，由圆内接四边形的性质可得∠ABC、∠ADC的度数，由外角的性质可得∠E+∠DCF=∠ADC，据此求解.
14．（2021九上·陵城月考）如图所示，点A、B、C、D在上，O点在的内部，四边形为平行四边形，则 ．
【答案】60°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OD，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠B=∠AOC，
∵∠B+∠ADC=180°，∠AOC=2∠ADC，
∴3∠ADC=180°，
∴∠ADC=60°，
∵OA=OD=OC，
∴∠OAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC，
∴∠OAD+∠OCD=∠ODA+∠ODC=∠ADC=60°．
故答案为：60°．
【分析】先求出∠B=∠AOC，再求出∠ADC=60°，最后计算求解即可。
15．（2021九上·邗江月考）如图，在 的内接五边形 中， ，则 .
【答案】215
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接 ，
五边形 是圆内接五边形，
四边形 是圆内接四边形，
，
，
.
故答案为：215.
【分析】连接CE，易得四边形ABCE为圆内接四边形，得到∠B+∠AEC=180°，由圆周角定理可得∠CED=∠CAD=35°，据此求解.
16．（2021九上·碑林月考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ACD=∠ABD=30°，
∴∠ADB=60°，
∵AD=2，
∴BD=2AD=4，
分别取AB、AD的中点F、G，并连接FG，EF，EG，
∵E是AC的中点，
∴EF∥BC，EG∥CD，
∴∠AEF=∠ACB，∠AEG=∠ACD，
∴∠AEF+∠AEG =∠ACB+∠ACD=90°，即∠FEG =90°，
∴点E在以FG为直径的⊙P上，如图：
当点E恰好在线段PD上，此时DE的长度取得最小值，
连接PA，
∵F、G分别是AB、AD的中点，
∴FG∥BD，FG= BD=2，
∴∠ADB=∠AGF=60°，
∵PA=PG，
∴△APG是等边三角形，
∴∠APG=60°，
∵PG=GD=GA，且∠AGF=60°，
∴∠GPD=∠GDP=30°，
∴∠APD=90°，
∴PD= ，
∴DE长度的最小值为 .
故答案为： .
【分析】易得四边形ABCD是圆内接四边形，由圆周角定理得∠ACD=∠ABD=30°，则BD=2AD=4，分别取AB、AD的中点F、G，并连接FG，EF，EG，由中位线的性质可得EF∥BC，EG∥CD，根据平行线的性质可得∠AEF=∠ACB，∠AEG=∠ACD，推出∠FEG =90°，当点E恰好在线段PD上，此时DE的长度取得最小值，连接PA，由中位线的性质可得FG∥BD，FG=BD=2，易得△APG是等边三角形，则∠APG=60°，由等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠GPD=∠GDP=30°，则∠APD=90°，利用勾股定理求出PD，据此解答.
三、解答题
17．（2022九上·福建竞赛）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠DAC=45°，以线段AC为直径的圆与AB和AD的延长线分别交于点E和F，过点B作AC的垂线，垂足为H.求证：E，H，F三点共线.
【答案】解：如图，延长 与直线 相交于点 ，连接 .
因为 ， ，
所以 .
又 ，
所以 ，于是 ， ， ， 四点共圆.
所以 .①
连接 ，由 为圆直径，得 ，
所以 ， ， ， 四点共圆，
于是 .②
连接 ，由 为圆直径，得 ，
所以 ， ， ， 四点共圆，
于是 .③
由②，①，③，得 ，
所以 .
所以 ， ， 三点共线.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】延长BH与直线AD相交于点P，连接CP，易得∠BPA=45°，推出P、A、B、C四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得∠CBE=∠APC，连接CE，根据圆周角定理可得∠CEA=∠CHB=90°，推出C、E、B、H四点共圆，得到∠CHE=∠CBE，连接CF，同理可得∠APC=180°-∠CHF，据此推出∠CHE=∠CBE=∠APC=180°-∠CHF，据此证明.
18．（2021九上·荔湾期末）如图所示，⊙O的弦BD，CE所在直线相交于点A，若AB＝AC，求证：BD＝CE．
【答案】证明：如图，连接DE，BC．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE+∠EDB=180°，∠C+∠EDB=180°，
∴∠ADE=∠C，
同法可证，∠AED=∠B，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴BD=EC．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】连接DE，BC，先证明∠ADE=∠C，∠AED=∠B，再根据等角对等边的关系可得AD=AE，再利用线段的和差可得BD=EC。
19．（2021九上·南沙期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，点C为的中点．若∠DCE＝110°，求∠BAC的度数．
【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴
∵
∴
∵点C为的中点
∴
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】利用圆内接四边形的性质可得，再利用可得。
20．（2021九上·衢州期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是 的中点，AB和DC的延长线交于⊙O外一点E，求证：BC＝EC.
【答案】证明：连接AC
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°=∠ACE.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EBC=∠D
是弧BD的中点，
，
，
，
∴∠EBC=∠E，
∴BC=EC
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】连接AC，由直径所对的圆周角是直角可得∠ACD=90°=∠ACE，由圆内接四边形的性质可得∠EBC=∠D，由圆周角定理可得∠1=∠2，根据等角的余角相等可得∠E=∠D=∠EBC，再根据等角对等边可求解.
21．（2022九上·新昌期末）如图，已知是等腰△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D是上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD.
（1）求证：DA平分∠EDC.
（2）若∠EDA＝72°，求的度数.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD内接于，
∴∠ADB+∠ACB＝180°
∵∠ADB+∠ADE＝180°，
∴∠ACB＝∠ADE.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠ADE，即DA平分∠EDC；
（2）解：由（1）得∠ADE＝∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴，
∴，
∴的度数为72°.
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆的内接四边形的性质得到∠ACB＝∠ADE，由AB＝AC，可得∠ABC＝∠ACB，等量代换得∠ADE＝∠ABC，由圆周角定理可得∠ABC＝∠ADC，故∠ADC＝∠ADE，即DA平分∠EDC；
（2）结合已知条件和(1)得∠ADE＝∠ACB＝∠ABC＝72°，根据三角形内角和定理可得，根据圆周角定理得到 ，即 的度数为72°.
22．（2021九上·息县月考）已知内接于，点D是上一点.
（1）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；
（2）如图②，若//，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的大小.
【答案】（1）解：为的直径，
∴.
∵在中，，
∴；
∵，
∴.
∴.
（2）解：如图，连接.
∵，
∴.
∵四边形是圆内接四边形，，
∴.
∴.
∴.
∵是的切线，
∴，即.
∴.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）由圆周角定理得∠BCD=90°，∠BDC=∠BAC=42°，根据余角的性质得∠DBC=48°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=∠ACB=69°，然后根据∠ACD=∠BCD-∠ACB进行计算；
（2）连接OD，由平行线性质得∠ACD=∠BAC=42°，由圆内接四边形性质得∠ABC+∠ADC=180°，求出∠ADC的度数，利用内角和定理可得∠DAC=27°，根据圆周角定理可得∠DOC=2∠DAC=54°，根据切线的性质可得∠ODE=90°，据此求解.
23．（2021九上·东光期中）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD， ， ．
（1）求证： ；
（2）若圆O的半径为3，求BC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接OB、OC，
∵ ，
∴ ，
由圆周角定理得， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）先求出∠C=75°，再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出 为等边三角形， 最后计算求解即可。
24．（2021九上·南开期中）已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝8，点D在⊙O上，连接AD，BD，CD．
（1）如图1，若AD经过圆心O，求BD，CD的长；
（2）如图2，若∠BAD＝2∠DAC，求BD，CD的长．
【答案】（1）解：∵AD经过圆心O，
∴∠ACD＝∠ABD＝90°，
∵AB⊥AC，且AB＝AC＝6，
∴四边形ABCD为正方形，
∴BD＝CD＝AB＝AC＝6；
（2）解：连接OC，OB，OD，过O点作OE⊥BD垂足为E，
∵AB⊥AC，AB＝AC＝6，
∴BC为直径，
∴BC＝6 ，
∴BO＝CO＝DO＝ BC＝3 ，
∵∠BAD＝2∠DAC，
∴∠CAD＝30°，∠BAD＝60°，
∴∠COD＝60°，∠BOD＝120°，
∴△COD为等边三角形，∠BOE＝60°，
∴CD＝CO＝DO＝3 ，
在直角三角形CDB中，BD＝ CD＝3 ，
则BE＝ ，
∵OE⊥BD，
∴BD＝2BE＝3 ．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ACD＝∠ABD＝90°， 再求出 四边形ABCD为正方形， 最后计算求解即可；
（2）先求出 △COD为等边三角形，∠BOE＝60°， 再求出 BE＝ ， 最后计算求解即可。
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级上册3.6 圆内接四边形 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·新乡期末）下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤圆内接四边形的对角互补；⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．（2021九上·泰山期末）如图，是⊙O的内接四边形，且，那么等于（ ）
A．125° B．120° C．110° D．130°
3．（2021九上·莱芜期末）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，，则（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
4．（2021九上·温州期末）如图，D是等边△ABC外接圆 上的点，且∠CAD=20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
5．（2021九上·石景山期末）如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是菱形，则的度数为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
6．（2021九上·吉林期末）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上的一点，连接为上的点，连接若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·宽城期末）如图，在圆内接五边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·富裕期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝140°，则∠AOC的度数为（ ）
A．25° B．80° C．130° D．100°
9．（2021九上·阳信期中）下列语句中，一定正确的是（ ）
①过三点有且只有一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；④同弧或等弧所对的圆周角相等；⑤圆内接平行四边形是矩形．
A．①②③ B．①②④ C．②③⑤ D．③④⑤
10．如图，A、B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝140°．在这个图中，画出下列度数的圆周角：40°，50°，90°，140°，仅用无刻度的直尺能画出的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2021九上·吴兴期末）如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，其中AB是直径，点C是弧DB的中点，若∠C＝110°，则∠ABC的度数= ．
12．（2021九上·广饶期末）如图，圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40°，∠F=60°，则∠A= °
13．（2021九上·萧山期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝30°，则∠E的度数为 度.
14．（2021九上·陵城月考）如图所示，点A、B、C、D在上，O点在的内部，四边形为平行四边形，则 ．
15．（2021九上·邗江月考）如图，在 的内接五边形 中， ，则 .
16．（2021九上·碑林月考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 .
三、解答题
17．（2022九上·福建竞赛）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠DAC=45°，以线段AC为直径的圆与AB和AD的延长线分别交于点E和F，过点B作AC的垂线，垂足为H.求证：E，H，F三点共线.
18．（2021九上·荔湾期末）如图所示，⊙O的弦BD，CE所在直线相交于点A，若AB＝AC，求证：BD＝CE．
19．（2021九上·南沙期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，点C为的中点．若∠DCE＝110°，求∠BAC的度数．
20．（2021九上·衢州期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是 的中点，AB和DC的延长线交于⊙O外一点E，求证：BC＝EC.
21．（2022九上·新昌期末）如图，已知是等腰△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D是上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD.
（1）求证：DA平分∠EDC.
（2）若∠EDA＝72°，求的度数.
22．（2021九上·息县月考）已知内接于，点D是上一点.
（1）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；
（2）如图②，若//，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的大小.
23．（2021九上·东光期中）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD， ， ．
（1）求证： ；
（2）若圆O的半径为3，求BC的长．
24．（2021九上·南开期中）已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝8，点D在⊙O上，连接AD，BD，CD．
（1）如图1，若AD经过圆心O，求BD，CD的长；
（2）如图2，若∠BAD＝2∠DAC，求BD，CD的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，①错误；
②同圆或者等圆中相等的圆心角所对的弧相等，②错误；
③必须是完全重合的两条弧是等弧，③错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，④错误；
⑤圆内接四边形的对角互补，正确；
⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，⑥错误；
故答案为：A.
【分析】根据垂径定理可判断①；根据弧、圆心角的关系可判断②；根据等弧的概念可判断③；根据轴对称图形的概念可判断④；根据圆内接四边形的性质可判断⑤；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，据此判断⑥.
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴
∵
∴∠D=180°-∠A=180°-125°=55°，
由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=110°，
故答案为：C．
【分析】根据圆内接四边形对角互补，可得，据此求出∠D的度数，由圆周角定理得∠AOC=2∠D，从而得解.
3．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵是上的点，，
∴
故答案为：C
【分析】根据圆内接四边形的性质内对角互补即可求出.
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∴∠B=60°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D=180° ∠B=120°，
∴∠ACD=180° ∠DAC ∠D=40°，
故答案为：C.
【分析】利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠D的度数；再利用三角形的内角和为180°可求出∠ACD的度数.
5．【答案】B
【知识点】菱形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：设∠ADC=α，∠ABC=β；
∵四边形ABCO是菱形，
∴∠ABC=∠AOC；
∠ADC=β；
四边形为圆的内接四边形，
α+β=180°，
∴，
解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质可得∠ABC=∠AOC，再利用圆周角的性质可得∠ADC=β，再根据圆内接四边形的性质可得，再求出β=120°，α=60°，即可得到答案。
6．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵，
∴∠CAB=50°，
∵四边形ABCD是半圆O的内接四边形，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据圆内接四边形的性质即可得出的度数。
7．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形的内角和为，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据五边形内角和求出∠B=540°-（）=115°，根据圆内接四边形对角互补即可求解.
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝140°
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】先利用圆内接四边形的性质可得，再利用圆周角的性质可得。
9．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；确定圆的条件
【解析】【解答】解：过不在同一直线上的三点有且只有一个圆，所以①不符合题意；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②不符合题意；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以③符合题意；
同弧或等弧所对的圆周角相等，所以④符合题意；
圆内接平行四边形的对角相等且互补，此时四边形是矩形，所以⑤符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据确定圆的条件对①进行判断；根据垂径定理的推论对②进行判断；根据三角形外心的性质对③进行判断；根据圆周角定理对④进行判断；根据平行四边形的性质、圆内接四边形的性质和矩形的判定方法对进行判断⑤。
10．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，作直径AD，连接BD，AB，在劣弧BC上取点E，连接AE，BE，
∵四边形ADC是圆的内接四边形，
∴∠ACB+∠D=180°，
∴∠D=180°-140°=40°；
∵四边形ADBE是圆的内接四边形，
∴∠AEB+∠D=180°，
∴∠AEB=180°-40°=140°；
∵AD是直径，
∴∠ADB=90°；
∴∠BAD+∠D=90°
∴∠BAD=90°-40°=50°.
∴能画出圆周角为40°，50°，90°，140° ，
故答案为：D.
【分析】作直径AD，连接BD，AB，在劣弧BC上取点E，连接AE，BE，利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠D的度数，同时可求出∠AEB的度数，利用圆周角定理及三角形的内角和定理可求出∠BAD，∠ADB的度数，即可作出判断.
11．【答案】55°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OC，OD，
∵四边形ABCD是半圆O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCD=110°，
∴∠A=70°，
∴∠BOD=2∠A=140°，
∵点C是弧DB的中点，
∴∠BOC=70°，
∴∠AOC=110°，
∴∠ABC=∠AOC=55°.
故答案为：55°.
【分析】连接OC，OD，利用圆内接四边形的性质可求出∠A的度数；再利用圆周角定理可证得∠COD=∠BOC=70°，从而得出∠AOC=110°；然后根据一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠ABC的度数.
12．【答案】40
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连结EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+40°+60°=180°，∴∠A=40°．
【分析】先求出∠ECD=∠A，再求出∠A=∠1+∠2，最后计算求解即可。
13．【答案】45
【知识点】三角形的外角性质；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，∠BAC＝30°，
∴∠DCF＝∠BAC＝30°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝75°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCF＝75°﹣30°＝45°.
故答案为：45.
【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得∠DCF＝∠BAC＝30°，由圆内接四边形的性质可得∠ABC、∠ADC的度数，由外角的性质可得∠E+∠DCF=∠ADC，据此求解.
14．【答案】60°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OD，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠B=∠AOC，
∵∠B+∠ADC=180°，∠AOC=2∠ADC，
∴3∠ADC=180°，
∴∠ADC=60°，
∵OA=OD=OC，
∴∠OAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC，
∴∠OAD+∠OCD=∠ODA+∠ODC=∠ADC=60°．
故答案为：60°．
【分析】先求出∠B=∠AOC，再求出∠ADC=60°，最后计算求解即可。
15．【答案】215
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接 ，
五边形 是圆内接五边形，
四边形 是圆内接四边形，
，
，
.
故答案为：215.
【分析】连接CE，易得四边形ABCE为圆内接四边形，得到∠B+∠AEC=180°，由圆周角定理可得∠CED=∠CAD=35°，据此求解.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ACD=∠ABD=30°，
∴∠ADB=60°，
∵AD=2，
∴BD=2AD=4，
分别取AB、AD的中点F、G，并连接FG，EF，EG，
∵E是AC的中点，
∴EF∥BC，EG∥CD，
∴∠AEF=∠ACB，∠AEG=∠ACD，
∴∠AEF+∠AEG =∠ACB+∠ACD=90°，即∠FEG =90°，
∴点E在以FG为直径的⊙P上，如图：
当点E恰好在线段PD上，此时DE的长度取得最小值，
连接PA，
∵F、G分别是AB、AD的中点，
∴FG∥BD，FG= BD=2，
∴∠ADB=∠AGF=60°，
∵PA=PG，
∴△APG是等边三角形，
∴∠APG=60°，
∵PG=GD=GA，且∠AGF=60°，
∴∠GPD=∠GDP=30°，
∴∠APD=90°，
∴PD= ，
∴DE长度的最小值为 .
故答案为： .
【分析】易得四边形ABCD是圆内接四边形，由圆周角定理得∠ACD=∠ABD=30°，则BD=2AD=4，分别取AB、AD的中点F、G，并连接FG，EF，EG，由中位线的性质可得EF∥BC，EG∥CD，根据平行线的性质可得∠AEF=∠ACB，∠AEG=∠ACD，推出∠FEG =90°，当点E恰好在线段PD上，此时DE的长度取得最小值，连接PA，由中位线的性质可得FG∥BD，FG=BD=2，易得△APG是等边三角形，则∠APG=60°，由等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠GPD=∠GDP=30°，则∠APD=90°，利用勾股定理求出PD，据此解答.
17．【答案】解：如图，延长 与直线 相交于点 ，连接 .
因为 ， ，
所以 .
又 ，
所以 ，于是 ， ， ， 四点共圆.
所以 .①
连接 ，由 为圆直径，得 ，
所以 ， ， ， 四点共圆，
于是 .②
连接 ，由 为圆直径，得 ，
所以 ， ， ， 四点共圆，
于是 .③
由②，①，③，得 ，
所以 .
所以 ， ， 三点共线.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】延长BH与直线AD相交于点P，连接CP，易得∠BPA=45°，推出P、A、B、C四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得∠CBE=∠APC，连接CE，根据圆周角定理可得∠CEA=∠CHB=90°，推出C、E、B、H四点共圆，得到∠CHE=∠CBE，连接CF，同理可得∠APC=180°-∠CHF，据此推出∠CHE=∠CBE=∠APC=180°-∠CHF，据此证明.
18．【答案】证明：如图，连接DE，BC．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE+∠EDB=180°，∠C+∠EDB=180°，
∴∠ADE=∠C，
同法可证，∠AED=∠B，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴BD=EC．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】连接DE，BC，先证明∠ADE=∠C，∠AED=∠B，再根据等角对等边的关系可得AD=AE，再利用线段的和差可得BD=EC。
19．【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴
∵
∴
∵点C为的中点
∴
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】利用圆内接四边形的性质可得，再利用可得。
20．【答案】证明：连接AC
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°=∠ACE.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EBC=∠D
是弧BD的中点，
，
，
，
∴∠EBC=∠E，
∴BC=EC
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】连接AC，由直径所对的圆周角是直角可得∠ACD=90°=∠ACE，由圆内接四边形的性质可得∠EBC=∠D，由圆周角定理可得∠1=∠2，根据等角的余角相等可得∠E=∠D=∠EBC，再根据等角对等边可求解.
21．【答案】（1）解：∵四边形ABCD内接于，
∴∠ADB+∠ACB＝180°
∵∠ADB+∠ADE＝180°，
∴∠ACB＝∠ADE.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠ADE，即DA平分∠EDC；
（2）解：由（1）得∠ADE＝∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴，
∴，
∴的度数为72°.
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆的内接四边形的性质得到∠ACB＝∠ADE，由AB＝AC，可得∠ABC＝∠ACB，等量代换得∠ADE＝∠ABC，由圆周角定理可得∠ABC＝∠ADC，故∠ADC＝∠ADE，即DA平分∠EDC；
（2）结合已知条件和(1)得∠ADE＝∠ACB＝∠ABC＝72°，根据三角形内角和定理可得，根据圆周角定理得到 ，即 的度数为72°.
22．【答案】（1）解：为的直径，
∴.
∵在中，，
∴；
∵，
∴.
∴.
（2）解：如图，连接.
∵，
∴.
∵四边形是圆内接四边形，，
∴.
∴.
∴.
∵是的切线，
∴，即.
∴.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）由圆周角定理得∠BCD=90°，∠BDC=∠BAC=42°，根据余角的性质得∠DBC=48°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=∠ACB=69°，然后根据∠ACD=∠BCD-∠ACB进行计算；
（2）连接OD，由平行线性质得∠ACD=∠BAC=42°，由圆内接四边形性质得∠ABC+∠ADC=180°，求出∠ADC的度数，利用内角和定理可得∠DAC=27°，根据圆周角定理可得∠DOC=2∠DAC=54°，根据切线的性质可得∠ODE=90°，据此求解.
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接OB、OC，
∵ ，
∴ ，
由圆周角定理得， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）先求出∠C=75°，再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出 为等边三角形， 最后计算求解即可。
24．【答案】（1）解：∵AD经过圆心O，
∴∠ACD＝∠ABD＝90°，
∵AB⊥AC，且AB＝AC＝6，
∴四边形ABCD为正方形，
∴BD＝CD＝AB＝AC＝6；
（2）解：连接OC，OB，OD，过O点作OE⊥BD垂足为E，
∵AB⊥AC，AB＝AC＝6，
∴BC为直径，
∴BC＝6 ，
∴BO＝CO＝DO＝ BC＝3 ，
∵∠BAD＝2∠DAC，
∴∠CAD＝30°，∠BAD＝60°，
∴∠COD＝60°，∠BOD＝120°，
∴△COD为等边三角形，∠BOE＝60°，
∴CD＝CO＝DO＝3 ，
在直角三角形CDB中，BD＝ CD＝3 ，
则BE＝ ，
∵OE⊥BD，
∴BD＝2BE＝3 ．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ACD＝∠ABD＝90°， 再求出 四边形ABCD为正方形， 最后计算求解即可；
（2）先求出 △COD为等边三角形，∠BOE＝60°， 再求出 BE＝ ， 最后计算求解即可。
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