【精品解析】2022-2023学年浙教版数学九年级上册3.7 正多边形 同步练习

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名称 【精品解析】2022-2023学年浙教版数学九年级上册3.7 正多边形 同步练习
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2022-07-23 17:24:40

文档简介

2022-2023学年浙教版数学九年级上册3.7 正多边形 同步练习
一、单选题
1.(2021九上·定海期末)如图四个圆形图案中,分别以它们所在圆的圆心为旋转中心,顺时针旋转72°后,能与原图形完全重合的是(  )
A. B. C. D.
2.(2021九上·庐江期末)⊙O半径为4,以⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形,则所得三角形的面积是(  )
A.2 B. C.2 D.2
3.(2021九上·西城期末)如图,是正方形的外接圆,若的半径为4,则正方形的边长为(  )
A.4 B.8 C. D.
4.(2021九上·龙沙期末)如图,正六边形内接于圆O,半径为4,则这个正六边形的边心距为(  )
A.2 B. C. D.
5.(2021九上·淮南月考)圆内接正方形的面积为a,则圆的面积为(  )
A. B.2πa C. D.πa2
6.(2021九上·杭州月考)若正六边形的周长为24,则它的外接圆的半径为(  )
A.4 B.4 C.2 D.2
7.(2021九上·东西湖月考)阅读图中的材料,解答下面的问题:已知⊙O是一个正十二边形的外接圆,该正十二边形的半径为2,如果用它的面积来近似估计⊙O的面积,则⊙O的面积大约是(  )
A.12 B.12.4 C.12.56 D.
8.(2021九上·龙沙期中)如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,连接AC,则∠BAC的度数是(  )
A.45° B.38° C.36° D.30°
9.(2021九上·余姚月考)如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在 上,则∠BPC的度数为(  )
A.30° B.45° C.60° D.90°
10.(2021九上·罗庄期中)以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是(  ).
A. B. C. D.
二、填空题
11.(2021九上·南京期末)如图,在⊙O中,AB是⊙O的内接正六边形的一边,BC是⊙O的内接正十边形的一边,则∠ABC=   °.
12.(2021九上·历下期末)如图,在圆内接正六边形ABCDEF中,半径OA=4,则这个正六边形的边长为   .
13.(2021九上·鄞州期末)一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是60°,则该正多边形边数是   .
14.(2021九上·东城期末)斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载:“斛底,方而圜(huán)其外,旁有庣(tiāo)焉”.意思是说:“斛的底面为:正方形外接一个圆,此圆外是一个同心圆” . 如图所示,
问题:现有一斛,其底面的外圆直径为两尺五寸(即2.5尺),“庣旁”为两寸五分(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺),则此斛底面的正方形的边长为   尺.
15.(2021九上·吉林期末)是的内接正六边形一边,点P是优弧上的一点(点P不与点A,B重合)且,与交于点C,则的度数为   .
16.(2021九上·温州月考)如图,已知正方形ABCD和正△EGF都内接于⊙O,当EF∥BC时,的度数为    .
三、解答题
17.(2021九上·巢湖月考)已知圆内接正十二边形的面积为S,求同圆的内接正六边形的面积.
18.(2020九上·金寨期末)如图,正五边形 内接于 , 为 上的一点(点 不与点 重合),求 的余角的度数.
19.(2020九上·福州月考)如图,已知圆O内接正六边形 的边长为 ,求这个正六边形的边心距n,面积S.
20.(2020九上·福州月考)如图, 是 的内接正五边形.求证: .
四、综合题
21.(2021九上·永城月考)如图,六边形ABCDEF是的内接正六边形.
(1)求证:在六边形ABCDEF中,过顶点A的三条对角线四等分.
(2)设的面积为,六边形ABCDEF的面积为,求的值.
22.(2021九上·秦淮期末)圆周率 的故事
我国古代数学家刘徽通过“割圆术”来估计圆周率 的值——“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”,可以理解为当正多边形的边数越来越多时,该正多边形与它的外接圆越来越“接近”,这样就可以用正多边形的周长替代它的外接圆的周长,从而估算出圆周率 的值.
(1)对于边长为a的正方形,其外接圆半径为   ,根据故事中的方法,用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长,利用公式 ,可以估算    .
(2)类比(1),当正多边形为正六边形时,估计 的值.
23.(2021九上·武汉期末)如图,正方形ABCD内接于⊙O,E是 的中点,连接AE,DE,CE.
(1)求证:AE=DE;
(2)若CE=1,求四边形AECD的面积.
24.(2020九上·临江期末)如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点,且BM=CN,连接OM、ON
(1)求图1中∠MON的度数
(2)图2中∠MON的度数是   ,图3中∠MON的度数是   
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是   
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解:A、图形顺时针旋转120°后,能与原图形完全重合,故A不正确;
B、图形顺时针旋转90°后,能与原图形完全重合,故B不正确;
C、图形顺时针旋转180°后,能与原图形完全重合,故C不正确;
D、图形顺时针旋转72°后,能与原图形完全重合,故D正确.
故答案为:D.
【分析】 观察图形,从图形的性质确定旋转角,然后进行判断,即可得到答案.
2.【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解:根据题意得:正三角形的每一个内角为60°,正方形的每一个内角为90°,正六边形的每一个内角为 ,
如图,△ABC是⊙O的内接正三角形,过点O作OM⊥BC,连接OB,
∵ ,
∴ ;
如图,正方形ABCD为⊙O的内接正方形,过点O作ON⊥CD于点N,连接OD,
∵ ,
∴ ;
如图,六边形ABCDE是⊙O的内接正六边形,过点O作OH⊥DE于点H,连接OE,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴半径为4的⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2, , ,
∵ ,
∴以三条边心距为边的三角形为直角三角形,
∴该三角形的面积为 .
故答案为:C
【分析】分别画出对应的图形计算出三条边心距,利用勾股定理的逆定理可证明构建的三角形为直角三角形,再根据三角形面积公式计算出次三角形面积即可。
3.【答案】D
【知识点】勾股定理;圆内接正多边形
【解析】【解答】解:连接OB,OC,过点O作OE⊥BC于点E,
∴OB=OC,∠BOC=90°,
∴∠OBE=45°,
∴OE=BE,
∵OE2+BE2=OB2,
∴,
∴BC=2BE=,即正方形ABCD的边长是.
故答案为:D
【分析】连接OB,OC,过点O作OE⊥BC于点E,利用勾股定理得出BE的值,从而得出答案。
4.【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解:连接OB、OC,如图所示:
则,
∵,
∴是等边三角形,
∴,
∵,

∴,
故答案为:B.
【分析】连接,易得是等边三角形,解特殊直角三角形OBM易得OM=。
5.【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解:如图,四边形为的正方形,
为的直径,


故答案为:A
【分析】先求出AC为的直径,再求出最后求解即可。
6.【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质;圆内接正多边形
【解析】【解答】解:如图连接OA、OB,
∵正六边形的周长为24,
∴正六边形的边长为4,
是正六边形ABCDEF的外接圆,


是等边三角形,


即正六边形ABCDEF的外接圆的半径是4,
故答案为:B.
【分析】如图连接OA、OB,先求出△ABC是等边三角形,可得OA=AB=OB=4,据此即得结论.
7.【答案】A
【知识点】三角形的面积;含30°角的直角三角形;圆内接正多边形
【解析】【解答】解:如图,构造△ABO,OA=OB=2,作BC⊥OA于点C.
∵,
∴,
∴,
∴正十二边形的面积为,
∴⊙O的面积大约是12.
故答案为:A.
【分析】构造△ABO,OA=OB=2,作BC⊥AO于点C,根据360°除以12求出∠AOB的度数,根据含30°角的直角三角形的性质可求出BC,然后根据三角形的面积公式可得S△AOB,据此求出正十二边形的面积,进而可得⊙O的面积.
8.【答案】C
【知识点】圆周角定理;圆内接正多边形
【解析】【解答】解:连接 ,如下图:
根据正多边形的性质可得:
根据圆周角定理可得:
故答案为:C
【分析】连接 ,根据正多边形的性质可得,再根据圆周角定理求解即可。
9.【答案】B
【知识点】圆周角定理;圆内接正多边形
【解析】【解答】解:连接OB、OC,如图,
∵正方形ABCD内接于⊙O,
∴ 所对的圆心角为90°,
∴∠BOC=90°,
∴∠BPC= ∠BOC=45°.
故答案为:B.
【分析】连接OB、OC,易得∠BOC=90°, 然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解.
10.【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解:如图1,
∵ 为圆内接正三角形,
∴ ,
∵ , ,
∴ ,
如图2,
∵四边形 是圆内接正方形,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,解得: ,
如图3,
∵正六边形为圆内接正六边形,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ 该三角形的三边长分别为 ,
∵ ,
∴该三角形是直角三角形,
∴该三角形的面积为
故答案为:C
【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形,可构造直角三角形,分别求出边心距离的长,再由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形,进而得到它的面积。
11.【答案】132
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质;圆内接正多边形
【解析】【解答】解:如图,连接AO、BO、CO,
∵AB是⊙O的内接正六边形的一边,
∴ ,

∴ ,
∵BC是⊙O的内接正十边形的一边,
∴ ,BO=CO,
∴ ,
∴∠ABC=∠ABO+ ∠CBO=60°+72°=132°.
故答案为:132.
【分析】连接AO、BO、CO,由正多边形性质得∠BOC=36°,∠AOB=60°,AO=BO,BO=CO,结合等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABO=60°,∠CBO=72°,然后根据∠ABC=∠ABO+ ∠CBO进行计算.
12.【答案】4
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解:连接OB,如图,
∵六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形,
∴∠AOB==60°,OA=OB,
∴△OAB为等边三角形,
∴AB=OA=4,
即这个正六边形的边长为4.
故答案为:4.
【分析】连接OB,可知△OAB为等边三角形,可求得正六边形的边长
13.【答案】六
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解:设正多边形的边数为n.
由题意得,
=60°,
∴n=6.
故答案为:六.
【分析】利用周角360°除以多边形的边数=圆心角的度数即可求出多边形的边数.
14.【答案】
【知识点】正方形的性质;圆内接正多边形
【解析】【解答】解:如图,
∵四边形CDEF为正方形,
∴∠D=90°,CD=DE,
∴CE是直径,∠ECD=45°,
根据题意得:AB=2.5, ,
∴ ,
∴ ,
即此斛底面的正方形的边长为 尺.
故答案为:
【分析】根据正方形性质确定三角形CDE为等腰直角三角形,CE为直径,根据题意求出正方形外接圆的直径CE,求出CD,即可得解。
15.【答案】90°
【知识点】平行线的性质;圆内接正多边形
【解析】【解答】解:∵是的内接正六边形一边,


∵,


故答案为90°
【分析】根据平行线的性质得出,代入计算即可。
16.【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理;圆内接正多边形
【解析】【解答】解:如图,连接GO,并延长交⊙O于点M,连接OB、OC、OF,
正方形ABCD和正△EFG都内接于 ⊙O ,

由圆周角定理得:,




则的度数为,
故答案为:.
【分析】连接GO,并延长交圆O于点M,连接OB,OC,OF,利用正方形和正三角形的性质,可得到∠OBC=45°,GM⊥EF,∠FGM=30°,利用圆周角定理可求出∠FOM的度数;由EF⊥BC,可求出∠BOM=45°;然后根据∠BOF=∠FOM-∠BOM,代入计算求出∠BOF的度数,从而可求出弧BF的度数.
17.【答案】解:设ED是正六边形的边,EG是正十二边形的边,则ED⊥OG.
∵∠EOG= =30°,
∴设圆的半径是r,S△EOG= OE OG sin30°= r2= S,
∴r2= S.
∴S△OED= r2= .
则正六边形的面积是:6× = .
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】先求出 S△OED= r2= ,再计算求解即可。
18.【答案】解:如图,连接 .
∵五边形 是正五边形,
∴ ,
∴ ,
∴90°-36°=54°,
∴ 的余角的度数为54°.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接 .根据圆内接正五边形的中心角等于360度÷5,求出角COD的度数,进而根据圆周角定理求出角CPD的度数,即可得出答案。
19.【答案】解:连接OA、OB,过点O作OH⊥AB于点H,即边心距n=OH,如图所示:
∴AH=HB,∠AOH=BOH,
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠AOB=60°,AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm,
∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴AH=3cm,∠AOH=30°,OA=AB=6cm,
∴ ,
∴ ,
∴ .
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接OA、OB,过点O作OH⊥AB于点H,即边心距n=OH,由题易知△AOB是等边三角形,则有OA=AB=6cm,然后根据勾股定理求出边心距OH,然后利用三角形的面积求解六边形的面积即可。
20.【答案】证明:∵ 是正五边形,
∴ .
又∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
【知识点】平行线的判定;圆内接正多边形
【解析】【分析】根据正五边形的性质求出 ,根据三角形的内角和定理,可得∠CBD的度数,进而可得出∠ABD的度数,然后根据同旁内角互补,两直线平行可证得结论.
21.【答案】(1)解:连接AE,AD,AC,
∵六边形ABCDEF是的内接正六边形,
∴EF=ED=CD=BC,
∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB,
即过顶点A的三条对角线四等分;
(2)解:过点O作OG⊥DE于G,连接OE,
设圆O的半径为r,
∴EF=BC=ED=r,AD=2r,
在正六边形ABCDEF中,
∠OED=∠ODE=60°,
∴∠EOG=30°,
∴EG=r,
∴OG==r,
∴正六边形ABCDEF的面积==,
圆O的面积=,
∴==.
【知识点】含30°角的直角三角形;勾股定理;圆心角、弧、弦的关系;圆内接正多边形
【解析】【分析】(1)连接AE,AD,AC,由正多边形的性质得EF=ED=CD=BC,再利用同圆中弧、弦、圆心角之间的关系及圆周角定理得∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB,由此可证得结论;
(2)过点O作OG⊥DE于G,连接OE,设圆O的半径为r,可得EF=BC=ED=r,AD=2r,由正六边形的性质可求出∠EOG=30°,利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可证得 EG=r, 利用勾股定理表示出OG的长,然后求出正六边形的面积和圆O的面积,然后求出 的值 .
22.【答案】(1);
(2)
设正六边形的边长AB=m,
则该正六边形的周长为6m,其外接圆半径为m.
∵C= ,
∴ ,
所以估算 值为3.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解:(1)正方形的边长AB=a,
在Rt△ABC中,由勾股定理得,

∴AC= ,
∴正方形的对角线长为 ,


∵用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长,
C= ,
∴ ,
故答案为: , ;
【分析】(1)利用勾股定理求出AC的长即为外接圆的直径,从而求出半径;由圆的周长公式得出 ,从而得出,代入相应数据即可求出π值;
(2) 设正六边形的边长AB=m, 可得该正六边形的周长为6m,其外接圆半径为m. 由于 C= , 据此计算即可.
23.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CD,
∴ .
∵E是 的中点,
∴ ,
∴ ,
∴AE=DE.
(2)解:连接BD,过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DBC=∠DEC=45°,DA=DC.
∵∠EDF=90°,
∴∠F=90°﹣45°=45°,
∴DE=DF.
∵∠ADC=∠EDF=90°,
∴∠ADE=∠CDF.
在△ADE和△CDF中,

∴△ADE≌△CDF(AAS),
∴AE=CF,
∴S△ADE=S△CDF,
∴S四边形AECD=S△DEF.
∵EF= DE=EC+DE,EC=1,
∴1+DE= DE,
∴DE= +1,
∴S△DEF= DE2= .
【知识点】垂径定理;圆周角定理;圆内接正多边形
【解析】【分析】(1)利用正方形的性质可证得AB=CD,可推出弧AB=弧CD,再根据E是 的中,可推出弧AE=弧DE,利用圆心角,弧,弦之间的关系定理可证得结论;
(2)连接BD,过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.,利用正方形的性质可知∠DBC=∠DEC=45°,DA=DC,再证明DE=DF,∠ADE=∠CDF;再利用AAS证明△ADE≌△CDF,利用全等三角形的性质可证得AE=CF,S△ADE=S△CDF,可推出S四边形AECD=S△DEF;据此建立关于DE的方程,解方程求出DE的长,根据 S△DEF= DE2,代入计算求出△DEF的面积.
24.【答案】(1)解:如图,连接OB、OC,则 ,
是 内接正三角形,
中心角 ,
∵点O是 内接正三角形ABC的内心,
∴ ,
∴ ,
在 和 中, ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
故答案为:
(2);
(3)
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】(2)如图1,连接OB、OC,
四边形ABCD是 内接正方形,
中心角 ,
同(1)的方法可证: ;
如图2,连接OB、OC,
五边形ABCDE是 内接正五边形,
中心角 ,
同(1)的方法可证: ,
故答案为: , ;
(3)由上可知, 的度数与正三角形边数的关系是 ,
的度数与正方形边数的关系是 ,
的度数与正五边形边数的关系是 ,
归纳类推得: 的度数与正n边形边数n的关系是 ,
故答案为: .
【分析】(1)先分别连接OB、OC,可求出 ,再由圆周角定理即可求出∠MON的度数;
(2)同(1)即可解答;
(3)由(1)、(2)找出规律,即可解答。
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级上册3.7 正多边形 同步练习
一、单选题
1.(2021九上·定海期末)如图四个圆形图案中,分别以它们所在圆的圆心为旋转中心,顺时针旋转72°后,能与原图形完全重合的是(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解:A、图形顺时针旋转120°后,能与原图形完全重合,故A不正确;
B、图形顺时针旋转90°后,能与原图形完全重合,故B不正确;
C、图形顺时针旋转180°后,能与原图形完全重合,故C不正确;
D、图形顺时针旋转72°后,能与原图形完全重合,故D正确.
故答案为:D.
【分析】 观察图形,从图形的性质确定旋转角,然后进行判断,即可得到答案.
2.(2021九上·庐江期末)⊙O半径为4,以⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形,则所得三角形的面积是(  )
A.2 B. C.2 D.2
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解:根据题意得:正三角形的每一个内角为60°,正方形的每一个内角为90°,正六边形的每一个内角为 ,
如图,△ABC是⊙O的内接正三角形,过点O作OM⊥BC,连接OB,
∵ ,
∴ ;
如图,正方形ABCD为⊙O的内接正方形,过点O作ON⊥CD于点N,连接OD,
∵ ,
∴ ;
如图,六边形ABCDE是⊙O的内接正六边形,过点O作OH⊥DE于点H,连接OE,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴半径为4的⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2, , ,
∵ ,
∴以三条边心距为边的三角形为直角三角形,
∴该三角形的面积为 .
故答案为:C
【分析】分别画出对应的图形计算出三条边心距,利用勾股定理的逆定理可证明构建的三角形为直角三角形,再根据三角形面积公式计算出次三角形面积即可。
3.(2021九上·西城期末)如图,是正方形的外接圆,若的半径为4,则正方形的边长为(  )
A.4 B.8 C. D.
【答案】D
【知识点】勾股定理;圆内接正多边形
【解析】【解答】解:连接OB,OC,过点O作OE⊥BC于点E,
∴OB=OC,∠BOC=90°,
∴∠OBE=45°,
∴OE=BE,
∵OE2+BE2=OB2,
∴,
∴BC=2BE=,即正方形ABCD的边长是.
故答案为:D
【分析】连接OB,OC,过点O作OE⊥BC于点E,利用勾股定理得出BE的值,从而得出答案。
4.(2021九上·龙沙期末)如图,正六边形内接于圆O,半径为4,则这个正六边形的边心距为(  )
A.2 B. C. D.
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解:连接OB、OC,如图所示:
则,
∵,
∴是等边三角形,
∴,
∵,

∴,
故答案为:B.
【分析】连接,易得是等边三角形,解特殊直角三角形OBM易得OM=。
5.(2021九上·淮南月考)圆内接正方形的面积为a,则圆的面积为(  )
A. B.2πa C. D.πa2
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解:如图,四边形为的正方形,
为的直径,


故答案为:A
【分析】先求出AC为的直径,再求出最后求解即可。
6.(2021九上·杭州月考)若正六边形的周长为24,则它的外接圆的半径为(  )
A.4 B.4 C.2 D.2
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质;圆内接正多边形
【解析】【解答】解:如图连接OA、OB,
∵正六边形的周长为24,
∴正六边形的边长为4,
是正六边形ABCDEF的外接圆,


是等边三角形,


即正六边形ABCDEF的外接圆的半径是4,
故答案为:B.
【分析】如图连接OA、OB,先求出△ABC是等边三角形,可得OA=AB=OB=4,据此即得结论.
7.(2021九上·东西湖月考)阅读图中的材料,解答下面的问题:已知⊙O是一个正十二边形的外接圆,该正十二边形的半径为2,如果用它的面积来近似估计⊙O的面积,则⊙O的面积大约是(  )
A.12 B.12.4 C.12.56 D.
【答案】A
【知识点】三角形的面积;含30°角的直角三角形;圆内接正多边形
【解析】【解答】解:如图,构造△ABO,OA=OB=2,作BC⊥OA于点C.
∵,
∴,
∴,
∴正十二边形的面积为,
∴⊙O的面积大约是12.
故答案为:A.
【分析】构造△ABO,OA=OB=2,作BC⊥AO于点C,根据360°除以12求出∠AOB的度数,根据含30°角的直角三角形的性质可求出BC,然后根据三角形的面积公式可得S△AOB,据此求出正十二边形的面积,进而可得⊙O的面积.
8.(2021九上·龙沙期中)如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,连接AC,则∠BAC的度数是(  )
A.45° B.38° C.36° D.30°
【答案】C
【知识点】圆周角定理;圆内接正多边形
【解析】【解答】解:连接 ,如下图:
根据正多边形的性质可得:
根据圆周角定理可得:
故答案为:C
【分析】连接 ,根据正多边形的性质可得,再根据圆周角定理求解即可。
9.(2021九上·余姚月考)如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在 上,则∠BPC的度数为(  )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】B
【知识点】圆周角定理;圆内接正多边形
【解析】【解答】解:连接OB、OC,如图,
∵正方形ABCD内接于⊙O,
∴ 所对的圆心角为90°,
∴∠BOC=90°,
∴∠BPC= ∠BOC=45°.
故答案为:B.
【分析】连接OB、OC,易得∠BOC=90°, 然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解.
10.(2021九上·罗庄期中)以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是(  ).
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解:如图1,
∵ 为圆内接正三角形,
∴ ,
∵ , ,
∴ ,
如图2,
∵四边形 是圆内接正方形,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,解得: ,
如图3,
∵正六边形为圆内接正六边形,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ 该三角形的三边长分别为 ,
∵ ,
∴该三角形是直角三角形,
∴该三角形的面积为
故答案为:C
【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形,可构造直角三角形,分别求出边心距离的长,再由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形,进而得到它的面积。
二、填空题
11.(2021九上·南京期末)如图,在⊙O中,AB是⊙O的内接正六边形的一边,BC是⊙O的内接正十边形的一边,则∠ABC=   °.
【答案】132
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质;圆内接正多边形
【解析】【解答】解:如图,连接AO、BO、CO,
∵AB是⊙O的内接正六边形的一边,
∴ ,

∴ ,
∵BC是⊙O的内接正十边形的一边,
∴ ,BO=CO,
∴ ,
∴∠ABC=∠ABO+ ∠CBO=60°+72°=132°.
故答案为:132.
【分析】连接AO、BO、CO,由正多边形性质得∠BOC=36°,∠AOB=60°,AO=BO,BO=CO,结合等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABO=60°,∠CBO=72°,然后根据∠ABC=∠ABO+ ∠CBO进行计算.
12.(2021九上·历下期末)如图,在圆内接正六边形ABCDEF中,半径OA=4,则这个正六边形的边长为   .
【答案】4
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解:连接OB,如图,
∵六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形,
∴∠AOB==60°,OA=OB,
∴△OAB为等边三角形,
∴AB=OA=4,
即这个正六边形的边长为4.
故答案为:4.
【分析】连接OB,可知△OAB为等边三角形,可求得正六边形的边长
13.(2021九上·鄞州期末)一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是60°,则该正多边形边数是   .
【答案】六
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解:设正多边形的边数为n.
由题意得,
=60°,
∴n=6.
故答案为:六.
【分析】利用周角360°除以多边形的边数=圆心角的度数即可求出多边形的边数.
14.(2021九上·东城期末)斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载:“斛底,方而圜(huán)其外,旁有庣(tiāo)焉”.意思是说:“斛的底面为:正方形外接一个圆,此圆外是一个同心圆” . 如图所示,
问题:现有一斛,其底面的外圆直径为两尺五寸(即2.5尺),“庣旁”为两寸五分(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺),则此斛底面的正方形的边长为   尺.
【答案】
【知识点】正方形的性质;圆内接正多边形
【解析】【解答】解:如图,
∵四边形CDEF为正方形,
∴∠D=90°,CD=DE,
∴CE是直径,∠ECD=45°,
根据题意得:AB=2.5, ,
∴ ,
∴ ,
即此斛底面的正方形的边长为 尺.
故答案为:
【分析】根据正方形性质确定三角形CDE为等腰直角三角形,CE为直径,根据题意求出正方形外接圆的直径CE,求出CD,即可得解。
15.(2021九上·吉林期末)是的内接正六边形一边,点P是优弧上的一点(点P不与点A,B重合)且,与交于点C,则的度数为   .
【答案】90°
【知识点】平行线的性质;圆内接正多边形
【解析】【解答】解:∵是的内接正六边形一边,


∵,


故答案为90°
【分析】根据平行线的性质得出,代入计算即可。
16.(2021九上·温州月考)如图,已知正方形ABCD和正△EGF都内接于⊙O,当EF∥BC时,的度数为    .
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理;圆内接正多边形
【解析】【解答】解:如图,连接GO,并延长交⊙O于点M,连接OB、OC、OF,
正方形ABCD和正△EFG都内接于 ⊙O ,

由圆周角定理得:,




则的度数为,
故答案为:.
【分析】连接GO,并延长交圆O于点M,连接OB,OC,OF,利用正方形和正三角形的性质,可得到∠OBC=45°,GM⊥EF,∠FGM=30°,利用圆周角定理可求出∠FOM的度数;由EF⊥BC,可求出∠BOM=45°;然后根据∠BOF=∠FOM-∠BOM,代入计算求出∠BOF的度数,从而可求出弧BF的度数.
三、解答题
17.(2021九上·巢湖月考)已知圆内接正十二边形的面积为S,求同圆的内接正六边形的面积.
【答案】解:设ED是正六边形的边,EG是正十二边形的边,则ED⊥OG.
∵∠EOG= =30°,
∴设圆的半径是r,S△EOG= OE OG sin30°= r2= S,
∴r2= S.
∴S△OED= r2= .
则正六边形的面积是:6× = .
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】先求出 S△OED= r2= ,再计算求解即可。
18.(2020九上·金寨期末)如图,正五边形 内接于 , 为 上的一点(点 不与点 重合),求 的余角的度数.
【答案】解:如图,连接 .
∵五边形 是正五边形,
∴ ,
∴ ,
∴90°-36°=54°,
∴ 的余角的度数为54°.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接 .根据圆内接正五边形的中心角等于360度÷5,求出角COD的度数,进而根据圆周角定理求出角CPD的度数,即可得出答案。
19.(2020九上·福州月考)如图,已知圆O内接正六边形 的边长为 ,求这个正六边形的边心距n,面积S.
【答案】解:连接OA、OB,过点O作OH⊥AB于点H,即边心距n=OH,如图所示:
∴AH=HB,∠AOH=BOH,
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠AOB=60°,AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm,
∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴AH=3cm,∠AOH=30°,OA=AB=6cm,
∴ ,
∴ ,
∴ .
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接OA、OB,过点O作OH⊥AB于点H,即边心距n=OH,由题易知△AOB是等边三角形,则有OA=AB=6cm,然后根据勾股定理求出边心距OH,然后利用三角形的面积求解六边形的面积即可。
20.(2020九上·福州月考)如图, 是 的内接正五边形.求证: .
【答案】证明:∵ 是正五边形,
∴ .
又∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
【知识点】平行线的判定;圆内接正多边形
【解析】【分析】根据正五边形的性质求出 ,根据三角形的内角和定理,可得∠CBD的度数,进而可得出∠ABD的度数,然后根据同旁内角互补,两直线平行可证得结论.
四、综合题
21.(2021九上·永城月考)如图,六边形ABCDEF是的内接正六边形.
(1)求证:在六边形ABCDEF中,过顶点A的三条对角线四等分.
(2)设的面积为,六边形ABCDEF的面积为,求的值.
【答案】(1)解:连接AE,AD,AC,
∵六边形ABCDEF是的内接正六边形,
∴EF=ED=CD=BC,
∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB,
即过顶点A的三条对角线四等分;
(2)解:过点O作OG⊥DE于G,连接OE,
设圆O的半径为r,
∴EF=BC=ED=r,AD=2r,
在正六边形ABCDEF中,
∠OED=∠ODE=60°,
∴∠EOG=30°,
∴EG=r,
∴OG==r,
∴正六边形ABCDEF的面积==,
圆O的面积=,
∴==.
【知识点】含30°角的直角三角形;勾股定理;圆心角、弧、弦的关系;圆内接正多边形
【解析】【分析】(1)连接AE,AD,AC,由正多边形的性质得EF=ED=CD=BC,再利用同圆中弧、弦、圆心角之间的关系及圆周角定理得∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB,由此可证得结论;
(2)过点O作OG⊥DE于G,连接OE,设圆O的半径为r,可得EF=BC=ED=r,AD=2r,由正六边形的性质可求出∠EOG=30°,利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可证得 EG=r, 利用勾股定理表示出OG的长,然后求出正六边形的面积和圆O的面积,然后求出 的值 .
22.(2021九上·秦淮期末)圆周率 的故事
我国古代数学家刘徽通过“割圆术”来估计圆周率 的值——“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”,可以理解为当正多边形的边数越来越多时,该正多边形与它的外接圆越来越“接近”,这样就可以用正多边形的周长替代它的外接圆的周长,从而估算出圆周率 的值.
(1)对于边长为a的正方形,其外接圆半径为   ,根据故事中的方法,用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长,利用公式 ,可以估算    .
(2)类比(1),当正多边形为正六边形时,估计 的值.
【答案】(1);
(2)
设正六边形的边长AB=m,
则该正六边形的周长为6m,其外接圆半径为m.
∵C= ,
∴ ,
所以估算 值为3.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解:(1)正方形的边长AB=a,
在Rt△ABC中,由勾股定理得,

∴AC= ,
∴正方形的对角线长为 ,


∵用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长,
C= ,
∴ ,
故答案为: , ;
【分析】(1)利用勾股定理求出AC的长即为外接圆的直径,从而求出半径;由圆的周长公式得出 ,从而得出,代入相应数据即可求出π值;
(2) 设正六边形的边长AB=m, 可得该正六边形的周长为6m,其外接圆半径为m. 由于 C= , 据此计算即可.
23.(2021九上·武汉期末)如图,正方形ABCD内接于⊙O,E是 的中点,连接AE,DE,CE.
(1)求证:AE=DE;
(2)若CE=1,求四边形AECD的面积.
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CD,
∴ .
∵E是 的中点,
∴ ,
∴ ,
∴AE=DE.
(2)解:连接BD,过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DBC=∠DEC=45°,DA=DC.
∵∠EDF=90°,
∴∠F=90°﹣45°=45°,
∴DE=DF.
∵∠ADC=∠EDF=90°,
∴∠ADE=∠CDF.
在△ADE和△CDF中,

∴△ADE≌△CDF(AAS),
∴AE=CF,
∴S△ADE=S△CDF,
∴S四边形AECD=S△DEF.
∵EF= DE=EC+DE,EC=1,
∴1+DE= DE,
∴DE= +1,
∴S△DEF= DE2= .
【知识点】垂径定理;圆周角定理;圆内接正多边形
【解析】【分析】(1)利用正方形的性质可证得AB=CD,可推出弧AB=弧CD,再根据E是 的中,可推出弧AE=弧DE,利用圆心角,弧,弦之间的关系定理可证得结论;
(2)连接BD,过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.,利用正方形的性质可知∠DBC=∠DEC=45°,DA=DC,再证明DE=DF,∠ADE=∠CDF;再利用AAS证明△ADE≌△CDF,利用全等三角形的性质可证得AE=CF,S△ADE=S△CDF,可推出S四边形AECD=S△DEF;据此建立关于DE的方程,解方程求出DE的长,根据 S△DEF= DE2,代入计算求出△DEF的面积.
24.(2020九上·临江期末)如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点,且BM=CN,连接OM、ON
(1)求图1中∠MON的度数
(2)图2中∠MON的度数是   ,图3中∠MON的度数是   
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是   
【答案】(1)解:如图,连接OB、OC,则 ,
是 内接正三角形,
中心角 ,
∵点O是 内接正三角形ABC的内心,
∴ ,
∴ ,
在 和 中, ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
故答案为:
(2);
(3)
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】(2)如图1,连接OB、OC,
四边形ABCD是 内接正方形,
中心角 ,
同(1)的方法可证: ;
如图2,连接OB、OC,
五边形ABCDE是 内接正五边形,
中心角 ,
同(1)的方法可证: ,
故答案为: , ;
(3)由上可知, 的度数与正三角形边数的关系是 ,
的度数与正方形边数的关系是 ,
的度数与正五边形边数的关系是 ,
归纳类推得: 的度数与正n边形边数n的关系是 ,
故答案为: .
【分析】(1)先分别连接OB、OC,可求出 ,再由圆周角定理即可求出∠MON的度数;
(2)同(1)即可解答;
(3)由(1)、(2)找出规律,即可解答。
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