2022-2023学年浙教版数学九年级上册第3章 圆的基本性质 单元检测
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·蓬江期末）已知⊙O的直径为4，若，则点与⊙O的位置关系是（ ）
A．点在⊙O上 B．点在⊙O内 C．点在⊙O外 D．无法判断
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】由⊙O的直径为4，可知圆的半径为r=2，又因为，可得4＞2，所以点P在⊙O外；
故答案为：C．
【分析】先利用直径求出半径，再根据OP的长与半径的大小关系即可得到点P与⊙O的位置关系。
2．（2021九上·南充期末）如图，在 中， ， ，将 绕点C逆时针旋转90°得到 ，则 的度数为（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得：
，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】根据旋转的性质可得∠A=∠D=30°，∠ACB=∠DCE=90°，由外角的性质可得∠AED=∠D+∠DCE，据此计算.
3．（2021九上·平谷期末）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，如图
∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】连接OC，根据垂径定理可得CE=4，再利用勾股定理求出OE的长，然后利用AE=OA-OE计算即可。
4．（2021九上·路北期中）在⊙O中按如下步骤作图：
⑴作⊙O的直径AD；
⑵以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；
⑶连接DB，DC，AB，AC，BC．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（ ）
A．∠ABD＝90° B．∠BAD＝∠CBD
C．AD⊥BC D．AC＝2CD
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：
AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴A选项不符合题意；
∵BD＝CD，
∴ ＝ ，
∴∠BAD＝∠CBD，
∴B选项不符合题意；
根据垂径定理，得
AD⊥BC，
∴C选项不符合题意；
∵DC＝OD，
∴AD＝2CD，
∴D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用圆心角，弧、弦的关系对每个选项一一判断即可。
5．（2021九上·温州期中）如图，AB是⊙O的一条弦， ， =120°，点D在⊙O上，CD⊥AB于点C，BC－AC=12，则CD的长为（ ）
A． B． C．13 D．12
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：过点O作OF⊥AB于点F，OE⊥DC于点E，
∴BF=，∠BFO=∠DEO=∠CFO=∠CEO=∠ECF=90°，
∴四边形CEFO是矩形，
∴CE=OF，CF=OE
∵弧AB=120°，
∴∠BOF=×120°=60°，
∴∠B=90°-60°=30°，
∴设OB=2OF=2x
在Rt△BOF中
4x2-x2=（）2
解之：x=5（取正值）
∴OB=OD=2×5=10，OF=5
∵
解之：BC=6+
∴CF=BC-BF=6+-=6
∴OE=6，CE=5
在Rt△DOE中
∴CD=CE+DE=5+8=13.
故答案为：C.
【分析】过点O作OF⊥AB于点F，OE⊥DC于点E，利用垂径定理可求出BF的长，同时可证得四边形CEFO是矩形，利用矩形的性质可知CE=OF，CF=OE，再利用圆心角，弧，弦之间的关系，可得到∠BOF的度数，同时可求出∠B的度数；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，设OB=2OF=2x，利用勾股定理求出x的值，可得到OB，OF的长，结合已知求出BC的长，即可得到CF的长；再求出OE，CE的长；然后利用勾股定理求出DE的长，根据CD=CE+DE，代入计算求出CD的长.
6．（2021九上·崂山期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=54°，则∠ABO的度数是（ ）
A．27° B．36° C．54° D．108°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝54°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝108°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝36°，
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB＝2∠ACB＝108°，由OB＝OA可得∠ABO＝∠BAO，利用三角形内角和求出∠ABO的度数即可.
7．（2022九上·金东期末）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的度数分别为86°和30°，则∠ACB的度数为（ ）
A．28° B．30° C．43° D．56°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，
∵∠ACB＝ ∠AOB，
而∠AOB＝86° 30°＝56°，
∴∠ACB＝ ×56°＝28°.
故答案为：A.
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB＝ ∠AOB，据此即可求解.
8．（2021九上·铁西期末）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠D+∠B＝180°，∠D＝120°，
∴∠B＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝30°，
故答案为：A．
【分析】先求出∠B＝60°，再求出∠ACB＝90°，最后计算求解即可。
9．（2021九上·龙泉期中）如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OC，
∵AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三角形的边，
∴∠AOB= =90°，∠AOC= =120°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=30°，
∴n= =12.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB、OC，易得∠AOB=90°，∠AOC=120°，求出∠BOC的度数，然后利用360°除以∠BOC的度数可得n的值.
10．（2022九上·新昌期末）已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则弧长为（ ）
A． B．2πcm C．4cm D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：扇形的弧长： ，
故答案为：B .
【分析】直接利用扇形弧长公式： 求解即可.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2021九上·南充期末）线段 ，绕点O顺时针旋转45°，则点A走过的路径长为 .
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得：点A走过的路径长为
；
故答案为：
.
【分析】由题意可得：点A走过的路径长为圆心角为45°，半径为4的弧长，然后结合弧长公式计算即可.
12．（2021九上·丰台期末）如图，把分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果的周长为，那么该正六边形的边长是 ．
【答案】6
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．
∵正六边形ABCDEF，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，
∴△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，
∵的周长为，
∴的半径为，
正六边形的边长是6；
【分析】连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．根据圆周长求得弧长，再利用扇形弧长公式求得圆的半径，即可求得正六边形的边长。
13．（2021九上·丰台期末）如图，四边形ABCD内接于，E为直径AB延长线上一点，且，若，则的度数为 ．
【答案】110°
【知识点】平行线的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：110°．
【分析】首先利用平行线的性质求得，在利用圆内接四边形的性质求得答案即可。
14．（2022九上·新昌期末）如图，点A，B，C是上的三个点，∠C＝50°，则∠AOB＝ .
【答案】100°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵弧AB=弧AB
∴∠AOB=2∠C=2×50°=100°，
故答案为：100°.
【分析】由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可直接得出答案.
15．（2021九上·芜湖月考）如图，在⊙O中，=2，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
【答案】=
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，过点O作于点E，交于点F，
，
AD⊥OC，
即
故答案为：=
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
16．（2021九上·斗门期末）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，则CD＝ ．
【答案】1
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵AB=6，OC⊥AB于点D，
∴AD=AB=×6=3，
∵⊙O的半径为5，
∴，
∴CD=OC-OD=5-4=1．
故答案为：1．
【分析】连接OA，根据垂径定理及勾股定理即可得出答案。
三、解答题
17．（2021九上·拱墅期中）如图
如图1，圆 的两条弦 、 交于点 ，两条弦所成的锐角或者直角记为
（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
的度数
的度数
的度数
猜想： 、 、 的度数之间的等量关系，并说明理由.
（2）如图2，若 ， ， ，将 以圆心为中心顺时针旋转，直至点 与点 重合，同时 落在圆 上的点，连接 .
①求弦 的长；
②求圆 的半径.
【答案】（1）解： 的度数+ 的度数）.
理由如下：连接 ，如图1，
，
而 的度数， 的度数，
的度数+ 的度数）；
（2）解：①连接 、 、 ，作 于 ， 于 ，如图2，
将 以圆心为中心顺时针旋转，直至点 与点 重合，同时 落在圆 上的点 ，
， ，
由（1）得 的度数+ 的度数 ，
的度数+ 的度数 ，
即 的度数为 ，
，
，
而 ，
，
，
在 中， ， ，
在 中， ；
② ，
，
，
，
，
即圆 的半径为 .
【知识点】三角形的外角性质；勾股定理；圆的综合题；旋转的性质
【解析】【分析】（1）连接BC，由外角的性质可得∠α=∠B+∠C，然后根据∠B=的度数，∠C=的度数进行解答；
（2）①连接OG、OC、AG，作OH⊥CG于H，GF⊥CD于F，由旋转的性质可得 ，AB=DG=2，由（1）得的度数+的度数=2∠α=120°，则∠COG=120°，则∠CAG=60°，进而求出∠CDG、∠GDF的度数，在Rt△GDF中，求出DF、GF的值，然后在Rt△CFG中，应用勾股定理求解即可；
②由垂径定理可得CH=GH=，求出∠OGH的度数，进而得到OH、OG.
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级上册第3章 圆的基本性质 单元检测
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·蓬江期末）已知⊙O的直径为4，若，则点与⊙O的位置关系是（ ）
A．点在⊙O上 B．点在⊙O内 C．点在⊙O外 D．无法判断
2．（2021九上·南充期末）如图，在 中， ， ，将 绕点C逆时针旋转90°得到 ，则 的度数为（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
3．（2021九上·平谷期末）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
4．（2021九上·路北期中）在⊙O中按如下步骤作图：
⑴作⊙O的直径AD；
⑵以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；
⑶连接DB，DC，AB，AC，BC．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（ ）
A．∠ABD＝90° B．∠BAD＝∠CBD
C．AD⊥BC D．AC＝2CD
5．（2021九上·温州期中）如图，AB是⊙O的一条弦， ， =120°，点D在⊙O上，CD⊥AB于点C，BC－AC=12，则CD的长为（ ）
A． B． C．13 D．12
6．（2021九上·崂山期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=54°，则∠ABO的度数是（ ）
A．27° B．36° C．54° D．108°
7．（2022九上·金东期末）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的度数分别为86°和30°，则∠ACB的度数为（ ）
A．28° B．30° C．43° D．56°
8．（2021九上·铁西期末）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．（2021九上·龙泉期中）如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
10．（2022九上·新昌期末）已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则弧长为（ ）
A． B．2πcm C．4cm D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2021九上·南充期末）线段 ，绕点O顺时针旋转45°，则点A走过的路径长为 .
12．（2021九上·丰台期末）如图，把分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果的周长为，那么该正六边形的边长是 ．
13．（2021九上·丰台期末）如图，四边形ABCD内接于，E为直径AB延长线上一点，且，若，则的度数为 ．
14．（2022九上·新昌期末）如图，点A，B，C是上的三个点，∠C＝50°，则∠AOB＝ .
15．（2021九上·芜湖月考）如图，在⊙O中，=2，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
16．（2021九上·斗门期末）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，则CD＝ ．
三、解答题
17．（2021九上·拱墅期中）如图
如图1，圆 的两条弦 、 交于点 ，两条弦所成的锐角或者直角记为
（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
的度数
的度数
的度数
猜想： 、 、 的度数之间的等量关系，并说明理由.
（2）如图2，若 ， ， ，将 以圆心为中心顺时针旋转，直至点 与点 重合，同时 落在圆 上的点，连接 .
①求弦 的长；
②求圆 的半径.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】由⊙O的直径为4，可知圆的半径为r=2，又因为，可得4＞2，所以点P在⊙O外；
故答案为：C．
【分析】先利用直径求出半径，再根据OP的长与半径的大小关系即可得到点P与⊙O的位置关系。
2．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得：
，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】根据旋转的性质可得∠A=∠D=30°，∠ACB=∠DCE=90°，由外角的性质可得∠AED=∠D+∠DCE，据此计算.
3．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，如图
∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】连接OC，根据垂径定理可得CE=4，再利用勾股定理求出OE的长，然后利用AE=OA-OE计算即可。
4．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：
AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴A选项不符合题意；
∵BD＝CD，
∴ ＝ ，
∴∠BAD＝∠CBD，
∴B选项不符合题意；
根据垂径定理，得
AD⊥BC，
∴C选项不符合题意；
∵DC＝OD，
∴AD＝2CD，
∴D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用圆心角，弧、弦的关系对每个选项一一判断即可。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：过点O作OF⊥AB于点F，OE⊥DC于点E，
∴BF=，∠BFO=∠DEO=∠CFO=∠CEO=∠ECF=90°，
∴四边形CEFO是矩形，
∴CE=OF，CF=OE
∵弧AB=120°，
∴∠BOF=×120°=60°，
∴∠B=90°-60°=30°，
∴设OB=2OF=2x
在Rt△BOF中
4x2-x2=（）2
解之：x=5（取正值）
∴OB=OD=2×5=10，OF=5
∵
解之：BC=6+
∴CF=BC-BF=6+-=6
∴OE=6，CE=5
在Rt△DOE中
∴CD=CE+DE=5+8=13.
故答案为：C.
【分析】过点O作OF⊥AB于点F，OE⊥DC于点E，利用垂径定理可求出BF的长，同时可证得四边形CEFO是矩形，利用矩形的性质可知CE=OF，CF=OE，再利用圆心角，弧，弦之间的关系，可得到∠BOF的度数，同时可求出∠B的度数；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，设OB=2OF=2x，利用勾股定理求出x的值，可得到OB，OF的长，结合已知求出BC的长，即可得到CF的长；再求出OE，CE的长；然后利用勾股定理求出DE的长，根据CD=CE+DE，代入计算求出CD的长.
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝54°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝108°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝36°，
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB＝2∠ACB＝108°，由OB＝OA可得∠ABO＝∠BAO，利用三角形内角和求出∠ABO的度数即可.
7．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，
∵∠ACB＝ ∠AOB，
而∠AOB＝86° 30°＝56°，
∴∠ACB＝ ×56°＝28°.
故答案为：A.
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB＝ ∠AOB，据此即可求解.
8．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠D+∠B＝180°，∠D＝120°，
∴∠B＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝30°，
故答案为：A．
【分析】先求出∠B＝60°，再求出∠ACB＝90°，最后计算求解即可。
9．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OC，
∵AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三角形的边，
∴∠AOB= =90°，∠AOC= =120°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=30°，
∴n= =12.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB、OC，易得∠AOB=90°，∠AOC=120°，求出∠BOC的度数，然后利用360°除以∠BOC的度数可得n的值.
10．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：扇形的弧长： ，
故答案为：B .
【分析】直接利用扇形弧长公式： 求解即可.
11．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得：点A走过的路径长为
；
故答案为：
.
【分析】由题意可得：点A走过的路径长为圆心角为45°，半径为4的弧长，然后结合弧长公式计算即可.
12．【答案】6
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．
∵正六边形ABCDEF，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，
∴△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，
∵的周长为，
∴的半径为，
正六边形的边长是6；
【分析】连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．根据圆周长求得弧长，再利用扇形弧长公式求得圆的半径，即可求得正六边形的边长。
13．【答案】110°
【知识点】平行线的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：110°．
【分析】首先利用平行线的性质求得，在利用圆内接四边形的性质求得答案即可。
14．【答案】100°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵弧AB=弧AB
∴∠AOB=2∠C=2×50°=100°，
故答案为：100°.
【分析】由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可直接得出答案.
15．【答案】=
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，过点O作于点E，交于点F，
，
AD⊥OC，
即
故答案为：=
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
16．【答案】1
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵AB=6，OC⊥AB于点D，
∴AD=AB=×6=3，
∵⊙O的半径为5，
∴，
∴CD=OC-OD=5-4=1．
故答案为：1．
【分析】连接OA，根据垂径定理及勾股定理即可得出答案。
17．【答案】（1）解： 的度数+ 的度数）.
理由如下：连接 ，如图1，
，
而 的度数， 的度数，
的度数+ 的度数）；
（2）解：①连接 、 、 ，作 于 ， 于 ，如图2，
将 以圆心为中心顺时针旋转，直至点 与点 重合，同时 落在圆 上的点 ，
， ，
由（1）得 的度数+ 的度数 ，
的度数+ 的度数 ，
即 的度数为 ，
，
，
而 ，
，
，
在 中， ， ，
在 中， ；
② ，
，
，
，
，
即圆 的半径为 .
【知识点】三角形的外角性质；勾股定理；圆的综合题；旋转的性质
【解析】【分析】（1）连接BC，由外角的性质可得∠α=∠B+∠C，然后根据∠B=的度数，∠C=的度数进行解答；
（2）①连接OG、OC、AG，作OH⊥CG于H，GF⊥CD于F，由旋转的性质可得 ，AB=DG=2，由（1）得的度数+的度数=2∠α=120°，则∠COG=120°，则∠CAG=60°，进而求出∠CDG、∠GDF的度数，在Rt△GDF中，求出DF、GF的值，然后在Rt△CFG中，应用勾股定理求解即可；
②由垂径定理可得CH=GH=，求出∠OGH的度数，进而得到OH、OG.
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