初中数学浙教版八年级下册2.2 一元二次方程的解法（4） 同步练习
一、单选题
1．用公式法解一元二次方程2x2+3x=1时，化方程为一般式当中的a、b、c，依次为（ ）
A．2，-3，1 B．2，3，-1 C．-2，-3，-1 D．-2，3，1
【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可知，2x2+3x-1=0
∴a=2，b=3，c=-1
故答案为：B.
【分析】根据题意，公式法解方程时，首先将一元二次方程化为一般式，即可得到a，b和c的值。
2．（2020八上·上海期中）下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、△＝（-6）2-4×1×1=32＞0，方程有两个不相等的实数根；
B、△＝（-1）2-4×2×2=-15<0，方程没有实数根；
C、△＝（4）2-4×4×1=0，方程有两个相等的实数根；
D、△＝（m-1）2-4×4×3，不能判定正负，故不可知方程的根的情况．
故答案为：B．
【分析】由一元二次方程根的判别式，判断得到答案即可。
3．以 为根的一元二次方程可能是（ ）
A．x2+bc+c=0 B．x2+bx-c=0 C．x2-bx+c=0 D．x2-bx-c=0
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：一元二次方程的求根公式为x=
∵a＞0
∴根据题意可知，b＜0，c＜0
故答案为：D.
【分析】根据一元二次发工程求根公式，即可得到a＞0，b＜0，c＜0，得到答案即可。
4．（2020八下·扬州期中）用公式法解方程 x2+4 x=2 ,其中求的Δ的值是（ ）
A．16 B． 4 C． D．64
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：D
【分析】首先把方程化简为一般形式，再得出a、b、c的值，最后求出判别式的值即可.
5．（2020八上·射洪期中）若 ，则 的值是（ ）
A．3 B．-1 C．3或1 D．3或-1
【答案】A
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：令 ，
则 ，
即 ，
即 ，
解得 ， ，
又因为 ，所以
故 的值是3，
故答案为：A．
【分析】可以设a=x2+y2，利用换元法解关于a的方程，取正值即可得到答案。
二、填空题
6．（2020八上·上海期中）方程 的根的判别式的值为 ．
【答案】40
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程 中的 ，
则其根的判别式为 ，
故答案为：40．
【分析】根据一元二次方程根的判别式，计算得到答案即可。
7．（2020八上·松江月考）关于x的一元二次方程 有 个根．
【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：△=（-3）2-4×1×1=5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为2．
【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．
8．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是 ，条件是 ．
【答案】；b2﹣4ac≥0
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由一元二次方程ax2+bx+c=0，
移项，得ax2+bx=﹣c
化系数为1，得x2+ x=﹣
配方，得x2+ x+ =﹣ +
即：（x+ ）2=
当b2﹣4ac≥0时，
开方，得x+ =
解得：x= ．
故答案为： ，b2﹣4ac≥0．
【分析】可根据配方法解一元二次方程的一般方法，解一元二次方程ax2+bx+c=0．
9．（2020八下·衢州期中）用公式法解一元二次方程，得x= ，则该一元二次方程是 。
【答案】3x +5x+1=0
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】∵ 用公式法解一元二次方程，得x= ，
∴x=
∴2a=2×3，-b=-5，4ac=4×3×1
∴a=3，b=5，c=1
∴这个一元二次方程是：3x +5x+1=0.
故答案为：3x +5x+1=0.
【分析】利用一元二次方程的求根公式：x=（b2-4ac≥0），就可求出a，b，c的值，即可得到一元二次方程。
10．对于实数a、b定义：a*b=a+b，a#b=ab，如：2*（﹣1）=2+（﹣1）=1，2#（﹣1）=2×（﹣1）=﹣2．以下结论：
①[2+（﹣5）]#（﹣2）=6；
②（a*b）#c=c（a*b）；
③a*（b#a）=（a*b）#a；
④若x＞0，且满足（1*x）#（1#x）=1，则x=．
正确的是 （填序号即可）
【答案】①②④
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵[2+（﹣5）]#（﹣2）
=（﹣3）#（﹣2）
=6，∴①正确；
∵（a*b）#c=（a+b）#c=（a+b）c=ac+bc，c（a*b）=c（a+b）=ac+bc，
∴②正确；
∵a*（b#a）=a*ab=a+ab，（a*b）#a=（a+b）#a=（a+b）a=a2+ab，
∴③错误；
∵（1*x）#（1#x）=1，
∴（1+x）#（x）=1，
（1+x）x=1，
x2+x﹣1=0，
解得：x2=，x2=，
∵x＞0，
∴x=，∴④正确．
故答案为：①②④．
【分析】先读懂题意，根据题意求出每个式子的左边和右边，再判断是否正确即可．
三、综合题
11．用公式法解方程：
【答案】解：
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据一元二次方程的求根公式进行计算即可得到答案。
12．用公式法解方程2x2-6x+3=0，并求根的近似值.
【答案】解：2x2-6x+3=0,
a=2,b=-6,c=3,
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据一元二次方程的求根公式计算得到答案即可。
13．解关于x的方程(k－1)x2＋(k－2)x－2k＝0．( )
【答案】解：当k＝1时，原方程为－x－2＝0，∴x＝－2．当k≠1时，∵a＝k－1，b＝k－2，c＝－2k，∴b2－4ac＝(k－2)2－4(k－1)(－2k)＝9k2－12k＋4＝(3k－2)2≥0，∴ ，∴ ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】因为 k >，根据题意分两种情况：（1）当k＝1时，原方程为－x－2＝0，∴x＝－2．当k≠1时，a＝k－1，b＝k－2，c＝－2k，将a、b、c的值代入一元二次方程的求根公式x=可得= ， = 2.
14．（2020八上·上海期中）已知关于x的一元二次方程 （m为常数）．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）如果方程有两个相等的实数根，求m的取值；
（3）如果方程没有实数根，求m的取值范围；
【答案】（1）解： 方程 是关于x的一元二次方程，
，
解得 ，
如果方程有两个不相等的实数根，
则其根的判别式 ，
解得 ，
故此时m的取值范围为 且 ；
（2）解：如果方程有两个相等的实数根，
则其根的判别式 ，
解得 ；
（3）解：如果方程没有实数根，
则其根的判别式 ，
解得 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据题意可知，一元二次方程根的判别式大于0，求出m的值即可；
（2）同理，方程根的判别式等于0，求出m的值即可；
（3）根据题意可知方程根的判别式小于0，求出m的值即可。
15．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】（1）解：△ABC是等腰三角形；理由如下：∵x＝－1是方程的根，
∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，
∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，
∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形
（3）解：当△ABC是等边三角形，方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0
可整理为2ax2＋2ax＝0，∵a≠0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）将x=1代入方程，化简可得出a－b＝0即a=b，据此可判断三角形的形状。
（2）由方程有两个相等的实数根，可得出b2-4ac=0，就可得出a、b、c之间的关系式，即可判断三角形的形状。
（3）由△ABC是等边三角形，则a=c=b，代入方程，求出方程的解即可。
1 / 1初中数学浙教版八年级下册2.2 一元二次方程的解法（4） 同步练习
一、单选题
1．用公式法解一元二次方程2x2+3x=1时，化方程为一般式当中的a、b、c，依次为（ ）
A．2，-3，1 B．2，3，-1 C．-2，-3，-1 D．-2，3，1
2．（2020八上·上海期中）下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
3．以 为根的一元二次方程可能是（ ）
A．x2+bc+c=0 B．x2+bx-c=0 C．x2-bx+c=0 D．x2-bx-c=0
4．（2020八下·扬州期中）用公式法解方程 x2+4 x=2 ,其中求的Δ的值是（ ）
A．16 B． 4 C． D．64
5．（2020八上·射洪期中）若 ，则 的值是（ ）
A．3 B．-1 C．3或1 D．3或-1
二、填空题
6．（2020八上·上海期中）方程 的根的判别式的值为 ．
7．（2020八上·松江月考）关于x的一元二次方程 有 个根．
8．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是 ，条件是 ．
9．（2020八下·衢州期中）用公式法解一元二次方程，得x= ，则该一元二次方程是 。
10．对于实数a、b定义：a*b=a+b，a#b=ab，如：2*（﹣1）=2+（﹣1）=1，2#（﹣1）=2×（﹣1）=﹣2．以下结论：
①[2+（﹣5）]#（﹣2）=6；
②（a*b）#c=c（a*b）；
③a*（b#a）=（a*b）#a；
④若x＞0，且满足（1*x）#（1#x）=1，则x=．
正确的是 （填序号即可）
三、综合题
11．用公式法解方程：
12．用公式法解方程2x2-6x+3=0，并求根的近似值.
13．解关于x的方程(k－1)x2＋(k－2)x－2k＝0．( )
14．（2020八上·上海期中）已知关于x的一元二次方程 （m为常数）．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）如果方程有两个相等的实数根，求m的取值；
（3）如果方程没有实数根，求m的取值范围；
15．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可知，2x2+3x-1=0
∴a=2，b=3，c=-1
故答案为：B.
【分析】根据题意，公式法解方程时，首先将一元二次方程化为一般式，即可得到a，b和c的值。
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、△＝（-6）2-4×1×1=32＞0，方程有两个不相等的实数根；
B、△＝（-1）2-4×2×2=-15<0，方程没有实数根；
C、△＝（4）2-4×4×1=0，方程有两个相等的实数根；
D、△＝（m-1）2-4×4×3，不能判定正负，故不可知方程的根的情况．
故答案为：B．
【分析】由一元二次方程根的判别式，判断得到答案即可。
3．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：一元二次方程的求根公式为x=
∵a＞0
∴根据题意可知，b＜0，c＜0
故答案为：D.
【分析】根据一元二次发工程求根公式，即可得到a＞0，b＜0，c＜0，得到答案即可。
4．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：D
【分析】首先把方程化简为一般形式，再得出a、b、c的值，最后求出判别式的值即可.
5．【答案】A
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：令 ，
则 ，
即 ，
即 ，
解得 ， ，
又因为 ，所以
故 的值是3，
故答案为：A．
【分析】可以设a=x2+y2，利用换元法解关于a的方程，取正值即可得到答案。
6．【答案】40
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程 中的 ，
则其根的判别式为 ，
故答案为：40．
【分析】根据一元二次方程根的判别式，计算得到答案即可。
7．【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：△=（-3）2-4×1×1=5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为2．
【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．
8．【答案】；b2﹣4ac≥0
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由一元二次方程ax2+bx+c=0，
移项，得ax2+bx=﹣c
化系数为1，得x2+ x=﹣
配方，得x2+ x+ =﹣ +
即：（x+ ）2=
当b2﹣4ac≥0时，
开方，得x+ =
解得：x= ．
故答案为： ，b2﹣4ac≥0．
【分析】可根据配方法解一元二次方程的一般方法，解一元二次方程ax2+bx+c=0．
9．【答案】3x +5x+1=0
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】∵ 用公式法解一元二次方程，得x= ，
∴x=
∴2a=2×3，-b=-5，4ac=4×3×1
∴a=3，b=5，c=1
∴这个一元二次方程是：3x +5x+1=0.
故答案为：3x +5x+1=0.
【分析】利用一元二次方程的求根公式：x=（b2-4ac≥0），就可求出a，b，c的值，即可得到一元二次方程。
10．【答案】①②④
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵[2+（﹣5）]#（﹣2）
=（﹣3）#（﹣2）
=6，∴①正确；
∵（a*b）#c=（a+b）#c=（a+b）c=ac+bc，c（a*b）=c（a+b）=ac+bc，
∴②正确；
∵a*（b#a）=a*ab=a+ab，（a*b）#a=（a+b）#a=（a+b）a=a2+ab，
∴③错误；
∵（1*x）#（1#x）=1，
∴（1+x）#（x）=1，
（1+x）x=1，
x2+x﹣1=0，
解得：x2=，x2=，
∵x＞0，
∴x=，∴④正确．
故答案为：①②④．
【分析】先读懂题意，根据题意求出每个式子的左边和右边，再判断是否正确即可．
11．【答案】解：
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据一元二次方程的求根公式进行计算即可得到答案。
12．【答案】解：2x2-6x+3=0,
a=2,b=-6,c=3,
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据一元二次方程的求根公式计算得到答案即可。
13．【答案】解：当k＝1时，原方程为－x－2＝0，∴x＝－2．当k≠1时，∵a＝k－1，b＝k－2，c＝－2k，∴b2－4ac＝(k－2)2－4(k－1)(－2k)＝9k2－12k＋4＝(3k－2)2≥0，∴ ，∴ ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】因为 k >，根据题意分两种情况：（1）当k＝1时，原方程为－x－2＝0，∴x＝－2．当k≠1时，a＝k－1，b＝k－2，c＝－2k，将a、b、c的值代入一元二次方程的求根公式x=可得= ， = 2.
14．【答案】（1）解： 方程 是关于x的一元二次方程，
，
解得 ，
如果方程有两个不相等的实数根，
则其根的判别式 ，
解得 ，
故此时m的取值范围为 且 ；
（2）解：如果方程有两个相等的实数根，
则其根的判别式 ，
解得 ；
（3）解：如果方程没有实数根，
则其根的判别式 ，
解得 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据题意可知，一元二次方程根的判别式大于0，求出m的值即可；
（2）同理，方程根的判别式等于0，求出m的值即可；
（3）根据题意可知方程根的判别式小于0，求出m的值即可。
15．【答案】（1）解：△ABC是等腰三角形；理由如下：∵x＝－1是方程的根，
∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，
∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，
∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形
（3）解：当△ABC是等边三角形，方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0
可整理为2ax2＋2ax＝0，∵a≠0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）将x=1代入方程，化简可得出a－b＝0即a=b，据此可判断三角形的形状。
（2）由方程有两个相等的实数根，可得出b2-4ac=0，就可得出a、b、c之间的关系式，即可判断三角形的形状。
（3）由△ABC是等边三角形，则a=c=b，代入方程，求出方程的解即可。
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