5.1 一元一次方程
● 教学目标：
知识目标：⒈通过对多种实际问题的分析,感受方程作为刻画现实世界的有效模型的意义.
⒉通过观察,归纳一元一次方程的概念.
⒊体会解决问题的一种重要的思想方法----尝试检验法.
⒋理解等式的两个性质，并初步学会利用等式的两个性质解一元一次方程.
能力目标： 掌握根据简单的数量关系列一元一次方程，理解等式的性质。
情感目标：体会一元一次方程的概念，感受用尝试、检验的方法解简单的一元一次方程。
●教学重点：一元一次方程的概念和用尝试检验法求方程的解.
●教学难点：利用等式的两个性质解一元一次方程.
●教学方法：交流对话，自主探索
●教学准备：多媒体课件，天平，砝码
●教学过程：
一、联系生活实际，创设问题情境
【当学生看到自己所学的知识与“现实世界”息息相关时，学生通常会更主动。】
2004年夏季奥运会上，我国获得32枚金牌。其中跳水队获得6枚金牌，比射击队获得金牌数的2倍少2枚。射击队获得多少枚金牌？
如果设射击队获得x枚金牌，那么跳水队获得(2x-2)枚金牌，所以得到等式： 。
在小学里我们已经知道，像这样含有未知数的等式叫做方程。
[选一选]：下列各式中，哪些是方程？
⑴ 5x＝0； ⑵ 42÷6＝7；
⑶ y2＝4＋y； ⑷ 3m＋2＝1－m；
⑸ 1＋3x.
[练一练]：请你运用已学的知识，根据下列问题中的条件，分别列出方程：
⑴ 奥运冠军朱启南在雅典奥运会男子10米气步枪决赛中最后两枪的平均成绩为10.4环，其中第10枪（即最后一枪）的成绩为10.1环，问第9枪的成绩是多少环？
设第9枪的成绩为x环，可列出方程 。
⑵ 国庆期间，“时代广场”搞促销活动，小颖的姐姐买了一件衣服，按8折销售的售价为72元，问这件衣服的原价是多少元？
设这件衣服的原价为x元，可列出方程 。
⑶ 有一棵树，刚移栽时，树高为2m，假设以后平均每年长0.3m，几年后树高为5m？
设x年后树高为5m，可列出方程 。
⑷ 2008年北京奥运会的足球分赛场---秦皇岛市奥体中心体育场，其足球场的周长为344米，长和宽之差为36米，这个足球场的长与宽分别是多少米？
设这个足球场的宽为x米，则长为(x+36)米，可列出方程 。
【通过实际问题，让学生加深对建立方程这个数学模型意义的理解和体会。】
[议一议]：观察你所列的方程，这些方程之间有什么共同的特点？
（先鼓励学生进行观察与思考,并用自己的语言进行描述,然后学生进行交流。教师在学生发言的基础上，给出一元一次方程的概念，并进行适当的讲解。）
上述所列的方程中，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程。
(我国古代称未知数为元,只含有一个未知数的方程叫做一元方程。)
[做一做]：⒈下列各式中，哪些是一元一次方程？
⑴ 5x＝0； ⑵ y2＝4＋y；
⑶ 3m＋2＝1－m； ⑷ x－＝－；
⑸ xy＝1.
⒉你能写出一个一元一次方程吗？
(让学生回答，教师在黑板上板书，其他学生帮忙纠正)
二、交流对话，自主探索
在小学里我们还知道，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
你们知道“练一练”第⑴题的方程＝10.4的解吗？
你们是怎么得到的？
(让学生各抒己见，只要学生能说出该方程的解教师都应给予积极的鼓励。)
强调：我们知道x只能取10.5，10.6，10.7，10.8，10.9。把这些值分别代入方程左边的代数式，求出代数式的值，就可以知道x=10.7是方程＝10.4的解。这种尝试检验的方法是解决问题的一种重要的思想方法。
[做一做]：⒈判断下列t的值是不是方程2t＋1＝7－t的解：
⑴ t＝－2； ⑵ t＝2.
追问：你能否写出一个一元一次方程，使它的解是t＝－2？
⒉解方程：⑴ x-2=8； ⑵ 5y=8.
(让学生思考解法，只要合理均以鼓励。)
除了这些方法，还有没有更好的方法呢？如果方程比较复杂，怎么办呢？下面我们就来研究如何用等式的性质解一元一次方程。
三、理解并运用
实验
如果天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数或同时缩小为原来的几分之一，那么天平还保持平衡吗？
教师引导学生通过天平实验观察、思考、分析天平和等式之间的联系。
归纳等式的两个性质
⒈等式的两边都加上或都减去同一个数或式，所得结果仍是等式。
⒉等式的两边都乘以或都除以同一个不为零的数或式，所得结果仍是等式。
说明：课本指出：“在小学我们还学过等式的两个性质”，但目前小学生尚未学过或未正式学过等式的两个性质。所以在此对等式的性质先作一番介绍。
解方程
例⒈利用等式的性质解下列方程：
⑴ x-2=8； ⑵ 5y=8.
(学生已经用其他方法求解过这两个方程,这里是用等式的性质来解方程.可先让学生自己尝试利用等式的性质进行求解,教师再加以引导。)
例⒉解下列方程：
⑴ 5x=50+4x； ⑵ 8-2x=9-4x.
(教学时,首先应鼓励学生自己尝试求解这两个方程,并从中体会运用等式的性质解方程的方法,然后提问学生:你是怎样解方程的 每一步的根据是什么 还有其他解法吗 从中让学生体会解一元一次方程就是根据是等式的性质把方程变形成“x=a(a为已知数)”的形式。并引导学生回顾检验的方法,鼓励他们养成检验的习惯)
[做一做]：课本P116课内练习
尽可能地求解[练一练]中的方程。
●小结：[说一说]：通过上面的学习，你有什么收获？另外你有什么感触？
● 板书设计：
5.1 一元一次方程方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程。使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。 归纳等式的两个性质⒈等式的两边都加上或都减去同一个数或式，所得结果仍是等式。⒉等式的两边都乘以或都除以同一个不为零的数或式，所得结果仍是等式。 例1例2 投影
● 作业：作业本、同步练
● 教学反思：小学中，学生已经接触过方程，而且是通过“加数+加数=和，加数=和－加数；
被减数－减数=差，减数=被减数－差，被减数=减数+差”之间的关系来解方程的。所以，在这节课上，学生就觉得较难理解为什么要这样做？学生的作业情况也不理想。我想这个问题会在移项法则教好后，这个问题也就会迎刃而解。应用题作业（5）
班级 姓名
1、 如图，正方形的面积为x，圆形的面积为x-3，两个图形公共部分的面积为７。请用含x的代数式来表示阴影部分的面积：______________________，若阴影部分的面积为７０，则圆的面积是多少？
２、某班有学生45人，会下象棋的人数是会下围棋人数的3.5倍，两种棋都会下或都不会的人数都是5人，求只会下围棋的人数？
3、体育课上，七年级二班的同学分组参加活动。原计划8人一组，后来重新编组，每组12人，这样比原来减少2组，问原来有几组？这个班共有学生多少人？
4、把一袋橘子分给一些小朋友，每人分5个，还剩下6个；如果每人分7个，还差2个，问有多少小朋友？有多少个橘子？
5、甲、乙两个水管往水池中注水，甲管单独注水，需20时注满一水池；乙管单独注水，需40时注满一水池。现让甲管单独工作6小时后，关闭甲管开动乙管。而甲管休息1时后，再和乙管一起合作，问共需要多少时间注满水池？
6、王老师给学生出了这样一道题：七年级一班共有３６人参加数学和科学兴趣小组，其中参加数学兴趣小组人数是参加科学兴趣小组的人数的２倍，而两个兴趣小组都参加的有２１人。
（1） 你知道参加数学兴趣小组的有多少人？
（2） 根据解出的结果，请你判断王老师设计的这个题目是否合理？
7、２００４年８月４日，浙江省阶梯式电价收费正式启动。用电量在０～50度，每度电0.53元，用电量在51～200度，每度电0.56元，用电量在200度以上部分，每度电0.63元。
（1） 如果小明家10月份电费为21.2元，请计算出小明家10月份共用多少度电？
（2） 如果小明家10月份电费为54.5元，请计算出小明家10月份共用多少度电？
探索与思考：
如图，一张长方形桌子可以坐6人，如果把两张这样的长方形桌子拼在一起，可以坐10人，三张这样的桌子拼在一起，可以坐14人，想一想，
（1） 如果把n张这样的桌子拼在一起可以坐_____________________人.
（2） 现有某公司准备搞一个大型活动，有58人共同聚餐，按照上述拼法需要几张桌子，才能使全体人员恰好就坐？5.2 一元一次方程的解法（1）
●教学目标：
知识目标：1、要求学生学会使用移项的方法解一元一次方程；
2、学生理解移项的含义及注意事项；
3、培养学生由算术解法过渡到代数解法的解方程的基本能力，渗透化未知为已知的重要数学思想。
能力目标： 掌握移项、去括号及解一元一次方程的步骤。
情感目标：经历、感受解一元一次方程的步骤。
●教学重点：正确掌握移项的方法求方程的解。
●教学难点：采用移项方法解一元一次方程的步骤。
●教学方法：引导、探索、归纳、练习
●教学准备：实物投影
●教学过程：
一、复习旧知：
利用等式性质解下列方程（两名学生上台板演，其余学生在座位上做）。
（1）3X＝2X＋7 （2）5X－2＝8
解完后，请学生观察：
3X＝2X＋7 5X－2＝8
3X－2X＝7 5X＝8＋2
思考：上述演变过程中，你发现了什么？（分组讨论）若学生思考一阵后，还不会作答，可作如下提示：从原方程3X＝2X＋7演变为3X－2X＝7 ，等号两边的项有否发生变化？若有变化，是如何变化的？方程（2）也有类似的结论吗？请将你发现的结论说出来与大家交流。
二、感受新知
1、根据学生回答，老师指出：像这样把方程中的项改变符号后从方程的一边移到另一边的变形过程，被称之为“移项”（transposition of terms）.板书如下：
3X＝2X＋7 5X－2＝8
3X－2X＝7 5X＝8＋2
（出示投影）
下面的移项对不对？如果不对，应如何改正？
（1）从x＋5＝7，得到x＝7＋5
（2）从5x＝2x－4，得到5x－2x＝4
（3）从8＋x＝－2x－1到x＋2x＝－1－8
上述例子告诉我们，“移项”要注意什么？
三、应用新知
用移项的方法解下列方程
例3（1）5＋2x＝1 （2）8－x＝3x＋2
学生口述，老师板书完成再由学生口算检验。老师指出：1.移项时注意移动项符号的变化；2.通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到右边。
课内练习1
例4 解下列方程
（1）3－（4x－3）＝7 （2）3x－〔1－（2－ｘ）〕＝2
（3）x－=2(x+1)（结果保留3个有效数字）
引导学生分析题目特征：
（1）方程带有括号，应先设法去掉括号。可适时复习一下去括号法则；（2）先去小括号，再去中括号，最后去大括号；（3）方程出现了无理数，先去括号，再移项，合并同类项，最后会根据预定精确度取近似值。
课内练习2，每组派1位同学上台板演，教师巡视指导。
课内练习3，可要求学生直接将改正的过程写在书上，利用实物投影，师生校对。再次叮嘱学生注意符号。
从刚才的例题和练习中，请学生讨论解一元一次方程有哪些基本程序呢？
去括号移项合并同类项两边同除以未知数的系数
四、拓宽新知
比比看，谁的解法更简捷，更有创意？
解下列方程：
（1）8x=9x－3 (2) －2（x－1）=4 (3) x=－x+3
优解（1）移项得3＝9x－8x 合并同类项得３＝x x=3
（2）两边都除以 －2,得x－1=－2 移项，得x=－2＋１，合并同类项，得x=－1
（3）两边都乘以4，得x= －2x+12 移项得x+2x=12合并同类项，得3x=12 两边都除以3，得x=4.
解后，由学生分组讨论，比较优劣，渗透等式的对称性：如果a=b,那么b=a，培养学生分析，问题归纳问题，灵活解决问题的能力，优化学生的思维结构。
五、知识纵横（供选做）
1、已知x=是关于x的方程3m+8x=+x的解，求关于x的方程m+2x=2m－3x的解。
●小结：1、解一元一次方程移项的理论依据是什么？应注意哪些问题？有哪些基本步骤？
2、能根据题目特征，优化解题过程。
● 板书设计：
5.2一元一次方程的解法（1）一、像这样把方程中的项改变符号后从方程的一边移到另一边的变形过程，被称之为“移项”（transposition of terms）二、解一元一次方程的步骤：去括号移项合并同类项两边同除以未知数的系数。 例3例4 投影
● 作业：作业本、同步练
●教学反思：学生对于移项法则和解一元一次方程的步骤掌握得较好，主要问题还是去括号时的符号问题。特别是形如，学生的计算结果是。一元一次方程的应用（三） 总量问题
●教学目标：
知识目标：1、体验方程是刻画现实世界的数学模型；
2、掌握列方程解应用题的一般步骤；
3、会利用一元一次方程解决简单的实际问题。
能力目标：掌握根据总量问题中的数量关系列方程。
情感目标：体验方程是刻画现实世界的一个有效的数学模式，体会列方程解应用题的一般步骤，体验利用一元一次方程解决简单的总量问题。
●教学重点：掌握列方程解应用题的一般步骤。
● 教学难点：银行的利息问题。
● 教学方法：师生互动、分析、观察 、探究
●教学准备：实物投影
●教学过程：
一、复习引入：运用方程解决实际问题的一般过程是：
1. 审题：分析题意，找出题中的数量关系及其关系；
2. 设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）；
3. 列方程：根据相等关系列出方程；
4. 解方程：求出未知数的值；
检验：检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.
适当地运用一元一次方程的知识，可以解决许多现实生活中遇到的有关实际问题，今天我们就通过列一元一次方程解总量问题。[板书5.3一元一次方程的应用].
例1、 甲每天生产某种零件80个，甲生产3天后乙也加入生产同一种零件，再经过5天，两人共生产这种零件940个，问乙每天生产这种零件多少个？
分析 可以用示意图来分析本题中的数量关系：
从图得到如下的相等关系：
头3天甲生产零件的个数+后5天甲生产零件的个数+后5天乙生产零件的个数=940.
根据这一相等关系，设乙每天生产零件个，就可以列出方程.
解 设乙每天生产零件个.根据题意，得
.
解这个方程，得=60.
答：乙每天生产零件60个.
练习：清明节，学校组织七年级268名学生，有8名老师带队到革命烈士陵园扫墓，现已有一辆56座的校车，问还需租用44座的客车多少辆？
例2、 在一列车上的乘客，是成年男性，是成年女性，剩余的是儿童，若儿童的人数是42人，求乘客的总人数？
例3、 周日，小明和爸爸到商店买一台冰箱，需要1110元，爸爸付给营业员39张面值为20元或50元的人民币，刚好付清。爸爸付给营业员20元和50元面值的人民币各多少张？
例4、 小明把压岁钱按定期1年存入银行，当时1年期的定期存款的年利率为1.98%，所得利息需交纳20%的利息税，到期支付时，扣除利息税后小明实得本利和为507.92元，问小明存入银行的压岁钱有多少元？
利息=本金×利率
利息税=利息×税率
实得本利和=本金＋利息－利息税
●小结：在列方程解应用题时，要分析应用题中的数量关系。在这种总量问题上，要抓住总量=部分量之和。
● 板书设计：
5.3一元一次方程的应用（三）总量问题总量=部分量之和例1例2 例3例4 利息=本金×利率 利息税=利息×税率实得本利和=本金＋利息－利息税 实物投影
●作业：应用题作业（3）
●教学反思：学生对于本金、利息、利息税感到既陌生又困难。可以这样处理：（1）在教学中，题目可以先给出利息，再给出本利和。（2）对于利息税的理解，可以是我们拿不到利息的100%，因为有20%要上交给国家，所以我们只能拿到的利息是原来利息的80%。
后5天生产零件的个数
头3天甲生产零件的个数
乙生产零件的个数
甲生产零件的个数
940个应用题作业（1）
班级 ______________- 姓名_________________
1、 已知三个连续的整数，前两个整数的和刚好等于第三个（最大的）整数的三倍，求这三个整数？
2、 在日历上左右相邻的两个的和为25，则这两个数分别是多少？
3、 某商场因换季，将某品牌的衬衫打七折销售，售价为91元，求这种品牌衬衫的原价？
4、 三个连续奇数的和为69，求这三个数？
5、 爷爷今年68岁，孙子今年16岁，问经过几年后，爷爷的年龄是孙子年龄的3倍？
6、 有一个两位数，十位数字与个位数字之和等于9，且十位数字比个位数字的3倍大1，求此两位数？
7、 一个两位数，两个数字的和为8，若每个数字都加上1，则得到的数比原数的2倍小6，求这个两位数？(填空并解方程)
解： 设十位数字为x，则个位数字为______________，这个两位数为___________，各加上1后的两位数是________________，
根据题意得：方程为_______________________应用题作业（3）
班级 姓名
1、小李在2004年7月3日存入银行10000元人民币，一年到期，年利率为1.71%，则扣除利息税（20%）后，到期后小李可得利息为_________________元.
2、 学校计划在11月初组织秋游。报名人数中，男生占，女生占，其余为教师，已知教师有6人，共有多少人报名参加秋游？
3、 1月的第一个星期是某中小学生秋假。西湖中学在秋假期间组织初一年级412名学生和24名教师进行秋游。学校有一辆44座的客车，问还需租56座的客车多少辆？
4、车间计划加工150个零件，工人工作了一天后，改进操作方法，每天能多加工15个零件，结果3天完成任务，求改进操作方法后该车间每天加工多少个零件？
5、我国股市交易中，每买卖一次需交7.5‰的费用，某投资者若以每股10元的价格买入某股票10000股，当该股票涨到多少元时，把这些股票全部卖出，该投资者可以得到18350元的利润？
6、某学校把1400元奖学金发给在数学竞赛中获得一、二等奖的16名学生。已知一等奖每人奖励200元，二等奖每人奖励50元，则获一等奖的人数是多少？
7、二年期定期储蓄的年利率为2.25%，所得利息要交纳20%的利息税。已知某储户有一笔二年期起储蓄到期，纳税后得利息450元，则该储户存入本金多少元？
8、小李将一笔钱存入银行，存了3年后扣除20%的利息税，得到本息10180元，已知三年期定期存款的年利率为2.25%，则小李存入银行的本金有多少元？
9、一群大雁在飞翔，迎面又飞来一只大雁，它对雁群说：“你们好，百只雁！”带头的一只老雁说：“不对，我们不是100只。你听着，将我们这群雁加上与我们数目相同的一群雁，再加上半群雁，再加上群雁，再加上你，这样才是100只，你说我们有多少只？”你能帮这只大雁回答吗？
10、探索与思考：
丢番图的墓志铭：墓中，长眠着一个伟大的人物——丢番图，他的一生的六分之一时间，是童年时代；又度过了十二分之一岁月后，他满脸长了胡须；再过了七分之一岁月时，举行了花烛盛典；婚后五年，得一贵子；可是不幸的孩子，他仅仅活了父亲的半生时光，就离开了人间；从此，作为父亲的丢番图，在悲伤中度过了四年，结束了自己的一生。
问：丢番图逝世时几岁？一元一次方程的应用（二）行程问题
●教学目标：
知识目标：1、体验方程是刻画现实世界的数学模型；
2、掌握列方程解应用题的一般步骤；
3、会利用一元一次方程解决简单的实际问题。
能力目标：掌握根据行程问题中的数量关系列方程。
情感目标：体验方程是刻画现实世界的一个有效的数学模式，体会列方程解应用题的一般步骤，体验利用一元一次方程解决简单的行程问题。
●教学重点：掌握列方程解应用题的一般步骤。
● 教学难点：行程问题中追击问题和相遇问题的数量关系。
● 教学方法：师生互动、分析、观察 、探究
●教学准备：实物投影
●教学过程：
一、 复习引入：行程问题的三要素：路程、速度、时间。
三者之间的关系是：速度×时间=路程
二、探究新知：适当地运用一元一次方程的知识，可以解决许多现实生活中遇到的有关实际问题[板书5.3一元一次方程的应用].
例1 甲、乙两人从相距为180千米的A，B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.已知甲的速度为15千米/时，乙的速度为45千米/时.经过多少时间两人相遇？
分析 什么叫相向而行、同向而行？路程、时间与速度之间有怎样的数量关系？.A，B两地间路程是哪几段路程之和？
自行车所走的路程+摩托车所走的路程=180千米.方程能列出来吗？
变式一 相遇后经过多少时间乙到达A地？
变式二 如果甲先行1时后乙才出发，问甲再行多少时间与乙相遇？
思考:例1中,如果自行车先行1小时后,摩托车才出发,相向而行,
问:(1)摩托车行几小时与自行车相遇
(2) 自行车行几小时与摩托车相遇
从上面的例子我们可以看到，运用方程解决实际问题的一般过程是：
1. 审题：分析题意，找出题中的数量关系及其关系；
2. 设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）；
3. 列方程：根据相等关系列出方程；
4. 解方程：求出未知数的值；
检验：检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.
例2:一队学生去校外进行社会调查,他们以5千米/小时的速度行走,走了18分的时候,学校要将紧急通知传给队长,一位同学从学校出发,骑自行车以14千米/小时的速度按原路追上去,这位同学用多少时间可以追上学生队伍
例3：一架飞机在两个城市之间飞行，无风时飞机每小时飞行600千米，在一次往返飞行中，顺风飞行了4小时，逆风飞行了6小时，求这次飞行时风的速度？
例4:甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经3时两人相遇，已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1时乙到达B地，问甲、乙行驶的速度分别是多少？
●小结：在分析应用题中的数量关系时，常用列表分析法与线段图示法，使题目中的条件和结论变得直观明显，因而容易找到它们之间的相等关系.
● 板书设计：
5.3一元一次方程的应用（二）行程问题行程问题的三要素：路程、速度、时间。 三者之间的关系是：速度×时间=路程 例1变式1变式2 实物投影
●作业：应用题作业（2）
●教学反思：应用题作业（2）中“甲乙两人同向而行，甲在乙后面20千米处，比乙早1时30分出发，若甲的速度为8千米/时，乙的速度为6千米/时，问甲出发多少时间后追上乙？”，反映出学生对于间接设元的问题还很陌生，今后要加强。
摩托车所走路程
自行车所走路程
180千米
自行车
走1时
摩托车走x时
自行车走x时
180千米应用题（4）
班级_____________姓名___________________
1、 甲、乙两水池共贮水40吨，甲池注入水4吨，乙池放出水8吨时，甲乙两水池的贮水量相等，两个水池原各贮水多少吨？
2、 甲站有汽车192辆，乙站有汽车48辆。每天从甲站开往乙站21辆，从乙站开往甲站24辆。经过几天，甲站汽车数是乙站的7倍？
3、 甲仓库有粮食160吨，乙仓库有粮食200吨，从甲仓库调多少吨粮食到乙仓库，使得乙仓库的粮食是甲仓库粮食的2倍？
4、 某工地调来72人参加挖土和运土。已知3人挖出的土1人恰好能全部运完，问应怎样安排挖土和运土的人数，才能使挖出的土刚好能及时运走？
5、 某饲料加工公司收购到某种原料140吨，准备加工后上市销售。该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨。现计划用15天完成加工任务，
（1） 该公司应安排几天粗加工才能按期完成任务？
（2） 如果每吨饲料粗加工的利润是1000元，精加工的利润是2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的饲料共可获利多少元？
6、 把一个长10厘米，宽8厘米，高5厘米的长方体铁块和一个边长为7厘米的立方体铁块熔铸成一个直径为20厘米的圆柱体铁块，求这个圆柱体铁块的高（不计损耗，结果保留2个有效数字）。
7、 将茶从一个直径为20厘米的圆柱形茶壶倒向直径为10厘米，高20厘米的圆柱形茶杯。茶杯倒满水后，茶壶中的茶水下降多少厘米？
8、 一个底面半径为4厘米，高为10厘米的圆柱形烧杯中装满水。把烧杯中的水倒入底面半径为1厘米的圆柱形试管中，刚好倒满8试管，试管的高是多少厘米？
9、 现有一个底面积为80平方厘米，高为20厘米的长方体水池，水池中已有高度为15厘米的水。另有一个底面积为20平方厘米，高为6厘米的长方体水瓢，若用这个水瓢把水池中的水盛满，则至少需要加水多少瓢？
10、墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物（如图所示），小明将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，（如图虚线所示），小明所钉长方形的长、宽各是多少厘米？
10
10
6
10
6
10
105.2 一元一次方程的解法（2）
●教学目标：
知识目标：经历解方程的基本思路是把“复杂”转化为“简单”，把“未知”转化为“已知”的过程, 进一步理解并掌握如何去分母的解题方法。
能力目标：通过解方程的方法、步骤的灵活多样，培养学生分析问题、解决问题的能力。
情感目标：培养学生自觉反思求解过程和自觉检验方程的解是否正确（不要求写出检验步骤）的良好习惯，体验求知的成功，增强学习的兴趣和信心。
●教学重点：灵活掌握和运用解一元一次方程的基本程序。
●教学难点：解方程时如何去分母。（①不漏乘不含分母的项②注意给分子添加括号。）
● 教学准备：多媒体课件
● 教学方法：引导、探索、归纳、练习
●教学过程：
一、创设情境：
教师用课件显示一组解方程的练习题
解方程①7X=6X-4 ②8=7-2y
③5X+2=7X-8 ④8-2(X-7)=X-(X-4)
鼓励四名同学板演，其余同学在练习本上自主完成解题，看哪组同学全对的人数最多。
从简单到复杂，巩固所学的解方程知识为去分母做铺垫，并让学生回忆解一元一次方程的基本程序。（课件显示）
①去括号②移项③合并同类项④两边同除以未知数的系数
二、探究新知
根据解方程的基本程序，你能解下面的方程吗？
⑴（3 y＋１）＝（7+ y）
根据“旧”知识，学生会作如下解答：
解一：去括号，得 y +=+y
移项得，得 y –y=–
合并同类项，得y＝
两边同除以得 y＝1
[师] 该方程与前两节课解过的方程有什么不同？
[生] 以前学过的方程的系数都为整数，而这一题出现了分数。
[师] 能否把分数系数化为整数？
[生] 在方程左边乘以3的倍数，右边乘以6的倍数，就可以去掉分母，把分数化为整数，所以我们可以根据等式性质2，在方程两边同时乘上一个既是3又是6的倍数6即可。这样使解方程避免计算“分数”的复杂性，使解方程过程简单。
解二：方程两边同乘以6，得
2（3y+1）＝7+y
去括号，得 6y+2＝7+y
移项，得 6y–y＝7–2
合并同类项，得5y＝5
两边同除以5，得y＝1
[师] 去分母，方程两边同乘以一个什么数合适呢？
[生] 分组讨论，合作交流得出结论：方程两边都乘以所有分母的最小公倍数，从而去掉分母。
于是，解方程的基本程序又多了一步“去分母”
教师添上“去分母”这一步骤，完整显示解一元一次方面的基本程序。
三、体验成功
出示例1解方程 ―＝x
解：方程两边同乘以10，得2x-5（3-2x）＝10x
去括号，得 2x-15+10x＝10x
移项，得 2x+10x-10x＝15
合并同类项，得 2x＝15
两边同除以2，得 x＝
本题让学生自主完成解题，同伴之间互相交流自己的结论，并自觉检验方程的解是否正确，若发现错误，可能有：
（1） 去分母，得 2x-5（3-2x）＝x
（2） 去分母，得 2x-15-2x＝10x
让同伴帮助出错的同学找原因，通过组内交流、合作，解决问题，达到团结协作精神。
[师] 通过上述过程，强调学生在去分母时注意：
①不漏乘不含分母的项；②注意给分子添括号。
随堂练习：课本128页，练习2，鼓励学生口答改正，深刻体会去分母注意事项。
课本127页做一做及练习1（1）（2），小组互评，评出做得好的同学。
四、扩展新知
出示例2 解方程－=0.5
[师] 此方程与前面学过的方程解有什么不同？
[生] 分母含有小数。
[师] 怎样转化为整数呢？
[生] 可以利用分数的基本性质，分子、分母同乘以一个数（10）即可化为整数。
解：原方程可化为：－=0.5
即－=0.5
去分母，得5 x－（1.5－x）＝1
去括号，得5 x－1.5＋x＝１
移项，合并同类项得6x＝2.5
x＝
从该题看出：当方程的分母出现小数时，一般先化为整数，然后再去分母。
出示课本128页[探究活动] 通过分组讨论，合作交流，经历多角度认识问题，多种策略思考问题，培养学生的探索精神和解决问题能力。
● 小结： [师] 今天我们学习了哪些新知识？你有什么收获？你能填写下列表格吗？（课件显示“空表格”）
步 骤 根 据 注 意 事 项
[生] 通过思考、交流，梳理所学知识，归纳总结完成下列表格，教师再完整显示以下表格。
步 骤 根 据 注 意 事 项
去分母 等式性质2 ①不漏乘不含分母的项；②注意给分子添括号。
去括号 分配律、去括号法则 ①不漏乘括号里的项；②括号前是“－”号，要变号。
移项 移项法则 移项要变号
合并同类项 合并同类项法则 系数相加，不漏项
两边同除以未知数的系数 等式性质2 乘以系数的倒数
小结后，让学生谈谈自己的收获、体会，鼓励学生踊跃发言，培养语言表达能力。
●板书设计：
5.3一元一次方程的解法（2）步 骤根 据注 意 事 项去分母等式性质2①不漏乘不含分母的项；②注意给分子添括号。去括号分配律、去括号法则①不漏乘括号里的项；②括号前是“－”号，要变号。移项移项法则移项要变号合并同类项合并同类项法则系数相加，不漏项两边同除以未知数的系数等式性质2乘以系数的倒数 例1例2 投影
●作业：作业本、同步练、课本作业题（根据学生对学习数学的需求情况做部分题或全部题）。
●教学反思：三个课时的《一元一次方程的解法》教学，让学生初步掌握了解一元一次方程的解法。但学生的准确率很低，所以在这之后要加一个课时的练习课。在今后的教学中，还要加强这个方面的练习。
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3一元一次方程的应用（五）
——工程、重叠、分段讨论问题
●教学目标：
知识目标：1、体验方程是刻画现实世界的数学模型；
2、掌握列方程解应用题的一般步骤；
3、会利用一元一次方程解决简单的实际问题。
能力目标：掌握根据工程、重叠、分段讨论问题中的数量关系列方程。
情感目标：体验方程是刻画现实世界的一个有效的数学模式，体会列方程解应用题的一般步骤，体验利用一元一次方程解决简单的工程、重叠、分段讨论问题。
●教学重点：掌握列方程解应用题的一般步骤。
● 教学难点：工程、重叠、分段讨论问题的数量关系。
● 教学方法：师生互动、分析、观察 、探究
●教学准备：实物投影
● 教学过程：
1、 复习引入：小学里我们就学过工程问题，我们把整个工程看成“1”，
工作总量=工作效率×工作时间
二、探究新知：
例1、某装潢公司接到一项业务，如果由甲组做需要10天完成，由乙组做需要15天完成。为了早日完工，现由甲、乙两组一起做，4天后甲组因另有任务，余下部分由乙组单独做，问还需几天才能完成？
例2、汽车对运送一批货物。若每辆车装4吨，还剩下8吨未装；若每辆车装4.5吨，恰好装完。这个车队有多少辆车？
例3、七年级二班有45个人报名参加了文学社和书画社。已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都参加的人有20人，问参加书画社的人有多少人？
在解决实际问题时，我们总是通过分析实际问题，抽象出数学问题，然后运用数学方法（或思想）解决问题.用列表分析数量关系是常用的方法.
例4、《中华人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款是按下表累计计算的：
全月应纳税所得额 税率
不超过500元部分 5%
超过500元至2000元部分 10%
超过2000元至5000元部分 15%
… …
（1） 若某人10月份应交所得税款10元，那么他10月份的收入是多少元？
（２）若某人10月份应交所得税款９５元，那么他10月份的收入是多少元？
●小结：在解决实际问题时，我们总是通过分析实际问题，抽象出数学问题，然后运用数学方法（或思想）解决问题.用列表分析数量关系是常用的方法。（1）工程问题：工作总量=工作效率×工作时间（2）重叠问题：重叠的部分加了两次，要相应地减少1次。（3）分段讨论问题，要先讨论范围。
● 板书设计：
5.3一元一次方程的应用（五）工程问题、重叠问题、分段讨论问题一、工作总量=工作效率×工作时间例1 例2例3 实物投影
●作业：应用题作业（4）
●教学反思：学生对本节课的工程问题掌握得不错，但对于重叠、分段讨论问题掌握得不够理想。对于分段讨论的问题，如何计算水电费等问题，都要先讨论范围。在这一点上，学生理解较困难。在复习课上，还要加强。一元一次方程的应用（一）数字问题
●教学目标：
知识目标：1、体验方程是刻画现实世界的数学模型；
2、掌握列方程解应用题的一般步骤；
3、会利用一元一次方程解决简单的实际问题。
能力目标：掌握根据问题中的数量关系列方程。
情感目标：体验方程是刻画现实世界的一个有效的数学模式，体会列方程解应用题的一般步骤，体验利用一元一次方程解决简单的行程问题。
●教学重点：掌握列方程解应用题的一般步骤。
● 教学难点：日历上日期的数量关系。
● 教学方法：师生互动、分析、观察 、探究
●教学准备：多媒体平台
● 教学过程： （课件）
●小结：在分析应用题中的数量关系时，常用列表分析法与线段图示法，使题目中的条件和结论变得直观明显，因而容易找到它们之间的相等关系.
● 板书设计：
5.1一元一次方程的应用（一）数字问题1、审题：分析题意，找出题中的数量关系及其关系；2、设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）；3、列方程：根据相等关系列出方程；4、解方程：求出未知数的值；检验：检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案. 例1例2 投影
●作业：应用题作业（1）
●教学反思：由于教材中的列方程解应用题编写得较混乱，所以，从本节课开始，就自己分类来组织教学。一共分为五个课时：（1）数字问题（2）行程问题（3）总量问题（4）等积变形、调配问题（5）工程、重叠、分段讨论问题。 作业本、同步练上的作业也太难，而且没有把应用题很好地归类，所以也在学生的作业上做了一些改动，重新编写、与上课举的范例配套，自行打印（见附）。在这个列方程解应用题的教学中，希望能作一些尝试，尽量减轻学生负担，让学生掌握得更好。应用题作业（2）
班级________________姓名_________________
1、 只轮船航行于甲、乙两地之间，顺水用3小时，逆水用3.5小时，已知轮船在静水中的速度是每小时26千米，求水流的速度？
2、 乙两人练习赛跑，甲每秒钟跑7米，乙每秒钟跑6.5米，如果甲让乙先跑2秒钟，问甲经过几秒钟可以追上乙？
3、甲、乙两站相距245千米，一列慢车由甲站开出，每小时行驶50千米，同时一列快车由乙站开出，每小时行驶70千米，两车同向而行，快车在慢车的后面，经过几小时，快车可以追上慢车？
4、一列慢车从甲地开往乙地，速度是每小时60千米，出发2小时以后，一列快车从乙地开往甲地，速度是每小时90千米，已知甲乙两地相距250千米，求两车相遇点与甲地间的距离？
5、甲乙两人同向而行，甲在乙后面20千米处，比乙早1时30分出发，若甲的速度为8千米/时，乙的速度为6千米/时，问甲出发多少时间后追上乙？
6、A、B两地相距20千米，甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，若甲的速度为6千米/时，乙的速度为5千米/时，当他们交错而过，且相距2千米时，他们已走了多少时间？
7、探索与思考：
王新同学在做作业时，不小心把墨水瓶打翻，使一道作业题只剩下如下字样：“甲乙两地相距80千米，汽车的速度为45千米/时，摩托车的速度为35千米 ？”（涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字）。请你将这道题目补充完整，并列方程解答。一元一次方程的应用（四）
——等积变形、调配问题
●教学目标：
知识目标：1、体验方程是刻画现实世界的数学模型；
2、掌握列方程解应用题的一般步骤；
3、会利用一元一次方程解决简单的实际问题。
能力目标：掌握根据问题中的形状改变、体积不变的数量关系列方程。
情感目标：体验方程是刻画现实世界的一个有效的数学模式，体会列方程解应用题的一般步骤，体验利用一元一次方程解决简单的等积变形、调配问题。
●教学重点：掌握列方程解应用题的一般步骤。
● 教学难点：等积变形中体积不变的数量关系。
● 教学方法：师生互动、分析、观察 、探究
●教学准备：实物投影
●教学过程：
课前练习1、一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石，形成一个宽为3米的正方形边框（如图所示），已知铺这个边框恰好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石，问标志性建筑底面的边长是多少米？
分析 如图，用表示中间空白正方形的边长，怎样用含的代数式表示阴影部分的面积呢？请利用手中的纸片设计几种不同的计算方法.
学生可能会出现以下几种方法：
或等等.
本题的数量关系是：
阴影部分的面积=192块边长为0.75米的正方形花岗石的面积；
阴影部分可以分割成4个长为（+3）米，宽为3米的长方形.
解 设标志性建筑底面的边长为米，根据题意，得
.
解这个方程，得.
答：标志性建筑底面的边长为6米.
本题还有没有其它解法？
在应用方程解决有关实际问题时，清楚地分辨量之间的关系，尤其是相等关系是建立方程的关键.解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，但具体过程可以省略不写.
2、请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变？
（1） 把一杯水倒入另一只大杯中。
（2） 用一根15厘米长的铁丝围成一个三角形，然后把它改围成长方形。
（3） 用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改成球。
例1、 用直径为200厘米的钢柱锻造一块长、宽、高分别为300厘米，300厘米，80厘米的长方体毛坯底板，应截取圆柱多少长（圆柱的体积=底面积×高。计算时，π取3.14，要求结果误差不超过1厘米）？
例2、学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？
分析 设应调往甲处人，题目中涉及的有关数量及其关系可以用下表表示：
甲处 乙处
原有人数 23 17
增加人数 20-
现有人数 23+ 17+20-
等量关系
解 设应调往甲处人，根据题意，得
23+=2（17+20-）
答：应调往甲处17人，乙处3人.
例3、学校组织初三段100名团员去参加植树活动，如果挖坑，一天每人能挖树坑3个；如果植树，一天每人能植树7棵，要使每个树坑恰好能种上一棵树，问应安排几个人去挖坑，几个人去种树？
● 小结：在等积变形的题目中，要抓住体积不变的等量关系。要注意：（1）圆柱的体积公式（2）制造零件，在选材时要用进一法。
● 板书设计：
5.3一元一次方程的应用（四）等积变形问题、调配问题圆柱的体积=底面积×高例1 例2例3 实物投影
●作业：应用题作业（4）
●教学反思：学生对本节课的内容（等积变形、调配问题）掌握得不错，但在学生所列的方程中，经常是把直接代为3.14，这种对的认识是错误的。
