第七章几何图形[上学期]

第7章 图形的初步知识
TUXINGDECHUBUZHISHI
第7章 图形的初步知识
TUXINGDECHUBUZHISHI
7.1　几何图形
【教学目标】
知识目标：理解几何图形与点、线、面、体的关系，理解立体图形、平面图形的区别。
能力目标：能准确说出不同的几何体，能判断几何图形和立体图形的区别。
情感目标：从这节课开始接触几何图形，通过这节课对图形的探索，激发学生的求知欲望，并且通过七巧板的讲述，增强学生的爱国主义情感。
【教学重点、难点】
重点：由点、线、面组成的几何图形的概念与判断是本节的重点。
难点：点、线、面、体之间的关系，尤其是由面旋转成体是本节的难点。
【教学过程】
（一）：由旧导新：你们认识下面这些几何体吗？你能举出一些在日常生活中形状与上述几何体类似的物体吗？
图7-1
由此引入新课：这节课开始我们学习与前面不同的知识：几何图形
（二）：几何图形的概念：
1：合作学习：你们在上面的图形中，发现了那些面，那些是平面，那些是曲面？那么黑板呢，平静的湖面呢？篮球、水桶呢？
天上的星星和地图上的城市给我们以什么概念？地图上的河流、公路呢？
以上问题可以让学生回答、思考、改错，并进行讨论，由教师总结。
2：几何图形的概念：点、线、面、体这些基本图形可帮助人们有效地刻画错综复杂的现实世界，他们都称为几何图形。
同学们，你在日常生活中碰到过那些几何图形的例子，能告诉大家吗？
3：讲述立体图形和平面图形的概念，并判断以下图形属于那一类图形：
上面图7-1是什么图形。 角、射线、三角形呢？平行四边形、梯形和圆呢？
4：练习：下面的平面图形经过旋转可以得到什么立体图形？
1 一个半圆绕他的直径旋转一周
2 一个矩形绕他的其中一条边旋转一周
3 一个等腰三角形绕他的底边上的高旋转一周
（三）：课堂练习：见书本课内练习
（四）；作业：见作业本
7.2　线段、射线和直线
【教学目标】
知识目标：1、使学生知道线段、射线和直线的直观图形，并能准确的用字母表示
2、让学生通过探索获得直线的基本性质，并能运用基本性质解答实际问题
能力目标：培养学生形成观察辨别、归纳概括等数学方法，培养学生的思维方法和良 好的思维品质。
情感目标：通过提问、讨论、动手操作等多种教学活动，树立自信，自强，自主感，由此激发学习数学的兴趣，增强学好数学的信心。
【教学重点、难点】
重点：线段、射线和直线的表示方法及直线的基本性质是重点
难点：如何说明直线的基本性质是难点
【教学过程】
一、 创设情景 引入新课
1、 用多媒体演示平面图形、空间图形及实物图形
如：
如铁轨、探照灯光线、太阳光线、激光等，让学生通过观察回答下列问题：
（1） 上述图形中，那些给你以线段的形象？哪些给你以射线的形象？哪些给你以直线的形象？
（2） 请同学再举一些日常生活中的线段、射线、直线的例子
（3） 请同学把书中的引例用线连接
2、 线段、射线、直线的表示方法
用线段AB或线段BA、线段a
用直线AB或直线BA、直线l表示
用射线AB表示
让学生能熟练地掌握表示方法
二、巩固练习
（1）用二种方法表示图中的两条直线
(2)已知点O、P、Q画线段PQ、射线OQ和直线OQ
让学生先练后讲解，纠正学生练习中的错误
三、分组讨论、探索结论
让学生动手画一画，然后分组讨论并回答问题：
（1） 经过一个已知点画直线，可以画多少条？
（2） 经过两个已知点画直线，可以画多少条？
（3） 如果你想将一根细木条固定在墙上，至少需要几个钉子？
让学生分组讨论归纳小结：直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线
四、拓展、应用练习
（1）、图中的几何体有多少条棱？请写出这些表示棱的线段
（2）请写出图中以O为端点的各条射线，并回答此图中共有多少条射线？
（4） 经过刨平的木板上的两点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条这样的墨线，请说出理由
五、小结
让学生归纳（1）线段、射线和直线的表示方法
（2）直线的基本性质
七、 作业 　 见书本练习 其中D组题让学有余力的同学做
7.3　线段的长短比较
【教学目标】
知识目标：了解两点间的距离, 线段的中点的定义；借助具体情境，了解“两点之间的所有连线中，线段最短”的性质。
能力目标：1、能借助直尺和圆规等工具比较两条线段的长短；
　　　　　　2、学会使用圆规，能用圆规作一条线段等于已知线段及线段的和，差的画法及其画法的说法；
　　　　　　3、掌握线段中点的概念、画法，并会用线段的中点进行简单计算和说理。
情感目标：了解到线段的长短比较是由实践中产生的，从而培养数学来源于实践，而又作用于实践的情感。进行爱国主义教育。并能对较复杂的信息作出合理的解释和推断. 通过趣味实际问题的解决培养学生分析、判断和解决实际问题的能力
【教学重点、难点】
重点：1、借助直尺和圆规等工具比较两条线段的长短；
2、线段中点的画法及线段中点的简单运用；线段的和差的画法及其画法的说法；
3、“两点之间的所有连线中，线段最短”的性质的应用。
难点：“两点之间的所有连线中，线段最短”的性质的应用。
【教　　具】投影仪、硬纸板、图钉、棉线、筷子等
【教学过程】
一、引入（引入课前探究）
情景1：教师不小心把课本掉在教室门口，请个同学帮我捡一下，并解释
你为什么选择这条路线　
情景2：书P172，如图从A村到B村，有三条路径可选
择你愿意选第几条路径？说出你的理　　由。
情景3：书P172，小狗为什么选择直的路？
情景4：书P168，要比较两根绳子的长短，你有几种方法？
　　二、新课（实践，探索和交流）
　　1、在所有连结两点的线中，线段最短.----------- 两点之间线段最短.
连结两点的线段的长度叫两点间的距离(distance).合作互动学习：
（1）一只昆虫要从一个正方形的一个顶点爬到相距它最远的另一个顶点，哪条路径最短，为什么？
（2）一只昆虫要从长方体的一个顶点通过长方体表面爬到相距它最远的另一个顶点，哪条路径最短，为什么？
完成课堂练习书P173，（6）
　　2、问题(1) (出示教具)你如何比较这两根筷子的长短？
问题(2) 若把这两条线段画在黑板上，那这两条线段就不能移动了，
如何比较它们的大小 （介绍使用工具：刻度尺，圆规）
做一做：完成课堂练习书P168
3、议一议：怎样比较两条线段AB与CD的长短(把讨论结果总结)
(1) “形”的叠合比较；叠合法（圆规）
(2) 用刻度尺度量后的比较，度量法
完成课堂练习书P170
引出：画一条线段等于已知线段及线段的和，差的画法及其画法的说法；
书P169例1，例2，
完成课堂练习1、按要求画图，填空：
（1）画一条线段BC＝2cm；
（2）延长BC到D，使CD＝BC
（3）反向延长BC到A，使AC＝2BCcm则AB＝______cm，AD＝_____cm
2、看图用线段填空：
AC＝___+___；
AB＝___－___；
BC＝___－___；
问题(3) 你如何确定一条线段的中点（书P171的方法）
4、线段的中点（midpoint）
∵C是AB的中点(已知)
∴AC=CB=1/2 AB(线段中点的定义)
AB=2AC=2BC
讲解书本P171，例3
5．做一做：完成课堂练习书P173，（2）（3）
6．小结：1、通过本节课的学习，你有哪些收获？ （学生个别总结）
2、教师总结
7．布置作业作业：书P170，173
三、课外练习
1、判断：两点之间的距离是指两点之间的线段 ( )
2、如图：这是A、B两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A、B两地行程最
短，应如何设计线路？在图中画出。你的理
由是
_______________________________
3、如何比较两条线段的大小
(1) (2) (3)
4、下面线段中，哪条线段最长？哪条线段最短？
　　　　　　　第4题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第5题
5、请同学凭直觉判断线段a、b的长度，然后借助适当工具比较a、b的长度看一看，结果是否一样
6、如图 AB=6cm，点C是AB的中点，
点D是CB的中点，则AD=____cm
7、如图，下列说法中，能判断点C是线段AB的中点的是( )
A、AC=CB B、AB=2AC
C、AC+CB=AB D、CB=1/2AB
8、如图，AD=AB—________=AC+ _________
9、在直线l 上顺次取A、B、C三点，使得AB=4cm，BC=3cm，如果O是线段AC的中点，求线段OB的长度。
10． 画图计算：
（1）在射线OM上截取OA＝2cm，AB＝4cm，画OB的中点D，求BD的长？
　　　（2）已知线段AB＝6cm，延长AB到C，使BC＝AB，反向延长AB到D，使AD＝AB，求线段DC的长。
11． 已知线段a和线段b（a>b）根据以下的画法
步骤，画出线段AC，并填写AC＝（ ）
（1）画射线AP；
（2）在射线AP上截取AB＝2a；
（3）在线段AB上截取BC＝b，线段AC为所要画的线段。
12．如图,做一个三角形纸片,你能用几种方法比较出线段AB与线段AC的长短？
7.4 角与角的度量
【教学目标】
知识目标：1、使学生进一步认识角的有关概念，掌握角的表示方法。
2、理解平角、周角的意义。
能力目标：使学生正确掌握“角、分、秒”的互化，会进行角度的和、差计算．
【教学重点、难点】
重点：角的概念和角的表示法、角度的和、差计算。
难点：角的多种表示法，从运动的观点给出的角的概念。
【教学准备】量角器、圆规、三角板、单摆。
【教学过程】
1、 引入新课
在小学里，我们已经初步认识了“角”，你能在图7-21中找到角吗？这些实例的共性两线之间存在着不同大小的角度。
二、新课教学
　　1．角的概念：
　　　（1）角的第一定义：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。
　这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。（可对照图形讲解）
　用圆规摆成一个角的形状，请同学们说出什么是角的顶点？什么是角的边？
提问： ①角的边有长、短吗？
②任意两条射线所组成的图形是角吗？
③从一点出发，引三条射线，能构成几个角？
（2）关于角的第二定义：
教师可展示折扇或单摆，通过运动，展示出运动从初始状态到终止状态的过程。
然后归纳出角的概念：一条射线绕着它的端点旋转而成的图形也叫做角。其中起始位置的射线叫做角的始边，终止位置叫做角的终边。
　　　想一想；这种定义的含义与第一种定义的的含义有什么相同与不同的地方？
　　　相同处：两种定义方法都揭示了角的两个基本特征：①有公共端点；②有两条射线组成。
　　　不同处：用第二种方法，对角的指向更为明确，并且为今后的学习打下了伏笔。
　2．角的表示：
　　角用符号“∠”表示，读做“角”，通常有以下几种表示方法：
　　（1）用三个大写字母来表示，其中表示顶点的字母一定要写在另两个字母的中间。
如图7-23中的角可以表示成∠ABC或∠CBA．中间的字母B表示顶点，其他两个字母A，C分别表示角的两边上的点．
　　（2）用一个数字或希腊字母(如α，β，γ)表示．如图7-24中的角分别可以表示为∠1，∠α，∠β等．
　　　（3）用顶点的字母表示（当以某一点为顶点的角多于一个时，不能用这种方法表示角，因此，这种方法虽然简单，但局限性大）．如图7-23中，∠ABC可以表示成∠B，但图7-24中，∠AOC不能用∠O表示(为什么 )．
完成做一做
　　3．平角、周角的概念
　　如图7-22，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O旋转到OB，当OB和OA成一直线时，所成的图形就是平角。
　　再旋转下去，当终边OB与始边OA重合时，所成的角叫做周角．
　　4．角的度量
　　在小学里，我们已经学过一个周角等于360°，一个平角等于180°．
把周角等分为360份，每一份就是l°的角；把1°的角等分成60等份，每一份是1′；而把1分的角再等分60份，每一份就是1秒，记作1〞.
　　即 1周角=360°； 1平角=180° ； 1°=60′； 1′=60〞．
　　度、分、秒是角的基本度量单位。
　　要测量一个角的大小，我们可以用量角器来进行．
　　观察图7-26中的量角器，并讨论下列问题：
　　(1)量角器上的平角被等分成多少个1°的角
　　(2)先估计图7-27中∠A和∠B的度数，再用量角器量一量．
　　在测量中，你遇到哪些问题
指出：使用量角器量角的步骤：
　（1）对中：使量角器的圆心与角的顶点重合；
　（2）对线：使量角器的零度数与角的一边重合；
　（3）读数：看角的另一边落在量角器的哪条刻度数线(或靠近哪一条刻度线)，从刻度线读出角的度数．
　　5．度、分、秒的互化及角的和差计算
　　例1用度、分、秒表示48.32°
　　例2 用度表示30°9′36〞
说明：（1）度、分、秒的互化是六十进制的，由度化分，由分化秒，只要乘以60即可
　　　（2）在进行单位互化时，应明确是进行量的互化，而不是数的互化。在计算中，要逐级运算，步骤合理，计算正确。
　　例3计算：180°-（45°17′+52°57′）
　　指出：计算时按角、分、秒分别进行、再逐级进位和逐级退位，退、进位按六十进制换算．
三、巩固练习 完成课内练习1，2，3，4
四、课堂小结
　　1．角是非常重要的一种几何基本图形．角有两种定义方法，但其实质是一致的，要抓住角的两个基本特征：有公共端点，有两条射线组成。
　　2．角是非常重要的一种几何基本图形．角有两种定义方法，但
其实质是一致的，要抓住角的两个基本特征：有公共端点，由两条
射线组成．
　　3．角有三种表示方法，各有优缺点，因此在实际应用中，要掌握两个原则：第一简明，第二正确。
　　　4．角度的互化及和差计算。
五、布置作业：见作业本
7.5　角的大小比较
【教学目标】
知识目标：理解角的大小比较意义；掌握直角、锐角、钝角的概念；掌握角平分线的概念
能力目标：会估计一个角的大小；会用叠合法和度量法进行角的大小比较；会区别直角、锐角和钝角；会运用角平分线的性质解决一些角的计算问题。
情感目标：体验生活中的几何知识，激发学生对生活的热爱；通过动口 、动脑、动手、合作和探究，启发学生的智慧，感受快乐数学，接受逻辑推理思维的熏陶。
【教学重点、难点】
重点：角的大小比较和角平分线的概念
难点：例2的逻辑推理。
【教 法】任务驱动下的学生自主学习与教师辅导相结合。
【学法指导】看书P184～P186，边看边思考：角的大小怎样比较？一般有几种比较的方法？我们所说的角一般分为几种？什么叫角平分线？角平分线有什么性质？
【教学过程】
一．复习检测
先估计下图中∠A的度数，然后再用量角
器测量∠A的度数，看看你的估计是否正确？
二．探究新知
1．估计角的大小
你能将图中扇子张开的角度按从小到大排列吗？并说说你的方法。图在P184
2．比较角的大小
如图1，两块三角尺的顶点分别记为A、B、C和P、Q、O。你认为∠P与∠A哪个角较大？说说你是怎样比较的？
叠合法：如图2，把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，其中的一边也重合，并使两个角的另一边都在这一边的同侧。此时，AB边落在∠QPO内部，这就说明∠BAC小于∠QPO，记作∠BAC<∠QPO或∠QPO>∠BAC。如果两个角完全重合，我们就说这两个角相等。
度量法：比较角的大小，我们也可以用量角器分别量出角的度数，然后加以比较。例如∠A＝45°，∠P＝60°，∴∠A<∠P。
试一试：根据两块三角板（如图1）上各个角的度数，在“＝”、“>”或“<”中，选择适当的符号填入下面的各空格内：
∠A ∠Q，∠Q ∠P ∠O，∠C ∠B ∠A，∠C ∠O，∠Q ∠P
3．角的分类
等于90°的角是直角（right angle），如图3中∠AED和∠BED，
记作∠AED＝Rt∠和∠BED＝Rt∠，或Rt∠AED和Rt∠BED，
画图时通常在直角的顶点处加上符号“┓”
小于直角的角是锐角（acute angle），如图3中∠BEC和∠DEC
大于直角而小于平角的角是钝角（obtuse angle）。如图3中∠AEC
4．找一找，怎么样？
根据图4，解答下列问题：
（1）把∠BCE，∠ACB，∠DCE，∠ACF从大到小排列.
（2）找出图中的直角、锐角和钝角。
5．角平分线
做一做：在一张透明纸上任意画一个角∠AOB（如图5），
把这张透明纸折叠，使角的两边OA与OB重合，然后把
这张纸展开、铺平，画出折痕OC。
试比较∠AOC与∠BOC的大小。
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线（angular bisector）.
例如：图5中射线OC就是∠AOB的平分线，这时∠AOC＝∠BOC＝∠AOB。
想一想：怎样用量角器画一个角的平分线？
如图6，已知∠AOB，画射线OC，使OC平分∠AOB。
6．练一练：（仿照例2）
如图7，∠ABC＝Rt∠，∠CBD＝30°，BP平分∠ABC。
求∠DBP的度数。
解：∵∠ABC＝Rt∠，BP平分∠ABC
∴∠PBC＝∠ABC＝×90°＝45°，
∵∠DBP＝∠PBC－∠CBD，∴∠DBP＝45°－30°＝15°。
一般地，一个角的度数是另两个角的度数的和，这个角就是另两个角的和。
一个角的度数是另两个角的度数的差，这个角就是另两个角的差。
三．自我检测：
1．比较下列各题中两个角的大小。
（1） （2）
2．根据图形填空：
（1）∠AOB＝∠AOC＋ ；
（2）∠AOD＝∠AOB－ ＝ －∠COD；
（3）∠AOC＋∠BOD－∠AOB＝ 。
3．已知∠ABC是Rt∠，你可以用哪些方法画出∠ABC的平分线？
4．如图，点O在直线AC上，画出∠COB的平分线OD。若∠AOB＝55°，求∠AOD的度数。
四．探究活动
利用一幅三角尺，你能画出哪些度数的角？
五．小结
今天这节课你学会了什么？
六．作业
作业本1
七、补充练习
1．填“>”或“<”
（1）直角 锐角，直角 钝角，钝角 锐角，直角 钝角 平角。
（2）如图1，∠AOC ∠AOB，∠BOD ∠COD，
∠AOC ∠AOD，∠BOD ∠BOC。
（3）如果∠1＝32°15′56″，∠2＝32.259°，那么∠1 ∠2。
2．3∶30时，时针与分针所成的角是（ ）
（A）锐角 （B）直角 （C）钝角 （D）平角
3．看图2填空：
（1）∠BOD＝∠BOC＋ ，∠AOB＝ ＋ ＋ ，
（2）若∠AOC＝Rt∠，∠BOC＝30°，则∠AOB＝ °，
若∠AOD＝20°，∠COD＝50°，∠BOC＝30°，则∠AOC＝ °，∠AOB＝ °。
（3）∠ ＝∠BOD－∠BOC，∠COD＝∠BOD＋∠AOC－∠ 。
4．如图3，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
则∠DOE＝ °；若∠AOD＝30°，则∠COD＝ °，
∠COE＝ °，∠BOE＝ °，∠BOD＝ °。
5．如图4，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝10°，求图中所有角的度数和。
6．如图5，∠AOB＝∠BOD，OC平分∠BOD，∠AOC＝75°，求∠BOD的度数。
7．如图6，∠AOC和∠BOC的度数比是5∶3，OD平分∠AOB，若∠COD＝15°，求∠AOB的度数。
7.6　余角和补角
【教学目标】
知识目标：1、使学生了解补角和余角的概念。
2、理解等角的余角相等，等角的补角相等。
能力目标：培养学生形成观察问题、分析问题和解决问题的能力。培养学生数形结合的思想方法和良好的思维品质。
情感目标：通过提问、讨论等多种教学活动，树立自信、自强、自主感激发学习数学的兴趣，增强学好数学的信心。
【教学重点、难点】
重点：余角和补角的概念和性质。
难点：有关概念的区分和计算。
【教学过程】
一、创设情景，引入新课用多媒体演示：
1、 如图：观察7－32，∠1＋∠2与Rt∠AOB相等吗？你是怎样判断的？
2、再观察，如图7－33，∠α＋∠β与Rt∠AOB相等吗？你是怎样判断的？ 　　　　　　　　 （合作交流、认真计算，派代表发言）二、分组讨论，探索结论根据上面的观察（多媒体演示，把∠1移到∠2处，构成∠1＋∠2，再与Rt∠AOB重合）、计算（用量角器度量角度）并进行分组讨论。
让学生口述归纳结果：（幻灯片）
①如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角（complementaryangle）。　
②如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角(supplementary)。　
强调几点：
１、 互余与互补是指两个角之间的关系，说单独的一个角是余角或补角没有意义，但可以说成一个角是某一个角的余角或补角；
２、 两个角是否互余或互补只跟这两个角的大小有关，与它们的位置无关，不要误认为互余或互补的角必须相邻；
３、 强调两个角互余或互补的数量关系：互余：∠α＋∠β＝90°；互补：∠α＋∠β＝180°。因此互余或互补的两个角中，已知一个角的度数，就可以求出另一个角的度数。
三、应用概念、解决问题
1、 练习：见书中P183做一做，1、2两小题说明理由，学生口述教师板书，以便格式完整。（幻灯片） 第3小题做一做后，由学生总结余角和补角的性质：　同角或等角的余角相等。同角或等角的补角相等。
2、 例1：如图7－34，已知∠AOC＝∠BOD＝Rt∠.指出图中还有哪些角相等，并说明理由。　
3、 例2：已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数。
强调几点：
1、着重启发学生用方程来求未知数，并突出数形结合思想，说明几何问题也可以用代数方法来解。
2、方程式中注意单位的统一，避免出现：设这个角为x度，则180°－x = 4(90°- x)的错误。
四、巩固练习
做P184，课内练习，1、3两题学生板演，教师巡回指导，第２题学生口述。
五、探究、应用（师生共同完成）
指出：
1、由于表示方位今后有较多的应用，用象限角表示方位时，常会涉及角的互余与互补，教学中应要求学生掌握。
2、在用量角器画方位角时要抓住①总是以正南或正北方向作角的始边；②分清东、南、西、北，理解偏东、偏西的意义。
六、学生总结
1、 什么是互余？互补？并理解几个注意点，易犯错误。　
2、 余角与补角的性质，两者比较。　
3、有关计算题的方法及步骤。
七、作业布置： P184作业题A组1——4 部分学有余力的同学外加B组5——6
7.7　相交线
【教学目标】
知识目标：1. 了解相交线、对顶角和垂线的概念。
2. 了解过一点有且仅有一条直线和已知直线垂直及垂线段最短的性质。
3. 理解对顶角相等，点到直线的距离的概念。
能力目标：1、会利用余角、补角和对顶角的性质进行有关计算。
2、会用符号表示两条直线互相垂直，会用三角尺或量角器过一已知点画已知直线的垂线。
【教学重点、难点】
重点：对顶角相等这一性质，两条直线互相垂直的概念,画法及表示法。
难点：例2 需利用有关余角、对顶角的性质，且含较多的说理过程。垂线段最短的性质，及点到直线的距离的概念。
【教学过程】
一、 创设情境
用多媒体展示教材P185的插图，引出在生活中，我们会经常看到两条直线相交的情景。当这两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交，该公共点叫做这两条直线的交点。
二、探求新知：
在黑板上画两条直线AB，CD相交于点O，（如图7-1） 形成四个角：∠1，∠2，∠AOD，∠BOC我们把其中相对的一对角∠1和∠2，∠AOD和∠BOC叫做对顶角。
对顶角有以下特点：1.顶点相同
2.角的两边互为反向延长线
例如：∠1的两边OB，OD分别与∠2的两边OA，OC互为反向延长线。
强调：对顶角是一对角，区别于直角，锐角，钝角这类角的概念。
例1如图 7-2 三条直线相交于一点O，说出图中的6组对顶角。
分析：关键在于启发学生先找出每一对对顶角的其中一个角。
解：6组对角是：∠FOA与∠EOB，∠AOC与∠BOD，∠COE与∠DOF，∠FOC与∠EOD，∠AOE与∠BOF，∠COB与∠DOA。
练习：
1. 如图7-3，共有几组对顶角？
2. 在图7-1中，若∠1=52°，那么∠2等于多少度？请说明理由。
由第2题的解答可知∠1=∠2。这是由于∠1与∠2都和∠AOD互补，则∠1=∠2。
一般地，对顶角有下面性质：对顶角相等。
例2：如图7-4，已知：直线AD与BE相交与点O，∠DOE与∠COE互余，∠COE=62°，求∠AOB的度数。
分析方法大致有两种：
（1） 从已知∠DOE与∠COE互余，∠COE=62°可以先求出∠DOE，又由于∠DOE与∠AOB是对顶角，所以∠DOE=∠AOB 这样就可以求得∠AOB的度数。
（2） 从所求出发考虑，因为∠DOE与∠AOB为对顶角，∠DOE=∠AOB，故只要求出∠DOE的度数。根据一直∠DOE与∠COE互余，∠COE=62°， ∠DOE的度数就可以求得。
另外，注意学生推理过程的书写格式，包括怎样用符号“∵”和“∴”表示因果关系，怎样注明理由等。
练习：P186 课内练习1 ，2
如图（7-5）所示，用一张纸，先把它随意折一次，再把折得的直边对折就得到一个角∠1， 　∠1是什么角？
把这张纸复原为原来的形状，如图（7-6），AB，CD表示两条折痕，根据第一次对折∠COD是什么角？（平角） 再根据第二次对折，∠1与∠AOD相等吗？（相等） 然后又得∠1和∠AOD的度数为多少？（90）
从上述分析过程又得到，∠AOD，∠AOC，∠BOD，∠BOC均为直角。当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中的一条叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。如图（7-6）AB，CD这两条直线互相垂直，它们的交点O是垂足。直线AB叫做直线CD的垂线，直线CD也叫做直线AB的垂线，垂线是两条直线相交的一种特殊情形。
“垂直”用符号“⊥”表示，直线AB与CD互相垂直，记作AB⊥CD（或CD⊥AB）。读作“AB垂直CD”（或“CD垂直AB”）。如果垂足为O，写作“AB⊥CD，垂足为O”。
两条直线互相垂直的画法：用三角尺和量角器过直线l外一点A画直线l 的垂线。
练习：1.找出图（7-7）中互相垂直的直线，并用符号表示。
3. 如图（7-8），点A为直线l 上的一点，点B为直线l 外一点，分别过A，B画直线l 的垂线l 的垂线，这样的垂线能画几条？
由2得，在同一平面，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线。
例3：如图（7-9）直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，已知∠BOD=45°，求∠COE的度数。
解：∵OE⊥AB
∴∠AOE=90°（为什么？）
又∵∠AOC= ∠BOD=45°（为什么？）
∴∠COE=∠AOC+∠AOE=45°+90°=135°
三、合作学习
如图（7-10）点P为直线l外一点，画PO⊥l于O，线段PO称为点P到直线l的垂线段。点P到直线l上所有各点之间的距离中，哪一个距离最小？你能设计一个实验来验证吗？
结论：垂线段最短。
可用如下实验方法得出，以点P为圆心，线段PO的长为半径画弧，这实际上是把线段PO和PA1，PA2，PA3，……PB1，PB2，……这些线段的大小作比较，由所作的圆弧和PA1，PA2，PA3，……PB1，PB2，……这些线段都相交于线段的内部，因此，得出垂线段最短。
由上可得出如下定理：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。
从直线外一点带这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。如（7-10）中，垂线段PO的长度，就是点P到直线l 的距离。
四 体验成功
例4：如图（7-11）直线l 表示一条公路，直线l上的点B表示车站，直线l 外的点A表示村庄。
（1） 从村庄A到车站B筑一条公路，应按怎样的路线筑路，才能使路程最短？
（2） 从村庄A到公路l筑一条公路，应按怎样的路线筑路，才能使路程最短？
解：（1） 因为两点之间线段最短，所以沿线段AB筑路，路程最短。（图7-12）
（2） 过点A画直线l 的垂线，交直线l 于点C，因为直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短，所以沿线段AC筑路，路程最短。
五，课内小结
（1） 对顶角除了了解其两个特点之外，在求找时强调选择一个合适的序。
（2） 用分析法或综合法来解决几何题，并注意理由的表述。
（3） 垂直的表示法，画法及垂直的性质是几何学习中最基本的一种位置关系，
（4） 强调垂线段最短在实际中的运用。
六 作业布置
见作业本（1）（2）及书本作业
7.8　平行线
【教学目标】
知识目标：1、进一步认识平行线的的概念。
2、用符号表示两条直线互相平行。
3、会用两种方法作过直线外一点画这条直线的平行线。
4、了解过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。
【教学重点、难点】
重点：平行线的画法和表示法。
难点：用推平行线画平行线。
【教学过程】
（一）创设情境，导入新课
师：前面我们学过相交线，那么相交线有什么特点？
生1：只有一个公共点。
师：那没有公共点的两条直线，在日常生活中你见过吗？
生2—生5：两条铁轨、双盏日光灯、双杠、地面的两条铜条……
师：很好，这些都给我们有力的说明，我们把这些大小不同，粗细不等的线、条、管用数学上的直线来表示，那就是生活中存在不相交的直线，我们把它们称为平行线（给出课题）。
（二）合作交流，探求新知
1、概念形成
师：不相交的两条直线叫平行线，你能找出下面立方体中的平行线吗？
D C
A D′ B C′
A′ B′
生6—生8：有各种不同回答，请作出相应的鼓励和质疑。
师：大家找出的两条直线都有共同点，不相交，好，那是否不相交的直线叫平行线呢？AA′和B′C′是否相交？他们是平行线？请按学习小组讨论。
生9—生11：针对不同答案作出一些评价（激励，质疑）。
师：平行线还有一个前提，“在同一平面内”，即在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。
利用立方体解释，“同一平面”的概念,再介绍平行的符号、记法和读法。
2、反馈练习：书本P191的做一做。
3、平行线的画法。
师：我们已清楚平行线的概念、符号、记法和读法，下面我们一起来学习平行线的画法。
师：介绍①垂直法作平行线，然后让学生仿练一次，每个学习小组同学互相交流仿练情况。
②推平行线法：用四个字归纳一“落”二“靠”三“推”四“画”。
a a a b a
让学生边画边念，再回顾垂直法，也可以用推平行线法，只是将三角板的直角朝上即可。
师生共同得出：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线。
4、巩固练习：①书本P192的课内练习
②书本P193第5题
（三）小结回顾，反思提高
师：本堂课你有什么收获？（根据学生的回答作点评）
1、平行线的概念。
2、平行线的注意点。
3、过直线外一点作已知直线的平行线的2种方法。
（四）作业布置：作业本＋《习题精选》P134的第11题。
B
A
O
O
C
B
D
A
n
m
A
BBB
l
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浙江版新课程教案 　　　　　
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初中数学七年级上