第1章 二次函数单元测试卷（困难）（含答案）

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浙教版初中数学九年级上册第一单元《二次函数》
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
定义：用表示以为自变量的函数，若，则( )
A. B.
C. D.
已知函数与轴只有一个交点，则的取值范围是
A. 且 B. 且 C. D.
抛物线可以看作是由抛物线按下列何种变换得到( )
A. 向上平移个单位 B. 向下平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”例如：、都是“整点”抛物线与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域包括边界恰有七个整点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二次函数的图象如图所示，有下列结论：
；；若为任意实数，则；；若，且，则其中，正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
如图，边长为的正方形，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿的路径向点运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿的路径向点运动，当到达终点时，停止移动，设的面积为，运动时间为秒，则能大致反映与的函数关系的图象是( )
B.
C. D.
如图为二次函数的图象，直线与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，根据函数图象信息有下列结论：若对于的任意值都有，则当为定值时，若变大，则线段变长其中，正确的结论有( )
A. B. C. D.
已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于，的两个点，记的面积为，的面积为，有下列结论：当时，；当时，；当时，；当时，其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
将函数在轴下方的图象沿轴向上翻折，在轴上方的图象保持不变，得到一个新图象．新图象对应的函数最大值与最小值之差最小，则的值为( )
A. B. C. D.
如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为点和点均在直线上．下列结论错误的是( )
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 方程有两个不相等的实数根
如图，已知抛物线为常数，经过点，且对称轴为直线，有下列结论：；；；无论，，取何值，抛物线一定经过；其中正确结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，二次函数的图象经过点，点，点，其中，下列结论：，，方程有两个不相等的实数根，不等式的解集为，其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
若关于的函数与轴仅有一个公共点，则实数的值为__________．
如图，抛物线与抛物线的交点在轴上，现将抛物线向下平移个单位，向上平移____个单位，平移后两条抛物线的交点还在轴上．
如图，矩形中，，，为的平分线，为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是 ．
图是一个高脚杯截面图，杯体呈抛物线状杯体厚度不计，点是抛物线的顶点，，，点是的中点，当高脚杯中装满液体时，液面，此时最大深度液面到最低点的距离为，将高脚杯绕点缓缓倾斜倒出部分液体，当时停止，此时液面为，则液面到平面的距离是______ ；此时杯体内液体的最大深度为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
设、是任意两个实数，用表示、两数中的较大者，例如：，，，参照上面的材料，解答下列问题：
，
若，求的取值范围
求函数与的图象的交点坐标，函数的图象如图所示，请你在图中作出函数的图象，并根据图象直接写出的最小值．
已知函数为常数，求当为何值时：
是的反比例函数？
是的二次函数？并求出此函数图象上纵坐标为的点的坐标．
已知函数，是常数．
若这个函数是一次函数，求的值；
若这个函数是二次函数，求的值．
在直角坐标系中，设函数是常数，．
若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
已知，当，是实数，时，该函数对应的函数值分别为，若，求证：．
已知：抛物线．
求证：抛物线与轴有两个交点．
设抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为，其中若是关于的函数、且，求这个函数的表达式；
若，将抛物线向上平移一个单位后与轴交于点、平移后如图所示，过作直线，分别交的正半轴于点和抛物线于点，且是线段上一动点，求的最小值．
如图，已知抛物线经过的三个顶点，其中点，点，轴，点是直线下方抛物线上的动点．
求抛物线的解析式；
过点且与轴平行的直线与直线，分别交于点，，当四边形的面积最大时，求点的坐标．
如图，点在抛物线：上，且在的对称轴右侧．
写出的对称轴和的最大值，并求的值；
坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为求点移动的最短路程．
如图，已知点，，线段与轴平行，且，抛物线：为常数经过点和
求的解析式及其对称轴和顶点坐标；
判断点是否在上，并说明理由；
若线段以每秒个单位长的速度向下平移，设平移的时间为秒．
若与线段总有公共点，直接写出的取值范围；
若同时以每秒个单位长的速度向下平移，在轴及其右侧的图象与直线总有两个公共点，求的取值范围．
如图，已知，，抛物线过、两点，并与过点的直线交于点．
求抛物线解析式及对称轴；
在抛物线的对称轴上是否存在一点，使四边形的周长最小？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
点为轴右侧抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为．
问：是否存在这样的点，使以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】，
，
．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的定义，一次函数图象上点的坐标，一次函数与二次函数的由于不知道是一次函数还是二次函数，需对进行讨论，当时，函数是一次函数，它的图象与轴有一个交点；当，函数是二次函数，当时，二次函数与轴有一个交点，解，求出的范围．
【解答】
解：当，即时，函数为，与轴只有一个交点；
当，即时，函数是二次函数，当，解得，即当时，函数的图象与轴只有一个交点．
综上可得，的取值范围是或．
故选D．
3.【答案】
【解析】解：的顶点坐标为，
而抛物线的顶点坐标为，
把抛物线向下平移个单位可得到抛物线．
故选：．
先得到两个抛物线的顶点坐标，然后根据顶点坐标判断平移的方向和单位长度．
本题考查了抛物线的几何变换：抛物线的平移问题可转化为其顶点的平移问题，抛物线的顶点式：，则抛物线的顶点坐标为．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键．画出图象，利用图象可得的取值范围
【解答】
解：且，
该抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线．
由此可知点、点、顶点符合题意．
当该抛物线经过点和时如答案图，这两个点符合题意．
将代入 得到解得．
此时抛物线解析式为．
由得解得，．
轴上的点、、符合题意．
则当时，恰好有 、、、、、、这个整点符合题意．
【注：的值越大，抛物线的开口越小，的值越小，抛物线的开口越大】
答案图时 答案图 时
当该抛物线经过点和点时如答案图，这两个点符合题意．
此时轴上的点 、、也符合题意．
将代入得到解得．
此时抛物线解析式为．
当时，得点符合题意．
当时，得点符合题意．
综上可知：当时，点、、、、、、、、都符合题意，共有个整点符合题意，
不符合题．
．
综合可得： 时，该函数的图象与轴所围城的区域含边界内有七个整点，
故选D．

5.【答案】
【解析】解：抛物线开口方向向下，则．
抛物线对称轴位于轴右侧，则、异号，即．
抛物线与轴交于正半轴，则
所以．
故错误．
抛物线对称轴为直线，
，即，
故正确；
抛物线对称轴为直线，
函数的最大值为：，
当时，，即，
故错误；
抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在的右侧
当时，，
，
故错误；
，
，
，
，
而，
，即，
，
，
故正确．
综上所述，正确的有．
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了动点问题的函数图象，主要考查了正方形的性质，一次函数和二次函数的图象与性质，三角形面积等知识，正确分类熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题关键．
分三种情况求出解析式，即可解答．
【解答】
解：如下图，分三种情况讨论：
如图，当时，，
属于直线的一段，该段图象随的增大而减小；
如图，当时，，
属于抛物线的一段，该段图象开口向下；
如图，当，，
属于抛物线的一段，该段图象开口向下，
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的图象及性质；根据图象确定函数的对称轴，利用时，增大，函数的开口变小的性质解题是关键．由图象分别求出，，，则函数解析式为，则对称轴，由开口向上的函数的图象开口与的关系可得：当变大，函数的开口变小根据二次函数的性质对各结论进行判断即可．
【解答】
解：由图象可知，，，抛物线经过点和点，
抛物线的对称轴为，
，
；
正确；
、两点关于对称轴直线对称，
，
正确；
，当变大时，函数的开口变小，
则的距离变小，
不正确；
若对于的任意值都有，
当时，，
，
不正确；
抛物线的解析式为，
当时，抛物线与轴的左侧交点坐标为，
对于的任意值都有，
当时，函数开口变小，抛物线与轴的左侧交点在点的右侧，则存在的情况，
不正确；
综上，正确的结论有．

8.【答案】
【解析】解：不妨假设．
如图中，，满足，
，
，故错误．
当，，满足，
则，故错误，
，
，在轴的上方，且离轴的距离比离轴的距离大，
，故正确，
如图中，，满足，但是，故错误．
不妨假设，利用图象法一一判断即可．
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
9.【答案】
【解析】解：如下图，函数的对称轴为，故顶点的坐标为，
令，则，设抛物线于轴右侧的交点，
根据点的对称性，图象翻折后图象关于轴对称，故翻折后的函数表达式为：，
当时，，
当时，函数的最小值为，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可；
当点在直线的左侧时直线所处的位置，
即，解得：；
当函数在点处取得最大值时，即，解得：，
当时，此时最大值最小为；
当函数在处取得最大值时，即，解得：，
最大为时，此时最大值为，
故；
当点在直线的右侧时直线所处的位置，
即，解得：；
函数的最大为；
综上，，
故选：．
令，则，设抛物线于轴右侧的交点，翻折后的函数表达式为：，当时，，当时，函数的最小值为，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
10.【答案】
【解析】解：直线经过抛物线的顶点坐标为，
，
，所以A正确；
当时，，
不等式的解集为所以B正确；
抛物线的对称轴为直线，
抛物线开口向上，
，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以C正确；
抛物线的顶点坐标为，
抛物线与直线只有一个交点，
方程有两个相等的实数根，所以D错误；
故选：．
利用抛物线的对称轴方程得到得，抛物线开口向上得到，则，由抛物线与轴的交点在轴下方得到，则可对进行判断；利用二次函数的增减性可对进行判断；结合函数图象可对进行判断；利用抛物线与直线只有一个交点可对进行判断．
本题考查了二次函数与不等式组：对于二次函数、、是常数，与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与轴的交点问题．
11.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，即对称轴在轴的右侧，
，
抛物线与轴交在负半轴上，
，
，
故正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
故不正确；
抛物线为常数，经过点，
，
，
，
故正确；
由对称得：抛物线与轴另一交点为，
，
，
，
当，无论，取何值，抛物线一定经过，
故正确；
，
，
，
，即，
故正确；
本题正确的有：，共个．
故选：．
由题意得到抛物线的开口向上，对称轴，判断，与的关系，根据抛物线与轴交点的位置确定与的关系，从而得到，即可判断；
根据抛物线对称轴方程可得，即可判断；
根据抛物线经过点以及，得到，即可判断；
先根据和得，再根据对称性可知：抛物线过，即可判断；
根据，把换成，提公因式，分解因式，根据平方的非负性即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．
12.【答案】
【解析】解：二次函数的图象经过点，点，
二次函数的图象的对称轴是直线：，
，
，
，
，
，，
，
故正确；
把点代入中可得：，
，
由得：，
，
，
，
，
故正确；
由图可知：
直线与二次函数的图象抛物线有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，
故正确；
二次函数的图象经过点，点，
，
二次函数的图象经过点，
，
，
二次函数的对称轴为直线：，
把代入二次函数中可得：，
二次函数的图象与轴的交点为：，
设二次函数的图象与轴的另一个交点为，
，
，
不等式的解集为，
不等式的解集为，
二次函数的图象的对称轴是直线：，
，
，
不等式的解集为，
故正确，
所以：正确结论的个数有个，
故选：．
利用点，点求出对称轴，然后利用判断即可；
把点代入中可得，再结合中的结论即可解答；
利用直线与二次函数的图象的交点个数判断即可；
先求出函数的对称轴，再求出与轴的两个交点坐标即可解答．
本题考查了二次函数与不等式组，根的判别式，二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13.【答案】或
【解析】
【分析】
本题主要考查的是一次函数的定义，二次函数的定义，抛物线与轴的交点的有关知识，运用了分类讨论思想分为两种情况：当函数为二次函数时，当函数为一次函数时，分别求出即可．
【解答】
解：分为两种情况：当函数为二次函数时，
关于的函数与轴仅有一个公共点，
，
解得：，
当函数为一次函数时，；
故答案为或．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数图象与几何变换，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握抛物线平移的规律．将代入求出抛物线与轴交点坐标，从而可得抛物线的解析式，然后求出将抛物线向下平移个单位后与轴交点坐标为，，设向上平移个单位，得到抛物线，根据题意可知，抛物线经过点，把，代入中，，解得，得出把抛物线向上移动个单位后抛物线经过，即可求解．
【解答】
解：解：把代入得，
解得，，
抛物线交点坐标为，，
把代入得，
解得，
，
抛物线向下平移个单位后解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线与轴交点为，，
设向上平移个单位，得到抛物线，
根据题意可知，抛物线经过点，
把，代入中，得，
解得，
把抛物线向上移动个单位后抛物线经过，
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质，二次函数的性质，两点距离公式等知识，建立平面直角坐标系是本题的关键．建立平面直角坐标系，求出的解析式，设点，可求点坐标，由两点距离公式和二次函数性质可求的最小值．
【解答】
解：以点为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，
，，
点，点，点，
为的角平分线，
，
，
，
点，
设直线的解析式为，
将点，代入上式，得：
解得：
直线解析式为，
设点，
为的中点，
点，
，
，
当时，的最小值为，
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图：
由题意得：
，，，，
设抛物线的解析式为：，
将代入得：
，
解得：，
．
将高脚杯绕点倾斜后，仍以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图：
由题意得：
，，，，，，
由题可知，直线与轴的夹角为，，
经过点，且，
设直线的解析式为：，
将代入，解得，
，
又，
，
设直线的解析式为，
将代入，解得，
，
，，
过点作于点，
，，
，
在中，，
过抛物线最低点作，为于的交点，
设直线的解析式为，
由得：
，
只有一个交点，
，
，
，
在中，，
，
由勾股定理可得，．
故答案为：，．
以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得抛物线的解析式；将高脚杯绕点倾斜后，仍以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，分别用待定系数法求得直线的解析式和直线的解析式，过点作于点，用勾股定理求得液面到平面的距离；过抛物线最低点作，再将的解析式与抛物线的解析式联立，得出关于的一元二次方程，由判别式求得，最后用勾股定理求得答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法、二次函数及勾股定理等知识点是解题的关键．
17.【答案】解： ．
，
，解得
联立解得
交点坐标为和．
画出直线，如图所示，
观察函数图象可知，当时，的最小
值为．

【解析】
【分析】
此题是一个二次函数综合题，主要考查二次函数的最值，二次函数与一次函数的图像，一次函数与二次函数的性质．
根据、是任意两个实数，用表示、两数中的较大者，可求得答案；
根据得到一元一次不等式，解得可得结论；
联立两函数解析式组成方程组，解得可以求得交点坐标，画出直线的图像，观察图形，得到的最小值．
【解答】
解，
故答案为：，
见答案
见答案
18.【答案】解：由为常数是的反函数，
得，
解得，此时，
时，是的反比例函数．
由为常数是的二次函数，
得，
解得，不符合题意的要舍去
当时，是的二次函数，
当时，，解得，
故纵坐标为的点的坐标是
【解析】本题考查了反比例函数的定义和二次函数的性质．
本题考查了反比例函数的定义，利用反比例函数解析式的形式解决此题，
本题考查了二次函数的定义和二次函数的性质，利用二次函数的定义和二次函数的性质解决此题．
19.【答案】解：根据一次函数的定义，得：
解得或
又是一次函数，
，
当时，这个函数是一次函数；
根据二次函数的定义，得：
解得，
当，时，这个函数是二次函数．
【解析】本题考查了一次函数的定义和二次函数的定义，二次函数的二次项的系数和一次函数的一次项系数不等于零是解题关键．
根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得答案；
根据二次项的系数不等于零，可得方程，即可求解．
20.【答案】解：由题意，得
解得
所以，该函数表达式为．
并且该函数图象的顶点坐标为．
由题意，得，，
所以
，
由条件，知所以 ，得证．
【解析】考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；
已知，则容易得到，利用，即代入对代数式进行化简，并配方得出最后注意利用条件判断，得证．
本题主要考查了待定系数法求解二次函数表达式，以及二次函数图象的顶点坐标，代数式的化简，并利用配方法判断代数式的取值范围．
第小问的关键是利用，首先对代数式化简，然后配方说明的范围，另外注意．
21.【答案】证明：，
，
，
抛物线与轴有两个交点；
解：令，则，
或，
，
且，
，，
，
；
解：当时，则，
向上平移一个单位得，
令，则，
得，
，，
，
直线，
联立：，
解得，，，
即，，
，
在中，
，
过作轴，过作于，过作轴于，
轴，
，
又，
∽，
，
，
到最小距离为，
的最小值为的长度，
的最小值为．
【解析】可求出根的判别式的值，由根的判别式的值直接判断；
令，求出含的两个交点的横坐标，代入即可；
求出平移后抛物线的解析式及，的坐标，求出直线的解析式及点的坐标，过作轴，过作于，过作轴于，证∽，推出，，而的最小值即到最小距离，即可写出的最小值．
本题考查了抛物线与坐标轴交点的求法，最短路径问题等，解题关键是能够通过作合适的辅助线，将相关线段的和的最小值转化为垂线段最短的问题等．
22.【答案】解：点在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为，
轴，
，
，，
点的坐标，
点，
直线的解析式为，
设点
，
，，
，
当时，四边形的面积的最大值是，
此时点
【解析】用待定系数法求出抛物线解析式即可；
设点，表示出，再用，建立函数关系式，求出极值即可．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，几何图形面积的求法用割补法，解本题的关键是求函数解析式．
23.【答案】解：抛物线：，
抛物线的顶点为，
抛物线的对称轴为直线，的最大值为，
当时，，
或，
点在对称轴的右侧，
，
；
平移后的抛物线的解析式为，
平移后的顶点，
平移前抛物线的顶点，
点移动的最短路程．
【解析】根据抛物线的顶点式，判断出顶点坐标，令，转化为方程求出即可；
求出平移前后的抛物线的顶点的坐标，可得结论．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，求出平移前后的抛物线的顶点坐标，属于中考常考题型．
24.【答案】解：把点和的坐标代入中，
得，
解得，
抛物线解析式为，
对称轴为，顶点坐标为
不在；
，线段与轴平行，，
，
把代入，得，
点不在抛物线上．

设点的坐标为，点的坐标为，
当抛物线经过点时，有，
当抛物线经过点时，有，
当抛物线与线段总有公共点时，有，
解得：．
平移过程中，设点的坐标为，抛物线的顶点坐标为，
如果直线与抛物线在轴及其右侧的图象总有两个公共点，
则有 ，
解得：．
【解析】直接利用待定系数法求出二次函数即可；
首先得出点坐标，再代入二次函数解析式进而得出答案；
分别得出当抛物线经过点时，当抛物线经过点时，求出的值，进而得出的取值范围；
根据题意得出关于的不等式进而组成方程组求出答案．
此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关于的不等式是解题关键．
25.【答案】解：把，代入抛物线，得
解得
抛物线解析式为：
抛物线对称轴为直线
存在
使四边形的周长最小，只需最小
取点关于直线的对称点，连与直线的交点即为点．
设过点、直线解析式为：
则点坐标为
当∽时，
如图，延长交轴于点，过点作轴于点
，
由相似，
、关于对称，则为中点
设点坐标为
由∽
点坐标为
为中点
点坐标为
把代入，解得
舍去或
则点坐标为
当∽时，
则点关于直线的对称点即为点
由为
由相似，
由面积法求到距离为
则点坐标为
点坐标为或
【解析】由待定系数法求解即可；
将四边形周长最小转化为最小即可；
利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点坐标，表示点坐标代入抛物线解析式即可．
本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
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