第4章 相似三角形单元测试卷（困难）（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近时越给人一种美感．已知某女士身高，下半身长与身高的比值是，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为( )
A. B. C. D.
在几何原本中给出了一个找线段的黄金分割点的方法：如图所示，以线段为边作正方形，取的中点，连结，延长至，使得，以为边作正方形，点即是线段的黄金分割点记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系是( )
A.
B.
C.
D. 不能确定
如图，已知正方形，点是边的中点，与相交于点，连接，下列结论：；；；，其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
在中，，，，点是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是( )
A. 点是三边垂直平分线的交点
B. 点是三条内角平分线的交点
C. 点是三条高的交点
D. 点是三条中线的交点
如图，正方形的边长是，，连接，交于点，并分别与边，交于点，，连接，下列结论：；；；当时，，其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，过点作于点，再过点作分别交边，于点，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
如图，若内一点满足，则点为的布洛卡点，三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：如图，在等腰中，，是的中线，若点为的布洛卡点，，，则( )
A. B. C. D.
如图，在一块斜边长为的直角三角形木板上截取一个正方形，点在边上，点在斜边上，点在边上，若，则这块木板截取正方形后，剩余部分的面积为( )
A. B. C. D.
如图所示是一个直角三角形的苗圃，由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成．如果两个直角三角形的两条斜边长分别为米和米，则草皮的总面积为平方米．( )
A. B. C. D.
如图，已知矩形∽矩形，，则的值是 ( )
A. B. C. D.
如图，一张矩形纸片的长，宽，把这张纸片沿一组对边和的中点连线对折，对折后所得矩形与原矩形相似，则：的值为( )
A. B. C. D.
如图，已知与是位似图形，且：：，那么：( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
已知：，则________．
如图，等边的边长为，点在边上，，线段在边上运动，，若与相似，则的长是______．
如图，在河对岸有一矩形场地，为了估测场地大小，在笔直的河岸上依次取点，，，使，，点，，在同一直线上．在点观测点后，沿方向走到点，观测点发现测得米，米，米，，则场地的边为______米，为______米．
如图，已知矩形中，，在矩形内作正方形，若四边形与矩形相似，且，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
在中，，，平分交于点
求证：；
已知：，求值．
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形的四个顶点都是格点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
在图中，先在边上画点，使，再过点画直线，使平分矩形的面积；
在图中，先画的高，再在边上画点，使．
在平面直角坐标系中的位置如图所示．
作关于点成中心对称的 ．
将向右平移个单位，作出平移后的．
在轴上求作一点，使的值最小，并写出点的坐标________．
已知抛物线经过原点．
若抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为，当时，求的度数；
若抛物线经过点和，且当时，的最大值与最小值的差为．
求抛物线的表达式；
设直线与抛物线交于，两点，点在直线上点不与点重合，过点且与轴平行的直线分别交直线和抛物线于点，当为的中点时，求证：．
如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，．
求，的值；
求直线的函数解析式；
点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上．当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
如图，身高米的人站在两棵树之间，距较高的树米，距较矮的树米，若此人观察的树梢所成的视线的夹角是，且较矮的树高米，那么较高的树有多少米？
如图，矩形的一边落在矩形的一边上，并且矩形矩形，其相似比为，连接、．
填空：、的位置关系是___________；
将矩形绕着点按顺时针旋转任意角度，得到图形请你通过观察、分析、判断中得到的结论是否能成立，并证明你的判断；
在中，矩形绕着点旋转过程中，连接、、，且，，，则的面积是否存在最大值或最小值？若存在，请直接写出最大值，最小值；若不存在，请说明理由．
已知正三角形的边长为．
如图，正方形的顶点、在边上，顶点在边上，在正三角形及其内部，以点为位似中心，作正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大不要求写作法
求中作出的正方形的边长
如图，在正三角形中放入正方形和正方形，使得、在边上，点、分别在边、上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．
【解答】
解：根据已知条件得下半身长是，
设需要穿的高跟鞋是，则根据黄金分割的定义得：，
解得：．
故选D．
2.【答案】
【解析】 四边形是正方形，
，
设正方形的边长为，
为的中点，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
，
，
，
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中档题．
由≌，即可推出，故正确，由，，推出，可得，，，故错误正确，由此即可判断．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
≌，
，故正确；
，，
，
，，，
故错误正确，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：过作于，过作于，延长交于，延长交于，如图：
，，，
四边形是矩形，
设，，
中，，
中，，
中，，
，
，时，的值最小，
此时，，
，，
，
，即，
，
，即是的中点，
同理可得，为中点，
是三条中线的交点，
故选：．
过作于，过作于，延长交于，延长交于，设，，则，当，时，的值最小，此时，，由，得，是的中点，同理可得，为中点，即是三条中线的交点．
本题考查直角三角形中的最小值，涉及勾股定理、二次函数的最大值、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是求出，．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
由四边形是正方形，得到，，根据全等三角形的性质得到，根据余角的性质得到；故正确；根据相似三角形的性质得到，由，得到；故错误；根据全等三角形的性质得到，，于是得到，即；故正确；根据相似三角形的性质得到，求得，，，由三角函数的定义即可得到结论．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，，
≌，
，
，
，
，
；
故正确；
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
；故错误；
在与中，
≌，
，
，
在与中，，
≌，
，
即；故正确；
，，
，
∽，
，
，，
∽，
，
，，
，
，故正确，
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正方形的性质和勾股定理等知识．
如图，连接，设交于证明∽，推出，由，可得，，由：：，推出：：，设，，证明四边形是平行四边形，推出，根据，构建方程求出即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接，设交于．
四边形，四边形都是正方形，
，
，，
，
，，共线，，，共线，
，
，
，
∽，
，
，
，，
：：，
：：，设，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
负根已经舍弃，
，，
，
，
，
，
故选A．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明∽是本题的关键．由等腰三角形的性质和勾股定理可求的长，通过证明∽，可得，即可求解．
【解答】
解：，是的中线，
，，，
，
设，则，
点为的布洛卡点，
，且，
，且，
∽
，
故选A．

8.【答案】
【解析】 设，则，
四边形为正方形，
，，
∽，
，
．
在中，，
即，
解得，
， ， ，
剩余部分的面积
故选A．
9.【答案】
【解析】解：是直角三角形，四边形是正方形，
，，，
，
∽，
，
，，
，
，
，
设，则，在中，
，即，解得，
，，，
．
故选：．
先根据相似三角形的判定定理得出∽，故可得出的值，设，则，在中根据勾股定理求出的值，故可得出，，的值，再根据，即可得出结论．
本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键根据相似多边形的性质列出比例式，计算得到答案．
【解答】
解：矩形∽矩形，
，即，
整理得，，
，
，
故选C．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．
【解答】
解：四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，
矩形与原矩形相似，
，即，
，
，
，
故选B．
12.【答案】
【解析】解：与是位似图形，
∽，且：：，
位似比是：：
：：．
故选C．
已知与是位似图形，且：：，则位似比是：：，因而：：．
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了比例的性质．解答该题时利用了更比定理一个比的前项与另一个比的后项互调后，所得结果仍是比例和合比定理在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这叫做比例中的合比定理根据更比定理得由合比定理求得．
【解答】
解：
更比定理；
合比定理；
即；
故答案为．

14.【答案】或或
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的性质、等边三角形的性质以及解分式方程，分∽及∽两种情况，找出关于长的分式方程是解题的关键．
利用等边三角形的性质可得出，，设，则，分∽及∽两种情况考虑，利用相似三角形的性质可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】
解：等边的边长为，
，．
设，则．
与相似分两种情况：
当∽时，，
即，
解得：，，
经检验，，均为原方程的解，且符合题意；
当∽时，，
即，
解得：．
综上所述，的长是或或．
故答案为：或或．
15.【答案】 ；
【解析】解：，，
，
和是等腰直角三角形，
，，
米，米，米，
米，米，
，，
米；
过作于，过作交于，交于，
，
四边形和四边形是矩形，
，，，
，，
∽，
，
设，，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
故答案为；．
根据已知条件得到和是等腰直角三角形，求得米，米，于是得到米；过作于，过作交于，交于，根据矩形的性质得到，，，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：四边形与矩形相似，
，
，
即，
是的黄金分割点，
，又，
，
故答案为：．
根据相似三角形的性质得到是的黄金分割点，根据黄金比值计算即可．
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等是解题的关键．
17.【答案】证明：，，
，
平分，
，，
，
，，
∽，
，
即．
【解析】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，，，则可得到，然后根据相似三角形的判定方法易得∽，利用相似比得到，于是有．
18.【答案】解：当时，，
因而；
当时，
．
故的值是或．
【解析】本题主要考查了等比性质，在运用等比性质时，条件是：分母的和不等于当时容易求得；当时，依据等比性质即可求解．
19.【答案】解：如图，直线即为所求．
如图，线段，点即为所求．

【解析】如图取格点，连接交于点，连接，取的中点，作直线即可．
取格点，，连接交格线于，连接交于点，线段即为所求．取格点，，，，连接，交于点，取的中点，作直线交于，连接，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：如图所示：
如图所示：

【解析】
【分析】
本题考查的是平移变换有关知识．
延长到，使得，延长到，使得，即可得出图象；
根据将各顶点向右平移个单位，得出；
作出关于轴的对称点，连接，交轴于点，求出直线的解析式，即可求出点坐标．
【解答】
见答案；
见答案；
解：如图所示：作出关于轴的对称点，连接，交轴于点，
由题意，，，
设直线的解析式为，
则，解得
所以直线的解析式为，
令，得，
可得点坐标为：．
故答案为．
21.【答案】解：由题意得：，
，
，
点在第一象限．
过点作轴，垂足为，则，，
．
；
解：和是对称点，
对称轴为：直线，
又图象经过原点，
抛物线的表达式为：，
，
最大值为，
，
当时，取最小值，
当时，的最大值与最小值的差为，
，
，
抛物线的表达式为：；
证明：先证明：在坐标系中，直线与直线，当，则，
如图，
将和平移到和，
取，，
，，，，
，，
∽，
，
，
，
，
上述命题得证，
如图，
设，则，
当为的中点，
，
把，代入得，
，
，
，
由得，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查了二次函数与一元二次方程，一次函数图象及其性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键较强的计算能力．
推出抛物线的表达式为：，进一步得出结果
推出抛物线的表达式为：，推出函数最大值是，最小值是当时的的值，进一步求得结果
设，表示出，进而得出直线的表达式为：，得出一元二次方程后，根据根与系数关系式得出，，，，计算得出，进一步得出结论．
22.【答案】解：，
点，点，
抛物线解析式为：，
，；
如图，过点作于，
，
，
，，
，
，
点横坐标为，
点坐标，
设直线的函数解析式为：，
由题意可得：，
解得：，
直线的函数解析式为；
点，点，点，
，，，对称轴为直线，
直线：与轴交于点，
点，
，
，
，
如图，过点作于，
，
，
，
，
如图，设对称轴与轴的交点为，即点，
若，
，，
，，
当∽，
，
，
点；
当∽，
，
，
点；
若，
，，
当∽，
，
，
点；
当∽，
，
，
点；
综上所述：满足条件的点的坐标为或或或．
【解析】先求出点，点坐标，代入交点式，可求抛物线解析式，即可求解；
过点作于，由平行线分线段成比例可求，可求点坐标，利用待定系数法可求解析式；
利用两点距离公式可求，，的长，利用锐角三角函数和直角三角形的性质可求，，分或两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，相似三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
23.【答案】解：过点作，，、为垂足，则．
，
，
．
，
∽，
，即，解得，
米．
答：树高有米．
【解析】过点作，，、为垂足，根据相似三角形的判定定理得出∽，由相似三角形的对应边成比例求出的长，进而可得出结论．
本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
24.【答案】解垂直；
判断：成立，
证明：如图所示，与交于点，
四边形和四边形都是矩形，
，
，
又矩形∽矩形，
，
∽，
，
又，
，
；
的面积存在最大值和最小值，最大值为，最小值为．
【解析】
【分析】
本题考查图形的旋转，相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键．
由矩形∽矩形可以得出，，从而可以得到∽，再利用角相等通过代换就可以得出结论；
由条件可以得出证明∽，再利用角相等通过代换就可以得出结论；
矩形绕着点旋转一周，点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆，所以的边上的高就是点到的距离，也就是圆上的点到的距离，有最大值和最小值，最大值为点到的距离与圆的半径的和，最小值为点到的距离与圆的半径的差，再利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】
解：矩形∽矩形，
，，
，
，
延长交于．
又，
，
，
故答案为垂直；
见答案．
矩形∽矩形，其相似比，
，
，
点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．
设点到的距离为，
，
解得，
线段的长度固定，
当点到的距离为时，的面积有最大值，
最大值为．
当点到的距离为时，的面积有最小值，
最小值为．
故的面积存在最大值和最小值，最大值为，最小值为．
25.【答案】解析 如图，正方形即为所求．
设正方形的边长为，
为正三角形，，
，，
解得．
如图，连接、、，易知．
设正方形、正方形的边长分别为、，
它们的面积和为，
则，，
，
，
延长交于点，则．
在中，．
，
，
化简得，
．
当，即时，最小，．
当最大时，最大，即当最大且最小时，最大．
，由知，，．
．
综上所述，，．

【解析】见答案
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)