第3章 圆的基本性质单元测试卷（困难）（含答案）

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浙教版初中数学九年级上册第三单元《圆的基本性质》
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
平面上有四个点，过其中任意个点一共能确定圆的个数为( )
A. 或或 B. 或或 C. 或或或 D. 或或
如图，在平面直角坐标系中，、，以点为圆心、为半径的上有一动点连接，若点为的中点，连接，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为( )
A. B. C. D.
如图，已知中，，，将直角边绕点逆时针旋转至，连接，为的中点，连接，则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
如图，是圆的内接正三角形，弦过的中点，且，若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为( )
A. B. 或
C. D. 或
如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形，点在轴上运动，点在轴上运动，点为对角线的交点，在运动过程中点到轴的最大距离是( )
A. B. C. D.
如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为( )
A. B. C. D.
给出下列个命题：对顶角相等；同位角相等；在同一个圆中，同一条弦所对的圆周角都相等；圆的内接四边形对角互补其中，真命题为( )
A. B. C. D.
下列命题是真命题的个数是 ( )
直径所对的圆周角等于平分弦的直径垂直于弦 两条平行弦所夹的弧相等 在同圆或等圆中相等的弦所对的圆周角相等 矩形的四个顶点都在同一个圆上．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
以半径为的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )
A. B. C. D.
如图，的半径为，边长为的正六边形的中心与重合，、分别是、的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，点、的坐标分别为、，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为______．
如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为________________________．
如图，点是正方形的对角线延长线上的一点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于点，则下列结论中：
；；；
正确的是 填写所有正确结论的序号
如图，在扇形中，，，将扇形绕边的中点顺时针旋转得到扇形，弧交于点，则图中阴影部分的面积为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
如图，在中，，，点和点分别从点、点同时出发，在线段上以做等速运动，分别到达点、点后停止运动．设运动时间为秒．
求证：≌；
若，求的度数；
当的外心在其外部时，请直接写出的取值范围．
综合与实践
问题情境：
如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到点的对应点为点延长交于点，连接．
猜想证明：
试判断四边形的形状，并说明理由；
如图，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
如图，若，，请直接写出的长．
如图，在菱形中，，将一个的的顶点放在点处，并绕点旋转，当与交于点，同时与交于点连接．
求的长；
求证：≌；
求的周长的最小值．
如图，是的外接圆，平分的外角，，，垂足分别是点、，且．
求证：；
如图，延长交于点，若，，求的半径长．
已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且．
求证：是的切线；
求证：；
若的半径为，的长为，求．
如图，已知内接于，点在劣弧上不与点，重合，点为弦的中点，，与的延长线交于点，射线与射线交于点，与交于点，设，，．
点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
猜想：关于的函数表达式，关于的函数表达式，并给出证明
若，，的面积为的面积的倍，求半径的长．
如图，图、图、图、、图分别是的内接正三角形，正四边形、正五边形、、正边形，点、分别从点、开始以相同的速度在上逆时针运动．
求图中的度数是______；图中，的度数是______，图中的度数是______．
试探索的度数与正多边形边数的关系直接写答案______．
如图，已知等边内接于，为内接正十二边形的一边，，求的半径．
如图，已知、、是上的三点，，
求证：的半径；
如图，若点是所对弧上的一动点，连接，，．
探究，，三者之间的数量关系，并说明理由；
若，点与关于对称，连接，点是的中点，当点从点运动到点时，求点的运动路径长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查确定圆的条件，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆：当四点共圆时，只能作一个圆当三点在同一直线上时，可以作三个圆当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆，由此即可解决问题．
【解答】
解：如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、圆的性质、两点之间线段最短，确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点．确定点的运动路径是：以为圆心，以为半径的圆，当、、共线时，的长最小，先求的半径为，说明是的中点，根据直角三角形斜边中线是斜边一半可得，所以的最小值是．
【解答】
解：当点运动到的延长线上时，即如图中点，是的中点，
当点在线段上时，是中点，取的中点为，
点的运动路径是以为圆心，以为半径的圆：：，则点轨迹和点轨迹相似，所以点的轨迹就是圆，当、、共线时，的长最小，
设线段交于，
中，，，
，
的半径为，
，，
是的中点，
，，
是的中点，
，
，即的半径为，
，
，
，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：如图，在上取一点，使，连接，过点作于，
由旋转知，，，
，
，
，
，
≌，
，
要使最小，则有最小，而点是定点，点是上的动点，
当点和点重合时，最小，
即：点与点重合，最小，最小值为，
在中，，，
，
，
，
在中，，，
，
故线段长度最小值是，
故选：．
在上取一点，使，连接，过点作于，由旋转的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，当点和点重合时，最小，由直角三角形的性质即可得出结论．
此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，找出点和点重合时，最小，最小值为的长度是解本题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．取的中点，连接，，当时，的值最大，根据旋转的性质得到，由三角形的中位线的性质得到，根据勾股定理得到，即可得到结论．
【解答】
解：如下图所示，取的中点，连接，，
当时，的值最大，
将直角边绕点逆时针旋转至，
，
为的中点，
，
，，
，
，
，
故选B．
5.【答案】
【解析】解：如图．过作于，交于，
，
．
根据圆和等边三角形的性质知：必过点．
，是的中点，
是的中位线，
；
是等边三角形，，
；
，由垂径定理得：，
．
弦、相交于点，
，即；
解得负值舍去．
故选：．
设与交于点，由于，且是中点，易得是的中位线，即；易知是等腰三角形，可过作的垂线，交于，交于；然后证，根据相交弦定理得，而、的长易知，，由此可得到关于的方程，即可求得的长．
本题考查三角形外接圆与外心，等边三角形的性质、垂径定理、三角形中位线定理、相交弦定理等知识，能够证得、的数量关系是解答此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图，连接．
的直径，，，
，．
C、在弦的哪一侧位置不确定，
求弦的长需分如图两种情况．
当点的位置如图时，
，，，
．
．
．
当点的位置如图时，同理可得．
，
．
在中，．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是确定点的运动路径；设的中点为，连接、、，过点作轴于，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，以点为圆心，以的长为半径画圆，则、、、四点在以点为圆心，以的长为半径的上，根据圆周角定理得出，点在第一象限的角平分线上运动，根据求出的最大值，即可求解．
【解答】
解：设的中点为，连接、、，过点作轴于，如图：
四边形是边长为的正方形，
，，，，
根据勾股定理可得，，即，
，，
是和的斜边，是的中点，
，，
，
以点为圆心，以的长为半径画圆，则、、、四点在以点为圆心，以的长为半径的上，
根据圆周角定理得出，
点在第一象限的角平分线上运动，
，，
的最大值为，
在运动过程中点到轴的最大距离是．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：如图，在是上方，作，使得，，连接，过点作于，于．
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的，
当点落在线段上时，的值最小，
四边形是矩形，
，
，：：，
，
，，，
，，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
的最小值，
故选：．
如图，在是上方，作，使得，，连接，过点作于，于证明点的运动轨迹是以为圆心，为半径的，推出当点落在线段上时，的值最小，想办法求出，，可得结论．
本题考查点与圆的位置关系，矩形的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．
根据对顶角、平行线的性质、圆周角定理和圆内接四边形进行判断即可．
【解答】
解：对于，对顶角相等，故是真命题
对于，两直线平行，同位角相等，故是假命题
对于，在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等或互补，故是假命题
对于，圆的内接四边形对角互补，故是真命题．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【解答】
解：直径所对的圆周角等于，是真命题；
平分弦的直径垂直于弦，是假命题；
两条平行弦所夹的弧相等，是真命题；
在同圆或等圆中相等的弦所对的圆周角相等，是假命题；
矩形的四个顶点都在同一个圆上，是真命题；
故选B．
11.【答案】
【解析】解：如图，
，
；
如图，
，
；
如图，
，
，
则该三角形的三边分别为：，，，
，
该三角形是直角三角形，
该三角形的面积是：．
故选：．
由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了正多边形与圆的关系，阴影部分的面积，解答本题的关键是掌握利用“割补法”求阴影部分面积的思路与方法；连接、、、，交于，交于，过点作于，然后观察图形，利用“割补法”求出阴影部分的面积即可．
【解答】
解：连接、、、，交于，交于，过点作于，如图：
则，，
，，
，
，
在中，，，，
，
，
．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：如图，点为坐标平面内一点，，
在上，且半径为，
取，连接，
，，
是的中位线，
，
当最大时，即最大，而，，三点共线时，当在的延长线上时，最大，
，，
，
，
，即的最大值为，
故答案为：．
根据同圆的半径相等可知：点在半径为的上，通过画图可知，在与圆的交点时，最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最大值时点的位置是关键，也是难点．
14.【答案】
【解析】解：过点作交于点，连接，
，
，
，
．
故答案为：．
通过作辅助线，过点作交于点，根据折叠的性质可知，根据勾股定理可将的长求出，通过垂径定理可求出的长．
本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用．
15.【答案】
【解析】
【分析】
此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行四边形和矩形的判定和性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
连接，利用四点共圆证明是等腰直角三角形，可得结论；
如图，作辅助线，证明四边形是平行四边形，可得结论；
证明四边形是矩形，可作判断；
证明≌，则，可作判断．
【解答】
解：连接，，
、、、四点共圆，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故正确；
如图，在取一点，使得，连接、、，
四边形是正方形，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，
；
故正确；
连接交于，如图，由知：，
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
故正确；
在和中，
，
≌，
，
，
故不正确；
结论正确的有：，
故答案为．
16.【答案】．
【解析】解：延长交于，则由，，为中点，可得
；
，，
，
，
．
故答案为．
延长交于，分和两部分来求，之后加起来即可．
本题属于旋转变换求阴影面积的问题，需要分部分来求，考查了三角函数及扇形面积和三角形面积的求法，难度略大．
17.【答案】 证明：，．
又，
≌．
解：如解图，
图
，，．
≌，，
．
；
解：要使的外心在其外部，则为钝角三角形，
当是钝角时，如解图，过点作，垂足为点，
图

．
．
当是钝角时，如解图，
图
过点作交于点，如解图，在中，
，
，
根据勾股定理得：，
解得．
如解图，在中，
，
，
根据勾股定理得：，
解得．
．
又点从点运动到点所需的时间
．
综上所述，当的外心在其外部时，的取值范围为：或．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的外接圆与外心的知识点．
根据等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定定理即可求证；
根据的结论可得，即可求出，再根据即可求解；
分情况讨论，当是钝角时，过点作，当是钝角时，过点作，利用勾股定理即可求解．
18.【答案】解：四边形是正方形，
理由如下：
将绕点按顺时针方向旋转，
，，，
又，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
；
理由如下：如图，过点作于，
，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，，
≌，
，
将绕点按顺时针方向旋转，
，
四边形是正方形，
，
，
；
如图，过点作于，
四边形是正方形，
，
，，，
，
，
，
由可知：，，
，
．
【解析】由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形；
过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得≌，可得，由旋转的性质可得，可得结论；
利用勾股定理可求，再利用勾股定理可求的长．
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
19.【答案】解：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
；
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，，
，
，
，
是等边三角形，
当时最短，由是等边三角形，
也是最短的．
是边长为等边的高，
，，
所以．
周长的最小值为：．
【解析】利用菱形的性质首先得出是等边三角形，进而得出的长；
根据菱形的性质证明≌；
结合得是等边三角形，利用当时最短，由是等边三角形，也是最短的，是边长为等边的高，即可得出周长的最小值．
此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质和锐角三角函数等知识，根据题意得出最小时则的周长最小得出是解题关键．
20.【答案】证明：平分的外角，
，
，，且．
，
，
，
，
；
解：延长交于点，连接，
由知
，
又，
，
，
，
∽，
：：，
，
．
【解析】由三角形外角的性质可得，根据圆的概念及性质可证明，再利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质可求解，进而可证明结论；
延长交于点，连接，证明∽，列比例式可求解．
本题主要考查圆的有关概念与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握圆的有关概念与性质是解题的关键．
21.【答案】解：，，
，
，
，
，
，即，
，
是的切线；
连接，
，
，
，
，
∽，
，
；
，
，
，
，
而，
∽，
，
又，，
∽，
，
，
，，
，
．
【解析】由，知，由知，即，从而得，据此即可得证；
连接，证∽即可得；
先证∽得，再证∽得，据此知，由，知，根据可得答案．
本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、相似三角形的判定与性质、圆的切线的判定等知识点．
22.【答案】解：猜想：，．
证明：连接，如图，
由圆周角定理可知，
，
，
，
，
．
是的中点，，
，，三点共线，且直线是线段的垂直平分线，
，，．
，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，即．
当时，，，图形如图所示，
，，
由可知，，，四点共圆，
，
的面积为的面积的倍，
，
，
设，，，
由可知，
，，
，
由勾股定理可知，
解得舍负，
，，
，
在中，
由勾股定理可知，
，
设的半径为，，
在中，由勾股定理可知，
舍负，
半径的长为．

【解析】见答案．
23.【答案】
【解析】
解：图：点、分别从点、开始以相同的速度在上逆时针运动，
，
又，
；
同理可得：在图中，；在图中，．
由可知，所在多边形的内角度数，故在图中，．
【分析】
根据对顶角相等和三角形内角和外角的关系解答即可．
此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角的度数，然后得出边形的的度数．
24.【答案】解：连接，，，
等边内接于，为内接正十二边形的一边，
，，
，
，
，
．
即的半径．
【解析】首先连接，，，由等边内接于，为内接正十二边形的一边，可求得，的度数，继而证得是等腰直角三角形，继而求得答案．
此题考查了正多边形与圆以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
25.【答案】证明：连接，，，
，
，
，
，
，
又，
是等边三角形，
即；
，
将绕点顺时针旋转得，
则≌，即，，，
四边形是圆内接四边形，
，
，，三点共线，
，
又，，
，
即；
连接，，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
是等边三角形，
又，则，
，
关于的对称点在上，
，即，
又点从点运动到点，
点在以为直径的圆弧上运动，设圆心为，如图所示，
当与重合时，也与重合，
当与重合时，如图所示，
，，
则，
又在等腰中，，，
，即，
点的运动路径长为优弧：．

【解析】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，旋转的性质，等腰三角形的性质，弧长公式等知识，确定点的运动轨迹是本题的关键．
连接，，，可得，可证是等边三角形，可得结论；
将绕点顺时针旋转得，由旋转的性质可得≌，即，，，可证，，三点共线，由直角三角形的性质可求解；
先确定点的运动轨迹，利用弧长公式可求解．
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