(共15张PPT)
2.3等腰三角形的性质定理（1）
合作学习
在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于D.
(1)若将△ABD作关于直线AD折叠,所得的像是什么
D
A
B
C
(2)找出图中的全等三角形以及所有
相等的角.
所得的像是△ACD
△ABD≌△ACD
相等的角:
∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,
∠ADB=∠ADC.
等腰三角形的性质定理1:
你能利用已有的公理和定理证明吗
A
C
B
“等腰三角形的两个底角相等 ”
（也可以说成“在同一个三角形 中，等边对等角”）
等腰三角形的两个底角相等
已知： ABC中 ， AB=AC.
求证： B= C.
证明一:作顶角的平分线A D.
证明二:作底边的中线AD
证明三:作底边的高AD.(待以后证明)
A
C
B
等腰三角形的两个底角相等
已知： ABC中 ， AB=AC.
求证： B= C.
A
C
B
D
证明：作 BAC的平分线AD交BC于D
∴ BAD= CAD
在 ABD和 ACD中,
AB=AC(已知)
BAD= CAD(已证)
AD=AD（公共边）
∴ ABD≌ ACD（SAS）∴ B= C（全等三角形的对应角相等）
等腰三角形的性质定理1:
A
C
B
“等腰三角形的两个底角相等 ”
（也可以说成“在同一个三角形 中，等边对等角”）
用几何语言表示为：
在△ABC中，
∵ AC=AB（已知）
∴ ∠B=∠C (等边对等角）
练习. 如图，在△ABC中，AB=AC，
∠A=50°，求∠ B，∠C的度数。
A
B
C
∵ AB=AC
∴ ∠ B= ∠C（等腰
三角形的两个底角
相等）
∵ ∠A+∠B+∠C=180°，∠A=50°
∴ ∠B=∠C=65°
∴ ∠B+∠C=130°
等边三角形
等腰三角形
底边与腰相等
三条边都相等的三角形叫做等边三角形
（正三角形）
等边三角形是特殊的等腰三角形。
求等边三角形的三个内角的度数.
推论：等边三角形的各个内角都等于60°
1． 如图，在△ABC中，AB＝AC，
∠ACD＝100°，则∠B＝_______度.
80
练习：
2. 如图，在△ABC中，AB=AC，外角
∠ACD=100°，则∠A= 度。
100°
A
B C D
3. 已知等腰三角形的一个底角为30 °，
求它的顶角的度数。
4. 等腰三角形的顶角是底角的2倍，求
各个内角的度数。
20
120°
45°，45°，90°
⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.
巩固练习
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为
__________________.
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________.
① 顶角+2×底角=180°
② 顶角=180°－2×底角
③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180°
⑤0°＜底角＜90°
结论:在等腰三角形中,
40 °
35 °，35 °
70°,40°或55°,55°
例题讲解
例2 求证：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两条角平分线.
求证：BD=CE.
等腰三角形
两腰上的中线
相等.
等腰三角形
两腰上的高
相等.
等腰三角形
两底角的角
平分线相等.
2、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为400，则顶角为 。
1、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为400，则顶角为 。
提高题：
80°
50°或130°
2． 已知：如图，在△ABC中，
AB＝AC，P为BC的中点，
D，E 分别为AB，AC 上的点，
且AD＝AE.求证：PD＝PE.
课内练习：
2. 提示:由AB=AC,可得∠B=∠C
(等腰三角形的两个底角相等).
由此可证明△BPD ≌ △CPE,
∴ PD=PE.(共18张PPT)
2.3等腰三角形的性质定理（2）
复习回顾
1、什么叫等腰三角形？
2、等腰三角形具有什么性质？
两边相等的三角形叫做等腰三角形；
（1）对称性：等腰三角形是轴对称图形；顶角平分线所在的直线是对称轴。
（2）边的性质：等腰三角形的两腰相等.
（3）角的性质：等腰三角形的两个底角相等.也可以说成“在同一个三角形中，等边对等角”.
如图，在△ABC中，AB=AC,AD是角平分线. 在图中找出所有相等的线段和相等的角.由此你发现了等腰三角形还有哪些性质？
A
B
D
C
请大家尽可能多地说出结论！
大胆猜想
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合,简称等腰三角形三线合一
等腰三角形的性质定理2
你怎么理解这个定理？
能用你的话说说吗？
A
D
C
B
1
2
(1)∵AB=AC，∠1=∠2(已知)
∴________________
＂等腰三角形三线合一＂的几何语言表述
AD⊥BC，BD=CD(等腰三角形三线合一)
(2)∵AB=AC，AD⊥BC (已知)
∴________________
∠1=∠2 ，BD=CD (等腰三角形三线合一)
(3)∵AB=AC，BD=CD (已知)
∴________________
∠1=∠2 ， AD⊥BC(等腰三角形三线合一)
你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗
练习：
1、等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。
2、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。
3、等腰三角形的角平分线、高线和中线的
总数一共能画出9条。
4、等腰三角形底边上的中线一定垂直于
底边。
（X）
（√）
（X）
（√）
例3已知：如图，AD平分∠BAC,∠ADB=∠ADC
求证：AD⊥BC
课内练习：
1、已知：如图，在△ABC,AB=AC,AD⊥BC于点D.E为AD上的一点，EF⊥AB,EG⊥AC,F,G分别为垂足.求证：EF=EG.
2、解答本节节前语中的问题.
(见书本56页).
节前问题：
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查
一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
例4 已知线段a, h(如图),用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a, BC边上的高为h.
作法
已知：在△ABC中，AB=AC， AD⊥BC于D，AB=5，BD=4，求△ABC的周长
A
B
C
D
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AB上的一点，且DE=AE。
求证：DE∥AC。
已知，如图，在△ABC中，AB=AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交AB于点F。
求证：∠D=∠ AFD。
等腰三角形的性质
文字叙述
几何语言
等腰三角形的两底角相等
(同一个三角形中，等边对等角)
∵AB=AC
∴∠B=∠C
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线互相重合
（简称等腰三角形三线合一）
∵AB=AC，∠1=∠2
∴AD⊥BC，BD=CD
∵AB=AC， BD=CD ∴ ∠1=∠2 ，AD⊥BC
∵AB=AC，AD⊥BC ∴ ∠1=∠2 ，BD=CD
课堂小结
拓展提高
已知：如图，AC=AD，BC=BD，AB与CD相交于O点，求证：AB⊥CD
.
如图，已知：AC=AD，BC=BD，AB与CD相交于O点，求证：AB⊥CD
思路：
AB⊥CD
AO⊥CD
即证OC=OD或∠CAO=∠DAO
△ CAB≌ △ DAB
AB=AB AC=AD BC=BD
(等腰三角形三线合一）
（SSS公理）
即证明AO是等腰三角形ACD底边上的高线
只需证明AO是等腰三角形ACD的顶角平分线或底边上的中线
已知：如图，AC=AD，BC=BD，AB与CD相交于O点，求证：AB⊥CD
证明：
∵在△ABC和△ABD中
AC=AD（已知）
BC=BD（已知）
AB=AB（公共边）
∴△ ABC≌ △ABD
（SSS）
∴∠CAB=∠DAB
（全等三角形对应角相等）
又∵AC=AD
∴ △ADO为等腰三角形
（等腰三角形的定义）
∴AO是△ABO的顶角平分线
∴AO⊥CD
（等腰三角形三线合一）
∴AB⊥CD
