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2.5 逆命题和逆定理
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．第七次全国人口普查是全面调查
C．是分数 D．“对顶角相等”的逆命题是真命题
3．命题“如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等”的逆命题是（ ）
A．如果两个数不相等，那么这两个数的绝对值不相等
B．如果两个数绝对值不相等，那么这两个数不相等
C．如果两个数绝对值相等，那么这两个数不一定相等
D．如果两个数绝对值相等，那么这两个数相等
4．命题“邻补角互补”的逆命题是（ ）
A．真命题 B．假命题
C．有时是真命题，有时是假命题 D．互补的两个角相邻
5．如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．70°
6．下列命题中，其逆命题成立的是（ ）
①等边对等角；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④无理数是无限小数．
A．① B．② C．③ D．④
7．下列命题：①若，则；②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；③等边三角形的三个内角都相等．④全等三角形的对应角相等．以上命题的逆命题是真命题的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．命题“如果a＜0，b＜0，那么ab＞0”的逆命题是（ ）
A．如果a＜0，b＜o，那么ab＜0 B．如果ab＞0，那么a＜0，b＜0
C．如果a＞0，b＞0，那么a＜0 D．如果ab＜0，那么a＞0，b＞0
9．如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，DE⊥AB，DE交AC于点E，连接BE．若BC＝8，△BCE的周长为18，则AC的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．已知下列命题：①若，则；②若，则；③对顶角相等；④两直线平行，内错角相等．其中原命题与逆命题都是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等． B．全等三角形的对应边相等
C．对顶角相等 D．线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等．
12．已知下列命题：①同旁内角互补；②若a＝b，则a2＝b2；③有一个内角是直角的三角形是直角三角形；④若a＞0，b＞0，则a+b＞0，其中逆命题属于假命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．命题“自然数是整数”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）．
14．命题“能被5整除的数，它的末位数字是5”的逆命题是 ．
15．命题：“全等三角形的周长相等”的逆命题是___________；该逆命题是____________命题．（填“真”或“假”）
16．如图是家用的双排折叠晾衣架的一部分，在晾衣架折叠或拉伸的过程中，与的大小关系是_________，理由是__________________，其逆命题是___________________________．
17．已知，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交直线BC于点D．当∠BAC＝40°时，则∠CAD的度数为_____．
18．下列命题的逆命题成立的序号是____
① 同旁内角互补，两直线平行
② 等边三角形是锐角三角形
③ 如果两个实数相等，那么它们的平方相等
④ 全等三角形的三条对应边相等
19．分析三个命题的逆命题：①如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；②两直线平行，内错角相等；③全等三角形的对应角相等．写出成立的逆命题：________．
20．如图，在等腰三角形中，，，是的中点，于点，延长至点，使，连接，则的度数为________°.
21．下列的真命题中，它的逆命题也是真命题的有________
①两直线平行，同旁内角互补；②等边三角形是锐角三角形；③两个图形关于某直线成轴对称，则这两个图形是全等图形；④若，则；⑤等腰三角形两底角相等．
三、解答题
22．写出下列各命题的逆命题，并判断逆命题的真假．
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)如果两个角是直角，那么这两个角相等．
23．（1）如图，已知∠A＝∠C，若AB∥CD，则BC∥AD．请说明理由．
理由如下：
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABE＝∠ （ ）．
∵∠A＝∠C（已知），
∴ （ ）．
∴BC∥AD（ ）．
（2）请写出问题（1）的逆命题，并判断它是真命题还是假命题，真命题请写出证明过程，假命题举出反例．
24．如图，点E是内的一点，，连接、、，且，延长交边于点D．求证：．
25．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”．
（1）写出此命题的逆命题；
（2）逆命题是真命题还是假命题？若为真命题，请画出图形，写出“已知”，求证并证明；若为假命题，请举反例说明．
试卷第1页，共3页
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2.5 逆命题和逆定理
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
【答案】A
【解析】A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；
D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．
故选A．
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．第七次全国人口普查是全面调查
C．是分数 D．“对顶角相等”的逆命题是真命题
【答案】B
【解析】A.两直线平行，同位角相等，故选项是假命题；
B.第七次全国人口普查是全面调查，选项是真命题；
C.是无理数，不是分数，选项是假命题；
D.“对顶角相等”的逆命题是“相等的两个角是对顶角”是真命题，选项是假命题；
故选B．
3．命题“如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等”的逆命题是（ ）
A．如果两个数不相等，那么这两个数的绝对值不相等
B．如果两个数绝对值不相等，那么这两个数不相等
C．如果两个数绝对值相等，那么这两个数不一定相等
D．如果两个数绝对值相等，那么这两个数相等
【答案】D
【解析】命题“如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等”的条件为：两个数相等，结论为：这两个数的绝对值相等，
故逆命题为：如果两个数绝对值相等，那么这两个数相等，
故选D．
4．命题“邻补角互补”的逆命题是（ ）
A．真命题 B．假命题
C．有时是真命题，有时是假命题 D．互补的两个角相邻
【答案】B
【解析】“邻补角互补”的逆命题是“互补的角是邻补角”，这句话是错误的，是假命题，故选B．
5．如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．70°
【答案】B
【解析】∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=70°，
∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DBA=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°，故选B．
6．下列命题中，其逆命题成立的是（ ）
①等边对等角；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④无理数是无限小数．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【解析】①等边对等角的逆命题为对角对等边，是真命题，符合题意；
②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为，如果两个角相等，那么这两个角都是直角，是假命题，不符合题意；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题为，如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题，不符合题意；
④无理数是无限小数的逆命题为无限小数是无理数，是假命题，不符合题意；
故选A．
7．下列命题：①若，则；②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；③等边三角形的三个内角都相等．④全等三角形的对应角相等．以上命题的逆命题是真命题的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】①若 |a|>|b| ，则 a>b ，逆命题是若a>b，则|a|>|b| ，如果a=-1，b=-2， 则不成立，是假命题 ；
②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等的逆命题是到线段两段距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题；
③等边三角形的三个内角都相等的逆命题是三个内角都相等的三角形是等边三角形，是真命题；
④全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形全等，是假命题；
综上，逆命题是真命题的有2个．故选C．
8．命题“如果a＜0，b＜0，那么ab＞0”的逆命题是（ ）
A．如果a＜0，b＜o，那么ab＜0 B．如果ab＞0，那么a＜0，b＜0
C．如果a＞0，b＞0，那么a＜0 D．如果ab＜0，那么a＞0，b＞0
【答案】B
【解析】命题“如果a＜0，b＜0，那么ab＞0”的逆命题是“如果ab＞0，那么a＜0，b＜0”，故选B．
9．如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，DE⊥AB，DE交AC于点E，连接BE．若BC＝8，△BCE的周长为18，则AC的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】∵点D是边AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，
∵△BCE的周长等于18，
∴BE＋CE＋BC＝AE＋CE＋BC＝AC＋BC＝18．
∵△ABC中，BC＝8，∴AC＝18 8＝10．故选C．
10．已知下列命题：①若，则；②若，则；③对顶角相等；④两直线平行，内错角相等．其中原命题与逆命题都是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】①若a≤0，则|a|＝ a，是真命题，
逆命题是若|a|＝ a则a≤0，是真命题，
②若ma2＞na2，则m＞n，是真命题，
逆命题是若m＞n，则ma2＞na2，是假命题，
③对顶角相等，是真命题，
逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，
④两直线平行，内错角相等，是真命题，
逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，
原命题与逆命题均为真命题的个数是2个；故选B．
11．下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等． B．全等三角形的对应边相等
C．对顶角相等 D．线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等．
【答案】C
【解析】A、“两直线平行，内错角相等”条件与结论互换为“内错角相等，两直线平行”是它的逆定理，故此选项不符合题意；
B、“全等三角形对应边相等”条件与结论互换为“对应边相等的两个三角形，是全等三角形”是它的逆定理，故此选项不符合题意；
C、“对顶角相等”条件与结论互换为“如果两个角相等，那么它们是对顶角”不是它的逆定理，故此选项符合题意；
D、“线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等”条件与结论互换为“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”是它的逆定理，故此选项不符合题意；
故选C．
12．已知下列命题：①同旁内角互补；②若a＝b，则a2＝b2；③有一个内角是直角的三角形是直角三角形；④若a＞0，b＞0，则a+b＞0，其中逆命题属于假命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①同旁内角互补的逆命题为互补的角为同旁内角，此逆命题为假命题；
②若a＝b，则a2＝b2，它的逆命题为若a2＝b2，则a＝b，此逆命题为假命题；
③有一个内角是直角的三角形是直角三角形，它的逆命题为直角三角形有一个内角为直角，此逆命题为真命题；
④若a＞0，b＞0，则a+b＞0，它的逆命题为若a+b＞0，则a＞0，b＞0，此逆命题为假命题．
故选C．
二、填空题
13．命题“自然数是整数”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【解析】“自然数是整数”的逆命题是“整数是自然数”，是假命题，故答案为：假．
14．命题“能被5整除的数，它的末位数字是5”的逆命题是 ．
【答案】如果一个数字的末位数字是5，那么这个数能被5整除
【解析】命题“能被5整除的数，它的末位数字是5”的逆命题是
如果一个数字的末位数字是5，那么这个数能被5整除．
故答案为：如果一个数字的末位数字是5，那么这个数能被5整除．
15．命题：“全等三角形的周长相等”的逆命题是___________；该逆命题是____________命题．（填“真”或“假”）
【答案】 周长相等的三角形是全等三角形 假
【解析】命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的三角形是全等三角形”，是假命题．故答案为：周长相等的三角形是全等三角形；假．
16．如图是家用的双排折叠晾衣架的一部分，在晾衣架折叠或拉伸的过程中，与的大小关系是_________，理由是__________________，其逆命题是___________________________．
【答案】 或相等 对顶角相等 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（或相等的两个角是对顶角）
【解析】∵图中与是对顶角，∴，
对顶角相等的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
故答案为：∠1=∠2或相等；对顶角相等；如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（或相等的两个角是对顶角）．
17．已知，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交直线BC于点D．当∠BAC＝40°时，则∠CAD的度数为_____．
【答案】30°
【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°，
∵AB的垂直平分线交直线BC于点D，∴DB＝AD，∴∠BAD＝∠B＝70°，
∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝70°﹣40°＝30°．故答案为：30°．
18．下列命题的逆命题成立的序号是____
① 同旁内角互补，两直线平行
② 等边三角形是锐角三角形
③ 如果两个实数相等，那么它们的平方相等
④ 全等三角形的三条对应边相等
【答案】①④##④①
【解析】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，成立，符合题意；
②等边三角形是锐角三角形的逆命题为锐角三角形是等边三角形，不成立，不符合题意；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题为平方相等的两个实数相等，不成立，不符合题意；
④全等三角形的三条边对应相等的逆命题为三条边相等的三角形全等，成立，符合题意，
故答案为：①④．
19．分析三个命题的逆命题：①如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；②两直线平行，内错角相等；③全等三角形的对应角相等．写出成立的逆命题：________．
【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】①如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数，逆命题是：如果两个实数的积是正数，那么它们都是正数，是假命题；
②两直线平行，内错角相等的逆命题是：内错角相等，两直线平行，是真命题；
③全等三角形的对应角相等的逆命题是：对应角相等的三角形全等，是假命题；
故答案为：内错角相等，两直线平行．
20．如图，在等腰三角形中，，，是的中点，于点，延长至点，使，连接，则的度数为________°.
【答案】70
【解析】 ，，是的中点，
,
，， 故答案为：
21．下列的真命题中，它的逆命题也是真命题的有________
①两直线平行，同旁内角互补；②等边三角形是锐角三角形；③两个图形关于某直线成轴对称，则这两个图形是全等图形；④若，则；⑤等腰三角形两底角相等．
【答案】①⑤
【解析】①两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题；
②等边三角形是锐角三角形的逆命题是锐角三角形是等边三角形，是假命题；
③两个图形关于某直线成轴对称，则这两个图形是全等图形的逆命题是两个图形是全等图形，则两个图形关于某直线成轴对称，是假命题；
④若，则的逆命题是若，则，是假命题；
⑤等腰三角形两底角相等的逆命题是两角相等的三角形是等腰三角形，是真命题．
故答案为：①⑤．
三、解答题
22．写出下列各命题的逆命题，并判断逆命题的真假．
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)如果两个角是直角，那么这两个角相等．
【解析】(1)将原命题的题设与结论互换，即可得到原命题的逆命题
所以，同旁内角互补，两直线平行的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补
根据平行线的性质定理即可判断这是真命题；
(2)将原命题的题设与结论互换，即可得到原命题的逆命题
所以，如果两个角是直角，那么这两个角相等的逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是直角
通过判断，可得这是假命题．
23．（1）如图，已知∠A＝∠C，若AB∥CD，则BC∥AD．请说明理由．
理由如下：
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABE＝∠ （ ）．
∵∠A＝∠C（已知），
∴ （ ）．
∴BC∥AD（ ）．
（2）请写出问题（1）的逆命题，并判断它是真命题还是假命题，真命题请写出证明过程，假命题举出反例．
【解析】（1）证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABE＝∠C（两直线平行，同位角相等），
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠ABE＝∠A（等量代换），
∴BC∥AD （内错角相等，两直线平行）；
（2）问题（1）的逆命题，已知∠A＝∠C，若BC∥AD，则AB∥CD，它是真命题，
证明：∵BC∥AD，（已知），
∴∠ABE＝∠A（两直线平行，内错角相等），
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠ABE＝∠C（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
24．如图，点E是内的一点，，连接、、，且，延长交边于点D．求证：．
【解析】∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴点A、E都在线段的垂直平分线上，
∵延长交边于点D，
∴所在直线是线段的垂直平分线，
∴．
25．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”．
（1）写出此命题的逆命题；
（2）逆命题是真命题还是假命题？若为真命题，请画出图形，写出“已知”，求证并证明；若为假命题，请举反例说明．
【解析】（1）逆命题：两边上的高相等的三角形是等腰三角形．
（2）真命题．
已知：一个三角形ABC的两边AB、AC上的高BD、CE相等，
求证：这个三角形ABC是等腰三角形．
证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴CE⊥AB，BD⊥AD，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∵∠A=∠A，
∵BD=CE，
∴Rt△ADB≌Rt△AEC，
∴AB=AC，
∴三角形ABC是等腰三角形．
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