中小学教育资源及组卷应用平台
2.6 直角三角形
一、单选题
1．如果直角三角形斜边上的中线和高分别是6和5，那么它的面积是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
2．在中，，，则，的度数依次是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，BC＝4，则DE的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点N，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，OP平分∠AOB，EP⊥OA，∠AOP=30°，CP // OB，CE=2，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．在中，，，，则正确的结论是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，且AD=CD，则下列结论中错误的结论是（ ）
A．∠DCB=∠B B．BC=BD
C．AD=BD D．∠ACD=∠BDC
8．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC、BC于点D、点E． 若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC＝6，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图所示，在四边形ABCD中，，，，，在AD上找一点P，使的值最小；则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．6
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则以下结论：①AD是∠BAC的平分线，②点D在AB的垂直平分线上，③AB=2AC，④=2，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，则这两个锐角分别为______．
14．直角三角形斜边上的中线与高的长分别是6cm、5cm，则它的面积是_____ cm2．
15．如图，三角形花园的边界AB，BC互相垂直，若测得，BC的长度为40m，则边界AC的中点D与点B的距离是______m．
16．如图，在中，，，，，则为____________cm．
17．一副三角板如图所示摆放，∠F＝30°，∠B＝45°，若EFBC，则∠EGB＝_____°．
18．如图，RtABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC交于点M，∠A=15°，BM=4，则AMB的面积为____．
19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝5cm，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则△ACP周长的最小值为_____cm．
20．在中，，，的角平分线BD交AC于D，E为线段AB上的动点，当是直角三角形时，的度数是______．（写出所有的正确结果）
三、解答题
21．如图，在中已知，．
(1)求证：为直角三角形．
(2)求AB边上的中线长．
22．如图，在中，是的垂直平分线，垂足为点E，交于D点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
23．如图，在中，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t．
(1)当t为何值时，为等边三角形？
(2)当t为何值时，为直角三角形？
24．如图，已知中，，以为圆心，任意长为半径画弧交边，AC于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连 结并延长交于点．
(1)求证： 点在线段的垂直平分线上；
(2)若 的面积为3，求的面积．
25．如图，为的高，，为的角平分线，若，．
(1) 度；
(2)求的度数；
(3)若点为线段上任意一点，当为直角三角形时，请直接写出的度数．
26．在Rt△中，，∠，点是上一点．
(1)如图，平分∠，求证；
(2)如图，点在线段上，且∠，∠，求证；
(3)如图3，BM⊥AM，M是△ABC的中线AD延长线上一点，N在AD上，AN＝BM，若DM＝2，则MN＝ （直接写出结果）．
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2.6 直角三角形
一、单选题
1．如果直角三角形斜边上的中线和高分别是6和5，那么它的面积是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】D
【解析】∵直角三角形斜边上的中线是6，∴斜边长= 2×6= 12，
∵直角三角形斜边上的高是5，∴直角三角形的面积=×12×5=30，故选D．
2．在中，，，则，的度数依次是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝54.97°，
∴根据三角形内角和定理可得∠ABC＝180° ∠C ∠A＝180° 90° 54.97°＝35.03°，
根据三角形外角性质可得∠ABE＝∠A＋∠C＝54.97°＋90°＝144.97°，故选C．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，BC＝4，则DE的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB=2BC=8，
∵点D是斜边AB的中点，∴AD=4，
∵DE⊥AC，∴．故选A
4．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点N，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图，连接CM，
∵AC的垂直平分线交于点M，，∴CM=AM=12cm，∴∠ACM=∠A，
∵∠A=15°，∴∠ACM=∠A=15°，∴∠BMC=∠ACM+∠A=30°，
∵∠B=90°，CM= 12cm，∴BC=CM=6cm，故B正确．故选B．
5．如图，OP平分∠AOB，EP⊥OA，∠AOP=30°，CP // OB，CE=2，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】∵OP平分∠AOB，∠AOP=30°，EP⊥OA，
∴∠AOB＝2∠AOP=60°，∠OEP＝90°，
∵CP // OB，∴∠ECP＝∠AOB＝60°，
∴∠EPC＝30°，∠CPO＝∠ECP－∠AOP=30°，
∴PC＝2CE＝4，∠AOP＝∠CPO＝30°，
∴OC＝PC＝4，故选C．
6．在中，，，，则正确的结论是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，
∵∠B＝2∠A，∴∠A＋2∠A＝90°，解得∠A＝30°，∴∠B＝60°，
∵BC＝6，∴AB＝2BC＝12，故选C．
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，且AD=CD，则下列结论中错误的结论是（ ）
A．∠DCB=∠B B．BC=BD
C．AD=BD D．∠ACD=∠BDC
【答案】B
【解析】∵AD=CD，∴∠A=∠ACD，
∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠BCD，
∴A正确，故A不符合题意；
∵∠BDC不一定等于∠BCD，∴BD≠BC，∴B错误，故B符合题意；
∵∠B=∠BCD，∴BD=DC，∴AD=BD，∴C正确，故C不符合题意；
∵∠BDC=∠A+∠ACD，∠A=∠ACD，∴∠ACD=∠BDC，
∴D正确，故D不符合题意；故选B．
8．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接，，，由作图可得，，，
∴，∴，
∵，∴，
又∵，∴，
∴．故选D．
9．如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC、BC于点D、点E． 若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】B
【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴，∴，
∵AC＝BC，∴∠B=∠BAC，
∴设，则∠B=∠BAC=45+x，
∴在等腰三角形ABC中，，
即，解得，
∴，
又∵DE⊥AC，∴，∴AE=2DE=4．故选B．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC＝6，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】∵DE垂直平分AB，∴DA= DB，∴∠B=∠DAB，
∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，∴∠B=∠CAD=∠DAB，
又∵∠C= 90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD = 30°，∴CD=AD=BD，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，∴CD=DE=BD，
∵BC=6，∴CD=DE=2；故选B．
11．如图所示，在四边形ABCD中，，，，，在AD上找一点P，使的值最小；则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．6
【答案】A
【解析】如图，延长CD至C'，使C'D=CD，
∵∠ADC=90°，C'D=CD，∴点C'与点C关于AD对称，
连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'=BC'最小，
∵∠A=∠ADC=90°，∴CD//AB，
∴∠C'=∠ABC'，∠BCC'=180°-∠ABC= 120°，
∵C' D=CD，∠ADC=90°，∴CC' =2CD，
∵BC=2CD，∴CC' =BC，∴∠C'=∠CBC'，∴∠C'=∠ABC'=∠CBC'=30°，
过点B作BE⊥CD交DC的延长线于E，则BE=AD=2，
在Rt△BEC'中，∠C'=30°， BE=2，∴BC' =2BE=4，
即PB+ PC的值最小值为4，故选A．
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则以下结论：①AD是∠BAC的平分线，②点D在AB的垂直平分线上，③AB=2AC，④=2，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】①由作法得，AD平分∠BAC，所以①正确，符合题意；
②∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAD60°＝30°，
∴∠B＝∠BAD，∴DA＝DB，∴点D在AB的垂直平分线上，所以②正确，符合题意；
③∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC，所以③正确，符合题意；
④如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，∴CDDA，
∴S△DACAC CDAC DA，S△DABAC DBAC DA，
∴S△DAB＝2S△DAC，所以④正确，符合题意；
故选D．
二、填空题
13．在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，则这两个锐角分别为______．
【答案】30°，60°
【解析】设其中一个锐角为x，则另一个锐角为2x，根据题意得：，解得： ．
∴这两个锐角分别为30°，60°．故答案为：30°，60°
14．直角三角形斜边上的中线与高的长分别是6cm、5cm，则它的面积是_____ cm2．
【答案】30
【解析】∵直角三角形斜边上的中线长是6cm，
∴斜边长为：2×6＝12cm，
∵直角三角形斜边上的高的长是5cm，
∴直角三角形的面积＝×12×5＝30（cm2）．故答案为：30．
15．如图，三角形花园的边界AB，BC互相垂直，若测得，BC的长度为40m，则边界AC的中点D与点B的距离是______m．
【答案】40
【解析】在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝40m，∴AC＝2BC＝80m，
∵D是AC中点，∴BD＝AC＝40m，故答案为：40．
16．如图，在中，，，，，则为____________cm．
【答案】9
【解析】，，
，，，
在中，，，故答案为：9．
17．一副三角板如图所示摆放，∠F＝30°，∠B＝45°，若EFBC，则∠EGB＝_____°．
【答案】105
【解析】如图，延长交于点，
，，
，，
又，，故答案为：105．
18．如图，RtABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC交于点M，∠A=15°，BM=4，则AMB的面积为____．
【答案】4
【解析】∵MN垂直平分线线段AB，BM=4，∴MB=MA=4，∴∠A=∠MBA，
∵∠A=15°，∴∠ABM=15°，∴∠BMC=∠A+∠MBA=30°，
∵∠C=90°，BM=4，∴BC=BM=2，∴S△AMB=×4×2=4．故答案为4．
19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝5cm，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则△ACP周长的最小值为_____cm．
【答案】15
【解析】如图，
∵P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，∴点C和点B关于直线DE对称，
∴当动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=5，∴AB=2AC=10，
∵AP+CP=AP+BP=AB=10，∴△ACP的周长最小值=AC+AB=15，故答案为：15．
20．在中，，，的角平分线BD交AC于D，E为线段AB上的动点，当是直角三角形时，的度数是______．（写出所有的正确结果）
【答案】69°或11°
【解析】∵，，∴∠A=180°-80°-42°=58°，
当是直角三角形时，如图，当∠AED=90°，
∵BD平分∠ABC，∴∠DBE= ∠ABC=，∴∠BDE=90°-21°=69°；
如图，当∠ADE=90°时，
∵BD平分∠ABC，∴∠DBC= ∠ABC=，
∴∠ADB=∠DBC+∠C=21°+80°=101°，
∴∠BDE=∠ADB-∠ADE=101°-90°=11°，故答案为：69°或11°．
三、解答题
21．如图，在中已知，．
(1)求证：为直角三角形．
(2)求AB边上的中线长．
【解析】(1)证明：设∠B、∠A、∠C的度数分别为x、2x、3x，
则x+2x+3x=180°，
解得，x=30°，
则∠C=3x=90°，
∴△ABC为直角三角形；
(2)解：∵∠C=90°，
∴AB为斜边，
∴AB边上的中线长=×10=5（m）．
22．如图，在中，是的垂直平分线，垂足为点E，交于D点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【解析】(1)证明∶∵是的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴，
在中，，
∴．
又∵，
∴；
(2)解∶∵在中，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴．
23．如图，在中，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t．
(1)当t为何值时，为等边三角形？
(2)当t为何值时，为直角三角形？
【解析】(1)解：在△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵6÷2=3，
∴0≤t≤3，BP=（6-2t）cm，BQ=t cm．
当BP=BQ时，△PBQ为等边三角形，
即6-2t=t， ∴t=2；
当t=2时，△PBQ为等边三角形；
(2)若△PBQ为直角三角形， ①当∠BQP=90°时，BP=2BQ，
即6-2t=2t，
∴t=1.5，
②当∠BPQ=90°时，BQ=2BP，
即t=2（6-2t），
∴t=2.4．
即当t=1.5或t=2.4时，△PBQ为直角三角形．
24．如图，已知中，，以为圆心，任意长为半径画弧交边，AC于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连 结并延长交于点．
(1)求证： 点在线段的垂直平分线上；
(2)若 的面积为3，求的面积．
【解析】(1)证明:∵∠C=90°，∠B=30°
∴∠CAB=60°
根据作图方法可知，是∠CAB的角平分线．
∴
∴∠DAB=∠B=30°
∴AD=BD
∴点D在AB的中垂线上．
(2)中，
∵AD=BD
∴
∵△ACD中CD边上的高和△ADB中BD边上的高相等
∴
∴
25．如图，为的高，，为的角平分线，若，．
(1) 度；
(2)求的度数；
(3)若点为线段上任意一点，当为直角三角形时，请直接写出的度数．
【解析】(1)∵BF平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBF=64°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-64°=26°，
故答案为26．
(2)∵∠AFB=∠FBC+∠C，
∴∠C=72°-32°=40°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-64°-40°=76°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=38°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=38°-26°=12°．
(3)分两种情况：
①当∠FGC=90°时，则∠BGF=90°，
∴∠BFG=90°-∠FBC=90°-32°=58°；
②当∠GFC=90°时，则∠FGC=90°-40°=50°，
∴∠BFG=∠FGC-∠EBF=50°-32°=18°；
综上所述：∠BFG的度数为58°或18°．
26．在Rt△中，，∠，点是上一点．
(1)如图，平分∠，求证；
(2)如图，点在线段上，且∠，∠，求证；
(3)如图3，BM⊥AM，M是△ABC的中线AD延长线上一点，N在AD上，AN＝BM，若DM＝2，则MN＝ （直接写出结果）．
【解析】(1)证明：如图1中，作DH⊥AB于H．
∵∠ACD＝∠AHD＝90°，AD＝AD，∠DAC＝∠DAH，
∴△ADC≌△ADH（ASA），
∴AC＝AH，DC＝DH，
∵CA＝CB，∠C＝90°，
∴∠B＝45°，
∵∠DHB＝90°，
∴∠HDB＝∠B＝45°，
∴HD＝HB，
∴BH＝CD，
∴AB＝AH+BH＝AC+CD．
(2)如图2中，作CM⊥CE交AD的延长线于M，连接BM．
，
，
，
，
，
∵∠ACB＝∠ECM＝90°，
，
，
∵CA＝CB，CE＝CM，
∴△ACE≌△BCM（SAS），
∴AE＝BM，
∵在Rt△EMB中，∠MEB＝30°，
∴BE＝2BM＝2AE．
(3)解：如图3中，作CH⊥MN于H．
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
是的中线，
，
，，
，
，
，
．
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
