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2.7 探索勾股定理
一、单选题
1．下列哪组数据是一组勾股数（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．5，12，13 D．13，14，15
【答案】C
【解析】A.∵，∴1，2，3不能构成三角形，故A不符合题意；
B.∵32＋22≠42，∴2，3，4不是勾股数，故B不符合题意；
C.∵52＋122＝132，∴5，12，13是勾股数，故C符合题意；
D. ∵132＋142＞152，∴13，14，15不是勾股数，故D不符合题意．
故选C．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到斜边AB的距离是（ ）
A． B． C．9 D．6
【答案】A
【解析】设点C到斜边AB的距离是h，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，∴，
∵，，故A正确．
故选A．
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．36 C．5 D．25
【答案】A
【解析】∵，∴△ABC是直角三角形；
∴，故选A
4．学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由勾股定理得：，
∵BD⊥AC， ∴△ABC的面积=，
∴BD=， 故选C．
5．如图，O为原点，点A在数轴上表示的数为5，过点A作直线l⊥OA，点B在直线l上，AB＝2，以点O为圆心，OB长为半径画弧，与OA的延长线交于点C，则点C表示的实数是（ ）
A． B． C．7 D．29
【答案】A
【解析】∵OC=OB=，
∴点C表示的数是，故选A．
6．在中，若，，的对边分别是a，b，c，则下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．（k为正整数） D．
【答案】D
【解析】选项A：由可得，能够判定是直角三角形，故选项不符合题意；
选项B：根据勾股定理的逆定理可知：能够判定是直角三角形，故选项不符合题意；
选项C：，k为正整数，∵，满足两边的平方和等于另外一个边的平方，故能判定是直角三角形，故选项不符合题意；
选项D：，∵，∴不能够判定是直角三角形，故选项符合题意；
故选D．
7．如图，在中，，是的平分线，，垂足是．若，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【解析】∵，∴，
又∵是的平分线，，∴DC=DE=2，
∵，∴AD=AC-DC=3，
在Rt△ADE中，，故选B．
8．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．148 B．100 C．196 D．144
【答案】A
【解析】如图，设将延长到点，连接，
由题意得：，
，，
∴这个风车的外围周长是，故选A．
9．如图，在△中，，斜边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接；则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴由勾股定理得AB＝，
设CE＝x，
∵DE是线段AB的垂直平分线且AC＝3，
∴BE＝AE＝AC+CE＝3+x，AD＝BD＝AB＝，
∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，
在Rt△BCE中，∵BE ＝BC +CE ，∴（3+x） ＝4 +x ，解得：x＝，
∴BE＝3+＝，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE＝．故选B．
10．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a、b、c满足，则下列说法正确的是（ ）
A．△ABC是等腰三角形，且AC=AB；
B．△ABC是等腰直角三角形，且AC=AB；
C．△ABC是直角三角形，且∠C=90°；
D．△ABC是直角三角形，且∠A=90°．
【答案】D
【解析】∵，∴，即，
∴△ABC是直角三角形，且∠A=90°．故选D．
11．如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】如图所示，连接，
在中，，即；
同理，在中，，即
则，故选B．
12．在学习“勾股数”的知识时，芸芸发现了一组有规律的勾股数如下表所示：
a 6 8 10 12 14 16 ……
b 8 15 24 35 48 63 ……
c 10 17 26 37 50 65 ……
根据表格中的规律，当时，的值为（ ）
A．225 B．240 C．450 D．900
【答案】C
【解析】根据表格中数据可得：a2＋b2＝c2，c＝b＋2，
∴a2＋b2＝（b＋2）2，
当a＝30时，有302＋b2＝（b＋2）2，∴b＝224，
∴c＝224＋2＝226，∴b＋c＝224+226＝450，故选C．
13．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有（ ）
①△BPQ是等边三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【解析】①∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ是等边三角形，所以①正确；
∴PQ=PB=4，
∵PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，∴△PCQ是直角三角形，所以②正确；
∵△BPQ是等边三角形，∴∠PQB=∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以③正确；
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵∠PQC=90°，PC≠2QC，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以④错误．
所以正确的有①②③．故选A．
二、填空题
14．在如图所示的直角三角形中，x=____．
【答案】13
【解析】，故答案为：13．
15．在△中，；若，，则 = ________ ．
【答案】6
【解析】在△中，，∴，
∵，，∴，
∴a＝＝6，故答案为：6
16．如图，，，，．若，则AD的长为__________．
【答案】13
【解析】在Rt△BCD中，∵∠C=90°，∴△BCD是直角三角形
在Rt△BCD中，∵BC=3，CD=4，
由勾股定理可得：
∵∠ABD=90°，∴△ABD是直角三角形
在Rt△ABD中，∵BA=12，BD=5
由勾股定理可得：，故答案为：13．
17．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为________m．
【答案】2.2
【解析】在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝0.7m，DE＝2.4m，
∴，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2m，AC＝AD＝2.5，
∴m，
∴BE＝AE＋AB＝0.7＋1.5＝2.2m，故答案为：2.2．
18．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝12，点N为BC上一点，且BN＝7，点M 为线段AC上一动点，连接BM、MN，则BM+MN的最小值为____．
【答案】13
【解析】如图，作点N关于AC的对称点D，连接CD，MD，BD，
∴MD=MN，CN=CD，∠DCM=∠ACB=45°，∴BM+MN=BM+MD≥BD，∠BCD=90°，
∴BM+MN的最小值为BD的长，
∵BC=12，BN=7，∴CN=CD=5，∴．故答案为：13
19．如图，在四边形中，，，，，是上的一点．若沿折叠，使，两点重合，则的面积为______．
【答案】##1.5
【解析】设AE=x，由折叠的性质得：DE=BE=4-x，
∵∠A=90°，∴AE2+AD2=DE2，即x2+22=（4-x）2，解得：x=
∴AE=，∴△AED的面积=AD·AE=×2×=．
20．如图，在一个长AB为18m，宽AD为7m的长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块 ，已知木块的较长边与AD平行，横截是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 ________ 米．
【答案】
【解析】如图，由题意可知，将木块展开， 展开图的长相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为18+2×2=22米；宽为7米．
于是最短路径为：（米）． 故答案为：．
21．如图，在矩形中，，，是边上的中点，是边上的一动点．连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为________．
【答案】2或
【解析】当为直角三角形时，可有：
①当时，如图1，
此时，
由折叠性质可知，，
∵，∴，
∴；
②当时，如图2，
由折叠性质可知，，，，
∴，即M、E、C三点共线，
设，则，
在中，，
∴，
在中，有，即，解得 ，
即，
③当时，点E在直线CD上，此时，故此种情况不符合题意．
综上所述，满足条件的BN的长为2或．故答案为：2或．
三、解答题
22．（1）在中，，，，求的长．
（2）在中，，，，判断是否是直角三角形．
【解析】（1）在中，，，，
由勾股定理得：，
∴的长为．
（2）在中，，，，
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
23．如图，在等腰ABC中，AB＝AC＝15，点D是AC边上的一点，且CD＝3，BD＝9，判断ABD的形状，并说明理由．
【解析】△ABD是直角三角形，
理由是：∵AC＝15，CD＝3，
∴AD＝AC﹣CD＝15﹣3＝12，
∵AB＝15，BD＝9，
∴BD2+AD2＝AB2，
∴ABD是直角三角形．
24．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合．
(1)若∠AEB＝40°，求∠BFE的度数；
(2)若AB＝6，AD＝18，求CF的长．
【解析】(1)∵将长方形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合．
∴∠BEF=∠DEF，
∵∠AEB+∠BEF+∠DEF=180°，∠AEB =40°
∴∠DEF=70°
∵AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF=70°；
(2)由题意知CD=AB=6
设CF=x，则BF=BC-CF=18-x，
由折叠得：FG=CF=x，BG=CD=6，
在Rt△BGF中：BG2+GF2=BF2
62+ x2=（18-x）2，
解得：x=8，即：CF=8cm．
25．如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD．现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，BC＝12m，AB＝13m，若每平方米草皮需300元，则在该空地上种植草皮共需多少元？
【解析】连接AC，如图：
在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝32+42＝52（m2），
在△ABC中，AB2＝132（m2），BC2＝122（m2），
∵52+122＝132，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD AC BCAD CD5×123×4＝24（m2），
∵每平方米草皮需300元，
∴在该空地上种植草皮共需费用为：24×300＝7200（元）．
26．已知实数、、满足．
(1)求、、的值；
(2)判断以、、为边能否构成三角形？若能构成三角形，判别此三角形的形状，并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
【解析】(1)，
，，．
，，．
(2)，即，
根据勾股定理的逆定理得，以、、为边能构成直角三角形．
直角边，，
直角三角形的面积．
27．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，，．
(1)求证：∠A＝90°；
(2)若AC＝6，BD＝5，求AE的长度．
【解析】(1)证明：连结，
∵D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，即；
(2)∵D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
解得：，
答：的长为．
28．如图所示，在中，点D为BC边上的一点，，，，．
(1)试说明；
(2)求AC的长及的面积；
(3)判断是否是直角三角形，并说明理由．
【解析】(1)解：∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，即．
(2)∵，且点D为BC边上的一点，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴．
(3)是直角三角形．
理由如下：
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
29．定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分割成两个等腰三角形，那么这条线段称为原三角形的“双等腰线”，如图，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“双等腰线”．
(1)已知，如图2，在中，，，请画出这个三角形的“双等腰线”．（只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
(2)若（1）中所画的“双等腰线”的长度为，请求出的面积．
【解析】(1)解：∵，，
∴，
∴作，则，
∴，
∴，，
∴，，
∴此时和为等腰三角形，
故线段即为所求．
(2)解：，，，
∴根据勾股定理可得：，
∴
或（舍去），
，
．
30．数学王老师在探索乘法公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）证明了勾股定理．2002年在北京召开的国际数学家大会把“赵爽弦图”作为会徽（如图1），彰显了这一中国古代的重大成就．
运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下：
“赵爽弦图”是将四个完全相同的直角三角形（如图2，其中构成直角的两条边叫直角边，边长分别为和，且；最长的那条边叫做斜边，边长为）围成一个边长为的大正方形（如图3），中间空的部分是一个边长为的小正方形．
(1)验证过程：大正方形的面积可以表示为，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示为，∴．
化简等号右边的式子可得∴_______．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
(2)爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图4），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程．
【解析】(1)解：（1）验证过程：大正方形的面积可以表示为S=c2，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示为S=4×ab+（b-a）2，
∴c2=4×ab+（b-a）2．
化简等号右边的式子可得c2=a2+b2．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
故答案为：a2+b2；
(2)如图4，
∵大的正方形的面积可以表示为（a+b）2，
大的正方形的面积又可以表示为c2+4×ab，
∴c2+2ab=a2+b2+2ab，
∴a2+b2=c2．
试卷第1页，共3页
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2.7 探索勾股定理
一、单选题
1．下列哪组数据是一组勾股数（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．5，12，13 D．13，14，15
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到斜边AB的距离是（ ）
A． B． C．9 D．6
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．36 C．5 D．25
4．学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，O为原点，点A在数轴上表示的数为5，过点A作直线l⊥OA，点B在直线l上，AB＝2，以点O为圆心，OB长为半径画弧，与OA的延长线交于点C，则点C表示的实数是（ ）
A． B． C．7 D．29
6．在中，若，，的对边分别是a，b，c，则下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．（k为正整数） D．
7．如图，在中，，是的平分线，，垂足是．若，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
8．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．148 B．100 C．196 D．144
9．如图，在△中，，斜边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接；则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a、b、c满足，则下列说法正确的是（ ）
A．△ABC是等腰三角形，且AC=AB；
B．△ABC是等腰直角三角形，且AC=AB；
C．△ABC是直角三角形，且∠C=90°；
D．△ABC是直角三角形，且∠A=90°．
11．如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
12．在学习“勾股数”的知识时，芸芸发现了一组有规律的勾股数如下表所示：
a 6 8 10 12 14 16 ……
b 8 15 24 35 48 63 ……
c 10 17 26 37 50 65 ……
根据表格中的规律，当时，的值为（ ）
A．225 B．240 C．450 D．900
13．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有（ ）
①△BPQ是等边三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
14．在如图所示的直角三角形中，x=____．
在△中，；若，，则 = ________ ．
16．如图，，，，．若，则AD的长为__________．
17．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为________m．
18．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝12，点N为BC上一点，且BN＝7，点M 为线段AC上一动点，连接BM、MN，则BM+MN的最小值为____．
19．如图，在四边形中，，，，，是上的一点．若沿折叠，使，两点重合，则的面积为______．
20．如图，在一个长AB为18m，宽AD为7m的长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块 ，已知木块的较长边与AD平行，横截是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 ________ 米．
21．如图，在矩形中，，，是边上的中点，是边上的一动点．连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为________．
三、解答题
22．（1）在中，，，，求的长．
（2）在中，，，，判断是否是直角三角形．
23．如图，在等腰ABC中，AB＝AC＝15，点D是AC边上的一点，且CD＝3，BD＝9，判断ABD的形状，并说明理由．
24．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合．
(1)若∠AEB＝40°，求∠BFE的度数；
(2)若AB＝6，AD＝18，求CF的长．
25．如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD．现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，BC＝12m，AB＝13m，若每平方米草皮需300元，则在该空地上种植草皮共需多少元？
26．已知实数、、满足．
(1)求、、的值；
(2)判断以、、为边能否构成三角形？若能构成三角形，判别此三角形的形状，并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
27．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，，．
(1)求证：∠A＝90°；
(2)若AC＝6，BD＝5，求AE的长度．
28．如图所示，在中，点D为BC边上的一点，，，，．
(1)试说明；
(2)求AC的长及的面积；
(3)判断是否是直角三角形，并说明理由．
29．定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分割成两个等腰三角形，那么这条线段称为原三角形的“双等腰线”，如图，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“双等腰线”．
(1)已知，如图2，在中，，，请画出这个三角形的“双等腰线”．（只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
(2)若（1）中所画的“双等腰线”的长度为，请求出的面积．
30．数学王老师在探索乘法公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）证明了勾股定理．2002年在北京召开的国际数学家大会把“赵爽弦图”作为会徽（如图1），彰显了这一中国古代的重大成就．
运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下：
“赵爽弦图”是将四个完全相同的直角三角形（如图2，其中构成直角的两条边叫直角边，边长分别为和，且；最长的那条边叫做斜边，边长为）围成一个边长为的大正方形（如图3），中间空的部分是一个边长为的小正方形．
(1)验证过程：大正方形的面积可以表示为，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示为，∴．
化简等号右边的式子可得∴_______．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
(2)爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图4），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程．
试卷第1页，共3页
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