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2.8 直角三角形全等的判定
一、单选题
1．如图，在中，，是高，能直接判断的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵AD⊥BC，∴和是直角三角形，
∵，AD=AD（公共边），所以≌（HL），故选C
2．如图，于点，于点，．要根据“”证明，则还需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，∴∠ADC＝∠BFE＝90°，
∵CD＝EF，∴当添加AC＝BE时，根据“HL”判断Rt△ACD≌Rt△BEF．故选C．
3．如图，平分.于，于，则与的大小关系（ ）．
A．不能确定 B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，
∴,∠OCP=∠ODP=90°．
在与中，
∴，∴OC＝OD，故选D．
4．下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（ ）
A．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝3cm B．BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90°
C．∠A＝∠B＝∠C＝60° D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°
【答案】B
【解析】A、因为AB+AC＜BC，三条线段不能组成三角形，所以A选项不符合题意；
B、BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90°，根据直角三角形 可判断此三角形为唯一三角形，所以B选项符合题意；
C、利用∠A＝∠B＝∠C＝60°根据 不能确定三角形全等，画出来的三角形不唯一，所以C选项不符合题意；
D、利用AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°根据 ，不能判断两个三角形全等，画出来的三角形不唯一，所以D选项不符合题意．
故选B．
5．如图，在中，，于点D，．如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在和中，，，∴，∴，
∴．故选C．
6．下列说法不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等
C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等
D．有两边相等的两个直角三角形全等
【答案】D
【解析】A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；可由（SAS）判断，正确；
B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；可由（AAS）判断，正确；
C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；可由（HL）判断，正确；
D．有两边相等的两个直角三角形无法判定边的对应相等关系，故不一定全等；选项错误，符合题意；
故选 D．
7．如图，在△ABC中，，，D为BC延长线上一点，点E在AC上，．若，则∠BAD的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵∠ACB=90°，AC=BC，，
，，
，∴和为直角三角形，
∵在和中，，
∴（HL），，
∴，故C正确．故选C．
8．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，若AQ＝PQ，PD＝PE，则下列结论：①AE＝AD；②∠B＝∠C；③∠BAP＝∠CAP；④△ABP≌△ACP．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
【答案】B
【解析】，，，是的角平分线，
，故③正确；
在和中，，（HL），
，故①正确；
由是BC上的点，并没有说是中点，所以无法得出∠B=∠C，
在和中，缺少全等条件，故②、④不正确；
故选B．
9．如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】如图，连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=11cm，AC=5cm，∴BE=3cm．故应选D．
10．如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（ ）
A．180° B．200° C．210° D．240°
【答案】A
【解析】过点作于，如图，
是的角平分线，，，
，
在和中，，，，，．故选A．
11．如图，是的角平分线，交于点，，，，，则的面积为（ ）
A．12 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【解析】如图过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是∠BAC的角平分线，∴DF=DH，
∵DF⊥AB，∴∠DFE=∠DHG=90°，
又∵，∴△DFE≌△DHG（HL），
∴，
同理可以证明△DFA≌△DHA（HL），∴，
∵，，
∴，，即，
∴，故选D．
12．如图，直角三角形ABC中，AC＝BC，AD是△ABC的角平分线，动点M、N同时从A点出发，以相同的速度分别沿A→C→B和A一B→C方向运动，并在边BC上的点E相遇，连接AE，①AE平分△ABC的周长，②AE是△ABD的角平分线，③AE是△ABD的中线．以上结论正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】如图，过点D作DF⊥AB于点F，
∵动点M、N同时从A点出发，以相同的速度分别沿A→C→B和A→B→C方向运动，并在边BC上的点E相遇，
∴AC+CE=AB+BE，∴AE平分△ABC的周长，故①正确；
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DC⊥AC，
∴DF=DC，
在Rt△ADF和Rt△ADC中，
∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），∴AF=AC，
∵∠B=45°，∠DFB=90°，∴△DFB是等腰直角三角形，∴DF=BF，
∴AB=AF+FB=AC+CD，
∵AC+CE=AB+BE，∴AB+BE=AC+CD+DE，∴BE=DE，
∴AE是△ABD的中线，故③正确，
∵BE=DE，若AE是△ABD的角平分线，则AE⊥BC，
而AE不垂直BC，∴AE不是△ABD的角平分线，故②错误．
综上所述，结论正确的有①③．故选B．
二、填空题
13．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件________，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．
【解析】∵△ABC和△DEF均为直角三角形，且AC＝DF，
∴需要增加它们的斜边对应相等即可利用“HL”定理，即：AB＝DE；
故答案为：AB＝DE．
14．如图，在与中，，，，若，则的度数为________．
【答案】40°
【解析】在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∵∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴∠D=∠A=50°，∴∠DFE=90°-∠D=90°-50°=40°．故答案为：40°．
15．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF=___．
【答案】10
【解析】连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AE=BE，
∵∠ACE+∠BCE=180°，∠ECG+∠BCE=180°，∴∠ACE=∠ECG，
又∵EF⊥AC，EG⊥BC，∴EF=EG，∠FEC=∠GEC，
∵CF⊥EF，CG⊥EG，∴CF=CG，
在Rt△AEF和Rt△BEG中，，
∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），∴AF=BG，
设CF=CG=x，则AF=AC-CF=12-x，BG=BC+CG=8+x，∴12-x=8+x，解得x=2，
∴AF=12-2=10．故答案为：10．
16．如图，已知，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM、ON分别交于A、B，再分别过点A、B作OM、ON的垂线，交点为P，画射线OP，可以判定△AOP≌△BOP，依据是_________（请从“SSS，SAS，AAS，ASA，HL”中选择一个填入）．
【答案】HL
【解析】由作图知：OA=OB，
∵AP⊥OM，PB⊥ON，∴∠OAP=∠OBP=90°，
在Rt△AOP和Rt△BOP中，，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），故答案为：HL．
17．如图，△ABC中AC⊥BC，AC＝8cm，BC＝4cm，AP⊥AC于A，现有两点D、E分别在AC和AP上运动，运动过程中总有DE＝AB，当AD＝_____cm时，能使△ADE和△ABC全等．
【答案】8或4##4或8
【解析】∵AC⊥BC，AP⊥AC，∴∠ACB＝∠EAD＝90°，
∵DE＝AB，
∴当AD＝AC＝8cm时，根据“HL”可判断Rt△ADE≌Rt△CAB；
当AD＝BC＝4cm时，根据“HL”可判断Rt△ADE≌Rt△CBA；
综上所述，当AD＝8cm或4cm时，△ADE和△ABC全等．故答案为：8或4．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周长是______．
【答案】8cm
【解析】连接，
，，
，，
，
△ADE的周长是cm，故答案为：
19．如图，ABC的两条外角平分线AP，CP相交于点P，PH⊥AC于点H. 若∠ABC=∠ACB=60°，则下列结论：
①∠ABP=30°；②∠APC=60°；③PABC，其中正确的结论有_____．
【答案】①②③
【解析】如图，作PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．
∵∠PAH=∠PAN，PN⊥AD，PH⊥AC，∴PN=PH，同理PM=PH，
∴PN=PM，∴PB平分∠ABC，∴∠ABP=∠ABC=30°，故①正确，
∵在Rt△PAH和Rt△PAN中，，∴Rt△PAN≌Rt△PAH（HL），
同理可证，△PCM≌△PCH，∴∠APN=∠APH，∠CPM=∠CPH，
∵∠MPN=180°-∠ABC=120°，∴∠APC=∠MPN=60°，故②正确，
∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠PCA=∠PCM=60°，
∵∠APC=60°，∴∠APC=∠PCM，
∴AP∥BC，故③正确；
故答案为：①②③．
20．如图所示，在ΔABC中， AD平分∠BAC，点E在DA的延长线上，且EF⊥BC，且交BC延长线于点F，H为DC上的一点，且BH=EF， AH=DF， AB=DE，若∠DAC+n∠ACB＝90°，则__________．
【答案】
【解析】在Rt△ABH和Rt△DEF中，，∴Rt△ABH≌Rt△DEF(HL），
∴∠EDF=∠BAH，∴∠EDF-∠BAD=∠BAH-∠BAD，∴∠B=∠DAH，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，
设∠B=∠DAH=y，∠BAD=∠DAC=x，∴2y+x=90°，∠CAH=∠DAC-∠DAH=x-y，
∴∠ACB=90°-∠CAH =3y，
∵∠DAC+n∠ACB=90°，∴x+3ny=90°，∴3n=2，∴n=，故答案为：．
三、解答题
21．如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C、B，AB=DC，求证：∠A=∠D．
【解析】证明：∵AC⊥CB，DB⊥CB，
∴△ACB与△DBC均为直角三角形，
在Rt△ACB与Rt△DBC中，，
∴Rt△ACB≌Rt△DBC（HL），
∴∠A=∠D，
22．如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，BE＝CD．
求证：
(1)Rt△BCERt△CBD；
(2)AF平分∠BAC．
【解析】(1)证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCE和△CBD是直角三角形，
在Rt△BCE和Rt△CBD中，，
∴Rt△BCERt△CBD（HL）；
(2)解：∵Rt△BCERt△CBD，
∴CE＝BD，∠BCE＝∠CBD，
∴CF＝BF，
∴CE﹣CF＝BD﹣BF，
∴EF＝DF，
又∵EFAB，DFAC，
∴点F在∠BAC的平分线上，
∴AF平分∠BAC．
23．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE的长．
【解析】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE＝DF，
在Rt△AED与Rt△AFD中，，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵DE＝DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵DE＝DF，
∴，
∵AB+AC＝10，
∴DE＝3．
24．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A－C－B－A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
(1)若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求此时t的值；
(2)若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值．
【解析】(1)解：如图所示，连接PB，
∵在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，
∴
由于AP＝PB＝t，
则PC＝8-t，
在Rt△PCB中，根据勾股定理得：
解得，
即此时t的值为．
(2)解：由题意得，PC＝t-8 ， PB ＝14-t，
如图所示，过点P作PE⊥AB，
由于AP平分∠BAC，且∠ACB＝90°，
∴ PC＝PE，
在Rt△ACP与Rt△AEP中，
∴Rt△ACP≌Rt△AEP（HL），
∴AC＝AE＝8， BE＝2，
在 Rt△PEB中，根据勾股定理得，
，
解得：，
∴当点P在∠BAC的平分线上时，t的值为．
25．如图，在中，点在的垂直平分线上，连接，作于点，交的延长线于点，且．
(1)求证：；
(2)如果，求的度数．
【解析】(1)证明：，，
∴和均是直角三角形，
∵点在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
26．题提出：学习了三角形全等的判定方法“”“ ”“ ”“ ”和“”后，某小组同学探究了如下问题：当两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等时，这两个三角形是否全等．
初步思考：他们先用符号语言表示了这个问题：在和中，，，．然后，对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
深入探究：过程如下，请你将这个小组同学的探究过程补充完整．
(1)第一种情况：当是直角时，．
如图1，在和中，，，，根据 ，可以知道．
(2)第二种情况：当是钝角时，．
如图2，在和中，，，，且，都是钝角，求证：．
(3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等．
在和中，，，，且，都是锐角，请你用尺规在图3中作出，使和不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
(4)在（3）中，与的大小关系还要满足什么条件，就可以使？请根据以上作图过程直接写出结论．
【解析】(1)解：∵∠B=∠E=90°，
∴△ABC和△DEF是直角三角形，
∵AC=DF，AB=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案为：HL；
(2)如图2，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，过点D作DH⊥FE交FE的延长线于点H．
则∠AGB=∠DHE=90°，
∵∠ABC=∠DEF，
∴∠ABG=∠DEH，
∵AB=DE，
∴△AGB≌△DHE（AAS），
∴AG=DH，
∵AC=DF，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠C=∠F，
又∵∠ABC=∠DEF，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
(3)如图3，△DEF即为所求；
(4)∠B≥∠C，理由如下：
由图3可知，∠C=∠AFC=∠B+∠BAF，
∴∠C＞∠B，
∴当∠B≥∠C时，△ABC就唯一确定了，
则△ABC≌△DEF．
试卷第1页，共3页
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2.8 直角三角形全等的判定
一、单选题
1．如图，在中，，是高，能直接判断的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，于点，于点，．要根据“”证明，则还需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，平分.于，于，则与的大小关系（ ）．
A．不能确定 B． C． D．
4．下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（ ）
A．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝3cm B．BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90°
C．∠A＝∠B＝∠C＝60° D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°
5．如图，在中，，于点D，．如果，那么（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等
C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等
D．有两边相等的两个直角三角形全等
7．如图，在△ABC中，，，D为BC延长线上一点，点E在AC上，．若，则∠BAD的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，若AQ＝PQ，PD＝PE，则下列结论：①AE＝AD；②∠B＝∠C；③∠BAP＝∠CAP；④△ABP≌△ACP．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
9．如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
10．如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（ ）
A．180° B．200° C．210° D．240°
11．如图，是的角平分线，交于点，，，，，则的面积为（ ）
A．12 B．6 C．4 D．3
12．如图，直角三角形ABC中，AC＝BC，AD是△ABC的角平分线，动点M、N同时从A点出发，以相同的速度分别沿A→C→B和A一B→C方向运动，并在边BC上的点E相遇，连接AE，①AE平分△ABC的周长，②AE是△ABD的角平分线，③AE是△ABD的中线．以上结论正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
13．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件________，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．
14．如图，在与中，，，，若，则的度数为________．
15．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF=___．
16．如图，已知，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM、ON分别交于A、B，再分别过点A、B作OM、ON的垂线，交点为P，画射线OP，可以判定△AOP≌△BOP，依据是_________（请从“SSS，SAS，AAS，ASA，HL”中选择一个填入）．
17．如图，△ABC中AC⊥BC，AC＝8cm，BC＝4cm，AP⊥AC于A，现有两点D、E分别在AC和AP上运动，运动过程中总有DE＝AB，当AD＝_____cm时，能使△ADE和△ABC全等．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周长是______．
19．如图，ABC的两条外角平分线AP，CP相交于点P，PH⊥AC于点H. 若∠ABC=∠ACB=60°，则下列结论：
①∠ABP=30°；②∠APC=60°；③PABC，其中正确的结论有_____．
20．如图所示，在ΔABC中， AD平分∠BAC，点E在DA的延长线上，且EF⊥BC，且交BC延长线于点F，H为DC上的一点，且BH=EF， AH=DF， AB=DE，若∠DAC+n∠ACB＝90°，则__________．
三、解答题
21．如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C、B，AB=DC，求证：∠A=∠D．
22．如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，BE＝CD．
求证：
(1)Rt△BCERt△CBD；
(2)AF平分∠BAC．
23．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE的长．
24．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A－C－B－A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
(1)若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求此时t的值；
(2)若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值．
25．如图，在中，点在的垂直平分线上，连接，作于点，交的延长线于点，且．
(1)求证：；
(2)如果，求的度数．
26．题提出：学习了三角形全等的判定方法“”“ ”“ ”“ ”和“”后，某小组同学探究了如下问题：当两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等时，这两个三角形是否全等．
初步思考：他们先用符号语言表示了这个问题：在和中，，，．然后，对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
深入探究：过程如下，请你将这个小组同学的探究过程补充完整．
(1)第一种情况：当是直角时，．
如图1，在和中，，，，根据 ，可以知道．
(2)第二种情况：当是钝角时，．
如图2，在和中，，，，且，都是钝角，求证：．
(3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等．
在和中，，，，且，都是锐角，请你用尺规在图3中作出，使和不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
(4)在（3）中，与的大小关系还要满足什么条件，就可以使？请根据以上作图过程直接写出结论．
试卷第1页，共3页
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