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第1章 三角形的初步认识 单元测试
一、单选题
1．下面三根小木棒能摆成三角形的是（ ）
A．5cm，5cm，11cm B．3cm，4cm，5cm
C．8cm，7cm，15cm D．13cm，2cm，20cm
2．已知，图中的虚线部分是小明作的辅助线，则（ ）
A．是边的高 B．是边的高
C．是边的高 D．是边的高
3．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C． D．
4．下列说法中正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．周长相等的两个三角形全等
5．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
6．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，添加的一组条件不正确的是（ ）
A．BC＝DC，∠A＝∠D B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD D．BC＝EC，∠B＝∠E
7．下列命题：①真命题都是定理；②垂直于同一条直线的两条直线平行；③三角形的三条高线交于一点；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；⑤全等三角形对应边上的高相等；⑥三角形中至少有一个角不小于60°．是真命题的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ）
A．无法确定 B． C．1 D．2
9．根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°
10．如图，在中，，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为21，则与的面积之和是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
11．如图，将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位量为CD，当一端C下滑至时，另一端D向右滑到，则下列说法正确的是（ ）
A．下滑过程中，始终有
B．下滑过程中，始终有
C．若，则下滑过程中，一定存在某个位置使得
D．若，则下滑过程中，一定存在某个位置使得
12．如图所示，设甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．已知∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，则叙述正确的是（ ）
A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等
C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等
二、填空题
13．如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）
14．已知三角形的两边长分别为2和4，第三边长为整数，则该三角形的周长最大值为_________
15．在平面直角坐标系中，点 O为坐标原点，A（4,3），B（4,0），在坐标轴上有一点 C，使得△AOB 与△COB 全等，则 C 点坐标为_______.
16．如图，已知，若，，则________度．
17．如下图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接，取的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作交的延长线于点D，此时测得米，那么A，B间的距离是__________米．
18．如图，在和中，，给出下列四组条件：
①，； ②，；
③，； ④，.
其中，能使的条件有______（请填写所有满足条件的序号）.
19．如图，中，是边上的一点（不与，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为 __．
20．如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7，S△ABD＝15，则S△ABE＝_____．
三、解答题
21．如图，在中，，垂足为点，，，求的度数．
22．如图，已知，．求证：．
23．如图，点P是△ABC内任意一点，求证：．
24．如图，已知，请按下列要求作图：
（1）作边上的中线．
（2）用直尺和圆规作的角平分线．
（3）用直尺和圆规作，使（使点D与A对应，点E与B对应，点F与C对应）．
25．如图，，求的长，
26．如图，求的长度．
27．如图，在中，，AD为BC边上的中线．
（1）____________（填“>”“<”或“=”）；
（2）若的周长比的周长多4，且，求AB，AC的长；
（3）的周长为27，，BC边上的中线，的周长为19，求AC的长．
28．（1）模型的发现：
如图1，在中，，，直线经过点，且、两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点，．请直接写出、和的数量关系．
（2）模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若，两点在直线的异侧，请说明、和的关系，并证明．
（3）模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明、和的关系，并证明．
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第1章 三角形的初步认识 单元测试
一、单选题
1．下面三根小木棒能摆成三角形的是（ ）
A．5cm，5cm，11cm B．3cm，4cm，5cm
C．8cm，7cm，15cm D．13cm，2cm，20cm
【答案】B
【提示】
三角形的三条边必须满足：任意两边之和第三边，任意两边之差第三边．
【解答】
解：A、，不能组成三角形，不符合题意；
B、，能组成三角形，符合题意；
C、，不能组成三角形，不符合题意；
D、，不能组成三角形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了对三角形三边关系的理解应用，解题的关键是掌握构成三角形的条件，只要判断两个较小的数的和最大的数就可以．
2．已知，图中的虚线部分是小明作的辅助线，则（ ）
A．是边的高 B．是边的高
C．是边的高 D．是边的高
【答案】A
【提示】
根据三角形高线的定义（三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段），解答即可．
【解答】
解：由图可知，线段CD是AB边上的高．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的高线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键．
3．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C． D．
【答案】D
【提示】
能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
【解答】
解：A、不满足条件，故A选项错误；
B、满足条件∠1＋∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故B选项错误；
C、不满足条件，也不满足结论，故C选项错误；
D、满足条件，不满足结论，故D选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
4．下列说法中正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．周长相等的两个三角形全等
【答案】C
【提示】
根据两个三角形全等的定义即可判断．
【解答】
全等三角形的定义是：完全重合的两个三角形全等，根据此定义即知选项C正确，其余选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的定义，理解定义是判断的关键．
5．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
【答案】A
【提示】
根据∠α是b、c边的夹角，然后写出即可．
【解答】
解：∵两个三角形全等，
∴∠α的度数是72°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．全等三角形的对应角相等，对应边相等．对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边．
6．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，添加的一组条件不正确的是（ ）
A．BC＝DC，∠A＝∠D B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD D．BC＝EC，∠B＝∠E
【答案】A
【提示】
根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】
解：A．AB＝DE，BC＝DC，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；
B．AC＝DC，AB＝DE，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
C．∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，
∵∠B＝∠E，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEC（AAS），故本选项不符合题意；
D．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法—— ， ， ， ．
7．下列命题：①真命题都是定理；②垂直于同一条直线的两条直线平行；③三角形的三条高线交于一点；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；⑤全等三角形对应边上的高相等；⑥三角形中至少有一个角不小于60°．是真命题的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【提示】
根据定理、平行线的判定定理、三角形的高的概念、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形内角和定理判断即可．
【解答】
解：①真命题都是定理，本说法是真命题；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，本说法是假命题；
③三角形的三条高线交于一点，本说法是真命题；
④有两边和两边夹角对应相等的两个三角形全等，本说法是假命题；
⑤全等三角形对应边上的高相等，本说法是真命题；
⑥三角形中至少有一个角不小于60°，本说法是真命题；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查真假命题的判断．涉及定理、平行线的判定定理、三角形的高的概念、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形内角和定理等相关知识点．
8．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ）
A．无法确定 B． C．1 D．2
【答案】C
【提示】
当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质可知，当GP⊥AB时，GP=CG=1．
【解答】
解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小，
根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，
∴当GP⊥AB时，GP=CG=1，
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大，解题的关键是根据题意得到GB是∠ABC的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理．
9．根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°
【答案】C
【提示】
运用全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【解答】
解：A．∵AB＝3，BC＝4，CA＝8，AB+BC＜CA，∴不能画出三角形，故本选项不合题意；
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；
C．当∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4时，根据“ASA”可判断△ABC的唯一性；
D．已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解答本题关键．
10．如图，在中，，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为21，则与的面积之和是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【提示】
结合题意，根据全等三角形的性质，通过证明，得与的面积之和，通过计算即可完成求解．
【解答】
∵，，
∴
∵
∴
∵
∴
在和中
∴
∴
∴与的面积之和
∵，若的面积为21
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，从而完成求解．
11．如图，将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位量为CD，当一端C下滑至时，另一端D向右滑到，则下列说法正确的是（ ）
A．下滑过程中，始终有
B．下滑过程中，始终有
C．若，则下滑过程中，一定存在某个位置使得
D．若，则下滑过程中，一定存在某个位置使得
【答案】D
【提示】
根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】
将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位置为CD，当一端C下滑至时，另端D向右滑到，当△OCD与全等时，，
A、下过程中，与不一定相等，说法错误；
B、下滑过程中，当△OCD与△ODC全等时，，说法错误；
C、若OC＜OD，则下过程中，不存在某个位置使得，说法错误；
D、若OC＞OD，则下过程中，当△OCD与△ODC全等时，一定存在某个位置使得，说法正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查全等三角形的应用，关键是根据全等三角形的对应边相等解答．
12．如图所示，设甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．已知∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，则叙述正确的是（ ）
A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等
C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等
【答案】B
【提示】
根据题意即是判断甲、乙是否全等，丙丁是否全等．运用判定定理解答．
【解答】
解：∵∠ACB=CAD=70°，∠BAC=∠ACD=50°，AC为公共边，
∴△ABC≌△ACD，即甲、乙全等；
△EHG中，∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG，
虽∠EFG=∠EGH=70°，∠EGF=∠EHG=50°，
∴△EFG不全等于△EGH，即丙、丁不全等．
综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空间想象能力．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．找着∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG是正确解决本题的关键．
二、填空题
13．如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）
【答案】②③
【提示】
根据全等图形的定义，两个图形必须能够完全重合才行．
【解答】
观察图形，发现②③图形可以和①图形完全重合
故答案为：②③．
【点睛】
本题考查全等的概念，任何一组图形，要想全等，则这组图形必须能够完全重合．
14．已知三角形的两边长分别为2和4，第三边长为整数，则该三角形的周长最大值为_________
【答案】11
【提示】
根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长的最大值．
【解答】
解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：4 2＜a＜2＋4，
即2＜a＜6，
∵a为整数，
∴a的最大整数值为5，
则三角形的最大周长为2＋4＋5＝11．
故答案为：11．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．在平面直角坐标系中，点 O为坐标原点，A（4,3），B（4,0），在坐标轴上有一点 C，使得△AOB 与△COB 全等，则 C 点坐标为_______.
【答案】（0,3）或（0，-3）.
【解答】
分析:根据A,B两点坐标表示出求出OB、AB的长度，然后根据各选项中的△OAB的特征即可求出点C的坐标．
详解: ∵A（4,3），B（4,0），
∴AB=3,OB=4, ∠ABO=90°
∵△AOB 与△COB 全等，
∴OC=AB
∵AB=3
∴CO=3
∴C 点坐标为（0,3）或（0，-3）.
故答案为: （0,3）或（0，-3）.
点睛: 本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
16．如图，已知，若，，则________度．
【答案】30
【提示】
先根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠F=105°，然后根据三角形内角和计算∠B的度数．
【解答】
解：∵△ABC≌△FDE，
∴∠BAC=∠F=105°，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°-105°-45°=30°．
故答案为30．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
17．如下图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接，取的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作交的延长线于点D，此时测得米，那么A，B间的距离是__________米．
【答案】200
【提示】
根据平行线的性质得到∠C=∠B，证明△CPD≌△BPA，根据全等三角形的性质解答．
【解答】
解：∵CD∥AB，
∴∠C=∠B，
在△CPD和△BPA中，
，
∴△CPD≌△BPA（ASA），
∴AB=CD=200（米），
故答案为：200．
【点睛】
本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
18．如图，在和中，，给出下列四组条件：
①，； ②，；
③，； ④，.
其中，能使的条件有______（请填写所有满足条件的序号）.
【答案】①②④
【提示】
根据“HL”，“SAS”，“ASA”定理，分类求出证明三角形全等的情形．
【解答】
条件①符合“HL”，，
条件②符合“ASA”定理，
条件③属于“AAA”，不能判定全等，
条件④符合“SAS”定理，
故答案为①②④．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定．关键是根据题目的已知条件，图形条件，合理地选择判定方法．
19．如图，中，是边上的一点（不与，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为 __．
【答案】9
【提示】
点，是线段三等分点，根据同高的三角形面积之比等于对应底边之比得：，，最后可求出即可得出答案．
【解答】
点，是线段三等分点，
，，
，，
由题可知：，
．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查三角形的面积，解题关键是掌握同高三角形面积之比等于对应底边之比．
20．如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7，S△ABD＝15，则S△ABE＝_____．
【答案】
【提示】
过点F作FG⊥BN于点G，根据已知条件证明△ABD≌△BFG，可得BD＝FG，AD＝BG，再证明△BDE≌△FGN可得DE＝GN，根据DE：BN＝1：7，可得GN：BN＝1：7，设ED＝x，DE：BG＝1：6，可得AD＝BG＝6x， AE＝5x，然后根据S△ABD＝15，进而可得S△ABE．
【解答】
解：如图，过点F作FG⊥BN于点G，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∵MN⊥FB，
∴∠FBN+∠FNB＝90°，
∵点M恰在BN的垂直平分线上，
∴MB＝MN，
∴∠ABN＝∠FNB，
∴∠ABN+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠FBN，
∵∠AFB＝∠FBC+∠C＝∠BAD+∠DAC＝∠BAF，
∴BA＝BF，
在△ABD和△BFG中，
，
∴△ABD≌△BFG（AAS），
∴BD＝FG，AD＝BG，
∵∠BED+∠EBD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠BED＝∠ABD＝∠BFG=∠FNG，
在△BDE和△FGN中，
，
∴△BDE≌△FGN（AAS），
∴DE＝GN，
∵DE：BN＝1：7，
∴GN：BN＝1：7，
设ED＝x，
∴DE：BG＝1：6，
∴AD＝BG＝6x，
∴AE＝AD﹣ED＝6x﹣x＝5x，
∵S△ABD＝15，
∴S△ABE＝=．
故答案为：．
【点睛】
本题是三角形的综合题，属于中考题中填空题压轴题，考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积等知识，解决本题的关键是综合运用以上知识．
三、解答题
21．如图，在中，，垂足为点，，，求的度数．
【答案】
【提示】
根据垂直的定义和三角形内角和定理计算即可．
【解答】
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形的内角和等于180°是解题的关键．
22．如图，已知，．求证：．
【答案】见解析
【提示】
证明△ABC≌△ADC即可．
【解答】
在和中，
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质．要证明两个角相等或两条线段相等，最常见的思路是证明三角形全等．
23．如图，点P是△ABC内任意一点，求证：．
【答案】见解析
【提示】
根据三角形三边关系进行证明即可．
【解答】
证明：∵PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PC+PA＞AC．
∴把它们相加，得：PA+PB+ PB+PC+ PC+PA＞AB+BC+AC
∴2(PC+ PC+PA)＞AB+BC+AC
再除以2，得PA+PB+PC．
【点睛】
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键
24．如图，已知，请按下列要求作图：
（1）作边上的中线．
（2）用直尺和圆规作的角平分线．
（3）用直尺和圆规作，使（使点D与A对应，点E与B对应，点F与C对应）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【提示】
（1）作BC的垂直平分线，交BC于D，连接AD即可；
（2）利用基本作图（作已知角的平分线）作∠ACB的平分线CG；
（3）先作线段EF=BC，然后分别以E、F为圆心，BA和CA为半径画弧，两弧交于点D，则△DEF与△ABC全等．
【解答】
解：（1）如图，AD即为所作；
（2）如图，CG即为所作；
（3）如图，△DEF为所作．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
25．如图，，求的长，
【答案】7．
【提示】
先由全等三角形的性质得到AF=AE=4，继而根据DF=AD-AF进行求解即可．
【解答】
∵△ACF≌△ADE，
∴AF=AE，
∵AE=5，
∴AF=5，
∵DF=AD-AF，AD=12，
∴DF=12-5=7．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
26．如图，求的长度．
【答案】5
【提示】
根据三角形内角和得到∠D=∠B，再根据等量代换得到∠DAE=∠BAC，利用ASA证明△ADE≌△ABC，得到AE=AC即可．
【解答】
解：如图，∵∠1=∠3，∠AFD=∠BFE，
∴∠D=∠B，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，
又∵AD=AB，
∴△ADE≌△ABC（ASA），
∴AE=AC=5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据已知条件找到三角形全等的条件．
27．如图，在中，，AD为BC边上的中线．
（1）____________（填“>”“<”或“=”）；
（2）若的周长比的周长多4，且，求AB，AC的长；
（3）的周长为27，，BC边上的中线，的周长为19，求AC的长．
【答案】（1）；（2）；（3）8．
【提示】
（1）根据三角形中线的定义、三角形的面积公式即可得；
（2）先根据三角形的周长公式可得出，再结合求解即可得；
（3）先根据的周长为27可得，从而可得，再根据的周长为19建立等式求解即可得．
【解答】
（1）为BC边上的中线，
，
与等底同高，
，
故答案为：；
（2）∵AD是BC边上的中线，
，
的周长比的周长多4，即，
，
又，
；
（3）的周长为27，，
，即，
解得，
，
又的周长为19，，
，即，
解得．
【点睛】
本题考查了三角形中线、三角形的面积与周长公式等知识点，掌握理解三角形中线的定义是解题关键．
28．（1）模型的发现：
如图1，在中，，，直线经过点，且、两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点，．请直接写出、和的数量关系．
（2）模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若，两点在直线的异侧，请说明、和的关系，并证明．
（3）模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明、和的关系，并证明．
【答案】（1）DE＝BD+CE，理由见解析；（2）（1）的结论不成立，BD＝DE+CE，理由见解析；（3）（1）的结论成立，证明见解析．
【提示】
（1）先证明△DAB≌△ECA，然后根据全等三角形的性质得出AE＝BD，AD＝CE，再结合图形即可得出结论；
（2）模仿（1）中的方法证明即可；
（3）模仿（1）中的方法证明即可；．
【解答】
解：（1）DE＝BD+CE，
理由如下：∵∠DAC＝∠AEC+∠ECA=∠BAC+∠DAB，∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠DAB＝∠ECA，
在△DAB和△ECA中，
∴△DAB≌△ECA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（2）BD＝DE+CE，
证明如下：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵CE⊥直线l，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△BAD和△ACE中，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴BD＝AE＝AD+DE＝DE+CE；
（3）（1）的结论成立，
理由如下：∵∠DAC＝∠2+∠ACE=∠BAC+∠BAD，∠BAC＝∠2，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△DAB和△ECA中，
∴△DAB≌△ECA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理和性质定理．
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