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3.2 图形的旋转
一、旋转
1.旋转的概念
1.在下图中图形都可以看成是由一个或几个基本平面图形转动而产生的奇妙画面。
如图，单摆上小球的转动，由位置P转到位置P′，像这样的运动就叫做旋转（rotation），这悬挂点就
叫做小球旋转的旋转中心。
旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转。这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。
“一个图形绕着一个定点旋转一定角度”，意味着图形上每个点同时都按相同的方式旋转相同的角度。
注意：图形旋转时，每个点都按相同的方式旋转相同的角度 ，但每个点所经过的路线不同。
二、旋转对称与中心对称：
1. 旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角.（旋转角 0°<<360°）.
2.中心对称图形：如果把一个图形绕着一个定点旋转1800后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.
一、单选题
1．四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，逆时针旋转，要使这个最小时，旋转后的图形也能与原图形完全重合，则这个图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．
【解答】
解：A．最小旋转角度；
B．最小旋转角度；
C．最小旋转角度；
D．最小旋转角度．
综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是A．
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转对称图形的知识，求出各图形的最小旋转角度是解题关键．
2．将数字“6”旋转180°，得到数字“9”； 将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数学“69”旋转180°，得到的数字是（ ）
A．96 B．69 C．66 D．99
【答案】B
【提示】
直接利用中心对称图形的性质结合69的特点得出答案．
【解答】
解：现将数字“69”旋转180°，得到的数字是：69．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了生活中的旋转现象，正确想象出旋转后图形是解题关键．
3．如图，四边形经过旋转后与四边形重合，则下面各角不是旋转角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】
根据旋转的性质对各选项进行判断．
【解答】
解：∵四边形ABCD经过旋转后与ADEF重合，
∴∠BAD=∠CAE=∠DAF，它们都等于旋转角．
只有∠CAF不等于旋转角．
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
4．如图，将绕点逆时针旋转得到，则下列说法中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
由旋转的性质可得△ABC≌△AB'C'，∠BAB'＝∠CAC'＝60°，AB＝AB'，即可分析求解．
【解答】
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB′C′，
∴△ABC≌△AB'C'，∠BAB'＝∠CAC'＝60°，
∴AB＝AB'，∠CAB'＜∠BAB'＝60°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，熟练运用旋转的性质是关键．
5．如图，将绕着点O顺时针旋转，得到（点C落在外），若，，则最小旋转角度是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【提示】
直接利用已知得出∠AOC的度数，再利用旋转的性质得出对应边之间夹角，得出答案即可．
【解答】
∵∠AOB= 30°，∠BOC = 10°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COB = 30°+ 10°= 40°
∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，
∴最小旋转角为∠AOC = 40°．
故选： C．
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质，正确得出∠AOC的度数是解题关键．
6．平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，将绕原点按逆时针方向旋转得，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
根据题意证得△AOC≌△OBD，可得结论．
【解答】
解：如图，
根据题意得∶∠AOB=90°，∠ACO=∠BDO=90°，OA=OB，
∴∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
∴△AOC≌△OBD，
∴BD=OC，OD=AC，
∵点的坐标为，
∴BD=OC=1，OD=AC=5，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，属于中考常考题型．
7．如图，若正方形旋转后能与正方形重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【提示】
分别以C、D、CD的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解．
【解答】
以点C为旋转中心，把正方形DCEF逆时针旋转90°，可得到正方形ABCD；
以点D为旋转中心，把正方形DCEF顺时针旋转90°，可得到正方形ABCD；
以CD的中点为旋转中心，把正方形DCEF旋转180°，可得到正方形ABCD；
所以旋转中心有3个．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，熟练掌握旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键．
8．如图，在三角形中，，将三角形在平面内绕点A旋转到三角形的位置，若，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
由旋转的性质可求旋转角的度数．
【解答】
解：因为将三角形在平面内绕点A旋转到三角形的位置，
所以旋转角．
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
9．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D = 90°，BC'=，则线段C'D的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
过点B作BE⊥CC'于点E，根据正方形的性质可得△BCE≌△CDC'，从而得到CE=C'D，BE=C C'，再由将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，可得CE=C'E=C'D=CC'=BE，然后根据勾股定理，即可求解．
【解答】
解：如图，过点B作BE⊥CC'于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠C'CD=90°，
∵∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠C'CD=∠CBE，
又∵∠BEC=∠CC'D=90°，
∴△BCE≌△CDC'（AAS），
∴CE=C'D，BE=C C'，
∵将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，
∴BC=BC'，
又∵BE⊥CC'，
∴CE=C'E=C'D=CC'=BE，
∵BC'=，
∴，
解得：CE=2，
∴线段C'D的长度为2．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
10．在平面直角坐标系中，第一次将作原点的中心对称图形得到，第二次在作关于x轴的对称图形得到，第三次作原点的中心对称图形得到，第四次再作关于x轴的对称图形得到，按照此规律作图形的变换，可以得到的图形，若点，则的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
根据题意画出图形，由图形知每四次一个循环，即可得出结果．
【解答】
解：根据题意，画出图形，如图，
∴点，
∴每四次一个循环，
∵，
∴点的坐标与相同，即．
故选：C.
【点睛】
本题考查了作图一旋转变换，轴对称变换，确定图形每四次一个循环是解题的关键．
二、填空题
11．如图，紫荆花图案至少要绕它的中心旋转___度，才能和原来的图形重合。
【答案】72
【提示】
根据圆的旋转对称性质，正五边形的旋转对称性质解题即可．
【解答】
紫荆花图案至少要绕它的中心旋转，才能和原来图形重合，
故答案：72．
【点睛】
本题考查旋转对称图形的性质，其中涉及到圆与正五边形，是常见基础考点，难度较易，掌握旋转对称图形的性质是解题关键．
12．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得到△A′CB′，若AC⊥A′B′，则∠BAC＝_____°．
【答案】50．
【提示】
在Rt△A'CD中，求得∠DA'C的度数，然后根据旋转的性质即可求解．
【解答】
∵△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得到△A′CB′，
∴∠ACA'＝40°，
∵AC⊥A′B′，
∴Rt△A'CD中，∠DA'C＝90°﹣∠DCA'＝90°﹣40°＝50°，
由旋转的性质可得，∠BAC＝∠DA'C＝50°．
故答案为：50．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质以及直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
13．如图，将一个顶角为30°角的等腰△ABC绕点A顺时针旋转一个角度α（0＜α＜180°）得到△AB'C′，使得点B′、A、C在同一条直线上，则α等于_____°．
【答案】105°
【提示】
由等腰三角形的性质可求∠BAC＝∠BCA＝75°，由旋转的性质可求解．
【解答】
解：∵∠B＝30°，BC＝AB，
∴∠BAC＝∠BCA＝75°，
∴∠BAB'＝105°，
∵将一个顶角为30°角的等腰△ABC绕点A顺时针旋转一个角度α（0＜α＜180°）得到△AB'C′，
∴∠BAB'＝α＝105°，
故答案为：105．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
14．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为________ ．
【答案】60°
【解答】
要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，
∠2+∠3=90°，
∵∠3=30°，
∴∠2=60°，
∴∠1=60°．
故答案是：60°．
15．如图，将等边绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得，的中点E的对应点为F，则的度数是_______．
【答案】
【提示】
根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出∠EAF的度数．
【解答】
∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，
∴旋转角为60°，E，F是对应点，
则∠EAF的度数为：60°．
故答案为：60°．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关键．
16．如图所示，在，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离为__________，旋转角的度数为__________．
【答案】 2 60°
【提示】
根据平移和旋转的性质得到三角形全等，进而得到△A'B'C是等边三角形，即可得到答案．
【解答】
∵将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点A'逆时针旋转一定角度后，点B'恰好与点C重合，
∴△ABC≌△A'B'C'，
∴AB=A'B'=A'C，∠B'=∠B=60°，
∴△A'B'C是等边三角形，
∴∠B'A'C=60°，B'C=AB=4，
∴BB'=6﹣4=2，旋转角的度数为60°．
故答案为：2，60°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质、平移的性质以及旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
17．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为__________.
【答案】5
【提示】
由旋转的性质可得AC＝AC1＝3，∠CAC1＝60°，由勾股定理可求解．
【解答】
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，
∴AC＝AC1＝3，∠CAC1＝60°，
∴∠BAC1＝90°，
∴BC1＝＝＝5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练旋转的性质是本题的关键．
18．如图，是等腰直角三角形，是斜边，点是内一点，，联结，将旋转到的位置，则的长为______.
【答案】
【提示】
先根据旋转得出，再证的是等腰直角三角形即可求解PQ的长.
【解答】
∵是旋转所得
∴
∴
∵是等腰直角三角形，是斜边
∴
∴
∴
故填：.
【点睛】
本题主要考察图形的旋转、全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质，利用旋转得出是等腰直角三角形是关键.
三、解答题
19．如图，已知和三角形外一点，按要求完成图形：
（1）将绕顶点顺时针方向旋转90°，得；
（2）将绕点沿逆时针方向旋转60°，得．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【提示】
（1）旋转中心为C，关键点为A、B，旋转角为90°，由于旋转角为90°，，所以延长AC到，使，在BC上截取，即可得到A、B的对应点，从而作出旋转后的图形；
（2）连接AP，沿逆时针方向作，并截取，即可确定点A的对应点，同样的方法即可得出点B与点C的对应点与，最后连接即可．
【解答】
（1）如图（1）所示．
（2）如图（2）所示．
图（1） 图（2）
【点睛】
本题考查了作旋转图形，熟练掌握旋转性质是解题的关键．
20．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A′B′C′．
（2）求点B绕点O旋转到点B′的路径长（结果保留π）．
【答案】（1）画图见解析；（2）点B绕点O旋转到点B′的路径长为．
【提示】
（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′，从而得到△A′B′C′；
（2）先计算出OB的长，然后根据弧长公式计算点B绕点O旋转到点B′的路径长．
【解答】
（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）OB＝＝3，点B绕点O旋转到点B′的路径长＝＝π．
【点睛】
本题考查作图﹣旋转变换和旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
21．如图所示，绕点A旋转得到，
（1）则DE与BC的位置关系是_________，数量关系是_________；
（2）若，则_________；
（3）若，，的周长为偶数，则AE的长为_________；
【答案】（1）；；（2）24；（3）4．
【提示】
（1）根据旋转的性质可得，DE=BC，∠E=∠B，然后根据内错角相等，两直线平行即可得出结论；
（2）根据旋转的性质可得△AED≌△ABC，从而得出结论；
（3）根据旋转的性质可得AD=AC=2，ED=BC=4，然后根据三角形的周长和三边关系即可求出AE的长．
【解答】
解：（1）由旋转的性质可得：DE=BC，∠E=∠B
∴
故答案为：；．
（2）由旋转的性质可得△AED≌△ABC，
∴
故答案为：24．
（3）由旋转的性质可得AD=AC=2，ED=BC=4，
在△ADE中，ED －AD＜AE＜ED＋AD
即2＜AE＜6
∵的周长为偶数，AD、ED均为偶数
∴AE也为偶数
∴AE=4
故答案为：4．
【点睛】
此题考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和三角形的三边关系，掌握旋转前后的对应角相等、对应边相等和三角形的三边关系是解决此题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，点，点，将绕着点旋转180°后得到．
（1）在图中画出；
（2）求点、点的对称点和的坐标；
（3）请直接写出和的数量关系和位置关系．
【答案】（1）见解析；（2），；（3），
【提示】
（1）延长AO到A′，使A′O=AO，延长BO到B′，使B′O=BO，然后连接A′B′即可得到△OA'B'；
（2）根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数写出即可；
（3）根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小进行解答．
【解答】
（1）如图，为所作；
（2）∵点，点，
∴点，点．
（3）根据旋转的不变性，AB=A′B′，
∵∠A=∠A′，
∴AB∥A′B′．
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟记旋转的性质并准确作出图形是解题的关键．
23．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按逆时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB=2，OC=3，求AO的长．
【答案】（1）60°；（2）
【提示】
（1）由题意根据旋转的性质得到△ODC为等边三角形即可求出∠ODC的度数；
（2）根据题意先得出∠ADO=90°，进而在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求得AO的长．
【解答】
解：（1）由旋转的性质得，CD=CO，∠ACD=∠BCO，
∵∠ACB=60°，
∴∠DCO=60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠ODC=60°；
（2）由旋转的性质得，AD=OB=2，
∵△OCD为等边三角形，
∴OD=OC=3，
∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=90°，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质以及勾股定理，由题意得出∠ADO=90°并依据勾股定理进行分析是解题的关键．
24．（1）如图（a）所示，点是正方形内的一点，把绕点顺时针方向旋转，使点与点重合，点的对应点是．若，，，求的度数．
（2）如图（b）所示，点是等边三角形内的一点，若，，，求的度数．
【答案】（1）135°；（2）150°
【提示】
（1）根据题意得出△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，进而得出∠PBQ=90°，再利用勾股定理逆定理得出∠PQC的度数，进而求出∠BQC的度数；
（2）由题意可得出：△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，才使点A与C重合，进而得出∠PP'C=90°，即可得出∠BPA的度数．
【解答】
（1）如图(a)所示，连接．
由旋转可知：，．
又∵四边形是正方形，
∴绕点顺时针方向旋转了90°，才使点与重合．
即，
∴是等腰直角三角形．
∴，．
在中，，，，
∴，
∴．
故．
（2）如图(b)所示，作，且，连接，
∴是等边三角形．∴，．
∵是等边三角形，
∴，，
∴∠ABP+∠PBC=∠PBC+∠CBP'，
∴．∴．
∴，．
在中，，，，
∴，
∴．
故．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、勾股定理逆定理和正方形的性质等知识，熟练利用勾股定理逆定理得出直角是解答本题的关键．
25．在中，，于点，为线段上的一点，，以为直角边在直线右侧构造等腰使，连接，为的中点．
（1）如图1，与交于点，连接，求线段的长度；
（2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为且，为线段的中点，连接，，猜想的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）如图3，连接，将绕点逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出线段长度的最大值．
【答案】（1）；（2），为定值，见解析；（3）+2
【提示】
（1）证明 EHC为直角三角形，得到HG=EC，利用勾股定理在直角三角形EDC中求得EC长即可得解；
（2）连接BE，CF，证明 ABE≌ ACF，从而得到BE⊥CF，又由三角形的中位线定理得到HG//CF，DG//BE，从而证得HG⊥DG，即，为定值；
（3）在AC上取中点S，并连接BS，SG，则有BG≤BS+SG，当B，S，G三点共线时，BG最大为BS+SG，利用勾股定理和三角形的中位线的性质即可计算得解；
【解答】
解：（1）如图1，
∵在中，，，
∴BC=12，
又∵,
∴BD=CD=AD=6，
∠BAD=∠CAD==45°,
又∵为等腰三角形，
又∵∠EAH=∠FAH=45°,
∴AC⊥EF，
∴ EHC为直角三角形，
又为的中点，
∴HG=EC，
∵,
∴DE==，AE=4，
在Rt EDC中，由勾股定理可知：
,
∴HG=EC= ;
（2），为定值，理由如下：
如图2，连接BE，CF，交于K
∵∠BAC=∠EAF=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE，
∴
在 ABE和 ACF中
，
∴ ABE≌ ACF(SAS)
∴∠1=∠2，
又∵∠1+∠BAC=∠2+∠BKC，
∴∠BKC=∠BAC=90°，
∴BE⊥CF，
在 EFC中，为线段的中点，为的中点
∴HG//CF，
在 BCD中，D为线段BC的中点，为的中点
∴DG//BE，
∴HG⊥DG，
即，为定值；
（3）如图3，
在AC上取中点S，并连接BS，SG，则有
BG≤BS+SG，当绕点逆时针旋转到与B，S，G三点共线时，BG最大为BS+SG．
又易知SG为 AEC的中位线，
∴SG=AE=×4=2，
由勾股定理易知：BS=,
故BG的最大值为+2
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，三角形三边关系，勾股定理及旋转的性质，本题综合性较强，善于以基本的构图模型为基础进行思考，是顺利解答本题的关键．
（1）
（2）
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3.2 图形的旋转
一、旋转
1.旋转的概念
1.在下图中图形都可以看成是由一个或几个基本平面图形转动而产生的奇妙画面。
如图，单摆上小球的转动，由位置P转到位置P′，像这样的运动就叫做旋转（rotation），这悬挂点就
叫做小球旋转的旋转中心。
旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转。这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。
“一个图形绕着一个定点旋转一定角度”，意味着图形上每个点同时都按相同的方式旋转相同的角度。
注意：图形旋转时，每个点都按相同的方式旋转相同的角度 ，但每个点所经过的路线不同。
二、旋转对称与中心对称：
1. 旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角.（旋转角 0°<<360°）.
2.中心对称图形：如果把一个图形绕着一个定点旋转1800后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.
一、单选题
1．四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，逆时针旋转，要使这个最小时，旋转后的图形也能与原图形完全重合，则这个图形是（ ）
A． B． C． D．
2．将数字“6”旋转180°，得到数字“9”； 将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数学“69”旋转180°，得到的数字是（ ）
A．96 B．69 C．66 D．99
3．如图，四边形经过旋转后与四边形重合，则下面各角不是旋转角的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将绕点逆时针旋转得到，则下列说法中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将绕着点O顺时针旋转，得到（点C落在外），若，，则最小旋转角度是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
6．平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，将绕原点按逆时针方向旋转得，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，若正方形旋转后能与正方形重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在三角形中，，将三角形在平面内绕点A旋转到三角形的位置，若，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D = 90°，BC'=，则线段C'D的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，第一次将作原点的中心对称图形得到，第二次在作关于x轴的对称图形得到，第三次作原点的中心对称图形得到，第四次再作关于x轴的对称图形得到，按照此规律作图形的变换，可以得到的图形，若点，则的坐标为( )
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，紫荆花图案至少要绕它的中心旋转___度，才能和原来的图形重合。
12．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得到△A′CB′，若AC⊥A′B′，则∠BAC＝_____°．
13．如图，将一个顶角为30°角的等腰△ABC绕点A顺时针旋转一个角度α（0＜α＜180°）得到△AB'C′，使得点B′、A、C在同一条直线上，则α等于_____°．
14．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为________ ．
15．如图，将等边绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得，的中点E的对应点为F，则的度数是_______．
16．如图所示，在，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离为__________，旋转角的度数为__________．
17．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为__________.
18．如图，是等腰直角三角形，是斜边，点是内一点，，联结，将旋转到的位置，则的长为______.
三、解答题
19．如图，已知和三角形外一点，按要求完成图形：
（1）将绕顶点顺时针方向旋转90°，得；
（2）将绕点沿逆时针方向旋转60°，得．
20．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A′B′C′．
（2）求点B绕点O旋转到点B′的路径长（结果保留π）．
21．如图所示，绕点A旋转得到，
（1）则DE与BC的位置关系是_________，数量关系是_________；
（2）若，则_________；
（3）若，，的周长为偶数，则AE的长为_________；
22．如图，在平面直角坐标系中，点，点，将绕着点旋转180°后得到．
（1）在图中画出；
（2）求点、点的对称点和的坐标；
（3）请直接写出和的数量关系和位置关系．
23．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按逆时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB=2，OC=3，求AO的长．
24．（1）如图（a）所示，点是正方形内的一点，把绕点顺时针方向旋转，使点与点重合，点的对应点是．若，，，求的度数．
（2）如图（b）所示，点是等边三角形内的一点，若，，，求的度数．
25．在中，，于点，为线段上的一点，，以为直角边在直线右侧构造等腰使，连接，为的中点．
（1）如图1，与交于点，连接，求线段的长度；
（2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为且，为线段的中点，连接，，猜想的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）如图3，连接，将绕点逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出线段长度的最大值．
（1）
（2）
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