2021-2022学年浙教版数学八年级上册 2.7探索勾股定理---从勾股定理到图形面积关系的拓展 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
环节一：复习导入，引发思考
1.勾股定理用文字语言来表述，是怎样的？
2.已知：如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，写出a,b,c之间的关系式.
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
3.如图，分别以a、b、c为一边向外作三个正方形，对应的正方形面积记为S1、S2、S3.思考：S1、S2与S3有怎样的等量关系？请用一个等式表示出来.
4.结合右边的图形，用一句话来概括勾股定理与图形面积的关系.
归纳：分别以直角三角形两条直角边为边长的两个正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形面积.
从勾股定理
到图形面积关系的拓展
2021年10月20日
实验欣赏
研究的极致
环节二：自主合作，学会探究
思考：
1.如果以直角三角形三边为基本要素，分别向外作其它图形，那么这个结论还成立吗？
2.要回答这个问题，请按照下面的步骤先自主探究，然后与你的同伴交流你的发现及探索过程.
步骤：
1.选择你熟悉的几何图形，在备用图上作出要探究的图形.
2.通过观察、测量等操作方法，你发现了什么？请给出你的猜想.
.
操作发现
大胆猜想
小心求证
归纳小结
3.写出你的验证过程.
4.归纳刚刚证得的结论.
“在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形面积之和.”
环节三：图形再探，激活思维
思考：
刚才我们分别以直角三角形的三边向形“外”作图，然后开展探究活动.
数学家总是很喜欢从“反面”来思考问题，所以按照这个想法，你觉得接下来该如何研究？
1.如图（1）左图，如果把以斜边为一边的正方形向形“内”作图，而其它两个正方形不变，从而得到（1）右图.
思考：绿色图形的面积之和与紫色图形的面积之和有怎样的数量关系？
2.对（2）中左图按照同样的方法操作，得到了图（2）中的两个月牙.
“两个月牙形的面积之和，等于这个直角三角形的面积，即S1+S2=S5.”你能说明理由吗？
关于这两个月牙形与直角三角形的面积关系，古希腊数学家希波克拉底大约在公元前400年就给出了如下结论：
1.在前面的探究中我们已经知道：
“在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形面积之和.”
请看下面的材料：
环节四：拓展升华，情理交融
那么这个结论是不是一定不成立了呢？
不相似
任意三角形
“设ABC是任意三角形，CADE和CBFG是在两边CA和CB两侧所画的任何两个平行四边形，设DE和FG相交于点H，作AL和BM与HC平行且相等，三个平行四边形面积别记为S1、S2、S3.则S1+S2=S3."（如图）
这个结论的证明留给大家课后去探索.
在古希腊时代，亚历山大里亚的帕普斯（Pappus，大约公元前300年）在他的《数学汇编》（Mathematical Collection）一书的第4卷中给出了一个令人注目的关于勾股定理的推广.
2.我们知道直角三角形是平面图形，对应的勾股定理表达式是a2+b2=c2.
a2+b2=c2
三维
二维
？
a2+b2+c2=d2
如果平面图形拓展到立体图形，比如长方体（如图），那么长方体中是否也存在类似的平方关系呢？
3.勾股定理表达式是a2+b2=c2，从代数角度看，可以提出如下问题：
是否可以找到一组正整数（a，b，c）使得这个等式成立？
像勾股数（3，4，5）；（5，12，13）等都是符合要求的正整数解.
思考：
如果从“次数” 上进行推广，我们可以提出怎样的问题？
费马大定理，又被称为“费马猜想”，常见的表述为：
当整数n>2时，关于xn + yn = zn 的方程没有正整数解.
最大成就：
证明了费马大定理.
环节五：导图梳理，建构内化
边角推广
立体推广
数推广
形外
形内
形
数
勾股定理
a2+b2=c2
特例：正方形
Sa+Sb=Sc
月牙定理
一般：相似形
Sa+Sb=Sc
费马大定理
特例：长方体
a2+b2+c2=d2
帕普斯推广
勾股数
【当堂检测】
1. 已知：如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形 ，若正方形 A ，B ，C ，D 的面积分别是9,25,4,9则最大正方形G的面积是 .
图（1）
图（2）
2.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中曾有记载.以直角三角形的各边为边分别向外作正方形如图1，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.
（A）直角三角形的面积.
(B)最大正方形的面积.
(C)较小两个正方形重叠的面积.
(D)最大正方形与直角三角形的面积之和.
如果知道图中阴影部分的面积.则一定能求出（ ）.
作业：
搜索并学习勾股定理拓展的数学历史，然后写一篇数学小论文.