1.4.1 二次函数的应用（百分率、利润问题）（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数应用（百分率、利润问题）
一、单选题
1．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　）
A． B．
C． D．
2．某超市一月份的营业额是100万元，月平均增加的百分率相同，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长的百分率是 ，那么可列出的方程是（　　）
A． ； B． ；
C． ； D． .
二、填空题
3．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，则平均每次降价的百分率是　 　.
4．某商品原价为180元，连续两次提价后售价为300元，且每次提价的百分率相等，设每次提价的百分率为x，依题意可列方程　 　.
5．受供求关系影响，去年猪肉价格经过连续两轮涨价，价格从40元/千克涨到90元/千克，若两轮涨价的百分率相同，则这个百分率是　 　．
三、综合题
6．从上饶到杭州的火车原来的平均速度是180千米/时，经过两次提速后平均速度为217.8千米/时，这两次提速的百分率相同．
（1）求该火车每次提速的百分率；
（2）填空：若上饶到杭州的铁路长396千米，则第一次提速后从上饶到杭州所用的时间比提速前少了　 　小时．
7．2015年底某市汽车拥有量为100万辆，而截止到2017年底，该市的汽车拥有量已达到144万辆．
（1）求2015年底至2017年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，预计2018年底该市汽车拥有量将达到多少万辆．
8．随着疫情防控形势稳步向好，“复工复产”成为主旋律。某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架。
（1）求该公司生长A型无人机每月产量的平均增长率；
（2）该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本200元，生产1架B型无人机的成本是300元，再要生产A、B两种型号无人机共100架，其中A型无人机数量不超过B型无人机数量的3倍。公司生产A、B两种型号无人机各多少架时才可使生产成本最少？
9．某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．
（1）求y关于x的一次函数解析式；
（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
10．大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a元，市场调查发现日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间存在一次函数关系如表：
销售价x（元/件） … 110 115 120 125 130 …
销售量y（件） … 50 45 40 35 30 …
若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡（其中支出=商品成本+员工工资+应支付其它费用）：已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其它费用为200元（不包括集资款）．
（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大：（毛利润═销售收入一商品成本一员工工资一应支付其他费用）
（3）在（2）的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天（取整数）才能还清集资款？
11．2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品，某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件，若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套.
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
12．荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元．
（1）降价后平均每天可以销售荔枝　 　千克．（用含x的代数式表示）
（2）设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．
（3）该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？
13．某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）.经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件.
（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件.①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
14．某花卉市场店铺老板用5400元按批发价购买了一批花卉．若将批发价降低，则可以多购买该花卉20盆．据市场调查反映，该花卉每盆售价42元时，每天可卖出20盆；若调整价格，每盆花卉每涨价2元，每天要少卖出1盆．
（1）该花卉每盆批发价是多少元？
（2）店铺老板决定在每盆售价42元的基础上，每盆花卉涨价不超过10元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？
（3）该店铺开展快递托运送货到家活动，但每盆花卉店铺还需增加a元的快递成本，若每盆花卉售价不低于62元时，每天的利润将随着售价的增长不断降低，请直接写出快递成本最多是多少元？
15．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
16．新冠肺炎期间，某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需 220元．两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销量 y1（盒）与售价 x（元）之间的关系为
y1＝400﹣8x；当售价为 40 元时，乙口罩可销售 100 盒，售价每提高1元，少销售5盒．
（1）求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？
（2）当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时两种口罩的销售利润总和为多少？
（3）已知甲的销售量不低于乙口罩的销售量的 ，若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：已知平均每个季度 增长的百分率为 ，
则 关于 的函数表达式是： ．
故答案为：C．
【分析】根据“当前季度的GDP=前一个季度的GDP×（1+增长率）”可列出函数表达式。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意可得，100+100（1+x）+100（1+x）2=364
故答案为：B.
【分析】根据题意，由一月份的营业额，相同的百分率以及总营业额，列出方程即可。
3．【答案】10%
【解析】【解答】设平均每次降价的百分率是
根据题意，得：
∴
根据题意，得：
∴
∴ ，即
故答案为：10%.
【分析】设平均每次降价的百分率是 ，经过两轮降价后“现价=原价×（1-降价率）2，依此列方程求解即可.
4．【答案】
【解析】【解答】解：根据题意可得，180（1+x%）2=300
【分析】根据题意，由等量关系列出方程即可。
5．【答案】50%
【解析】【解答】设百分率为x 可列出40（1+x）2=90，可解出x=50%
【分析】根据涨价率与价格的关系，可列出方程。
6．【答案】（1）解：设该火车每次提速的百分率为x，
根据题意，得： ，解得： （舍去），
答：该火车每次提速的百分率为10%；
（2）0.2
【解析】【解答】解：（2）第一次提速后的速度为 （千米/时）
∴ （小时），
故答案为：0.2．
【分析】（1）设该火车每次提速的百分率为x，根据“两次提速后平均速度为217.8千米/时”列方程求解即可；（2）利用（1）求出第一次的速度，再求出第一次、第二次的时间，最后作差求解即可。
7．【答案】（1）解：设2015年底至2017年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，
由题意得：100（1+x）2＝144，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：2015年底至2017年底，该市汽车拥有量的年平均增长率为20%
（2）解：144×（1+20%）＝172.8（万辆）
答：预计2018年底该市汽车拥有量将达到172.8万辆．
【解析】【分析】（1）可以设年平均增长率为x，根据2015年和2017年汽车的数量即可列出方程，求出x的值即可。
（2）根据（1）中求出的增长率，计算2018年的汽车拥有量即可。
8．【答案】（1）解：设平均增长率为x
∴2000（1+x）2=12500
∴x1= ，x2= （舍）
∴增长率为150%
（2）解：设A型x架，则B型（100-x）架
∴x≤3（100-x）
X≤75
生产成本W=200x+300（100-x）
=-100x+30000
∴当x最大时，W最小
∴x=75时，Wmin=22500元
∴A型75架，B架25架。
【解析】【分析】（1）设公司的平均增长率为x，根据2月份以及4月份的数量，即可得到关于x的方程，求出答案即可。
（2）可以设A型号的数量为x，则B型号的数量为（100-x），那么根据A的数量不超过B的3倍，即可得到不等式，求出答案即可。
9．【答案】（1）解：设，把，和，代入可得
，
解得，
则；
（2）解：每月获得利润
．
∵，
∴当时，P有最大值，最大值为3630．
答：当价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元．
【解析】【分析】（1）设，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
10．【答案】（1）解：由表可知，y是关于x的一次函数，设y=kx+b，
将x=110、y=50，x=115、y=45代入，
得： ，
解得： ，
∴y=-x+160
（2）解：由已知可得：50×110=50a+3×100+200，
解得：a=100，
设每天的毛利润为W，
则W=（x-100）y-2×100-200
=（x-100）（-x+160）-2×100-200
=-x2+260x-16400
=-（x-130）2+500，
∴当x=130时，W取得最大值，最大值为500，
答：每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大利润为500元
（3）解：设需t天能还清借款，
则500t≥50000+0.0002×50000t
解得：t≥102 ，
∵t为整数，
∴t的最小值为103，
答：该店最少需要103天才能还清集资款
【解析】【分析】（1）由表格中的信息用待定系数法可求一次函数的解析式；
（2）根据当天正好收支平衡（其中支出=商品成本+员工工资+应支付其它费用）列出关于成本a的值，再根据毛利润═销售收入一商品成本一员工工资一应支付其他费用列出解析式，并将求得的解析式配成顶点式用二次函数的性质即可求解；
（3）由（2）知，W的最大值为500，设需t天能还清借款，则由题意可得t天所还的款大于或等于本金+利息，列不等式即可求解。
11．【答案】（1）解：根据题意，得
与x之间的函数关系式是
（2）解：根据题意，得
∴抛物线开口向下，W有最大值
当 时，
答：每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元.
【解析】【分析】（1）由题意可得当售价为x元时，每天可多少卖×4(x-48)套，利用200减去少卖的套数可得y与x的关系式；
（2）根据(售价-进价)×销售量可得W关于x的关系式，然后结合二次函数的性质进行解答.
12．【答案】（1）40+10x
（2）解：
整理得
（3）解：即，代入函数得，
解方程，得，
因为要尽可能地清空库存，所以舍去取
此时荔枝定价为（元/千克）
答：应将价格定为24元/千克。
【解析】【分析】(1)根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”写出表达式即可；
(2)根据“销售利润=销售数量×（售价-进价）”建立y关于x的函数关系式即可；
(3)利用(2)的结果，结合每天的销售利润达到480元，建立关于x的方程求解， 最后确定定价，应考虑尽可能地减少库存压力.
13．【答案】（1）解：由题意得：
（2）解：①由（1）得：当 时，
则 即
解得：
即第一年的售价为每件16元，
② 第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，
解得：
其他成本下降2元/件，
∴
对称轴为
当 时，利润最高，为77万元，而
当 时， （万元）
当 时， （万元）
所以第二年的最低利润为 万元.
【解析】【分析】（1）根据总利润=每件利润×销售量-投资成本，列出函数关系式即可；
（2） ①由（1）得W求出W=4时x的值即可；②根据“第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件”列出不等式组，可求出x的范围，根据总利润=每件利润×销售量-投资成本，列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可.
14．【答案】（1）解：设批发价是x元，由题意可得：
，
解得x＝30，
经检验，x＝30是原方程解，
答：花卉每盆批发价30元；
（2）解：设涨价m元（0＜m≤10），利润W元，
W＝（42+m-30）（20﹣）＝-m2+14m+240，
对称轴是m＝14，且-＜0开口向下，
∵0＜m≤10
∴当m＝10时，W有最大值，是330元；
（3）解：快递成本最多是12元．
【解析】【解答】解：(3)W＝（42+m-30-a）（20-m）＝-m2+（14+）m+240-20a，
∵42+m≥62，
∴m≥20，
∵利润随售价增长而降低，
∴对称轴m＝14+≤20，
∴a≤12，
∴快递成本最多是12元．
【分析】（1） 设批发价是x元，根据题意列出分式方程解之即可；
（2）设涨价m元（0＜m≤10），利润W元， 求出函数解析式，根据二次函数的性质即可求出最大利润；
（3）根据二次函数的性质即可求出答案。
15．【答案】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为，
把点（25，50）和点（35，30）代入，得
，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是元，则
，
解得：，，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）解：根据题意，则
，
整理得：；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该玩具某天的销售利润是600元， 列方程求解即可；
（3）先求出 ， 再求解即可。
16．【答案】（1）解：设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为 x 元、y 元，由题意得：
解得： .
∴甲、乙两种口罩每盒的进价分别为 20元、30元．
（2）解：设乙口罩的销售利润为 w 元，由题意得：
w＝（x﹣30）[100﹣5（x﹣40）]
＝﹣5x2+450x﹣9000
＝﹣5（x﹣45）2+1125，
∴当乙口罩的售价为 45 元时，乙口罩的销售总利润最大，为1125元．
当售价为 45 元时，y1＝400﹣8x＝400﹣8×45＝40（盒）；
∴甲口罩的销售利润为：（45﹣20）×40＝1000（元），
∴此时两种口罩的销售利润总和为：1125+1000＝2125（元）．
∴当乙口罩的售价为 45 元时，乙口罩的销售总利润最大，此时两种口罩的销售利润总和为 2125 元．
（3）解：由题意得：
解得：x≤36，
∵两种口罩的利润总和 w 总＝（400﹣8x）（x﹣20）+（﹣5x2+450x﹣9000）
＝﹣13x2+1010x﹣17000，
∴对称轴为： ，
∴当 x＝36 时，两种口罩的利润总和最高．
∴若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为 36 元．
【解析】【分析】(1)设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为 x 元、y 元，根据“ 购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需 220元 ”，列出二元一次方程组求解，即可解答；
(2)设乙口罩的销售利润为 w 元，根据“利润=单件利润×数量”列出函数关系式，然后根据二次函数的性质求最大值，依此价格计算出甲口罩的销售利润，再求和，即可解答；
(3)根据“ 甲的销售量不低于乙口罩的销售量的 ”，列出不等式求出x的范围，再把两种口罩的利润总和 w 总表示出来，根据二次函数的性质求最大值即可.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)