1.4.2 二次函数的应用（围篱笆问题）（含解析）

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二次函数应用（围篱笆问题）
一、单选题
1．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（　　）
A．y=- x2+26x（2≤x＜52） B．y=- x2+50x（2≤x＜52）
C．y=-x2+52x（2≤x＜52） D．y=- x2+27x-52（2≤x＜52）
2．如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开。已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长。小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2。则：（　　）
A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
3．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m.若饲养室长为xm，占地面积为y ，则y关于x的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣ x2+26x（2≤x＜52） B．y＝﹣ x2+50x（2≤x＜52）
C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52） D．y＝﹣ x2+27x﹣52（2≤x＜52）
二、填空题
4．长方形的周长为24厘米，其中一边为x（其中），面积为y平方厘米，则这样的长方形中y与x的关系可以写为　 　
5．如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE=DF。若四边形AECF是矩形，则矩形AEGF的面积y关于BE的长工的函数解析式是　 　(不用写出x的取值范围)
三、解答题
6．在美化校园的活动中，某兴趣小组用总长为28米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花园，墙长8米，设AB的长为x米，矩形花园的面积为S平方米，当x为多少时，S取得最大值，最大值是多少？
7．如图，小亮父亲想用长80m的栅栏.再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2.
（1）写出S与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围.
（2）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？
8．如图，在一块长16米、宽10米的矩形场地上修建一横一竖两条甬道，场地其余部分种植草坪，已知横、竖甬道的宽度之比为2：1，设竖甬道的宽度为工米，草坪面积为y平方米．
（1）请直接写出y关于x的函数解析式．(不必写出x的取值范围)
（2）若草坪的面积为120平方米，请求出竖甬道的宽度．
9．为配合我市“推进爱国卫生专项行动，创建全国文明城市”，某单位计划在一块矩形空地上修建绿色植物园（如图所示），其中边靠墙（墙长为 米），另外三边用总长 米的材料围成.若 米，矩形 的面积为 平方米.
（1）求 与 的函数关系式；
（2）若矩形面积为 平方米，求 的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ 栅栏总长度为50m， 饲养室长为xm， 门宽为2m，
∴ 饲养室宽为（）m，
∴y=（）x=（2≤x＜52）.
故答案为：A.
【分析】根据题意求出饲养室的宽，利用矩形的面积公式列出式子进行化简，即可得出答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：设垂直于墙的一边的长为xm，隔离区的面积为ym2，
∴y=x（12-x）=-3（x-2）2+12，
∵12-3x≤5，
∴x≥，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下，
∴当x=时，y有最大值为，
故小明错误，
当x=3时，y=9，
故小亮正确.
故答案为：B.
【分析】设垂直于墙的一边的长为xm，隔离区的面积为ym2，根据题意得出y=-3（x-2）2+12，x≥，根据二次函数的性质得出当x=时，y有最大值为，即可判断小明错误，当x=3时，y=9，即可判断小亮正确.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：y关于x的函数表达式为：y （50+2﹣x）x
x2+26x（2≤x＜52）.
故答案为：A.
【分析】饲养场的长为xm，则宽为（50+2-x）m，由矩形的面积y=矩形的长×宽可求解.
4．【答案】y=
【解析】【解答】解：长方形的一边是xcm，则另一边长是（12-x）cm.
则y=（12-x）x=-x2+12x.
故答案是：y=
【分析】根据长方形的面积=长×宽即可求解.
5．【答案】y=16-x2
【解析】【解答】解：∵ 正方形ABCD的边长是4，
∴AB=AD=4，
∵ BE=DF =x，
∴AE=4-x，AF=4+x，
∴ 矩形AEGF的面积y=AE·AF=（4-x）（4+x）=16-x2.
【分析】根据题意求出AE=4-x，AF=4+x，再根据矩形的面积公式得出y=AE·AF，再进行化简，即可得出答案.
6．【答案】解： .
，
当 时，S有最大值，最大值
【解析】【分析】由题意可得出： ，再利用二次函数增减性求得最值
7．【答案】（1）解：∵AB＝CD＝xm，∴BC＝（80﹣2x）m，
∴S＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴15≤x＜40
∴S＝﹣2x2+80x，（15≤x＜40）
（2）解：∵S＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）＝﹣2（x﹣20）2+800，
∵15≤x＜40，
∴当x＝20时，S有最大值为800，
∴即当AB＝20m，BC＝40m时，面积S有最大值为800m2
【解析】【分析】（1）易得BC=(80-2x)m，然后根据矩形的面积公式可得S，根据AB>0、0（2）对S进行配方，然后结合二次函数的性质以及x的范围进行解答.
8．【答案】（1）y =2 x2 -42x +160
（2）解：依题意，得 2 x2 -42x +160=120 ，
整理，得 x 2 -21 x +20=0 ，
解得 x 1 =1 ， x 2 =20.
当 x =1 时， 10-2 x =8>0 ，符合题意 .
当 x =20 时， 10-2 x =-30<0 ，不符合题意，舍去 .
答：竖甬道的宽度为 1 米
【解析】【解答】解：（1）横甬道的宽度为 2 x 米，剩余部分可合成长( 16- x )米，宽( 10-2 x )米的矩形 .依题意，得 y = ( 16- x )( 10-2 x ) =2 x 2 -42 x +160.
【分析】（1）根据题意得出横甬道的宽度为2x米，剩余部分合成长为（16- x ）米，宽为( 10-2x )米的矩形，利用矩形的面积公式得出y=（16- x ）（10- 2x ），进行化简即可得出答案；
（2）根据题意列出方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案.
9．【答案】（1）解：由题意
即 ；
（2）解：由（1）知： ，即
，
解得 ， ，
答： 的长为 米或20米.
【解析】【分析】（1）根据三边总长36米，表示出AD的长为 ，然后根据矩形面积公式即可列出y和x的关系式；（2）令（1）中y=160，解出对应x值即可；
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