第一章 三角形的初步认识单元测试卷（困难）（含答案）

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浙教版初中数学八年级上册第一章《三角形的初步认识》单元测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外面时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，这一规律是( )
A.
B.
C.
D.
如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，与交于点，交于，交于，连接下列结论：；：：；垂直平分；其中，正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
有下列六个命题：两条直线被第三条直线所截，同位角相等；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；负数没有平方根；无限小数都是无理数；算术平方根等于它本身的数只有其中正确的命题有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
下列命题是真命题的是( )
A. 如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是
B. 如果一个数的平方根等于这个数本身，那么这个数一定是
C. 如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数定是
D. 如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数定是
学校体育室里有个箱子，分别装有篮球和足球不混装，数量分别是，，，，，，体育课上，某班体育委员拿走了一箱篮球，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的倍，则这六箱球中，篮球有箱．( )
A. B. C. D.
如图，正方形中，，点、、、分别是，，，上的点，有以下四个命题：
若，则；
若，则；
若，则；
若，则其中真命题有( )
A. B. C. D.
已知菱形，、是动点，边长为，，，
≌；为等边三角形；；若，则．
则结论正确个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，在中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和，交于点，，连接若，，，则下列结论中正确的个数有( )
；是等边三角形；与互相垂直平分；．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
同学们，手拉手模型是全等证明中常见的类型．如图，，均为为等边三角形，，，三点在一条直线上，下列结论中正确的有几个( )
≌≌垂直
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图所示，能运用“”定理证明≌的是
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
已知，作图步骤以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧交于点，画射线步骤在上任取一点，以点为圆心，长为半径画半圆，分别交、、于点、、步骤连结、则下列判断：垂直平分，其中正确的结论有( )
A. B. C. D.
下列说法：
画一条长为的直线；
若，则为线段的中点；
线段是点到点的距离；
，为的三等分线，则．
其中正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
第II卷（非选择题）
填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，和是分别以、为对称轴翻折形成的，若，则的度数为_______．
电脑系统中有个“扫雷”游戏，游戏规定：一个方块里最多有一个地雷，方块上面如果标有数字，则是表示此数字周围的方块中地雷的个数．如图中的“”就是表示它周围的八个方块中有且只有个有地雷．如图，这是小明玩游戏的局部，图中有个方块已确定是地雷标旗子处，其它区域表示还未掀开，问在标有“”“”的七个方块中，能确定一定是地雷的有 填方块上的字母．
如图，在中，，，，动点从点出发沿的路径向终点运动，动点沿的路径向终点运动动点和动点分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻分别过点和作于，于则点运动时间为________秒时，与全等．
如图，已知≌，连结，若，则的度数是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
如图，已知的周长为，，边上的中线，的周长为，求的长．
已知矩形的两边长分别为与，设矩形的面积为．
求关于的函数表达式化为一般式，并写出自变量的取值范围．
判断命题“当上述矩形为正方形时，面积取得最大值”是真命题还是假命题？并说明理由．
如图所示，
求证：；
如果点与点分别在线段的两侧，猜想，，，这个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．
如图，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
如图，当 时，的面积等于面积的一半
如图，在中，，，，A.在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好使，求点的运动速度．
如图，在中，，点在边上，，且将以直线为轴做轴对称变换，得到，连接
求证：；
求的大小．
如图，在中，，，为边的一点，为边上一点，连接，交于点且，平分交于点，
求证：；
延长交于，连接，过点作交的延长线于点，求证：；
在问的条件下，当时，若，，求的长．
如图，在中，，，是等边三角形，点在边上．

如图，当点在边上时，求证；
如图，当点在内部时，猜想和数量关系，并加以证明；
如图，当点在外部时，于点，过点作，交线段的延长线于点，，求的长．
如图，中，，，．
用尺规作图法在内求作一点，使点到两点、的距离相等，又到边、的距离相等保留作图痕迹，不写作法；
若的周长为，求的面积．
如图，点是内一点．
画图：过点画的垂线，垂足为
过点画的平行线交于点，过点画的平行线交于点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
与的数量关系并说明理由。
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了图形的翻折变换、三角形内角和定理，正确作出辅助线是解答此题的关键．
此题求的是、、之间的数量关系，根据三角形内角和定理，首先表示出的度数，得到所求的结论．
【解答】
解：如图，
根据折叠的性质知：，；
由三角形的内角和定理知：；
中，；
故，
即：，
，
即，
．
故选A．

2.【答案】
【解析】解：平分，平分，
，，
，
，
；故正确；
过作于，于，于，
，
平分，
：：：；故正确；
，平分
垂直平分三线合一，故正确；
，
平分，
，
，故正确．
故选：．
利用角平分线的性质以及已知条件对进行一一判断，从而求解．
此题综合性较强，主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质等．
3.【答案】
【解析】解：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，错误；
负数没有平方根，正确；
无限不循环小数是无理数，错误；
算术平方根等于它本身的数有，，错误；
故选：．
根据平行公理、平行线的性质、点到直线的距离的定义判断即可，
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4.【答案】
【解析】解：、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是或，本选项说法是假命题；
B、如果一个数的平方根等于这个数本身，那么这个数一定是，本选项说法是真命题；
C、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数定是或，本选项说法是假命题；
D、如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数定是或，本选项说法是假命题；
故选：．
根据平方、平方根、算术平方根、立方根的概念判断．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的概念、性质．
5.【答案】
【解析】解：个，根据题意，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的倍，
剩下的五箱球中，篮球和足球的总个数是的倍数，
由于是的倍数，
所以拿走的篮球个数也是的倍数，
只有和符合要求，
假设拿走的篮球的个数是个，则，剩下的篮球是个，由于剩下的五个数中，没有哪两个数的和是个，故拿走的篮球的个数不是个，
假设拿走的篮球的个数是个，则，剩下的篮球是个，只有，所以剩下箱篮球，
故这六箱球中，篮球有箱，
故选：．
先计算出这些球的总数量，再根据剩下的足球与篮球的数量关系，通过推理判断出拿走的篮球的个数，从而计算出剩余篮球的个数，判断篮球的箱数．
本题主要考查的是学生能否通过初步的分析、比较、推理得出正确的结论，培养学生有顺序、全面思考问题的意识．
6.【答案】
【解析】解：若，则，是真命题．
理由：如图中，
四边形是正方形，
，
，
四边形是平行四边形，
．
若，则，是假命题．
理由：如图中，，但是四边形是等腰梯形，与不平行．
若，则，是真命题．
理由：如图中，过点作于，过点作于．
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
同法可证，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
若，则，是假命题．
理由：如图中，，显然与不垂直．
故选：．
是真命题，利用平行四边形的判定和性质证明即可．
是假命题，画出图形举例说明即可．
是真命题，构造全等三角形证明即可．
是假命题，画出图形举例说明即可．
本题考查命题与定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确画出图形，利用平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质解决问题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，属于较难题．
证明为等边三角形，根据证明≌，正确；由≌，得，可得是等边三角形，正确；可得，正确；过点作交于点，易证是等边三角形，则，由，则，正确．
【解答】
解：四边形是菱形，，
，，
为等边三角形，
，
在与中，
≌，正确；
≌，
，，
，
，
是等边三角形，
故正确；
；
，
，
故正确；
过点作交于点，
由为等边三角形，
可得是等边三角形，
若，
则，
，
．
故正确，
故都正确．
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，利用相关定义与性质对每个选项进行判定是解题的关键．利用三角形的内心的性质可得为的平分线，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理，通过计算即可得出；通过证明≌即可判定的正确；利用为一般三角形，不一定平分，可以判定不一定成立；利用三角形的面积公式计算得出结论即可判定不正确．
【解答】
解：和的角平分线交于点，
，．
，
．
．
．
的结论正确；
三角形的三条角平分线相交于一点，
为的平分线．
．
以为边向两侧作等边和等边，
，，．
．
在和中，
，
≌．
．
，
是等边三角形．
的结论正确；
，为的平分线，
垂直平分，
但不一定平分，
的结论不正确；
，
，，，
．
的结论不正确．
综上，结论正确的有：，
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，角平分线的判定，有一定难度．
根据等边三角形边相等、角相等，利用易证得≌，得到，进而利用证得≌，于是，从而得到是等边三角形，因此；作，，证明，可判定平分，从而求出，而不能证明，即可解答．
【解答】
解：，均为为等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，故正确．
，
A、、三点共线，
，
在和中，
，故正确．
，
，
是等边三角形，
，故正确．
，
，
，
，，
，
，
如图，作，，
，
，且，
，
，
平分，
，故正确．
证明垂直条件不足，故错误．
故选C．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定，根据可以判定两个三角形全等注意，用判定三角形全等的时两个角和边的关系是两角夹边．
【解答】
解：在和中
≌．
故选A．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了作图中的复杂作图、角平分线的定义、圆周角定理以及平行线的判定及性质，根据作图的过程逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
由为直径可得出，结合可得出，结论正确；由作图可知，进而可得出，平分，结论正确；由的度数未知，不能得出，即结论错误．综上即可得出结论．
【解答】
解：为直径，
，．
由题意可知，平分，
，
为弧的中点，
，
，结论正确；
由作图可知：，
，平分，垂直平分，结论正确；
的度数未知，和互余，
不一定等于，
不一定等于，结论错误．
综上所述：正确的结论有．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：直线没有长度，所以画一条长为的直线错误；
若且在线段上，则为线段的中点，此结论错误；
线段的长度是点到点的距离，此结论错误；
，为的三等分线，则或，此结论错误；
故选A．
根据直线的定义与性质、线段的中点的定义、线段长度的定义和角三等分线的定义逐一判断即可．
本题主要考查几何作图，解题的关键是掌握直线的定义与性质、线段的中点的定义、线段长度的定义和角三等分线的定义．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查轴对称的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并表示出是解题的关键．
根据轴对称的性质可得，，再根据三角形的内角和等于列式计算即可的度数，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出．
【解答】
解：由题可得，，，
：：：：，
，
，
故答案为．

14.【答案】B、、、
【解析】
解：图中最左边的“”和最右边的“”，可得如下推断：
由第三行第二个“”，可得它的上方必定是雷．
结合下方的“”，可得最左边的、对应的“？”中有一个雷；
同理可得最右边的“”周围个“？”中有个雷，中间、对应“？”中有一个雷；
由于下方的“”和第二行最右边的“”，它们周围的雷已经够数，
所以对应的方格肯定不是雷，如下图所示：
进行下一步推理：
因为对应的方格不是雷，所以下方“”的左上、右上的方格，即、都是雷；
而下方的“”的周围的雷也已经够数，所以对应的方格也不是雷．
因为下方的“”，它的周围的雷已经够数，可得对应的方格不是雷，
根据下方的“”周围应该有个雷，结合不是雷，可得、对应的方格都是雷．
综上所述，、、对应的方格不是雷，且、、、对应的方格是雷．
故答案为：、、、．
【分析】
根据题意：
下方的“”，可得最左边的、对应的“？”中有一个雷；
同理可得最右边的“”周围个“？”中有个雷，中间、对应“？”中有一个雷；
由于下方的“”和第二行最右边的“”，它们周围的雷已经够数，
所以对应的方格肯定不是雷，因为对应的方格不是雷，所以下方“”的左上、右上的方格，即、都是雷；
而下方的“”的周围的雷也已经够数，所以对应的方格也不是雷．
因为下方的“”，它的周围的雷已经够数，可得对应的方格不是雷，
根据下方的“”周围应该有个雷，结合不是雷，可得、对应的方格都是雷．
综上所述，、、对应的方格不是雷，且、、、对应的方格是雷．
据此解答即可．
本题主要考查了扫雷的基本原理和推理和证明的知识，主要训练学生逻辑推理能力．
15.【答案】解：设运动时间为秒时，与全等，
斜边，
有两种情况：在上，在上，
，，
，
；
、都在上，此时、重合，
，
；
答：点运动秒或秒时，与全等．
【解析】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．
推出是解题的关键，在上，在上，推出方程，、都在上，此时、重合，得到方程，求出即可得出答案．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．根据≌得出，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后根据全等三角形的性质可得．
【解答】
解：≌，
，
是等腰直角三角形，
，
，
由≌的性质得．
故答案为．

17.【答案】解：，，周长为，
，
是边上的中线，
，
的周长为，
．
故AC长为．
【解析】先根据周长为，，，由周长的定义可求的长，再根据中线的定义可求的长，由的周长为，即可求出长．
考查了三角形的周长和中线，本题的关键是由周长和中线的定义得到的长，题目难度中等．
18.【答案】解：；
命题“当上述矩形为正方形时，面积取得最大值”是假命题．
理由如下：
，
当时，最大，
由于此时，，
所以此时矩形不是正方形，原命题为假命题．
【解析】利用矩形的面积公式求解，然后根据矩形的边长为正数写出的范围；
根据二次函数的性质得到时，最大，然后利用此时，，矩形不是正方形，所以可判断原命题为假命题．
本题考查了命题与定理：命题写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
19.【答案】证明：连结并延长，如图，
，，
，
；
解：．
理由如下：如图，连结，
，，
，
．
【解析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是利用三角形内角和可直接根据两已知角求第三个角或依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角，也可在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．也考查了三角形外角性质．
连结并延长，如图，根据三角形外角性质得，，然后把两式相加即可得到结论；
如图，连结，根据三角形内角和定理得到，，然后把两式相加即可得．
20.【答案】解：或．
，对应顶点为与，与，与．
当点在上时，如图所示：
此时，，，
点移动的速度为．
当点在上时，如图所示：
此时，，
即点移动的距离为，点移动的距离为，
点移动的速度为．
综上所述，点的运动速度为或．

【解析】解：当点在上时，如图
若的面积等于面积的一半，则，
此时，点移动的距离为，
移动的时间为：秒，
当点在上时，如图
若的面积等于面积的一半，则点为中点，
此时，点移动的距离为，
移动的时间为：，
故答案为：或．
21.【答案】证明：是以为轴对称变换得到的，
≌．
有，．
，，
，．
取中点，连接，
，为等边三角形，为等腰三角形，
．
，
即．
解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，．
，即点在的平分线上，
．
，，
，
即点在的平分线上，
．
，
点在的平分线上．
又，
．
．
．

【解析】此题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质，轴对称的性质，角平分线的判定和性质，解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题．
首先根据折叠得到，然后利用全等三角形的性质得到，，接着利用已知条件和等腰三角形的性质与判定即可证明题目的结论
如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，由于，即点在的平分线上，然后利用角平分线的性质得到而，，可以得到，再利用角平分线的性质得到，这样得到，则点在的平分线上，最后利用即可求出的度数．
22.【答案】证明：如图，，，
，
平分，
，
，
在和中，
，
≌，
；
如图，，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
，，
；
如图，过作，交于，
，
由得：≌，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
在中，，
，
是的中点，
，
，
在中，，
，
．
【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定及等腰直角三角形的性质，证明两线段相等时，一般都是证明两线段所在的三角形全等，因此第一问只需要证明≌即可；第问，如何得出角和作辅助线，利用到列式是突破口．
根据证明≌，则；
先证明≌，得，再证明，即可得出结论；
作的高线，根据角的大小关系得出，根据面积求出的长，利用角的三角函数值依次求、、的长，所以，根据线段的和得出的长．
23.【答案】解：证明：是等边三角形，
，
，
，
；
，
证明：取的中点，连接、，
，，
，，
为等边三角形，
，
是等边三角形，
，
在和中，
≌，
，
，
在和中，
≌，
，
；
取的中点，连接、、，
由得，
，
，
，
，
，，，
且，
，
在和中，
≌，
，
设，则，，
，
，
，
解得，，
即．

【解析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
根据等边三角形的性质、三角形的外角的性质得到，根据等腰三角形的判定定理证明；
取的中点，连接、，分别证明≌和≌，根据全等三角形的性质证明；
取的中点，连接、、，根据的结论得到≌，根据全等三角形的性质解答即可．
24.【答案】解：作线段的垂直平分线交于，作的平分线，交于点，点即为所求．
作于，连接，．
，，，
，，
，
平分，，，
，
．
【解析】作线段的垂直平分线交于，作的平分线，交于点，点即为所求．
作于，连接，利用角平分线的性质定理求出即可解决问题．
本题考查作图复杂作图，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25.【答案】解：如图所示：即为所求；
，即为所求．
．
理由：已知，
两直线平行．同位角相等，
又已知，
两直线平行，内错角相等，
等量代换．

【解析】主要考查了基本作图中的垂线和平行线的作法，平行线的性质．要求能够熟练的运用尺规作图，并保留作图痕迹．
直接利用尺规过点作的垂线即可；利用尺规通过平移分别作，的平行线即可；
根据平行线的性质和等量代换进行解答即可．
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