【专题训练】二次函数性质分类练习 （含解析）

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二次函数性质分类练习
一、二次函数性质——对称性比较大小
1.已知点A(1，y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上，则下列结论正确的是（ ）
A. 2>y1>y2 B. 2>y2 >y1 C. y1>y2>2 D. y2 >y1>2
2.已知两点A(-6，y1)，B(2，y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，若y1>y2 ， 则抛物线的顶点横坐标m的值可以是( )
A. -6 B. -5 C. -2 D. -1
3.已知点A(a－m ， y1)、B(a－n ， y2)、C(a+b ， y3)都在二次函数y=x2－2ax +1的图象上，若0A. y1< y2< y3 B. y1 < y3< y2 C. y3< y1< y2 D. y2< y3< y1
4.已知抛物线 (m是常数)，点A( ， )，B( ， )在抛物线上，若 ， ，则m，y1 ， y2的大小关系的是（ ）
A. B. C. D.
5.若点M（﹣1，y1），N（1，y2），P（ ）都在抛物线y=﹣mx2+4mx+m2+1（m＞0）上，则下列结论正确的是（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y3＜y1＜y2 D. 2＜y1＜y3
6.如果点A(－2，y1)和点B(2，y2)是抛物线y＝(x＋3)2上的两点，那么 y1________y2(填“＞”“＝”或“＜”)．
二、二次函数性质——增减性
7.在二次函数 的图像中，若 随 的增大而增大，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.对于二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，以下说法正确的是（ ）
A. x＜﹣1时，y随x的增大而增大 B. x＜﹣5或x＞1时，y＞0
C. A（﹣4，y1），B（ ，y2）在y＝﹣x2﹣4x+5的图象上，则y1＜y2 D. 此二次函数的最大值为8
9.已知二次函数 （k为常数，且k > 0），当x < m时，y随着x的增大而增大，则满足条件的整数m的值为________.（写出一个即可）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
10.已知：二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示：
那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A. （1，4） B. （2，0） C. （3，0） D. （4，0）
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 …
y … 4 0 －2 －2 0 4 …
11.二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如表：
下列说法：①抛物线的开口向下；②当x＞－3时，y随x的增大而增大；③二次函数的最小值是－2；④抛物线的对称轴是x＝－2.5.其中正确的是________.（填序号）
三、二次函数性质——系数之间的关系
12.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）
A. a＞0 B. b＜0 C. c＜0 D. b+2a＞0
13.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图
下列结论：（1）c＜0；（2）b＞0；（3）4a+2b+c>0；（4）（a+c）2其中不正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
14.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①2a+b=0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④8a+c＞0．其中正确的有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
15.抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其中﹣2＜h＜﹣1，﹣1＜xB＜0，下列结论①abc＜0；②（4a﹣b）（2a+b）＜0；③4a﹣c＜0；④若OC=OB，则（a+1）（c+1）＞0，正确的为（ ）
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③
16.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：
①ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3③a+b+c＞0④当x＞1时，y随x的增大而增大．正确的说法有________．
17.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a<0 ②b<0 ③c>0 ④4a+2b+c=0, ⑤b+2a=0 ⑥ b2-4ac>0其中正确的是________．（写出所有正确结论的序号）
18.如图，抛物线 （a≠0）的对称轴为直x＝1，与x轴的一个交点坐标为（－1,0），其部分图象如图所示.下列结论：① ；②方程 ＝0的两个根是 ③ ；④当 时，x的取值范围是 ；⑤当x1＜x2＜0时，y1＜y2.其中结论正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
19.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ① c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am +bm+a＞0（m≠﹣1）；⑤设A（100，y），B（﹣100，y ）在该抛物线上，则y＞y ．其中正确的结论有________ ．（写出所有正确结论的序号）
四、二次函数性质——最值
20.关于二次函数 的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6
21.当 时，二次函数 有（ ）
A. 最大值-3 B. 最小值-3 C. 最大值-4 D. 最小值-4
22.已知二次函数 ，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2 B. 有最大值0，有最小值﹣1
C. 有最大值7，有最小值﹣1 D. 有最大值7，有最小值﹣2
23.已知二次函数 （其中 是自变量），当 时， 随 的增大而减小，且 时， 的最小值为15，则 的值为（ ）
A. 1或-2 B. 或 C. -2 D. 1
24.已知非负数 ， ， 满足 且 ，设 的最大值为 ，最小值为 ，则 的值是（ ）
A. 16 B. 15 C. 9 D. 7
25.已知二次函数 ，当0≤x≤4，y的最小值是________,最大值是________.
26.已知二次函数 （其中 是自变量），当 时， 随 的增大而增大，且 时， 的最大值为9，则 的值为________.
答案解析部分
一、二次函数性质——对称性比较大小
1.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵ y=-(x+1)2+2的顶点坐标为（-1,2），对称轴是直线x=-1，二次项系数a＜0，
∴当x=-1的时候函数有最大值y=2，当x＞-1的时候y随x的增大而减小，
∵ A(1，y1),B(2,y2)
∴2＞1＞-1，
∴ 2>y1>y2 。
故答案为：A。
【分析】根据二次函数的解析式的性质与系数的关系得出：当x=-1的时候函数有最大值y=2，当x＞-1的时候y随x的增大而减小，从而根据A,B两点的横坐标即可判断得出答案。
2.【答案】 D
【解析】【解答】解：假设点A(-6，y1)，B(2，y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的两个对称点，
∴对称轴为直线x=；
∵ y1>y2 ，
∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，y的值越小，
∴该抛物线的顶点的横坐标m＞-2，
∴选项中m=-1.
故答案为：D.
【分析】假设点A(-6，y1)，B(2，y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的两个对称点，可求出抛物线的对称轴，再根据y1>y2 ， 可得到抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，y的值越小，由此可求出顶点横坐标的取值范围，根据各选项，可得答案.
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵y=x2－2ax +1
∴对称轴为x=a
点A、B的情况：n>m，故点B比点A离对称轴远，故y2>y1；
点A、C的情况：my1；
点B，C的情况：by3；
∴故y1故答案为B.
【分析】先确定二次函数图象的对称轴，然后运用二次函数的性质进行解答即可．
4.【答案】 A
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，有最大值为 ，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线 对称轴为直线 ，
设A( ， )的对称点为A′( ， )，
∴
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线 的开口向下，有最大值为 ，对称轴为直线 ，设A( ， )的对称点为A′( ， )，从而求得 ，由 ， ，得出 ，则在对称轴右侧，y随x的增大而减小，所以 时， .
5.【答案】 B
【解析】【解答】观察二次函数的图象可知：y1＜y3＜y2 ．
故答案为：B.
【分析】先画出图象，利用图像直接写出结果.
6.【答案】 ＜
【解析】【解答】当x=﹣2时，y1=（﹣2+3）2=1，当x=2时，y2=（2+3）2=25，y1＜y2 ， 故答案为＜．
【分析】将x=-2，x=2分别代入解析式中，求出y1与，y2的值，然后比较即可.
二、二次函数性质——增减性
7.【答案】 A
【解析】【解答】∵二次函数 的开口向下，
∴所以在对称轴的左侧y随x的增大而增大．
∵二次函数 的对称轴是 ，
∴ ．故答案为：A．
【分析】由于抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，据此即可求出x的范围.
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵-1<0，
∴y＝﹣x2﹣4x+5的对称轴为x＝ =﹣2，图象开口向下，
∴x≤﹣2时，y随x的增大而增大；故A选项不正确；
∵﹣x2﹣4x+5＝0时的两个根为x＝﹣5，x＝1，
∴当﹣5＜x＜1时，y＞0；故B选项不正确；
∵-2-(﹣4)>﹣ -(﹣2)，
∴点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴y1＜y2；故C选项正确；
当x＝﹣2时，y有最大值9，故D选项不正确.
故答案为：C.
【分析】首先求出二次函数的对称轴，然后判断出单调性，据此可判断选项A；求出二次函数所对应的一元二次方程的两根，然后根据单调性可判断选项B；根据二次函数的单调性可判断选项C；由于二次函数开口向下，故在对称轴处取得最大值，据此可判断D.
9.【答案】 m=-2（不唯一，m为不大于－2的整数）
【解析】【解答】解：k > 0，-k<0，抛物线开口向下，
抛物线对称轴 ，
在对称轴的左侧，y随x增大而增大，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵m为整数 ，
∴m=-2（不唯一）.
故m=-2（不唯一，m为不大于－2的整数）.
【分析】由二次函数的对称轴可得抛物线对称轴，根据抛物线开口朝下，且 当x < m时，y随着x的增大而增大可得对称轴≤m，由 k > 0 可得m范围，即可找到符合题意的值.
10.【答案】 C
【解析】【解答】∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x 1；
点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）.
故答案为：C.
【分析】根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可.
11.【答案】 ④
【解析】【解答】解：由题意可知函数图象过点 、 和 ，
，解得 ，
抛物线解析式为 ，
抛物线开口向上，对称轴为 ，最小值为 ，当 时 随 的增大而增大，
正确的是④，
故答案为：④.
【分析】首先根据表格提供的数据，利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后将抛物线的解析式配成顶点式，根据抛物线的系数、图象与性质即可一一判断得出答案。
三、二次函数性质——系数之间的关系
12.【答案】 D
【解析】【解答】∵抛物线开口向下，对称轴大于1，与y轴交于正半轴，∴a＜0，﹣ ＞1，c＞0，∴b＞﹣2a，∴b+2a＞0．
故答案为：D．
【分析】由抛物线开口向下知a＜0，由抛物线的对称轴直线大于1，得出b＞﹣2a，b＞0,即b+2a＞0，由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，得出c＞0.
13.【答案】 C
【解析】【解答】抛物线的开口向上，则a＞0；
对称轴为x=﹣ =1，即b=﹣2a，故b＜0，故（2）错误；
抛物线交y轴于负半轴，则c＜0，故（1）正确；
把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＜0，故（3）错误；
把x=1代入y=ax2+bx+c得：y=a+b+c＜0，把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c＜0，
则（a+b+c）（a﹣b+c）＞0，故（4）错误；
不正确的是（2）（3）（4）；
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的开口方向可判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点可得出c值，再根据图象经过的点的情况进行推理，即可对结论进行判断。
14.【答案】 D
【解析】【解答】根据图象可得：抛物线开口向上，则a>0.抛物线与y交与负半轴，则c<0，
对称轴：x= >0，
①∵它与x轴的两个交点分别为( 1,0),(3,0)，
∴对称轴是x=1，
∴ =1，
∴b+2a=0，
故①正确；
②∵a>0， =1，
∴b<0，
又∵c<0，
∴abc>0，
故②错误；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故③正确；
④根据图示知，当x=4时，y>0，
∴16a+4b+c>0，
由①知，b= 2a，
∴8a+c>0；
故④正确；
综上所述，正确的结论是：①③④，
故答案为：D.
【分析】根据图象可得：抛物线开口向上，则a>0.抛物线与y交与负半轴，则c<0，对称轴在y轴的右侧，则a,b异号，故b＜0，abc>0；由根据抛物线的对称性及与x轴两个交点的坐标得出其对称轴直线是x=1，故b+2a=0；由抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0；根据图示知，当x=4时，y>0，即16a+4b+c>0，故8a+c>0。
15.【答案】 C
【解析】【解答】①∵抛物线开口向下，
抛物线对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，故ab＞0，
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＜0，
故①正确；
②∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵x=- =h，且-2＜h＜-1，
∴4a＜b＜2a，
∴4a-b＜0，
又∵h＜0，
∴- ＜1
∴2a+b＜0，
∴（4a-b）（2a+b）＞0，
故②错误；
③由②知：b＞4a，
∴2b-8a＞0①．
当x=-2时，4a-2b+c＞0②，
由①+②得：4a-8a+c＞0，即4a-c＜0．
故③正确；
④∵当x=-1时，a-b+c＞0，
∵OC=OB，
∴当x=c时，y=0，即ac2+bc+c=0，
∵c≠0，
∴ac+b+1=0，
∴ac=-b-1，
则（a+1）（c+1）=ac+a+c+1=-b-1+a+c+1=a-b+c＞0，
故④正确；
所以本题正确的有：①③④，
故答案为：C．
【分析】由抛物线开口向下，知a＜0，抛物线对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，故,b＜0，抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0；由抛物线的对称轴直线-2＜h＜-1，根据对称轴公式及不等式的性质得出4a＜b＜2a，进而得出4a-b＜0，2a+b＜0，故（4a-b）（2a+b）＞0；由于b＞4a，根据不等式的性质得出2b-8a＞0，又当x=-2时，4a-2b+c＞0，故4a-8a+c＞0，即4a-c＜0；当x=-1时，a-b+c＞0，又OC=OB，当x=c时，y=0，即ac2+bc+c=0，根据等式的性质得出ac+b+1=0，即ac=-b-1，故（a+1）（c+1）=ac+a+c+1=-b-1+a+c+1=a-b+c＞0。
16.【答案】 ①②③
【解析】【解答】∵抛物线的开口向下，

∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，

故①正确；
∵对称轴为x=1抛物线与x轴的一个交点为
∴另一个交点为
∴方程 的根是
故②正确；
当x=1时，
故③正确；
a,b异号，即
当 时，y随x的增大而减小，故④错误．
∴其中正确的说法有①②③；
故答案为：①②③．
【分析】由抛物线的开口向下，知a < 0 ，由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，知c > 0 ，故a c < 0 ；对称轴直线及抛物线与x轴的一个交点，由抛物线的对称轴性即可得出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，由抛物线与x轴的交点坐标即可得出方程 ax2+bx+c=0 的根；当x=1时， y=a+b+c>0 ，当x＞1时，图像从左至右下降，故y随x的增大而减小．
17.【答案】 ①③⑤⑥
【解析】【解答】①如图，抛物线开口方向向下，则a＜0．故①正确；
②如图，抛物线对称轴x=- =1，则b=-2a＞0．即b＞0，故②错误；
③如图，抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，故③正确；
④如图，当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故④错误；
⑤由抛物线对称轴x=- =1得到b+2a=0．故⑤正确；
⑥如图，抛物线与x轴有2个交点，则b2-4ac＞0，故⑥正确；
综上所述，正确的结论是①③⑤⑥
【分析】由抛物线开口方向向下，知a＜0；由抛物线的对称轴直线是x=1得出b=-2a＞0．即b＞0，b+2a=0；由抛物线与y轴交于正半轴，知c＞0；由图像知：当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；由抛物线与x轴有2个交点，知：b2-4ac＞0，综上所述即可得出答案。
18.【答案】 C
【解析】【解答】∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2-4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，所以②正确；
∵x=- =1，即b=-2a，
而x=-1时，y=0，即a-b+c=0，
∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（-1，0），（3，0），
∴当-1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，故当x1＜x2＜0时，y1＜y2.所以⑤正确．
故答案为①②⑤．
【分析】由抛物线与x轴有2个交点，知b2-4ac＞0；由抛物线的对称轴直线及抛物线与x轴一个交点的坐标，即可判断出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，根据抛物线与x轴交点的纵坐标即可知道方程ax2+bx+c=0的根的情况；由对称轴直线是x=1得出b=-2a，而x=-1时，y=0，即a-b+c=0，故a+2a+c=0；由于自变量的取值在-1＜x＜3时，图像位于x轴的上方，故对应的函数值大于0，即y＞0；由图像知：当x＜1时，图像从左至右上升，此时y随x增大而增大，故当x1＜x2＜0时，y1＜y2。
19.【答案】 ①②④⑤
【解析】【解答】抛物线与y轴交于原点，c=0，故①正确；
该抛物线的对称轴是： ，直线x=﹣1，故②正确；
当x=1时，y=a+b+c
∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a．又∵c=0，∴y=3a，故③错误；
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c．又∵x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm．∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．故④正确．∵|100+1|＞|﹣100+1|，且开口向上，∴y1＞y2 ． 故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
【分析】根据抛物线与y轴的交点判断c和0的关系，再根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断。
四、二次函数性质——最值
20.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵在二次函数 中，a=2>0，顶点坐标为（4，6），
∴函数有最小值为6.
故答案为：D.
【分析】该二次函数表达式为顶点式，由于张口向上，即可得出函数有最小值，结合顶点坐标即可解答.
21.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵二次函数 ，
∴抛物线的对称轴为：x=1,
∵函数开口向上，
∴当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y最小值=（2-1）2-4=-3
故答案为：B
【分析】根据二次函数y=（x-1）2-4，可以得到当x＞1时，该函数有最小值，故可得结论．
22.【答案】 D
【解析】【解答】∵由 知当x=2，最小值为-2，又∵x=-1与x=3关于x=2对称故最大值为 ，
故答案为：D。
【分析】先配方，∵对称轴x=2，在给定定义域范围内，故最小值可求。图像张口向上，故离图像最远的点为最大值。
23.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴该抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∵当 时， 随 的增大而减小，
∴a＜0，
∵当 时， 的最小值为15，
∴当x=1时，y=15，
即 ，解得： ，
∵a＜0，∴a=﹣2．
故答案为：C．
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a<0，再由 时， 的最小值为15，可得当x=1时，y=15，即可求得a。
24.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵a+b=3，c﹣3a=-6，
∴b=3﹣a，c=3a-6.
∵b，c都是非负数，
∴ ，
解不等式①得：a≤3，
解不等式②得：a≥ ，
∴2≤a≤3.
又∵a是非负数，
∴2≤a≤3，
S=a2+b+c=a2+（3﹣a）+3a-6=a2+2a-3，
∴对称轴为直线a=﹣ =﹣1，
∴a=2时，最小值n=5，
∴a=3时，最大值m=32+2×3-3=12，
∴m﹣n=12﹣5=7.
故答案为：D.
【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解.
25.【答案】 -1；8
【解析】【解答】由二次函数公式可得：对称轴为直线x=3；
x=3在0≤x≤4范围内，故x=3时，函数有最小值-1.
当x=0时，函数取到最大值8.
【分析】根据x=-可求得对称轴方程；结合已知和二次函数的性质可得函数有最小值-1；根据x的范围可知当x=0时，函数取到最大值8.
26.【答案】 1
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线x＝ ＝ 1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∵ 2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x＝1时，y＝a＋2a＋3a2＋3＝9，
∴3a2＋3a 6＝0，
∴a＝1，或a＝ 2（不合题意舍去）.
故答案为1.
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由 2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x＝1时，y＝9，即可求出a.
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