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2.3等腰三角形的性质定理
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
推论：等边三角形的各个内角都等于60°.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
2.等腰三角形的性质的作用
证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．
3.尺规作图：已知底边和底边上的高
已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.
作法：1.作线段BC=a.
2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.
3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.
4.等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
要点：等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
一、单选题
1．下列三角形中，等腰三角形的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（ ）
A．等腰三角形两底角相等
B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合
C．等腰三角形是中心对称图形
D．等腰三角形是轴对称图形
3．如图，△ABC中，已知，AB＝AC，点D在CA的延长线上，∠DAB＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．45°
4．如果等腰三角形的腰比底长3，其周长为30，则底边长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（ ）
A．或或 B．或
C．或 D．或
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，沿DE翻折使得A与B重合，∠CBD＝26°，则∠ADE的度数是（ ）
A．57° B．58° C．59° D．60°
8．如图，D、E是等边的BC边和AC边上的点，，AD与EE相交于P点，则的度数是（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
9．如图，D在AC上，E在AB上，若AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．72° C．45° D．50°
10．如图，是等边三角形，，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在中，，将图形沿着折叠，点C落在上的点F处，再将图形沿折叠，点A正好落在的点G处，此时，则的度数为（ ）
A．25 B．35 C．45 D．55
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．4.8 B．9.6 C．8 D．6
二、填空题
13．等腰三角形的性质为：
（1）等腰三角形两个________相等，简称_________________．
（2）等腰三角形的________________、________________和________________互相重合，简称“三线合一”．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角是_________．
15．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角，则的大小为_______．
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=___________°．
17．如图，在中，，将绕点逆时针旋转能与重合，若，则_________．
18．如图，已知点B、C、D、E在同一直线上，是等边三角形，且，则__________．
19．已知是等腰三角形的三边，且满足，求等腰三角形的周长________．
20．如图，已知等边的周长为，点在边上，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，交于点，交于点，若，则的周长为 _____．
21．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝_____s时，△POQ是等腰三角形．
22．如图，已知，点在边上，，点，在边上，.若，则的长为____.
三、解答题
23．（1）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角是多少度？
（2）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角是多少度？
24．如图，在中，，、是边上的点，且，求证：．
25．如图，中，，点D和E分别在边和上，，连接和．求证：．
26．如图，是等边三角形，点、分别在边、上，且，和相交于点．
(1)求证：≌
(2)求的度数．
27．如图，在四边形中，，，，垂足为点，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
28．和均为等边三角形，点C、E、D在同一直线上，连接．
(1)求证：．
(2)________°．
29．如图，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，点D在BC上，∠BAC＝∠DAE．
(1)求证△ABD≌△ACE；
(2)当∠B等于多少度时，ABEC？证明你的结论．
30．如图，在中，，将绕点A旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边上．
(1)求证：平分；
(2)连接，求证：．
31．小明在完成一道几何证明问题时，往往会思考看是否会有不同的证明方法．例如：在如图 1 所示的△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 在 AB 上，且 BD＝BC，求证：∠ABC＝2∠ACD．他发现，除了方法 1 直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：
方法 2：如图 2，作 BE⊥CD，垂足为点 E．
方法 3：如图 3，作 CF⊥AB，垂足为点 F．
根据阅读材料，请你从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC＝2∠ACD，并写出其证明过程．
32．一个角的余角的两倍称为这个角的倍余角．
(1)若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；（用的代数式表示）
(2)如图1，在△ABC中，，在AC上截取，在AB上截取．求证：∠ABC是∠EDB的倍余角；
(3)如图2，在（2）的情况下，作交AC于点F，将△BFC沿BF折叠得到，交AC于点P，若，设，求∠CPB的度数．
33．数学模型学习与应用：
(1)【模型学习】：如图，，，于点，于点由，得；又，可以通过推理得到≌，进而得到______，______我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．
(2)【模型应用】：如图，为等边三角形，，，求证：；
(3)【模型变式】：如图，在中，，，于点，于点，，，则______．
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2.3等腰三角形的性质定理
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
推论：等边三角形的各个内角都等于60°.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
2.等腰三角形的性质的作用
证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．
3.尺规作图：已知底边和底边上的高
已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.
作法：1.作线段BC=a.
2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.
3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.
4.等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
要点：等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
一、单选题
1．下列三角形中，等腰三角形的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【提示】
根据题图所给信息，根据边或角分析即可
【解答】
解：第一个图形中有两边相等，故第一个三角形是等腰三角形，
第二个图形中的三个角分别为50°，35°，95°，故第二个三角形不是等腰三角形；
第三个图形中的三个角分别为100°，40°，40°，故第三个三角形是等腰三角形；
第四个图形中的三个角分别为90°，45°，45°，故第四个三角形是等腰三角形；
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
2．下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（ ）
A．等腰三角形两底角相等
B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合
C．等腰三角形是中心对称图形
D．等腰三角形是轴对称图形
【答案】C
【解答】
根据等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等（等边对等角），等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合（三线合一），等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，即可求得答案．
解：A、等腰三角形两底角相等，故本选项正确；
B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，故本选项正确；
C、等腰三角形不是中心对称图形，故本选项错误；
D、等腰三角形是轴对称图形，故本选项正确．
故选C．
3．如图，△ABC中，已知，AB＝AC，点D在CA的延长线上，∠DAB＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．45°
【答案】A
【提示】
根据三角形的外角的性质即可解决问题.
【解答】
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠DAB＝∠B+∠C＝50°，
∴∠B＝25°，
故选A．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．如果等腰三角形的腰比底长3，其周长为30，则底边长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【提示】
设等腰三角形的底边长为： 则腰长为： 再根据三角形的周长列方程，解方程可得答案.
【解答】
解：设等腰三角形的底边长为： 则腰长为：
故选：
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键.
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
根据作图和等腰三角形的判定，逐项分析判断
【解答】
解：A，根据作图可知，，△ACD为等腰三角形，不符合题意；
B.根据作图，是的角平分线，不能判定△ACD为等腰三角形，符合题意；
C.根据作图可知，点在的垂直平分线上，，△ACD为等腰三角形，不符合题意；
D.根据作图可知，则，△ACD为等腰三角形，不符合题意；
故选B
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，尺规作图，作线段，作角平分线，作中垂线，作一个角等于已知角，能掌握基本作图和等腰三角形的判定是解题的关键．
6．等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（ ）
A．或或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【提示】
设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，然后分①x是顶角，2x-20°是底角，②x是底角，2x-20°是顶角，③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．
【解答】
设另一个角是x，表示出一个角是2x﹣20°，
①x是顶角，2x﹣20°是底角时，x+2（2x﹣20°）＝180°，
解得x＝44°，
所以，顶角是44°；
②x是底角，2x﹣20°是顶角时，2x+（2x﹣20°）＝180°，
解得x＝50°，
所以，顶角是2×50°﹣20°＝80°；
③x与2x﹣20°都是底角时，x＝2x﹣20°，
解得x＝20°，
所以，顶角是180°﹣20°×2＝140°；
综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，沿DE翻折使得A与B重合，∠CBD＝26°，则∠ADE的度数是（ ）
A．57° B．58° C．59° D．60°
【答案】B
【提示】
求出∠CDB的度数，再根据翻折求出∠ADE的度数即可．
【解答】
解：∵∠C＝90°，∠CBD＝26°，
∴∠CDB=90°-∠CBD＝64°，
∴∠ADB=116°，
由翻折可知，∠ADE=∠BDE=58°；
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称和三角形内角和，解题关键是明确翻折角相等的性质，熟练运用三角形内角和解决问题．
8．如图，D、E是等边的BC边和AC边上的点，，AD与EE相交于P点，则的度数是（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
【答案】C
【提示】
根据条件先可以得出△ABD≌△BCE，由全等三角形的性质就可以得出∠BAD＝∠DBP．由∠APE＝∠ABP+∠BAP，就可以得出∠APE＝60°．
【解答】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°．
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠DBE．
∵∠APE＝∠ABP+∠BAP，
∴∠APE＝∠ABP+∠DBE．
即∠APE＝∠ABD．
∴∠APE＝60°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用．
9．如图，D在AC上，E在AB上，若AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．72° C．45° D．50°
【答案】C
【提示】
由线段相等，可得对应角相等，通过转化，将∠A、∠ABC都与∠DBE建立联系，从而即可求解∠A的值．
【解答】
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
又∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠C，
∵∠A＋∠C＋∠ABC＝180°，∠DBC＋∠C＋∠BDC＝180°，
∴∠DBC＝∠A，
∵AD＝DE＝EB，
∴∠A＝∠AED，∠EDB＝∠EBD，
∴∠A＝2∠DBE，即∠ABC＝3∠DBE，
∵∠A＋2∠C＝180°，
∴2∠DBE＋2∠ABC＝180°，
∴2∠DBE＋2×（3∠DBE）＝180°，
即8∠DBE＝180°，
∴∠A＝2∠DBE＝45°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质问题，能够利用等腰三角形的性质求解一些简单的计算问题．
10．如图，是等边三角形，，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
由△ABC是等边三角形，CB＝BD得出∠DCB＝∠CDB，由∠ACD＝110°，得出∠DCB＝50°，由AB＝BC，BC＝BD，得出AB＝BD，根据三角形的内角和定理即可求得．
【解答】
解：∵△ABC是等边三角形，CB＝BD，∠ACD＝110°，
∴ ∠DCB＝50° ，
∵CB＝BD，AB＝BC，
∴AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA
故选：C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理解答．
11．如图，在中，，将图形沿着折叠，点C落在上的点F处，再将图形沿折叠，点A正好落在的点G处，此时，则的度数为（ ）
A．25 B．35 C．45 D．55
【答案】C
【提示】
设∠A=x°，利用等腰三角形性质以及折叠得到∠AGF=∠A=x°，∠GFB=∠GBF=90-，然后利用三角形外角性质列方程求解.
【解答】
解：设∠A=x°，
由折叠知∠AGF=∠A=x°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC= ，
又折叠知∠BFC=∠C=90- ，
∴∠CBF=180°-∠C-∠BFC=x°，
∴∠GBF=∠ABC-∠FBC=90--x=90-,
又∵GB=GF，
∴∠GFB=∠GBF=90-,
又∵∠AGF=∠GFB+∠GBF，
∴x=2（90-），
解得x=45，
故选择C.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质以及折叠性质，确定折叠前后的对应角相等是解决问题的关键.
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．4.8 B．9.6 C．8 D．6
【答案】B
【提示】
根据题意可证AD是BC边上的高，设点Q关于直线AD对称的对称点为，可得，根据题意可证点在AB上，当且C、P、三点共线时，有最小值，根据等面积法计算求值即可．
【解答】
解：∵，是的平分线，
∴（等腰三角形三线合一），
设点Q关于直线AD对称的对称点为，连接，如图，
∵是的平分线，
∴点在AB上（根据轴对称性质和角平分线性质），
∴，
∴当且C、P、三点共线时，
有最小值，即，
∵,
，，，
∴，
解得，，
∴的最小值是9.6，
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形性质，根据等腰三角形三线合一求解，点到直线距离，运用等面积法求的值是解题关键．
二、填空题
13．等腰三角形的性质为：
（1）等腰三角形两个________相等，简称_________________．
（2）等腰三角形的________________、________________和________________互相重合，简称“三线合一”．
【答案】 底角 等边对等角 底边上的高 底边上的中线 顶角角平分线
【提示】
（1）根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角进行求解即可；
（2）根据三线合一定理进行求解即可．
【解答】
解：（1）等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角；
（2）等腰三角形的底边上的高、底边上的中线和顶角角平分线互相重合，简称“三线合一”．
故答案为：底角，等边对等角；底边上的高、底边上的中线和顶角角平分线．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角是_________．
【答案】或
【提示】
分高线在等腰三角形内部和外部两种情况求解．
【解答】
当高线在三角形内部时，
根据题意，∠ABD=20°，则∠BAD=70°，
故底角为；
当高线在三角形外部时，
根据题意，∠ACD=20°，则∠CAD=70°，
故底角为；
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和分类思想，熟练掌握分类的标准是解题的关键．
15．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角，则的大小为_______．
【答案】30°##30度
【提示】
先由等边对等角得到，再根据三角形的内角和进行求解即可．
【解答】
，
，
，，
，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=___________°．
【答案】45
【提示】
根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．
【解答】
∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E
∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）
∴∠EAF=∠DBF，
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BD=AD，
∵∠ADB=90°．
∴∠ABC=∠BAD=45°．
故答案为：45．
【点睛】
三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
17．如图，在中，，将绕点逆时针旋转能与重合，若，则_________．
【答案】
【提示】
根据两直线平行，内错角相等可得∠ACD=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AD，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAD．
【解答】
解：∵CD∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AED，
∴AC=AD，
∴∠CDA=∠ACD =65°，
∴∠CAD=180°-2∠ACD=180°-2×65°=50°，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
18．如图，已知点B、C、D、E在同一直线上，是等边三角形，且，则__________．
【答案】
【提示】
根据等边三角形的性质，求得，根据平角的性质求得，由已知条件根据等边对等角求得，进而求得；
【解答】
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握相关图形的性质是解题的关键．
19．已知是等腰三角形的三边，且满足，求等腰三角形的周长________．
【答案】13或14
【提示】
利用配方法分别求出a、b，根据三角形三边关系、等腰三角形的概念计算．
【解答】
解：，
，
，
，
，，
，
解得，
又三角形是等腰三角形，
或5，
当，
当，
或14．
故答案为：13或14．
【点睛】
本题考查的是配方法、非负数的性质、等腰三角形的性质以及三角形三边关系，掌握配方法、完全平方公式是解题的关键．
20．如图，已知等边的周长为，点在边上，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，交于点，交于点，若，则的周长为 _____．
【答案】
【提示】
由折叠可知，，，易证，所以，所以的周长为，再由等边三角形的周长为，可得，由此可得出结论．
【解答】
解：∵等边的周长为，
∴，，
∵沿着翻折得到，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴的周长为：
，
∴的周长为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等边三角形的性质，三角形的周长等相关知识．判定三角形全等是解题关键．
21．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝_____s时，△POQ是等腰三角形．
【答案】4或12
【提示】
根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．
【解答】
解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，
设t时后△POQ是等腰三角形，
有OP＝OC﹣CP＝OQ，
即12﹣2x＝x，
解得，x＝4s；
（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，
当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴OP＝OQ，
即2（x﹣6）＝x，
解得，x＝12s
故答案为4s或12s．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧是解答本题的关键．
22．如图，已知，点在边上，，点，在边上，.若，则的长为____.
【答案】18
【提示】
由30°角我们经常想到作垂线，那么我们可以作DM垂直于OA于M，作PN垂直于OB于点N，证明△PMD≌△PND，进而求出DF长度，从而求出OF的长度.
【解答】
如图所示，作DM垂直于OA于M，作PN垂直于OB于点N.
∵∠AOB=30°，∠DMO=90°，PD=DO=14，
∴DM=7，∠NPO=60°，∠DPO=30°，
∴∠NPD=∠DPO=30°，
∵DP=DP，∠PND=∠PMD=90°，
∴△PND≌△PMD，
∴ND=7，
∵EF=6，
∴DF=ND-NF=7-3=4，
∴OF=DF+OD=14+4=18.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
三、解答题
23．（1）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角是多少度？
（2）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角是多少度？
【答案】（1）都是；（2）或．
【提示】
（1）根据三角形内角和是，等腰三角形的两个底角相等，可以判断出的角是顶角，进而求出等腰三角形的两底角的度数；
（2）分两种情况进行讨论：当已知角是顶角以及已知角是底角时分别求解即可．
【解答】
解：（1）∵等腰三角形的一个角是，
所以等腰三角形的顶角为，
设底角的度数为，
则：，
解得：，
∴它的另外两个角都是；
（2）当顶角是时，
底角等于：；
当底角是时，则另一个底角度数也为，
等腰三角形的顶角为，
∴等腰三角形的另外两个角是：或．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况讨论，这是非常重要的，也是解答问题的关键．
24．如图，在中，，、是边上的点，且，求证：．
【答案】见解析
【提示】
利用等腰三角形的性质可得，再由证明，从而得．
【解答】
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
25．如图，中，，点D和E分别在边和上，，连接和．求证：．
【答案】见解析
【提示】
由AB=AC，可知，即可证明，即可得到；
【解答】
证明：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握全等的判定方法是解决本题的关键．
26．如图，是等边三角形，点、分别在边、上，且，和相交于点．
(1)求证：≌
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)120°
【提示】
（1）只需要利用SAS证明△ACD≌△CBE即可；
（2）利用全等三角形的性质得到∠ACD=∠CBE，再证明∠CBE+∠BCF=60°，即可利用三角形内角和定理求出答案．
（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠BCE=60°，AC=CB，又∵AD=CE，∴△ACD≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵△ACD≌△CBE，∴∠ACD=∠CBE，∵∠ACB=∠ACD+∠BCF=60°，∴∠CBE+∠BCF=60°，∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=120°．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确证明两个三角形全等是解题的关键．
27．如图，在四边形中，，，，垂足为点，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)20°
【提示】
（1）根据，可得，，再由，即可求证；
（2）根据，可得，，从而得到，即可求解．
（1）证明：∵， ，∴，，∵，∴∠AED=∠ABC=90°∵，∴；
（2）解：∵，∴，，∴∠ADC=∠ACD，∴，∵，∴∠ADE+∠DAC=90°，∴， ∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
28．和均为等边三角形，点C、E、D在同一直线上，连接．
(1)求证：．
(2)________°．
【答案】(1)证明见解析
(2)60
【提示】
（1）先根据等边三角形的性质可得，再根据三角形全等的判定证出，然后根据全等三角形的性质即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理即可得．
（1）证明：和均为等边三角形，，，即，在和中，，，．
（2）解：为等边三角形，，由（1）已证：，，，，故答案为：60．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．
29．如图，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，点D在BC上，∠BAC＝∠DAE．
(1)求证△ABD≌△ACE；
(2)当∠B等于多少度时，ABEC？证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)60°，证明见解析
【提示】
（1）根据∠BAC＝∠DAE证得∠BAD＝∠CAE，再依据SAS即可证明三角形全等；
（2）根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质证得∠B=∠ACB=∠ACE，再由平行线的性质即可求得∠B度数．
（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE；
（2）解：∠B＝60°，证明如下：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴∠ACB＝∠B＝60°，∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠B＋∠BCE＝180°，∴AB∥EC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质及判定定理是解题的关键．
30．如图，在中，，将绕点A旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边上．
(1)求证：平分；
(2)连接，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【提示】
（1）根据旋转性质得到对应边相等，对应角相等，进而根据等边对等角性质可将角度进行等量转化，最后可证得结论．
（2）根据旋转性质以及三角形内角和定理对角度进行等量转化可证得结论．
(1)
证明：由旋转性质可知：
平分
(2)
证明：如图所示：
由旋转性质可知：
即
在中，
即
【点睛】
本题考查了三角形的旋转变化，熟练掌握旋转前后图形的对应边相等，对应角相等以及合理利用三角形内角和定理是解决本题的关键．
31．小明在完成一道几何证明问题时，往往会思考看是否会有不同的证明方法．例如：在如图 1 所示的△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 在 AB 上，且 BD＝BC，求证：∠ABC＝2∠ACD．他发现，除了方法 1 直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：
方法 2：如图 2，作 BE⊥CD，垂足为点 E．
方法 3：如图 3，作 CF⊥AB，垂足为点 F．
根据阅读材料，请你从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC＝2∠ACD，并写出其证明过程．
【答案】证明见解析
【提示】
方法1，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠ABC＝2∠ACD．
方法2，作BE⊥CD，垂足为点E．利用等腰三角形的性质以及同角的余角相等，即可得出∠ABC＝2∠ACD．
方法3，作CF⊥AB，垂足为点F．利用等腰三角形的性质以及三角形外角性质，即可得到∠ACF＝2∠ACD，再根据同角的余角相等，即可得到∠ABC＝∠ACF，进而得出∠ABC＝2∠ACD．
【解答】
解：方法1：如图1，∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90° ∠ACD，
又∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∴△BCD中，∠ABC＝180° 2∠BCD＝180° 2（90° ∠ACD）＝2∠ACD，
∴∠ABC＝2∠ACD；
方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝∠CBE＋∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
又∵BC＝BD，BE⊥CD，
∴∠ABC＝2∠CBE，
∴∠ABC＝2∠ACD；
方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F．
∵∠ACB＝90°，∠BFC＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝∠BCF＋∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠BCF，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，即∠BCF＋∠DCF＝∠A＋∠ACD，
∴∠DCF＝∠ACD，
∴∠ACF＝2∠ACD，
又∵∠ABC＋∠BCF＝∠ACF＋∠BCF＝90°，
∴∠ABC＝∠ACF，
∴∠ABC＝2∠ACD．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的综合运用，注意等腰三角形的两个底角相等是解答本题的关键．
32．一个角的余角的两倍称为这个角的倍余角．
(1)若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；（用的代数式表示）
(2)如图1，在△ABC中，，在AC上截取，在AB上截取．求证：∠ABC是∠EDB的倍余角；
(3)如图2，在（2）的情况下，作交AC于点F，将△BFC沿BF折叠得到，交AC于点P，若，设，求∠CPB的度数．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
(3)
【提示】
（1）由倍余角的定义可求解即可；
（2）由等腰三角形的性质可求∠ADE＋∠BDC＝180° ，由三角形内角和定理可求∠ABC＝2（90° ∠EDB），可得结论；
（3）由倍余角的定义可求∠EDB＝45°，由平行线的性质可求∠EDB＝∠DBF＝45°，由折叠的性质和等腰三角形的性质可求∠DBP＝45° α，即可求解．
（1）解：∵∠1＝30°，∠2是∠1的倍余角，∴∠2＝2（90° 30°）＝120°；∵∠1＝α，∠2是∠1的倍余角，∴∠2＝2（90° α）＝180° 2α．故答案为：120°；180° 2α．
（2）设，∵CD＝CB，AE＝AD∴，∴，，∴即∠ABC是∠EDB的倍余角．
（3）由（2）得，∵，∴，∵，∴，∴，∴，．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，理解倍余角的定义并运用，是解题的关键．
33．数学模型学习与应用：
(1)【模型学习】：如图，，，于点，于点由，得；又，可以通过推理得到≌，进而得到______，______我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．
(2)【模型应用】：如图，为等边三角形，，，求证：；
(3)【模型变式】：如图，在中，，，于点，于点，，，则______．
【答案】(1)，；
(2)见解析
(3)3
【提示】
（1）根据全等三角形的性质可得答案；
（2）根据，求出，利用AAS证明△BDE≌△CFD即可得出结论；
（3）根据，求出，利用AAS证明△ACD≌△CBE，得到，，再根据线段的和差可得答案．
（1）解：由题意可知：，∴DE，AE，故答案为：，；
（2）证明：是等边三角形，，∴，，，又，∴△BDE≌△CFD（AAS），；
（3），，，，，又，∴△ACD≌△CBE（AAS），，，，故答案为：．
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握“一线三等角”模型是解题的关键．
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