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2.4等腰三角形的判定定理
1. 等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
2. 等边三角形的判定定理
三个角相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
要点：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
一、单选题
1．下列条件能证明ΔABC为等腰三角形的是（ ）
①AD⊥BC，且AD平分BC;②AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD；③AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC.
A．① B．② C．③ D．①②③
2．如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．下列说法：
①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；
②等边三角形是特殊的等腰三角形；
③等腰三角形是特殊的等边三角形；
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；
其中，说法正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列判断正确的是（ ）
（1）有两个角是60度的三角形是等边三角形
（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
（3）三个内角都相等的三角形是等边三角形
（4）三边都相等的三角形是等边三角形
（5）腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形．
A．（1）（2）（3）（4）（5） B．（2）（3）（4）（5）
C．（2）（3）（4） D．（2）（3）
5．在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，BD＝DE，若△ABC的周长为26cm，AF＝5cm，则DC的长为（ ）
A．8cm B．7cm C．10cm D．9cm
7．如图，在中，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使．设旋转角为，则符合，满足的关系的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（ ）
①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4．
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
9．如图，在中，，AF是∠BAC的角平分线，DE是边AB上的中垂线．连接BE、EF，若，，则∠BEF的度数是（ ）
A．30° B．20° C．22.5° D．15°
10．如图，在中，，点为线段上一动点不与点，重合，连接，作，交线段于点下列结论：
；
若，则；
当时，则为中点；
当为等腰三角形时，．
其中正确的有个．( )
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
11．等边三角形的判定1：___________都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的判定2：___________都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的判定3：有一个角___________的___________三角形是等边三角形．
12．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D．请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是_____．
13．如图，在△ABC中，高AD、BE交于H点，若BH=AC，求∠ABC等于___度．
14．如图，已知是的中线，是上的一点，交于，，，，则__________．
15．如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为_____．
16．如图，在中，平分交于E，平分交于D，图中有__________个等腰三角形．
17．如图，，则___________．
18．如图，点是等边内一点，，将绕点按顺时针方向旋转得，连接，若，则的度数为___．
三、解答题
19．如图，已知点D、E在的边上，且，．求证：．
20．如图，等边中，分别交BC，AC于点D、E．
求证：是等边三角形．
21．已知点C和点F在线段BE上，且AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，AC和DF相交于点G．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）当∠AGF＝120°，猜想△GFC的形状，并说明理由．
22．如图，是等边三角形，点是的中点，，过点作，垂足为,的反向延长线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：垂直平分．
23．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF．
（2）若∠ACF＝70°，求∠EAC的度数．
24．如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作两个等边三角形△ABD，△ACE．连接BE、CD交点F，连接AF．
（1）求证：△ACD≌△AEB；
（2）求证：AF+BF+CF=CD．
25．如图，在等边三角形ABC中，点D是AB上一点，作，且．求证：
(1)；
(2)是等边三角形．
26．如图，等边△ABC的边长为15cm，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动
（1）点M、N运动几秒后，M，N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，△AMN为等边三角形？
（3）当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M，N运动的时间．
27．已知中，；中，；，点A．D．E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．
(1)如图1，当时，
①请直接写出和的形状；
②求证：；
③请求出的度数．
(2)如图2，当时， 若，，求线段AF的长．
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2.4等腰三角形的判定定理
1. 等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
2. 等边三角形的判定定理
三个角相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
要点：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
一、单选题
1．下列条件能证明ΔABC为等腰三角形的是（ ）
①AD⊥BC，且AD平分BC;②AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD；③AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC.
A．① B．② C．③ D．①②③
【答案】D
【提示】
可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②③是否正确．
【解答】
∵AD⊥BC，且AD平分BC，
∴AD是边BC上的中垂线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；
故本选项正确；
∵AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD，
∴AD是BC边上的垂线、∠BAC的角平分线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；
故本选项正确；
∵AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC，
∴AD是边BC上的中线，也是∠BAC的角平分线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；
故本选项正确；
综上所述，①②③都能证明△ABC为等腰三角形；故选D．
【点睛】
此题考查等腰三角形的判定和性质．等腰三角形“三线合一”是指底边上的中线、垂线、顶角上的角平分线，三线合一．
2．如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【提示】
由AC＝BC，可得△ABC是等腰三角形，求得各角的度数，再利用角相等，可确
定△BCD与△ABD也是等腰三角形．
【解答】
解：由图可知，
∵AC＝BC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠C＝36°，BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝∠C＝36°
∴△CBD为等腰三角形，
∵∠BDA＝∠C+∠CBD＝72°＝∠A
∴△BAD均为等腰三角形，
∴图中等腰三角形共有三个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
3．下列说法：
①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；
②等边三角形是特殊的等腰三角形；
③等腰三角形是特殊的等边三角形；
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；
其中，说法正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【提示】
根据三角形的分类，等腰三角形的判定，等边三角形的判定一一判断即可．
【解答】
①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形；故原说法错误．
②等边三角形是特殊的等腰三角形；正确．
③等边三角形是特殊的等腰三角形；故原说法错误．
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的分类，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．下列判断正确的是（ ）
（1）有两个角是60度的三角形是等边三角形
（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
（3）三个内角都相等的三角形是等边三角形
（4）三边都相等的三角形是等边三角形
（5）腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形．
A．（1）（2）（3）（4）（5） B．（2）（3）（4）（5）
C．（2）（3）（4） D．（2）（3）
【答案】A
【提示】
根据等边三角形的判定定理求解即可．
【解答】
解：三角形有两个角是60度，则第三个内角也为60度，
三个内角相等，故为等边三角形，（1）正确；
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，
故（2）正确；
三个内角都相等的三角形是等边三角形，
故（3）正确；
三边都相等的三角形是等边三角形，
故（4）正确；
等腰三角形的腰和底边相等，则三条边相等，
故（5）正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定，熟记判定定理是解本题的关键．
5．在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【提示】
先分别以点O、点A为圆心画圆，圆与x轴的交点就是满足条件的点P，再作OA的垂直平分线，与x轴的交点也是满足条件的点P，由此即可求得答案.
【解答】
如图，当OA=OP时，可得P1、P2满足条件，
当OA=AP时，可得P3满足条件，
当AP=OP时，可得P4满足条件，
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，正确的分类并画出图形是解题的关键.
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，BD＝DE，若△ABC的周长为26cm，AF＝5cm，则DC的长为（ ）
A．8cm B．7cm C．10cm D．9cm
【答案】A
【提示】
根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，能推出2DE+2EC＝16（cm），即可得出答案．
【解答】
解：∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∵△ABC周长26cm，AF＝5cm，
∴AC＝10（cm），
∴AB+BC＝16（cm），
∴AB+BE+EC＝16（cm），
即2DE+2EC＝16（cm），
∴DE+EC＝8（cm），
∴DC＝DE+EC＝8（cm），
故选：A．
【点睛】
此题主要考查三角形的线段长度，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及垂直平分线的性质．
7．如图，在中，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使．设旋转角为，则符合，满足的关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
根据题意由旋转的性质和平行线的性质得到∠CAA′=∠ACB=α，AC=A′C，根据等腰三角形的性质得到∠AA′C=∠A′AC=α；根据三角形的内角和进行分析即可得到．
【解答】
解：∵绕点顺时针旋转得到，且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查旋转的性质和平行线的性质以及等腰三角形的性质，正确的识别图形以及掌握旋转的性质和平行线的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．
8．如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（ ）
①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4．
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【提示】
如图，连接AC，由△ABD是等边三角形得AB=AD，从而得点A、CD都在线段BD的垂直平分线上，即可判断①正确，由平行线的性质可得∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，即可判断②正确，三角形的外角性质得∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，从而判断③错误，先找到CE=AE，又由△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，得AD=AB=8，EF=DE=2，从而有CF=CE-EF=4，即可判断④正确．
【解答】
解：如图，连接AC，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，∠ABD=∠DAB=∠EDF=60°，
∵，
∴点A、C都在线段BD的垂直平分线上，
∴连接AC，则AC垂直平分线段BD，故①正确，
∵，
∴∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，
∴△DEF是等边三角形，故②正确，
∵BC=BD，，
∴∠CDB=∠CBD=40°，
∵∠DFE=60°，
∴∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，故③错误，
∵AC垂直平分BD，AB=AD，∠BAD=60°，
∴∠CAB=∠CAD=30°，
∵AB//CE，
∴∠ACE=∠CAB=∠CAD，
∴CE=AE，
∵△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，
∴AD=AB=8，EF=DE=2，
∴CF=CE-EF=AE-EF=AD-DE-EF=8-2-2=4，故④正确，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键．
9．如图，在中，，AF是∠BAC的角平分线，DE是边AB上的中垂线．连接BE、EF，若，，则∠BEF的度数是（ ）
A．30° B．20° C．22.5° D．15°
【答案】C
【提示】
由垂直平分线的性质得出AE＝BE，由等腰三角形的性质得出∠BAE＝∠ABE＝45°，求出∠FAC＝∠BAC＝22.5°，AF⊥BC，由直角三角形的性质可求出答案．
【解答】
解：∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝∠AEB＝90°，
∵DE是边AB上的中垂线，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，
∵AB＝AC，AF平分∠BAC，
∴∠FAC＝∠BAC＝22.5°，AF⊥BC，
∴∠C＝90° ∠FAC＝67.5°，
∵EF＝FC，
∴∠FEC＝∠C＝67.5°，
∴∠BEF＝∠BEC ∠FEC＝90° 67.5°＝22.5°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10．如图，在中，，点为线段上一动点不与点，重合，连接，作，交线段于点下列结论：
；
若，则；
当时，则为中点；
当为等腰三角形时，．
其中正确的有个．( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【提示】
根据三角形外角的性质即可得到；
当时，；
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到；
根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到．
【解答】
，，
．
，
．
由三角形内角和定理知：．
故正确；
，
，
由知：．
．
．
，
故正确；
为中点，，
，
，
，
，
，
，
故正确；
，
，
，
为等腰三角形，
或，
当时，，
，
，
故不正确．
故选：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，计算各角的度数是解题的关键．
二、填空题
11．等边三角形的判定1：___________都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的判定2：___________都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的判定3：有一个角___________的___________三角形是等边三角形．
【答案】 三条边 三个角 是 等腰
【提示】
根据等边三角形的判定定理解答即可．
【解答】
解：等边三角形的判定1：三条边都相等的三角形是等边三角形；
等边三角形的判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形；
等边三角形的判定3：有一个角是的等腰三角形是等边三角形；
故答案为：三条边；三个角；是；等腰．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定定理，熟知定理是解本题的关键．
12．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D．请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是_____．
【答案】BD=CD
【解答】
已知给出了两线段垂直，只要有一条被平分，则有等腰三角形出现，于是答案可得．
解：添加的条件是BD=CD．
∵BD=CD，AD⊥BC，AD是公共边，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．
证明三角全等的方法有很多，所以可添加的条件也有很多，答案不唯一．
故填BD=CD．
13．如图，在△ABC中，高AD、BE交于H点，若BH=AC，求∠ABC等于___度．
【答案】45
【提示】
根据同角的余角相等求出∠CAD=∠HBD，再利用“角角边”证明△ACD和△BHD全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BD，然后判断出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质解答即可．
【解答】
解：∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠CAD+∠C=∠HBD+∠C，
∴∠CAD=∠HBD，
在△ACD和△BHD中，
，
∴△ACD≌△BHD(AAS)，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45．
故答案为：45．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键．
14．如图，已知是的中线，是上的一点，交于，，，，则__________．
【答案】100°
【提示】
延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，证△BDM≌△CDA（SAS），得BM=AC=BF，∠M=∠DAC=24°，∠C=∠DBM，再证△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度数，即可解决问题．
【解答】
解：如图，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，如图所示：
在△BDM和△CDA中，
，
∴△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM=AC=BF，∠M=∠DAC=24°，∠C=∠DBM，
∵BF=AC，
∴BF=BM，
∴∠M=∠BFM=24°，
∴∠MBF=180°-∠M-∠BFM=132°，
∵∠EBC=32°，
∴∠DBM=∠MBF-∠EBC=100°，
∴∠C=∠DBM=100°，
故答案为：100°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
15．如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为_____．
【答案】
【提示】
过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DEAC即可．
【解答】
过P作PF∥BC交AC于F，
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF．
∵PE⊥AC，
∴AE=EF．
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，
∵，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD．
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DEAC．
∵AC=3，
∴DE．
故答案为：．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解答此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
16．如图，在中，平分交于E，平分交于D，图中有__________个等腰三角形．
【答案】5
【提示】
利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案；
【解答】
∵，
∴是等腰三角形．
∴．
∵平分交于E，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
∵，
∴是等腰三角形．
∵平分，
∴．
∵，
∴是等腰三角形．
∵，
∴是等腰三角形，
∴共有5个等腰三角形，
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及等腰三角形的判定，准确判断是解题的关键．
17．如图，，则___________．
【答案】18°
【提示】
延长BC至点E，使得CE=BD，先证∠E=∠DAE，再证△ABD≌△AEC，最后通过∠ADC+∠ACD+∠DAC =180°，解出x的值，即可解答．
【解答】
解：如图，延长BC至点E，使得CE=BD，
∴BD+CD=CE+CD，
∴BC=DE，
∵AD=BC，
∴AD=DE，
∴∠E=∠DAE，
∵∠ACD=4x，
∴∠CAE+∠E=4x，
∴∠E=4x-∠CAE=∠DAE，
∴4x-∠CAE =2x+∠CAE，
∴∠CAE =x，∠DAE =∠E =3x，
∵∠ABC =3x，
∴∠ABC =∠E，
∴AB=AE，
∴△ABD≌△AEC，
∴∠ADB=∠ACE，
∴∠ADC=∠ACD=4x，
∵∠ADC+∠ACD+∠DAC =180°，
∴4x+4x+2x=180°，
解得：x=18°，
∴18°，
故答案为：18°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
18．如图，点是等边内一点，，将绕点按顺时针方向旋转得，连接，若，则的度数为___．
【答案】
【提示】
由题意易得△BOC≌△ADC，则有∠BOC=∠ADC，OC=CD，进而可得△ODC是等边三角形，设∠AOD=∠OAD=x，则∠ADO=180°-2x，∠ADC=240°-2x，然后根据角的和差关系进行求解即可．
【解答】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵将绕点按顺时针方向旋转得，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC=∠ADC，OC=CD，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠DOC=∠ODC=60°，
∵，
∴设∠AOD=∠OAD=x，则有∠ADO=180°-2x，∠ADC=240°-2x，
∴∠BOC=360°-110°-60°-x=190°-x，
∴240°-2x=190°-x，解得：x=50°，
∴∠BOC=140°，
故答案为140°．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质及等腰三角形的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质及等腰三角形的性质、等边三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题
19．如图，已知点D、E在的边上，且，．求证：．
【答案】见解析
【提示】
由，∠ADC＋∠ADB＝180°，∠AEB＋∠AEC＝180°，证得∠ADB＝∠AEC，AD＝AE，又由得到△ABD≌△ACE（SAS），即可得到结论．
【解答】
解：∵，∠ADC＋∠ADB＝180°，∠AEB＋∠AEC＝180°，
∴△ADE是等腰三角形，∠ADB＝∠AEC，
∴ AD＝AE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴ ∠1＝∠2．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
20．如图，等边中，分别交BC，AC于点D、E．
求证：是等边三角形．
【答案】证明见详解
【提示】
先由等边三角形的性质得到，然后根据平行线的性质得到，，从而证明是等边三角形．
【解答】
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定定理是关键．
21．已知点C和点F在线段BE上，且AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，AC和DF相交于点G．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）当∠AGF＝120°，猜想△GFC的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）△GFC是等边三角形，理由见解析
【提示】
（1）由“SAS”可证△ABC≌△DEF；
（2）由全等三角形的性质可得∠GFC=∠GCF，由外角性质可得∠GFC=∠GCF =60°，可证△GFC是等边三角形．
【解答】
证明：（1）∵AB=DE，且∠B=∠E，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）△GFC是等边三角形，
理由如下：∵△ABC≌△DEF，
∴∠GFC=∠GCF，
∵∠AGF=∠GFC+∠GCF =120°，
∴∠GFC=∠GCF =60°，
∴△GFC是等边三角形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，证明△ABC≌△DEF是本题的关键．
22．如图，是等边三角形，点是的中点，，过点作，垂足为,的反向延长线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：垂直平分．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【提示】
（1）先证明≌得到，再根据等边三角形即可求解；
（2）根据得到，得到△ABM是等腰三角形，根据三线合一即可求解．
【解答】
证明：（1）∵点是的中点
∴
∵
∴
在和中
∴≌
∴
∴
∴
（2）∵点是等边中边的中点
∴且平分
∴,
∵
∴
∴
∴是等腰三角形
又∵
∴是中边的中线
又
∴垂直平分．
【点睛】
此题主要考查等边三角形的性质与证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定、等边三角形的性质及垂直平分线的判定．
23．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF．
（2）若∠ACF＝70°，求∠EAC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠EAC＝20°
【提示】
（1）由AB＝CB，∠ABC＝90°，AE＝CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB＝CB，∠ABC＝90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠FBC的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠EAB的度数，再得出∠EAC即可求得答案．
【解答】
证明：∵∠ABC＝90°
∴△ABE与△CBF为直角三角形．
∵在Rt△ABE与Rt△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵∠ACF＝70°，
∴∠FBC＝25°，
由Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠EAB＝∠FBC＝25°，
∴∠EAC＝20°．
【点睛】
此题考查了直角三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
24．如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作两个等边三角形△ABD，△ACE．连接BE、CD交点F，连接AF．
（1）求证：△ACD≌△AEB；
（2）求证：AF+BF+CF=CD．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【提示】
（1）根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAB＝60，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，延长FB至K，使FK＝DF，连DK，根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】
（1）∵△ABD和△ACE为等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAB=60°，
∴∠DAC=∠BAE=60°+∠BAC．
在△ACD和△AEB中，
∵，
∴△ACD≌△AEB(SAS)；
（2）由（1）知∠CDA=∠EBA，
如图∠1=∠2，
∴180°﹣∠CDA﹣∠1=180°﹣∠EBA﹣∠2，
∴∠DAB=∠DFB=60°，
如图，延长FB至K，使FK=DF，连DK，
∴△DFK为等边三角形，
∴DK=DF，
∴△DBK≌△DAF(SAS)，
∴BK=AF，
∴DF=DK，FK=BK+BF，
∴DF=AF+BF，
又∵CD=DF+CF，
∴CD=AF+BF+CF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．如图，在等边三角形ABC中，点D是AB上一点，作，且．求证：
(1)；
(2)是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【提示】
（1）根据以及等边三角形ABC的性质，可得，再由，即可求证；
（2）根据，可得，，再由，可得，即可求证．
（1）证明：∵，∴，在等边三角形ABC中，，，又∵，∴；
（2）证明：∵，∴，，又∵，∴，即：，∴为等边三角形．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
26．如图，等边△ABC的边长为15cm，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动
（1）点M、N运动几秒后，M，N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，△AMN为等边三角形？
（3）当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M，N运动的时间．
【答案】（1）15秒；（2）5秒；（3）20秒
【提示】
（1）由点N运动路程＝点M运动路程+AB间的路程，列出方程求解，捷克得出结论；
（2）由等边三角形的性质可得AN＝AM，可列方程求解，即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质可得CM＝BN，可列方程求解，即可得出结论．
【解答】
（1）设运动t秒，M、N两点重合，
根据题意得：2t﹣t＝15，
∴t＝15，
答：点M，N运动15秒后，M、N两点重合；
（2）如图1，设点M、N运动x秒后，△AMN为等边三角形，
∴AN＝AM，
由运动知，AN＝15﹣2x，AM＝x，
∴15﹣2x＝x，
解得：x＝5，
∴点M、N运动5秒后，△AMN是等边三角形；
（3）假设存在，
如图2，设M、N运动y秒后，得到以MN为底边的等腰三角形AMN，
∴AM＝AN，
∴∠AMN＝∠ANM，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠C＝∠B＝60°，
∴△ACN≌△ABM（AAS），
∴CN＝BM，
∴CM＝BN，
由运动知，CM＝y﹣15，BN＝15×3﹣2y，
∴y﹣15＝15×3﹣2y，
∴y＝20，
故点M，N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M，N运动的时间为20秒．
【点睛】
此题主要考查等边三角形的性质与证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．
27．已知中，；中，；，点A．D．E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．
(1)如图1，当时，
①请直接写出和的形状；
②求证：；
③请求出的度数．
(2)如图2，当时， 若，，求线段AF的长．
【答案】(1)①△ABC和△DEC是等边三角形；②见详解；③60°；
(2)4
【提示】
（1）①根据中，；中，，=60°，即可得到结论；②先证明△ACD≌△BCE，即可得到结论；③由 ACD≌ BCE得∠ADC=∠BEC，结合等边三角形的性质，即可求解；
（2）延长BE、AC相交于点G，证明 ACD≌ BCE，得∠CAD=∠CBE，推出∠ACF=∠BEF=90°，证明 ACF≌ BCG以及 AEB≌ AEG，结合条件即可求解．
（1）①∵，，∴，为等腰三角形，又∵，∴和是等边三角形；②∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠BCE+∠DCB，∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，又∵，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；③∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵∠ADC=180°-∠CDE=180°-60°=120°，∴∠BEC=∠CEF+∠AEB=120°，∵∠CEF=60°，∴∠AEB=120°-60°=60°；
（2）延长BE、AC相交于点G，∵=90°，，，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，∵∠AFC=∠BFE，∴∠ACF=∠BEF=90°，∴∠AEB=∠AEG=90°，在 ACF和 BCG中，∵ ，∴△ACF≌△BCG（ASA），∴AF=BG，∵∠CAF=∠BAF，∠AEB=∠AEG=90°，AE=AE，∴ AEB≌ AEG(ASA)，∴BE=GE=2，∴AF=4．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形，等腰直角三角形，全等三角形等，熟练掌握等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定性质，全等三角形的判定和性质，“旋转全等”模型，是解题的关键．
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