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3.4 圆心角
一、圆心角与弧的定义
1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角.
要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
(2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.
2．1°的弧的定义
1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，
要点：
(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.
（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.
二、圆心角定理及推论
1.圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
2.圆心角定理的推论：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.
要点：
在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).
*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等
一、单选题
1．下列图形中表示的角是圆心角的是( )
A．A B．B C．C D．D
2．下列说法：①等弧对等弦；②等弦对等弧；③等弦所对的圆心角相等；④相等的圆心角所对的弧相等；⑤等弧所对的圆心角相等．其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．如图，在中，，则弦AC与AB的关系是（ ）
A．AB=AC B．AC=2AB C．AC<2AB D．AC>2AB
4．下列说法错误的是（ ）
A．等弧所对的圆心角相等 B．弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数
C．长度相等的两段弧是等弧 D．半径相等的两个半圆是等弧
5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
6．如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．到、的距离相等
7．如图，在中，已知AB=CD，则AC与BD的关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
8．在⊙O中，C是的中点，D是上的任一点（与点A、C不重合），则（ ）
A．AC+CB＝AD+DB B．AC+CB＜AD+DB
C．AC+CB＞AD+DB D．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定
9．如图，在一个圆内有、、，若+=，则AB+CD与EF的大小关系是（ ）
A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD≤EF D．AB+CD＞EF
10．如图，在半径为5的中，弦BC，DE所对的圆心角分别是，．若，，则弦BC的弦心距为（ ）.
A． B． C．4 D．3
二、填空题
11．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_________，所对的弦也_______．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____， 所对的弦________；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________．
12．若一条弦把圆周分成的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是________．
13．如图，在中，点是的中点，，则等于________．
14．如图，A、B、C是上三个点，，则弦与的大小关系是______．（填“>”、“<”或“=”）
15．如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝_____．
16．如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝________．
17．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是上的点，且有，则∠OCG=___．
18．如图，在平行四边形ABCO中，∠C＝60°，点A，B在⊙O上，点D在优弧上，DA＝DB，则∠AOD的度数为_______．
三、解答题
19．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：AC＝BD；
20．如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD//BC，求证：D为的中点．
21．已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，且，∠AOB＝125°，求∠COD的度数．
22．如图，AB、DE是⊙O的直径，C是圆上一点，且，求证：BE=CE
23．如图，在⊙O 中，弦 AD＝BC，连接 AB、CD．求证：AB＝CD．
24．如图，在中，D、E分别为半径OA，OB上的点，且，点C为弧AB中点，连接CD、CE．
（1）求证：；
（2）若，，，求半径的长．
25．如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、．
(1)求证：；
(2)若，求弦的长．
26．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧上，连接CE．
（1）求证：CE平分∠AEB；
（2）连接BC，若BC//AE，求证：BC=BE．
27．如图，在扇形AOB中，，C、D是上两点，过点D作交OB于E点，在OD上取点F，使，连接CF并延长交OB于G点．
(1)求证：；
(2)若C、D是AB的三等分点，：
①求；
②请比较GE和BE的大小．
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3.4 圆心角
一、圆心角与弧的定义
1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角.
要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
(2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.
2．1°的弧的定义
1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，
要点：
(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.
（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.
二、圆心角定理及推论
1.圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
2.圆心角定理的推论：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.
要点：
在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).
*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等
一、单选题
1．下列图形中表示的角是圆心角的是( )
A．A B．B C．C D．D
【答案】A
【解答】
解:根据圆心角的定义:顶点在圆心的角是圆心角可知,B,C,D项图形中的顶点都不在圆心上,所以它们都不是圆心角.
故选A.
2．下列说法：①等弧对等弦；②等弦对等弧；③等弦所对的圆心角相等；④相等的圆心角所对的弧相等；⑤等弧所对的圆心角相等．其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解答】
试题分析：本题利用“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.”来判断，其中“在同圆或等圆中”是必备条件.
解：①两个相等的弧一定是在同圆或等圆中，故此时等弧对等弦，①正确；
②两个相等的弦不一定在同圆或等圆中，故②错误；
③两个相等的弦不一定在同圆或等圆中，故③错误；
④两个相等的圆心角不一定在同圆或等圆中，故④错误；
⑤两个相等的弧一定是在同圆或等圆中，故此时等弧所对的圆心角相等，⑤正确．
综上①⑤正确.
故选B.
3．如图，在中，，则弦AC与AB的关系是（ ）
A．AB=AC B．AC=2AB C．AC<2AB D．AC>2AB
【答案】C
【提示】
由已知条件，得出点B是的中点，根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到AB=BC，又在△ABC中，根据三角形三边关系定理得出AB+BC＞AC.
【解答】
解：连接BC
∵，
∴弧AB=弧BC，
∴AB=BC，
∵在△ABC中，AB+BC>AC，
∴AC<2AB.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助线，得出AB=BC是解题的关键．
4．下列说法错误的是（ ）
A．等弧所对的圆心角相等 B．弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数
C．长度相等的两段弧是等弧 D．半径相等的两个半圆是等弧
【答案】C
【提示】
根据圆的相关性质，圆心角、弧、弦的关系判定即可．
【解答】
解：A等弧所对的圆心角相等，故正确；
B、弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数，故正确；
C.等弧的概念是在只能完全重合的两段弧，错误；
D、半径相等的两个半圆是等弧，正确，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查圆心角、弧、弦的关系，正确的理解题意是解题的关键．
5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】D
【提示】
首先由AD∥OC可以得到∠AOC=∠DAO，又由OD=OA得到∠ADO=∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数．
【解答】
解：∵AD∥OC，
∴∠AOC=∠DAO=70°，
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO=70°，
∴∠AOD=180-70°-70°=40°．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质及圆的基本性质，由半径相等得到∠ADO=∠DAO是解题的关键．
6．如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．到、的距离相等
【答案】A
【提示】
根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．
【解答】
在中，弦弦，则其所对圆心角相等，即，所对优弧和劣弧分别相等，所以有，故B项和C项结论正确，
∵，AO=DO=BO=CO
∴（SSS）
可得出点到弦，的距离相等，故D项结论正确；
而由题意不能推出，故A项结论错误．
故选：A
【点睛】
此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆心角、弧、弦之间的关系．
7．如图，在中，已知AB=CD，则AC与BD的关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【提示】
根据已知条件可得，进而可得，根据圆心角、弧、弦的关系即可得
．
【解答】
，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆的性质是解题关键．
8．在⊙O中，C是的中点，D是上的任一点（与点A、C不重合），则（ ）
A．AC+CB＝AD+DB B．AC+CB＜AD+DB
C．AC+CB＞AD+DB D．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定
【答案】C
【提示】
欲求AC+CB和AD+DB的大小关系，需将这些线段构建到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系解题．
【解答】
解：如图；
以C为圆心，AC为半径作圆，交BD的延长线于E，连接AE、CE；
∵CB＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB；
∵∠DAC＝∠CBE，
∴∠DAC＝∠CEB；
∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴∠CAE﹣∠DAC＝∠CEA﹣∠CED，即∠DAE＝∠DEA；
∴AD＝DE；
∵EC+BC＞BE，EC＝AC，BE＝BD+DE＝AD+BD，
∴AC+BC＞BD+AD；
故选：C．
【点睛】
本题考查圆心角、弧、弦的关系，涉及三角形三边关系等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．如图，在一个圆内有、、，若+=，则AB+CD与EF的大小关系是（ ）
A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD≤EF D．AB+CD＞EF
【答案】D
【提示】
在弧EF上取一点M，使，推出，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝FM，CD＝EM，根据三角形的三边关系定理求出FM＋EM＞FE即可．
【解答】
如图，在弧EF上取一点M，使，
则，
所以AB＝FM，CD＝EM，
在△MEF中，FM+EM＞EF，
所以AB+CD＞EF，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线是解题的关键．
10．如图，在半径为5的中，弦BC，DE所对的圆心角分别是，．若，，则弦BC的弦心距为（ ）.
A． B． C．4 D．3
【答案】D
【提示】
作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，则AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3．
【解答】
作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
而CA=AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH=BF=3,
故选：D.
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题
11．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_________，所对的弦也_______．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____， 所对的弦________；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________．
【答案】 相等 相等 相等 相等 相等 相等
略
12．若一条弦把圆周分成的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是________．
【答案】
【提示】
一条弦把圆周分成的两段弧，所以圆的中心角被分成了5份，每一份占，劣弧对应的圆心角占了2份，即．
【解答】
解：∵一条弦把圆周分成的两段弧，
∴劣弧所对圆心角的度数为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了优弧与劣弧的概念，本题的关键找到隐藏条件，圆的中心角．
13．如图，在中，点是的中点，，则等于________．
【答案】
【提示】
根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据等腰三角形性质得出∠BOC＝∠AOB，代入求出即可．
【解答】
解：∵，
∴
∴，
∵点是的中点，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．
14．如图，A、B、C是上三个点，，则弦与的大小关系是______．（填“>”、“<”或“=”）
【答案】＜．
【提示】
取中点为D，连结AD，BD，OD，可得，可得∠AOD=∠BOD=由，可得，根据圆心角与弧弦之间关系可得AD=BD=BC，利用三角形三边关系可得AB＜AD+BD=2BC即可．
【解答】
解：取中点为D，连结AD，BD，OD，
∴，
∴∠AOD=∠BOD=，
∵，
∴，
∴AD=BD=BC，
在△ABD中，AB＜AD+BD=2AD=2BC．
故答案为＜．
【点睛】
本题考查圆心角弧弦之间关系，三角形三边之间关系，掌握圆心角弧弦之间关系，三角形三边之间关系是解题关键．
15．如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝_____．
【答案】2
【提示】
根据圆心角、弧、弦之间关系求出∠AOC=∠BOC，根据角平分线性质得出OM的长，根据勾股定理计算CM的长，根据垂径定理得出CD=2CM，代入求出即可．
【解答】
解：连接OC，
∵C为的中点，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵CN⊥OB，CD⊥OA，ON＝a，
∴OM＝ON＝n，
∴CM＝＝，
∵CM⊥OA，
即OM⊥CD，
由垂径定理得：CD＝2CM＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦之间关系、垂径定理，角平分线性质等知识点，关键是求出CM的长和得出CD=2CM．
16．如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝________．
【答案】20°
【提示】
连接AO，BO，然后根据等弦对等圆心角得到∠BOC=∠AOB，再根据三角形内角和得到∠OBA=∠OBC，再由∠ABC=40°，OB=OC，即可得到结果．
【解答】
解：如图，连接AO，BO，
∴OA=OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，∠OAB=∠OBA，
∵AB=BC，
∴∠BOC=∠AOB，
∴，
∵∠ABC=40°，OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=20°．
故答案为：20°．
【点睛】
本题主要考查圆内相关概念和定理，三角形内角和定理等内容．掌握圆内相关概念是解题基础．
17．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是上的点，且有，则∠OCG=___．
【答案】30°．
【解答】
解：∵=====,
∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG=30°，
∴∠COG=∠COD+∠DOE+∠EOF+∠FOG=120°,
∵OC=OG，∴∠OCG=∠OGC=（180°-120°）=30°.
故答案为30°.
18．如图，在平行四边形ABCO中，∠C＝60°，点A，B在⊙O上，点D在优弧上，DA＝DB，则∠AOD的度数为_______．
【答案】150°
【提示】
连接OB，先由平行四边形的性质得∠OAB＝∠C＝60°，再由等腰三角形的性质得∠OBA＝∠OAB＝60°，则∠AOB＝60°，然后证，即可得出∠AOD＝∠BOD＝150°．
【解答】
解：连接OB，如图所示：
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠OAB＝∠C＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵DA＝DB，
∴，
∴∠AOD＝∠BOD＝（360°﹣60°）＝150°，
故答案为：150°．
【点睛】
此题考查了平行四边形以及圆的有关性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形以及圆的有关性质．
三、解答题
19．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：AC＝BD；
【答案】见解析
【提示】
根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证．
【解答】
证明：∵＝，
∴＝，
∴，
∴BD=AC．
【点睛】
本题考查了弦与弧之间的关系，掌握同圆或等圆中，等弧对等弦是解题的关键．
20．如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD//BC，求证：D为的中点．
【答案】见解析
【提示】
根据可得，，，根据半径相等，由等边对等角可得，等量代换可得，根据圆心角与弧长的关系可得，即可证明D为的中点．
【解答】
，
，.
，
，
.
.
∴D为的中点．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，等边对等角，弧与圆心角的关系，掌握圆的相关知识是解题的关键．
21．已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，且，∠AOB＝125°，求∠COD的度数．
【答案】∠COD＝125°
【提示】
由题意易知，然后根据弧与圆心角的关系可直接进行求解．
【解答】
解：∵，
∴，即，
∴，
∵∠AOB＝125°，
∴∠COD＝125°．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键．
22．如图，AB、DE是⊙O的直径，C是圆上一点，且，求证：BE=CE
【答案】见解析
【提示】
根据同圆中，弧，弦，圆心角的关系进行求解即可．
【解答】
解：∵AB、DE是⊙O的直径，∠BOE=∠AOD，
∴，
∵，
∴，
∴BE=CE．
【点睛】
本题主要考查了同圆中弧，弦，圆心角的关系，解题的关键在于能够熟练掌握弧，弦，圆心角的关系．
23．如图，在⊙O 中，弦 AD＝BC，连接 AB、CD．求证：AB＝CD．
【答案】见解析
【提示】
由AD＝BC，，等量代换得，即可得出结论．
【解答】
证明：∵AD＝BC，
∴，
∴，
即，
∴AB＝CD．
【点睛】
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，熟练掌握同圆或等圆中，等弧所对的弦相等．
24．如图，在中，D、E分别为半径OA，OB上的点，且，点C为弧AB中点，连接CD、CE．
（1）求证：；
（2）若，，，求半径的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）5．
【提示】
（1）连接，先根据线段的和差可得，再根据圆心角定理可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，最后根据三角形全等的性质即可得证；
（2）设半径的长为，从而可得，再在中，利用勾股定理即可得．
【解答】
解：（1）如图，连接，
，
，即，
点为弧中点，
，
，
在和中，，
，
；
（2）设半径的长为，则，
，
，
由（1）已证：，
，
，
在中，，即，
解得，
故半径的长为5．
【点睛】
本题考查了圆心角定理、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理，熟练掌握圆心角定理是解题关键．
25．如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、．
(1)求证：；
(2)若，求弦的长．
【答案】(1)见解析
(2)弦BD的长为16cm
【提示】
（1）根据垂径定理可得，进而可得∠ABD＝∠C，根据半径相等可得∠C＝∠CBO，等量代换即可得证；
（2）在Rt△OBE中，勾股定理求得，根据垂径定理可得BE＝DE，即可求解．
（1）∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，∴∴∠ABD＝∠C，∵OB＝OC，∴∠C＝∠CBO， ∴∠CBO＝∠ABD；
（2）∵AE＝4，CE＝16，∴OA＝10，OE＝6， 在Rt△OBE中，，∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，∴BE＝DE，∴BD＝2BE＝16cm．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理等，掌握垂径定理是解题的关键．
26．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧上，连接CE．
（1）求证：CE平分∠AEB；
（2）连接BC，若BC//AE，求证：BC=BE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【提示】
（1）根据垂径定理，可得，从而得到 ，即可求证；
（2）根据，可得到，再由，即可求证．
【解答】
（1）证明：，是直径，
．
，
平分；
（2）解：如图，
∵ ，
∴．
又∵，
．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
27．如图，在扇形AOB中，，C、D是上两点，过点D作交OB于E点，在OD上取点F，使，连接CF并延长交OB于G点．
(1)求证：；
(2)若C、D是AB的三等分点，：
①求；
②请比较GE和BE的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)①∠OGC=90°；②BE＞GE
【提示】
（1）先由平行线得出∠COD=∠ODE，再用SAS证△OCF≌△DOE即可；
（2）①先由C、D是的三等分点，∠AOB=90°，求得∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由（1）知△OCF≌△DOE，所以∠OCF=∠DOE=30°，即可由三角形内角和求解；
②由①∠OGC=90°，∠OCF=∠DOE=30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得，OF=2，又∠OCF=∠COF=30°，所以CF=OF，又由△OCF≌△DOE，所以OE=CF=OF=2，即可求得，，再比较即可得出结论；
（1）解：∵DEOC，∴∠COD=∠ODE，∵OC=OD，OF=DE，∴△OCF≌△DOE(SAS)；
（2）解：①∵C、D是的三等分点，∠AOB=90°，∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，∵△OCF≌△DOE，∴∠OCF=∠DOE=30°，∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°，∴∠OGC=90°．②∵，∴，又∵∠DOE=30°，∴OF=2，∵∠OCF=∠COF=30°，∴CF=OF，∵△OCF≌△DOE，∴OE=CF=OF=2，∴，，∵，∴BE＞GE．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，圆的性质，圆心角、弧之间的关系，直角三角形的性质，勾股定理，求出∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，进而求得∠OGC=90°是解题词的关键．
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