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3.3垂径定理
一、垂径定理
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
如图，几何语言为：
CD是直径
要点：
2.推论
定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
要点：
（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.
（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
二、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
要点：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
一、单选题
1．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AE＝BE B．OE＝DE C． D．
【答案】B
【提示】
根据垂径定理即可判断．
【解答】
解：是的直径，弦于点，
，， ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
2．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，则CD的长为（ ）
A．3 B．6 C．6 D．6
【答案】C
【提示】
连接OC，求出∠COB=45°，根据垂径定理求出CD=2CE，根据勾股定理求出CE即可．
【解答】
解：连接OC，
则OC=AB=×12=6，
∵OA=OC，∠CAB=22.5°，
∴∠CAB=∠ACO=22.5°，
∴∠COB=∠CAB+∠ACO=45°，
∵AB⊥CD，AB为直径，
∴CD=2CE，∠CEO=90°，
∴∠OCE=∠COB=45°，
∴OE=CE，
∵CE2+OE2=OC2，
∴2CE2=62，
解得：CE=3，
即CD=2CE=6，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外角性质，垂径定理等知识点，能求出CE=OE是解此题的关键．
3．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，CD垂直平分弦AB，CD=1寸，AB=10寸，求圆的直径”（1尺=10寸）根据题意直径长为（ ）
A．10寸 B．20寸
C．13寸 D．26寸
【答案】D
【提示】
连接OD，OA，根据垂径定理求出AD的长，再根据勾股定理求出OA的值即可．
【解答】
解：连接OD，OA，
∵CD垂直平分弦AB，CD＝1寸，AB＝10寸，
∴AD＝5寸，
在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，
即OA2＝（OA 1）2＋52，
解得：OA＝13，
故圆的直径为26寸，
故选D．
【点睛】
本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
4．下列命题中假命题是（ ）
A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心
C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
【答案】A
【提示】
根据垂径定理及其推论分别进行判断．
【解答】
A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；
B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；
C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；
D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质．
5．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．若平分，则 B．若，则平分
C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分
【答案】C
【提示】
根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断．
【解答】
解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；
B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意；
C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意；
D、若也是直径，则原说法不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键．
6．已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【提示】
先画好一个圆，标上直径CD，已知AB的长为8cm，可知分为两种情况，第一种情况AB与OD相交，第二种情况AB与OC相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC的长；
【解答】
连接AC，AO，
∵圆O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM==3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5 3=2cm，
在Rt△AMC中，AC=cm．
故选C．
【点睛】
本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关键．
7．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【提示】
由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．
【解答】
解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OM的最大值为5，
∵OM⊥AB于M，
∴AM=BM，
∵AB=6，
∴AM=3，
在Rt△AOM中，；
此时OM最短，
所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM的最小值，所以求OM的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（^$^$）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
8．如图，是的直径，将一块直角三角板的角的顶点与圆心O重合，角的两边分别与交于E、F两点，若点F是弧的中点，的半径是4，则弦的长为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【提示】
设DE交OB于点M，根据F为弧DE中点，得出∠AOF=∠FOD=60°，OF⊥DE，可求出DE=2DM，求出∠EDO=∠DEO=30°，求出OM，即可求出DM，即可求解．
【解答】
解：如图，设DE交OB于点M，
∵点F是弧的中点，
∴∠AOF=∠DOF=60°，OF⊥DE，
∴DE=2DM，
∴∠EDO=∠DEO= （180°-60°-60°）=30°，
∵的半径是4，
∴OM= OD=2，
在 中，由勾股定理得：
，
∴DE=2DM= ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
9．如图，为的直径，C，D为上的两点，且C为的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
根据垂径定理的推论，可得 ，又由，可求出，即可求解．
【解答】
解：∵为的直径，且C为的中点，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵ ，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，等腰三角形的性质及直角三角形的性质，能得到是解题的关键．
10．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A，B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=4，AB=10，PM=m，则m的最大值是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【提示】
当CD∥AB时，PM有最大值，连接OM、OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC的长即可得到答案.
【解答】
当CD∥AB时，PM有最大值，
连接OC、OM，
∵直径AB=10，
∴OC=5，
∵M是CD的中点，
∴OM⊥CD，
∵CD∥AB，CP⊥AB，
∴∠OPC=∠PCM=∠OMC=90°，
∴四边形OPCM是矩形，
∴PM=OC=5，即m=5，
故选：C.
【点睛】
此题考查圆的垂径定理，矩形的判定定理及性质定理，根据题意合理猜想并进行证明是解题的关键.
二、填空题
11．如图，是的直径，弦于点，，，则的长为________．
【答案】8
【提示】
先求出AO的长，然后利用垂径定理和勾股定理求解即可．
【解答】
连接，根据题意知半径，
∴，
在中，，
∵，
∴．
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
12．垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧．
符号语言：
∵①CD是直径，②CD⊥AB
∴③AE＝_____，④＝________，⑤＝________．
【答案】 平分 平分 BE
略
13．如图，交轴与两点，交轴于点，弦于点的纵坐标为2，，．则圆心的坐标为____．
【答案】（，2）
【提示】
过M作MN⊥BC于N，连接CM，由垂径定理可求出CN的长，即可求出ON的长，可得M的坐标．
【解答】
解：过M作MN⊥BC于N，连接CM，
∵，，
∴OB=，OC=，
∴BC=，
∵MN⊥BC，
∴CN=AB=，
∴ON=，
∴M（，2），
故答案为：（，2）．
【点睛】
本题考查的是垂径定理、坐标与图形特点，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
14．如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是_____．
【答案】1cm
【提示】
首先过点O作OF⊥CD于点F，设弦CD与直径AB相交于点E，由分直径成1cm和5cm两部分，可求得直径，半径的长，继而求得OE的长，又由圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，即可求得这条弦的弦心距．
【解答】
解：过点O作OF⊥CD于点F，设弦CD与直径AB相交于点E，
∵分直径成1cm和5cm两部分，
∴AB＝6cm，
∴OA＝AB＝3cm，
∴OE＝OA﹣AE＝2cm，
∵∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝1（cm）．
故答案为：1cm．
【点睛】
此题考查了垂径定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
15．如图，，在射线AC上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点，则线段的长是__________cm．
【答案】6
【提示】
过点作于，连，根据垂径定理得，在中，，，利用含30度的直角三角形三边的关系可得到，再利用勾股定理计算出，由得到答案．
【解答】
解：过点作于，连，如图
则，
在中，，，
则，
在中，，，
则，
则．
故答案为6．
【点睛】
本题考查了垂径定理，含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键．
16．如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是_________________．
【答案】
【提示】
先找出折痕CD取最大值和最小值时，点E的位置，再利用折叠的性质、垂径定理、勾股定理求解即可得．
【解答】
由题意，有以下两个临界位置：
（1）如图，当被折的圆弧与直径AB相切时，折痕CD的长度最短，此时点与圆心O重合，
连接OD，
由折叠的性质得：，
，
在中，，
由垂径定理得：；
（2）当CD和直径AB重合时，折痕CD的长度最长，此时，
又要使被折的圆弧与直径AB至少有一个交点，
；
综上，折痕CD的长度取值范围是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、垂径定理、勾股定理等知识点，正确找出两个临界位置是解题关键．
17．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P是上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为 _____．
【答案】
【提示】
连接AB，利用勾股定理求出AB，再利用垂径定理以及三角形的中位线定理解决问题即可．
【解答】
解：连接AB，如下图所示：
∵∠AOB=90°，OA=OB=2，
∴，
∵，，
∴，，
∴为的中位线，
∴,
故答案为：．
【点睛】
本题考查垂径定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线即可解决问题．
18．如图，半圆O的直径AB＝4cm，，点C是上的一个动点（不与点B，G重合），CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则△DEF面积的最大值为__________cm2
【答案】2
【提示】
连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．根据S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，当xy的值最大时，△DEF的面积最大；根据矩形的性质，通过判定四边形ODCE是矩形，得；根据勾股定理、完全平方公式的性质分析，可得结论．
【解答】
连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．
∵
∴OG⊥AB，
∵S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，
∴xy的值最大时，△DEF的面积最大，
∵CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，
∴∠CEO＝∠CDO＝∠DOE＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴
∴x2+y2＝22，即x2+y2＝4，
∵（x﹣y）2≥0，
∴x2+y2≥2xy，
∴2xy≤4，
∴xy≤2，
∴xy的最大值为2，
∴△DEF的面积的最大值为2 cm2
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了圆、勾股定理、中心对称、矩形、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理、完全平方公式的性质，从而完成求解．
三、解答题
19．如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，求OF的长．
【答案】1.4
【提示】
根据垂径定理得到，，根据勾股定理求出AE．设，再次根据勾股定理得到等式，代入求值即可解答．
【解答】
解：连接OC，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
设，
∵在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得：，即．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度．
20．如图，已知AB，CD是⊙O内非直径的两弦，求证：AB与CD不能互相平分．
【答案】见解析
【提示】
根据反证法的步骤进行证明：先假设AB与CD能互相平分，结合垂径定理的推论，进行推理，得到矛盾，从而肯定命题的结论正确．
【解答】
解：设AB，CD交于点P,连接OP，
假设AB与CD能互相平分，则CP=DP，AP=BP，
∵AB，CD是圆O内非直径的两弦，
∴OP⊥AB，OP⊥CD，
这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾”,所以假设不成立，
所以AB与CD不能互相平分
【点睛】
本题考查了反证法，解题的关键是：掌握反证法的步骤．
21．已知：如图，是的一条弦，是的一条直径，并且，垂足为M．
求证：．
【答案】证明见解析
【提示】
连接，，则，先得到，再利用垂径定理即可求解．
【解答】
证明：连接，，则．
在和中，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴，
，
∴
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质及垂径定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及垂径定理是解题关键．
22．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接．
（1）若，，求的直径；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）20；（2）30°
【提示】
（1）由CD＝16，BE＝4，根据垂径定理得出CE＝DE＝8，设⊙O的半径为r，则，根据勾股定理即可求得结果；
（2）由OM＝OB得到∠B＝∠M，根据三角形外角性质得∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，则2∠B＋∠D＝90°，加上∠B＝∠D，所以2∠D＋∠D＝90°，然后解方程即可得∠D的度数．
【解答】
解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，
∴CE＝DE＝8，
设，
又∵BE＝4，
∴
∴，
解得：，
∴⊙O的直径是20．
（2）∵OM＝OB，
∴∠B＝∠M，
∴∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，
∵∠DOB＋∠D＝90°，
∴2∠B＋∠D＝90°，
∵，
∴∠B＝∠D，
∴2∠D＋∠D＝90°，
∴∠D＝30°；
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
23．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．
(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；
(2)连接AD，求三角形OAD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)10
【提示】
（1）过点O作OD⊥AC，交AC于点E，交⊙O于点D；
（2）由题意可得OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，继而可得，然后根据三角形的面积公式即可求得答案．
(1)
解：如图，点E即为所求；
(2)
解：如图，连接AD，
∵⊙O的直径是10，
∴OD=5，
由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理、三角形的面积公式，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
24．如图所示，AB是⊙O的直径，弦(非直径)CD⊥AB，P是⊙O上不同于C，D的任意一点.
(1)当点P在劣弧CD上运动时(如图(1))，∠APC与∠APD的关系如何 请证明你的结论;
(2)当点P在优弧上运动时(如图(2))，∠APC与∠APD的关系如何 请证明你的结论(不讨论点P与点A重合的情况).
【答案】(1)∠APC=∠APD,见解析；(2) ∠APD+∠APC=180°，见解析.
【提示】
(1)由垂径定理知：弧AC=弧AD；当P在劣弧CD上时，∠APC和∠APD所对的是等弧，因此它们相等；(2)当P在优弧CD上时，它们所对的弧正好构成整个圆周，即两段弧所对圆心角的度数和为360°，根据圆周角定理即可得出∠APD+∠APC=180°．
【解答】
(1)∠APC=∠APD
证明：∵弦CD⊥AB，AB是直径
∴
∴∠APC=∠APD.
(2)∠APC+∠APD=180°
证明：∵弦CD⊥AB，AB是直径
∴
∵∠APD的度数等于的度数的一半，∠APC的度数等于的度数的一半，
的度数与的度数之和为360°
∴∠APD+∠APC=180°.
【点睛】
本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理.
25．如图,在上,经过圆心的线段于点，与交于点.
(1)如图1,当半径为,若,求弦的长;
(2)如图2,当半径为 ,,若,求弦的长.
【答案】(1)8 (2)
【提示】
(1)连接，根据垂径定理求出的长，因为，进而在中根据勾股定理求出长，所以求出的长即可;
(2) 连接,过点D作于点M，根据勾股定理和垂径定理求出，可以证明,进而求出的长，根据所做的辅助线，可得为等腰直角三角形，所以可以求出的长，然后根据，进而求出的长；
【解答】
解：(1) 连接，根据垂径定理求出的长，
即：,
,
设，则，
由勾股定理得：
,
即：，
解得：,
;
(2)连接,过点D作于点M，如图所示：
，
在中根据勾股定理可得：
,
,
，
而,
,
又 在和中，
,
,
,
,
,
,
,
为等腰直角三角形，
,
把代入到中，
解得：.
【点睛】
本题考查圆的知识点，要善于利用勾股定理和垂径定理去解题，善于构造辅助线去根据面积相等去解题，最后代入求值.
26．【教材回顾】（1）如图①，点、分别是的边、边的中点，连结，则是的一条中位线．则和的数量关系是____，位置关系是_____．
【提出问题】如图④，是以为直径的⊙的一条弦，连结、，点在的上方，点在的下方，于，于，点、均在弦上．已知，，求的值．为了解决上面的问题，进行了如下的探究：
【分析问题】先看两种特殊情况：
（2）如图②，当点与点重合时，点也与点重合，点与点重合，此时，（点看成是长度为0的线段），则_____．（写出具体的数值）
（3）如图③，当时，、重合，此时与的数量关系是____，先根据条件易求的长度，则____．（写出具体的数值）
【解决问题】（4）结合图④对应的一般情况和你的感知，请用严谨的数学方法求的值．
【答案】（1）；；（2）；（3）；；（4）
【提示】
（1）直接用中位线性质定理得出结论；
（2）由等边三角形判定得出△为等边三角形，得到，即可得到答案；
（3）由直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半，得到，即，计算即可得知答案；
（4）过圆O作直径CD⊥AB交于点E，连接PM与CD交于点F，由中位线定理得出OF是△MNP的中位线，EF是△PNQ的中位线，得到，，即，计算即可得出答案．
【解答】
解：（1）∵点、分别是的边、边的中点，
∴是的一条中位线，
∴，，
故答案为：，．
（2）∵MN为直径，O为圆心，当点与点重合时，点也与点重合，点与点重合，
∴∠MAB＝90°，O为MN的中点，
∴在Rt△MAB中，，，
∴，
∴，
∴△为等边三角形，
∵
∴，，
∴，
故答案为：
（3）当时，、重合，
∵，
∴在Rt△AOP中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；．
（4）∵于，于，
∴过圆O作直径CD⊥AB交于点E，连接PN与CD交于点F，如图：
∴点O为MN的中点，，
∴点F为PN的中点，点E为PQ的中点，
∴在△MNP中，OF是△MNP的中位线，
∴，
在△PNQ中，EF是△PNQ的中位线，
∴，
∴，
∵在Rt△AOE中，，，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了中位线定理，圆的垂径定理，直角三角形中30°所对的边是斜边的一半等知识点，根据题意作出辅助线是解题的关键．
AE=BE
CD⊥AB
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3.3垂径定理
一、垂径定理
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
如图，几何语言为：
CD是直径
要点：
2.推论
定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
要点：
（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.
（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
二、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
要点：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
一、单选题
1．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AE＝BE B．OE＝DE C． D．
2．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，则CD的长为（ ）
A．3 B．6 C．6 D．6
3．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，CD垂直平分弦AB，CD=1寸，AB=10寸，求圆的直径”（1尺=10寸）根据题意直径长为（ ）
A．10寸 B．20寸
C．13寸 D．26寸
4．下列命题中假命题是（ ）
A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心
C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
5．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．若平分，则 B．若，则平分
C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分
6．已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，是的直径，将一块直角三角板的角的顶点与圆心O重合，角的两边分别与交于E、F两点，若点F是弧的中点，的半径是4，则弦的长为（ ）
A． B． C．6 D．
9．如图，为的直径，C，D为上的两点，且C为的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A，B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=4，AB=10，PM=m，则m的最大值是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
二、填空题
11．如图，是的直径，弦于点，，，则的长为________．
12．垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧．
符号语言：
∵①CD是直径，②CD⊥AB
∴③AE＝_____，④＝________，⑤＝________．
13．如图，交轴与两点，交轴于点，弦于点的纵坐标为2，，．则圆心的坐标为____．
14．如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是_____．
15．如图，，在射线AC上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点，则线段的长是__________cm．
16．如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是_________________．
17．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P是上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为 _____．
18．如图，半圆O的直径AB＝4cm，，点C是上的一个动点（不与点B，G重合），CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则△DEF面积的最大值为__________cm2
三、解答题
19．如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，求OF的长．
20．如图，已知AB，CD是⊙O内非直径的两弦，求证：AB与CD不能互相平分．
21．已知：如图，是的一条弦，是的一条直径，并且，垂足为M．
求证：．
22．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接．
（1）若，，求的直径；
（2）若，求的度数．
23．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．
(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；
(2)连接AD，求三角形OAD的面积．
24．如图所示，AB是⊙O的直径，弦(非直径)CD⊥AB，P是⊙O上不同于C，D的任意一点.
(1)当点P在劣弧CD上运动时(如图(1))，∠APC与∠APD的关系如何 请证明你的结论;
(2)当点P在优弧上运动时(如图(2))，∠APC与∠APD的关系如何 请证明你的结论(不讨论点P与点A重合的情况).
25．如图,在上,经过圆心的线段于点，与交于点.
(1)如图1,当半径为,若,求弦的长;
(2)如图2,当半径为 ,,若,求弦的长.
26．【教材回顾】（1）如图①，点、分别是的边、边的中点，连结，则是的一条中位线．则和的数量关系是____，位置关系是_____．
【提出问题】如图④，是以为直径的⊙的一条弦，连结、，点在的上方，点在的下方，于，于，点、均在弦上．已知，，求的值．为了解决上面的问题，进行了如下的探究：
【分析问题】先看两种特殊情况：
（2）如图②，当点与点重合时，点也与点重合，点与点重合，此时，（点看成是长度为0的线段），则_____．（写出具体的数值）
（3）如图③，当时，、重合，此时与的数量关系是____，先根据条件易求的长度，则____．（写出具体的数值）
【解决问题】（4）结合图④对应的一般情况和你的感知，请用严谨的数学方法求的值．
AE=BE
CD⊥AB
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