三角形认识（1）

认识三角形
三角形边角关系：
【知识提要】
1．三角形的定义及表示方法．
2．三角形的三边关系：
（1）三角形的任何两边之和大于第三边；（2）三角形的任何两边之差小于第三边．
3．三角形三内角和为180°．
4．三角形的外角性质：
（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的三外角和为360°．
5．三角形按角分类：
三角形
【学法指导】
1．利用三角形三边的关系时，常常先判断三边中的最大边或最小边．
2．要整体理解三角形三边之间的关系；如a、b、c为△ABC的三边，且a>b，则a-b 3．通过折叠，动手操作理解三角形三内角和为180°．
4．运用三角形外角性质可以沟通三角形内、外角之间的关系．
三角形的角平分线和，中线，高线
【知识提要】
1．三角形角平分线、中线的概念．
2．能在一个三角形中正确地画出角平分线中线．
3．三角形高的概念．
4．能在一个三角形中正确地画出高
【学法指导】
1．在一个三角形中画角平分线、中线时必须注意它们是线段．
2．如果AD是△ABC的有平分线，则∠BAD=∠CAD=∠BAC．如果AD是△ABC的中线，则BD=CD=BC．
3．三角形的高线是三条线段，三条高交于一点．锐角三角形的三条高都在三角形内；直角三角形斜边上的高在三角形内，直角边上的高为另一条直角边；钝角三角形钝角所对边上的高在三角形内，其余两条高在三角形外．
例题选讲：
【例1】 下列各组数都表示线段的长度，试判断以这些线段为边是否能组成三角形．
（1）3，6，9； （2）a，a+4，a+6 （a>0）；
（3）a，b，a+b （a>0，b>0）； （4）a+1，a+1，2a （a>0）．
【分析】 三角形任意两边之和都大于第三边时，才能组成三角形．只要有两边之和小于或等于第三边，就不能组成三角形．若两边之和与第三边的大小关系不能确定，则不一定能组成三角形．
【解】 （1）因为3+6=9，所以以线段3，6，9为边的三条线段不能组成三角形；
（2）因为a+6-a=6，又由于a+4与6的关系不能确定，
所以以线段a，a+4，a+6为边的三条线段不一定能组成三角形；
（3）因为a+b=a+b，所以以线段a，b，a+b为边的三条线段不能组成三角形；
（4）因为（a+1）+（a+1）=2a+2>2a，又a+1+2a=3a+1所以以线段a+1，a+1，2a为边的三条线段能组成三角形．
【例2】 三角形的两边长为3和9，第三边长为偶数，求这个三角形的周长．
【分析】 要求三角形的周长关键在于求得第三边的边长，因此根据三条线段能围成三角形的条件求得第三边的取值范围，从而可求出第三边长．
【解】 设第三边长为c，根据三角形三边的关系，第三边的取值范围是
9-3 因为c为偶数，所以c=8或c=10．
当c=8时，周长=8+3+9=20；当c=10时，周长=10+3+9=22．
【例3】 有两根长度分别为3cm和8cm的木棒，用长度为4cm的第三根木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为11cm的木棒呢？长度为7cm的木棒呢？如果第三根木棒长为奇数与它们能摆成三角形，则摆成三角形的周长为多少？
【例4】 如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
【分析】 解决本题这类问题的基本方法是利用三角形内、外角的性质，将各个角集中到一个三角形或若干个三角形中，然后根据三角形的内角和等于180°，计算它们的和．
【解】 ∵∠AFC是△ABF的外角，
∴∠AFC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
∵∠FGC是△DEG的外角，
∴∠FGC=∠D+∠E（同理）．
在△CGF中，∠C+∠CGF+∠CFG=180°（三角形三个内角和等于180°）．
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
【例5】如图，试说明∠A+∠ABC+∠C=∠ADC．
【分析】 四边形中的问题往往转化为三角形来解决．本题通过添加辅助线，利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和来说明．
【解】 连结BD并延长BD至E．
在△ABD中，∠ADE=∠ABD+∠A，
在△BCD中，∠CDE=∠CBD+∠C．
又∠ADC=∠ADE+∠CDE，
所以∠ADC=∠ABD+∠A+∠CBD+∠C=∠A+∠ABC+∠C．
【例6】 下列说法正确的是（ ）
A．三角形的中线就是过顶点平分对边的直线
B．三角形的三条角平分线的交点在三角形外部
C．三角形的三条中线必交于一点
D．以上说法都错
【分析】 三角形的中线、角平分线都是线段，而且三条角平分线在三角形内部交于一点，三条中线也在三角形内部交于一点．
【解】 选C．
【例7】 如图，已知：△ABC中，∠A=100°，点I是∠B、∠C的角平分线交点，求∠BIC的度数．
【分析】 要求∠BIC根据三角形三内角和为180°，只要整体求∠IBC+∠ICB的度数，又根据BI、CI分别平分∠ABC与∠ACB．只要求出2∠IBC+2∠ICB，即∠ABC+∠ACB的度数，根据∠A=100°，所以∠ABC+∠ACB=80°．
【解】 解∵∠A+∠ABC+∠ACB=80°．
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∵∠A=100°，∴∠ABC+∠ACB=80°．
∵IB、IC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=×80°=40°．
在△BIC中，∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-40°=140°．


【例8】如图5，在△ABC中，高线CD与高线BE交于点F，设∠CFB的度数为x，用x的一次式表示∠A的度数是_________．
【例9】 如图，以AD为一条高线的三角形个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】 由三角形高的概念，图中以AD为高的锐角三角形没有；以AD为高的直角三角形有：△ACD、△ABD、△ADE；以AD为高的钝角三角形有△ACE．
【解】 选C．
【例10】 如图，在△ABC中，∠A=∠ACB，CD为△ACB的角平分线，CE是△ABC的高，
（1）试说明∠CDB=3∠DCB；
（2）若∠DCE=48°，求∠ACB的度数．
【分析】 （1）由CD为△ABC的平分线，可得∠ACD=∠DCB．再利用∠CDB为△ACD的外角，可知∠CDB=∠A+∠ACD．（2）要求∠ACB只要求∠A，要求∠A只要求∠CDB．已知CE是高线和∠DCE=48°，利用三角形内角和定理便可求得．
【解】 （1）∵CD是△ACB的角平分线，且∠A=∠ACB
∴∠ACD=∠DCB=∠ACB=∠A．
∵∠CDB=∠A+∠ACD
∴∠CDB=3∠DCB．
（2）∵CE是△ABC的高
∴∠E=90°
∵∠DCE=48°
∴∠CDB=42°
∴∠ACB=∠A=∠CDB=28°．
同步练习：
边的关系
1、（1）如图，点D在△ABC中，写出图中所有三角形： ；
（2）如图，线段AC是△ 和△ 的边；
（3）如图，△ABD的3个内角是 ，三条边是 。
2、下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？（单位：cm）
（1）1，3，3； （2）3，4，7； （3）5，9，13；（4）11，12，22； （5）14，15，30．
3、已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围是____________________．
若x是奇数，则x的值是_______________，这样的三角形有_______个；若x是偶数，则X的值是_______________，这样的三角形又有_______个
4、现有木棒4根,长度分别为12, 10, 8, 4, 选其中3根组成三角形,则能组成三角形的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
在△ABC中，AB=6 cm，AC=8 cm那么BC长的取值范围是___________.
已知三角形的三边长为3，1+x，4，则x的取值范围是_________．
6、如果三条线段的比是①1∶4∶6 ②1∶2∶3 ③3∶4∶5 ④3∶3∶5那么其中可构成三角形的比有_________种.
7、 一个三角形有两条边相等，周长为20cm，三角形的一边长6cm，求其他两边长。
8、三角形的边长都是整数，并且唯一的最长边是6，则这样的三角形共有 （ ）
A. 3个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
9、已知a,b,c是一个三角形的三条边长,则化简|a+b-c|－|b-a-c|的结果是多少?
10、如图，在△ABC的边AB上截取AD=AC，连结CD，说明（1）2AD＞CD
（2）说明BD＜BC的理由
11、如图所示三条线段啊，a，b，c能组成三角形吗？你用什么方法判别的？
12、如图，已知D、E分别为△ABC中AC、AB上任意两点，比较AB+AC与BE+DE+CD的大小，并说明理由．

角的关系：
1．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定形状
如图2，∠1、∠2、∠3是△ABC的外角，若∠1：∠2：∠3=4：3：2，则∠ABC等于（ ）
A．60° B．80° C．90° D．100°

3．已知如图3，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E五个角的和的度数是（ ）
A．100° B．180° C．360° D．540°
4．给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．2∠A=3∠B=4∠C D．∠A-∠B=∠C
5．三角形中，最大的内角不能小于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．45°
6．如图所示，AB∥CD，∠E=130°，∠F=70°，则∠1+∠2=_______，∠3+∠4=_______．
7．已知在△ABC中，若∠A比∠B大20°，外角∠ACD=96°，则∠A=_______，∠B=______．
8．在△ABC中，∠A：∠B=5：7，∠C-∠A=10°，则∠C=________．
9．如图，已知∠B=∠ACB=75°，∠BDE=3∠E，试求∠ADE的值．
已知△ABC有两条边长分别为2和7，另一边长是关于x的方程2x-1=4x-k+3的解，求k的取值范围．
11.如图所示，∠CPA=∠A+∠B+∠C成立吗？说明理由．
三角形三条线段：
1．如图1所示，在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=35°，AD平分∠BAC，则∠ADC的度数为（ ）
A．90° B．95° C．75° D．55°
(1) (2) (3) (4)
2．如图2所示，在△ABC中，∠ABC=40°，AD，CD分别平分∠BAC，∠ACB，则∠ADC等于（ ）
A．110° B．100° C．190° D．120°
3．如图3所示，D，E分别为△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．DE是△BDC的中线 B．图中∠C的对边是DE
C．BD是△ABC的中线 D．AD=DC，BE=EC
4．如图4所示，BD平分∠ABC，DE∥BC，且∠D=30°，则∠AED的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．如图5所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
6．在如图6所示的方格纸中，每个方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸中的两个格点（即正方形的格点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

(5) (6) (7) （8）
7.如图7，△ABC三内角平分线AD、BF、CE交于点O，则∠1+∠2等于（ ）
A．100° B．90° C．95° D．不能确定
8．（1）如图8，CD是△ABC的中线，DE是△ACD的中线，EF是△ADE的中线，若△AEF的面积为1cm2，则△ABC的面积为（ ）
A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm2
（2） 如图，∠ACB>90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB， 则在△ABC中，AC边上的高是（ ）
A．AD B．CF C．BE D．AE
（3）钝角三角形的三条高所在的直线交于（ ）
A．三角形内 B．三角形外 C．三角形的边上 D．不能确定
（4）下列说法中正确的个数有（ ）
①三角形的角平分线、中线、高都是线段；
②三角形的三条角平分线，三条中线，三条高都在三角形内部；
③直角三角形只有一条高；
④三角形的三条角平分线，三条中线，三条高分别相交于一点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（5）在△ABC中，AH垂直BC于H，则以AH为高线的三角形有_____________．若E、F是BC的三等分点，则S△ABE_______S△AEF_______S△AFC．（填“〈”、“〉”或“＝”）
9．若一个三角形三条高线的交点在这个三角形的一个顶点上，则这个三角形是_________
10.如图，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平线。
（1）若∠ABC=600，∠ACB=500，求∠BDC的度数。
（2）若∠A=600，求∠BDC的度数。
（3）若∠A=，求∠BDC的度数（用的代数式表示）。
11．如图，在△ABC中，∠ABC=52°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，求∠BAD的度数．

12．如图，已知射线Ox与射线Oy互相垂直，B、A分别为Ox、Oy上一动点，∠ABx、∠BAy的平分线交于C．问：BA在Ox、Oy上运动过程中，∠C的度数是否改变？若不改变，求出其值；若改变，说明理由．
13．如图：
（1）如图（1），在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线．若∠A为x°， 则∠BOC为多少？
（2）如图（2），BO、CO为△ABC两外角∠DBC、∠BCE的平分线，若∠A为x°，则∠BOC为多少？
（3）如图（3），BO、CO为△ABC一内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，若∠A为x°，则∠BOC为多少？
14．在△ABC中，∠A=50°，高BE、CF（或延长线）交于O，且O不与B、C重合，求∠BOC的度数．
15．不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．