命题与证明

命题与证明
【课标点击】
1. 通过具体的例子，了解定义，命题，定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论.
2. 了解证明的含义，理解证明的必要性.
3. 通过具体的例子理解反例的作用，知道反例可以证明一个命题是错误的.通过实例，体会反证法的含义.
4. 掌握综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有椐，会运用基本事实(已学过的)证明简单的几何命题.
定义与命题（1）
【要点预习】
1.定义的概念：
能清楚地规定某一 或 的意义的句子叫做该名称或术语的定义.
2.命题的概念：
对某一事情作出 或 的判断的句子叫做命题.
命题可看作是由 (或条件)和 两部分组成.
【课前热身】
1.“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是平行线的 .
答案：定义
2.请写出“极差”的定义： .
答案：一组数据的最大值与最小值的差.
3.“两直线平行，同位角相等”的题设是 .
答案：两直线平行
4.把命题“当b>0时，a+b>a.”写成“如果……那么……”的形式：
.
答案：如果b>0，那么a+b>a.
【讲练互动】
【例1】判断下列叙述是不是命题，并说明理由.
(1)画出线段AB的中点O；
(2)平行于同一条直线的两条直线平行；
(3)直角都相等；
(4)你喜欢英语吗?
(5)鲜艳的五星红旗.
解：(2)(3)对事件都有明确的判断，因而是命题；而(1)是祈使句，(4)是疑问句，(5)是词组，都对事件都没有判断，故都不是命题.
【绿色通道】句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别，而命题属于判断句或陈述句.
答案：A
【例2】把下列命题写成“如果……那么……”的形式.
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)等角的余角相等；
(3)过已知直线外一点有且只有一条直线平行于这条直线.
解：(1) 如果两直线平行，那么同旁内角互补；
(2) 如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等；
(3) 如果一条直线是经过已知直线外一点的直线，那么这条直线平行于已知直线.
【黑色陷阱】把命题写成“如果……那么……”的形式时，若命题不易叙述，则应增加适当的语句.
2. 把下列命题写成“如果……那么……”的形式.
(1)内错角相等，两直线平行；
(2)若x>y，则-2x<-2y；
(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
解：(1) 如果内错角相等，那么两直线平行；
(2) 如果x>y，那么-2x<-2y；
(3) 如果两个三角形中有两角和其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等.
【同步测控】
基础自测
【变式训练】
1. 下列语句中为定义的是…………………………………………………………………（ ）
A.三角形两边之和大于第三边吗? B.三角形的中线是一条线段
C.由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接形成的图形叫做四边形 D.同角的补角相等
2. 下列语句中，不是命题的是………………………………………………………………（ ）
A. 内错角相等，两直线平行 B. 如果a+b=0，则a=0
C. 若a2=4，求a的值 D. 玫瑰花是红的
3.“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是……………………………………（ ）
A.垂直 B.两条直线 C.同一条直线 D.两条直线垂直于同一条直线
4. 下列描述不属于定义的是……………………………………………………………… ( )
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．正三角形是特殊的三角形
C. 在同一平面内三条线段首尾相连得到的图形是三角形 D．含有未知数的等式叫做方程
5.说出“频率”的定义: .
答案：每一组的频数与数据总数的比叫做这一组数的频数.
6.请写出一个命题： .
答案：如对顶角相等.
7. 命题“若a>b，a>c，则b=c”的题设是 .
8.说出下列名词的定义：
(1)有理数；(2)等腰三角形；(3)频数..
9.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式．
(1)两直线平行，内错角相等；(2)全等三角形的面积相等．
能力提升
10.把命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是…………（ ）
A．如果同角，那么相等 B．如果同角，那么余角相等
C．如果同角的余角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
11. 已知下列语句：①平角都相等．②画两个相等的角．③两直线平行，同位角相等．④等于同一个角的两个角相等吗？⑤邻补角的平分线互相垂直．⑥等腰三角形的两个底角相等．其中是命题的有…………………………………………………………………………（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12.在电子表格中输入一些有规律的内容，如月份“一月、二月、三月……”或星期“星期一、星期二、星期三……”等，可以利用Excel的自动填充功能来完成. 只要用户在某个单元格中输入“一月“，Excel就可以自动在后面填入“二月”“三月”……
要读懂这段叙述，你认为哪些名称和术语需给出定义？
13.观察如图的两个图形的特征，请命名并作出定义.
分析：观察图形可知它们的共同点是都是平行四边形且四条边都相等，不同点是前者的四个角都是直角，后者的内角不一定是直角.
创新应用
14.观察下列给出的方程，找出它们的共同特征，试给出名称，并作出定义．
x3+x2-3x+4=0，x3+x-1=0，x3-2x2+3=x，y3+2y2-5y-1=0．
定义与命题（2）
【要点预习】
1.“真命题”与“假命题”的概念：
的命题叫做真命题， 的命题叫做假命题.
2.“公理”与“定理”的概念：
人类经过长期实践后公认为 的命题,作为判断其它 的依据.这些公认为正确的命题叫做公理.
用 的方法得到的那些表述图形的 叫做定理.
【课前热身】
1. 把“同旁内角互补，两直线平行”写成“如果 ，那么 ”．
答案：同旁内角互补 两直线平行
2. 填空，使之成为真命题：如果两条直线平行，那么_________角相等．
答案：同位或内错
3.“能被5整除的整数，它的末位数一定是5”是______命题（填“真”或“假”）．
答案：假
4.“两点确定一条直线”是_________（填“定义”或“公理”或“定理”）．
答案：公理
【讲练互动】
【例1】说出下列命题的条件与结论，并判断它们是真命题还是假命题.
(1)边长为a(a>0)的正方形的面积是a2；
(2)对于任何非负数a，；
(3)同位角相等.
解：(1)条件：边长为a(a>0)的正方形，结论：面积是a2. 是真命题.
(2)条件：a为任何非负数，结论：. 是真命题.
(3)条件：两个角是同位角，结论：它们相等. 是假命题.
【绿色通道】判断一个命题是真命题可用推理的方法，要判断一个命题是假命题可用举反例的方法.
【变式训练】
1. 说出下列命题的条件与结论，并判断它们是真命题还是假命题．
(1)如果ab>0，那么a>0，b>0；(2)相等的角是对顶角．
【例2】命题“是方程的解”是真命题还是假命题? 请说明理由.
解：假命题. 当x=3时，方程左边的分母x2-9=0，分式无意义.
【变式训练】
2.若，则. 这个命题是真命题还是假命题?说明理由.
【例3】“定义、定理、公理、命题、真命题、假命题”它们间的关系恰好可用右图表示，请指出A、B、C、D、E、F分别与它们中的哪一个对应.
解：A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D、E、F分别表示定义、定理、公理中任意一个.
【绿色通道】公理是人们经过长期实践后公认为正确的真命题，它不需要证明. 本套教材中的公理有：“两点确定一条直线；两点之间线段最短；过直线外一点可以作且只能作一条直线与已知直线平行；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；全等三角形的判定SAS，SSS，ASA”.定理是真命题，但并不是所有的真命题都是定理，课本中是指已学过的，用推理的方法得到的用黑体表述的图形性质都可以作为定理.
【变式训练】
3. 下列说法正确的是………………………………………………………………………（ ）
A．命题一定是正确的 B．不正确的判断就不是命题
C．真命题都是定理 D. 定理都是真命题
【同步测控】
基础自测
1.下列三个命题：①同位角相等，两直线平行；②两点之间，线段最短；③过两点有且只有一条直线. 其中真命题有……………………………………………………………………( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D.3个
2. (2007厦门中考)下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60°，那么这个等腰三角形一定是等边三角形. 则以下结论正确的是………………………………………………………………………………………………（ ）
A．只有命题①正确 　 B．只有命题②正确
C．命题①、②都正确 D．命题①、②都不正确
3. (2007天津中考)下列判断中错误的是……………………………………………………（ ）
A. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C. 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D. 有一边对应相等的两个等边三角形全等
4. 命题“如果ab=0，那么a=0”是_____命题；命题“如果a=0，那么ab=0”是_____命题．
5. 写出一个和等腰三角形相关的真命题：
____________________________________________________________________.
答案：如等腰三角形的两腰相等等.
6. 填空，使之成为一个真命题：若a<3，则= .
7. 请写出四个命题，要求其中一个是假命题，一个是公理，一个是定理，另一个是定义.
8. 判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由．
(1)如果ab>0，那么a<0，b<0． (2)直角都相等．
能力提升
9.下列各命题中，属假命题的是……………………………………………………………（ ）
A．若a－b＝0，则a＝b＝0 B．若a－b＞0，则a＞b
C．若a－b＜0，则a＜b D．若a－b≠0，则a≠b
10.给出下列四个命题：①以为边长的三角形是直角三角形；②函数的自变量x的取值范围是；③若，则直线必过二、三象限；④在同一平面内，如果一条直线上有两个点到另一条直线的距离相等，那么这两条直线平行. 其中，正确命题的序号是_____________________________.
11.下列关于代数式x2-4x+8的三个命题：①该代数式的值必定大于8；②该代数式的值必定大于4；③该代数式的值必定大于2．其中是真命题的有_______．（填序号）
12.若c<0，则一元二次方程x2-5x+c=0必有两个不相等的实数根.这是一个真命题吗?请说明理由.
13. 如图所示，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=CD，BC=DE，那么AC与CE有什么关系？写出你的猜想，并说明理由．
分析：可从AC与CE的数量关系和位置关系上进行猜想.
创新应用
14. 如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边，且∠ABC＝25°.
(1)∠1＝ ，∠2＝ ；
(2)请观察∠1、∠2分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题.