1.5 三角形全等的条件(三)
【知识提要】
1.掌握角边角公理、角角边公理内容.
2.能应用角边角公理及其推论说明两个三角形全等.
3.了解角平分线上的点到角两边距离相等.
【学法指导】
这一节是三角形全等条件的最后一个判定.说明三角形全等,关键在于从复杂的图形中找到一对基础三角形,从中还应熟悉涉及有公共边、公共角的以下两类基本图形.
范例积累
【例1】如图,△ABC≌△A1B1C1,AD、A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的高.试说明:AD=A1D1.
【分析】 要证AD=A1D1,只需证AD与A1D1所在的两个三角形全等,比如放在△ABD与△A1B1D1中,已知△ABC≌△A1B1C1,相当于已知它们的对应边相等、对应角相等,在证明过程中,可根据需要,选取其中一部分相等关系.
【解】 ∵△ABC≌△A1B1C1
∴AB=A1B1,∠B=∠B1,
∵AD、A1D1分别是△ABC、△A1B1C1的高.
∴∠ADB=∠A1D1B1=90°
在△ABD与△A1B1D1中
∴△ABD≌△A1B1D1,∴AD=A1D1.
【例2】 如图,已知AB=AC,D、E两点分别在AB、AC上,且AD=AE,试说明:△BDF≌△CEF.
【分析】 在△BFD与△CFE中,有一组对角相等,由已知条件得,BD=CE,只要证明它们的另一组对角∠C与∠B相等,就可证出结论,为了证∠C=∠B,可以由△ACD与△ABE全等得到.
【解】 在△ABE与△ACD中
∴△ABE≌△ACD,∴∠B=∠C
∵AB=AC,AD=AE,∴BD=CE
在△BDF与△CEF中
∴△BDF≌△CEF.
【例3】 如图,BD、CE交于O,OA平分∠BOC,△ABD的面积和△ACE的面积相等,试说明BD=CE.
【分析】 有了角平分线性质定理,使证明线段相等又多了一种方法.同时利用图形的面积关系转化成线段之间的长度关系,也是几何证明题中常用的方法.
【解】 过A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F、G.
∵OA平分∠BOC
∴AF=AG(角平分线上的点到这个角的两边距离相等)
∵S△ABD=S△ACE
∴AF·BD=AG·CE
∴BD=CE.
基础训练
1.下列条件中,不能判定两个三角形全等的是( )
A.AAS B.SSA C.SAS D.SSS
2.在△ABC和△DEF中,下列条件中,能根据它判定△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠D B.∠A=∠D,∠C=∠F,AC=EF
C.AB=DE,BC=EF,△ABC的周长=△DEF的周长 D.∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F
3.如图1,AD平分∠BAC,AB=AC,连接BD、CD,并延长交AC、AB于F、E,则图形中全等三角形有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
(1) (2) (3)
4.在△ABC中,∠A的平分线交BC于D,则( )
A.D是BC的中点 B.D在AB的中垂线上
C.D在AC的中垂线上 D.D到AB和AC的距离相等
5.如图2,BC⊥AC,BD⊥AD,垂足分别是C和D,若要根据AAS定理,使△ABC≌△ABD(AAS),应补上条件________或___________.
6.如图3,已知∠1=∠2,∠3=∠4,说明AD=BC的理由.
解:∵_________,__________(已知)
∴∠1+∠3=_________.
即_______=_______.
在_________和________中
∴△_______≌△_______( )
∴AD=BC( )
7.如果点P是三角形三条角平分线的交点,则点P到三角形_______的距离相等.
8.如图,AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′的高线,且AB=A′B′,AD=A′D′,∠B=∠B′,若使△ABC≌△A′B′C′,请你补充条件____________(只需要填写一个你认为适当的条件).
9.如图,已知M是AB的中点,∠1=∠2,∠C=∠D.说出下列判断正确的理由:
(1)△AMC≌△BMD;(2)AC=BD.
10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作AE的垂线CF,垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于点D.
(1)试说明:AE=CD; (2)AC=12cm,求BD的长.
提高训练
11.如图,在△ABD和△ACE中,有下列4个诊断:①AB=AC,②∠B=∠C,③∠BAC=∠EAD,④AD=AE.请以其中三个诊断作条件,余下一个诊断作为结论(用序号的形式)写出一个由三个条件能推出结论成立的式子,并说明原因.
12.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD平分∠CBA,DE⊥AB于E,试说明:AD+DE=BE.
应用拓展
13.如图,在五边形ABCDE中,∠B=∠E,∠C=∠D,AM⊥CD于M,BC=DE,试说明M为CD的中点.
14.如图,△ABC两条角平分线BD、CE相交于点O,∠A=60°,求证:CD+BE=BC.
答案:
1.B 2.C 3.C 4.D 5.∠CAB=∠BAD ∠CBA=∠DBA
6.∠1=∠2 ∠3=∠4 ∠2+∠4 ∠DAB ∠CBA △BCA △ADB ∠1=∠2已知AB=BC 公共边相等 ∠CBA=∠DAB 已证 BCA ADB ASA 全等三角形对应边相等
7.三边
8.CD=C′D′或∠DAC=∠D′A′C′或∠BAC=∠B′A′C′或∠C=∠C′
9.M为AB的中点 ∴AM=BM
又∵∠1=∠2 ∠C=∠D
∴△ACM≌△BDM(AAS) ∴AC=BD
10.(1)∠DCB+∠DCA=∠EAC+∠ACF=90°
∴∠EAC=∠DCB,则△DCB≌△EAC(AAS) ∴AE=CD
(2)由△DCB≌△EAC得 ∴CE=DB
∵E为BC的中点 ∴DB=BC=AC=6cm
11.如①②③④
∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAD=∠CAE
又∵∠B=∠C AB=AC
∴△BAD≌△CAE ∴AD=AE
12.证△BCD≌△BED,得BC=BE,DC=DE
∴AD+DE=AD+DC=AC=BC=BE
13.延长AB、AE交CD的延长线于H、F ∠ABC=∠AED ∠BCD=∠EDC
∴∠HBC=∠FED ∠BCH=∠EDF
又BC=DF ∴△BCH≌△EDF(AAS)
∴CH=DF 在△AMH与△AMF中,∠H=∠F ∠AMH=∠AMF AM=AM
∴△AMH≌△AMF(AAS)
∴HM=FH
∴CM=DM
14.在BC上取一点F,使BF=BE,
连结OF,则△EBO≌△FBO
∴∠EOB=∠FOB
又∵∠2+∠4=60°
∴∠COB=120°
∴∠EOB=∠DOC=60°
∴△OFC≌△ODC
∴CD=CF
∴BC=BF+CF=BE+CD