第一章有理数全章导学案

第1章 有理数
1．1 从自然数到有理数（1）
【学习准备】
1．在小学的数学里我们已经学过了哪些数？
2．你的身份证号码是多少？它是按全中国人的出生顺序排列下来的吗？
3．请看下面一段文字：国家统计局近日公布的数据显示，3月份，全国70个大中城市新建商品住宅销售价格同比下降的城市有38个，是自2011年9月以来，下降城市个数最多的月份，显示全国房价总体上继续呈下降态势；此外，北京、上海、广州、深圳等一线城市新建商品住宅销售价格同比降幅进一步扩大，环比连续6个月下降。
在上面这段文字中，其中“3月份”、“2011年9月”、“6个月”这三个表示时间的量所表达的意义一样吗？如不同，请说出不同的含义.
【课本导学】
1.阅读课本第4页节前语中“关于万里长城”的材料，请思考：自然数“2000”、“5130”分别属于计数还是测量？
2．（1）“我国的长城始建于公元前7世纪”，在这段文字中自然数“7”属于标号还是排序？
（2） 身份证号码、邮政编码、电话号码、门牌号码属于标号还是排序？
3．请分析“我们家的兄弟中我排第３”、“我家住３单元”、“在３米宽的篱笆里，养了３只鸡”这几段文字中自然数３的不同作用？
[练习]完成课本第6页作业题1．
『归纳』 自然数在实际生活中的应用非常广泛，你能说出它的主要作用吗？
阅读并完成课本第4页的“做一做”，然后思考以下两个问题：
1．在分配和测量过程中，只有自然数够用吗？
2．分数可以看做两个整数相除，因此分数与怎样的小数之间可以转化？
[练习]完成课本第6页课内练习及作业题3．
『归纳』
1．分数和小数（π除外）是由于人们在分配与测量中的需要而产生的，分数与哪类小数之间可以相互转化呢？
2．在你的学习和生活中，小学里学的数够用吗？请举例说明．
1.阅读课本第5页的合作学习1，并思考下列问题：
（1）小慧乘火车从温州到杭州需要多少时间？你能解释所列算式的含义吗？
（2）小慧要赶上火车，在计算从温州出发的最迟时间时，市内交通和检票进站所花的时间应以40分钟计算，还是50分钟计算？
（3）火车从杭州出发的时间是18：25，“18：25”如何用分数表示？
2.阅读课本第5页的合作学习2，并思考下列问题：
（1）夏令营结束后，小慧还有多少钱？
（2）“硬卧中”和“硬卧上”的票价相差多少？请列算式表示，并指出其实际意义是什么？
[练习]完成课本第6页作业题2及第7页作业题4．
『归纳』
1．用列算式计算时间差时，应注意什么？
2．“火车从杭州出发的时间是18：25”，“火车从杭州出发4小时后到温州”，这里的“18：25”和“4小时”有什么不同？
【学习检测】
1．把化成小数是_______.
2．小亮在看报纸时，收集到以下信息：
①某地的国民生产总值列全国第5位； ②某城市有16条公共汽车线路；
③小刚乘T32次火车去北京； ④小风在校运会上获得跳远比赛第一名．
其中用到自然数排序的有________．
3．计算：（1） （2）
4．某个体户将进价每件100元的服装按进价的160%标价，然后在广告上写出“大酬宾，八折优惠”，则每件服装还可获利多少元？
5. 阅读下面下短文，找出其中的自然数，并指出哪些属于计数和测量？哪些属于标号或排序？
16世纪初，巴西沦为葡萄牙的殖民地，巴西人民受到残酷的剥削和压迫.1882年，巴西独立；1889年建立巴西联邦共和国。巴西的自然条件优越，资源丰富，约有可耕地面积3亿7千万公顷，是中国可耕地面积的3倍，铍的储量居世界之首，铁矿储量约为650亿吨，产量和储量均居世界第二.
【巩固提高】
1.一个老人在公路上散步,从第1根电线杆走到第12根电线杆共用了22分钟,这个老人走了40分钟,走到第 根电线杆.
２．王大妈与张大妈相约一起去买米。第一次大米的单价是每千克2.5元，第二次的单价是每千克3.00元，王大妈每次都买20千克的大米，张大妈每次都买100元的大米。请问两次买米是王大妈合算还是张大妈合算？
3.把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形,接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形,再把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形,如此继续…,试利用如图揭示的规律，找出5个不同的自然数分别填入下面５个括号中,使等式: 成立.
1．1 从自然数到有理数（2）
【学习准备】
1．在数0.314，，，1.3，中，分数有哪些？
2．与汽车“向东”行驶意义相反的量是什么？请你列举出生活中一些相反意义的量.
3．观察下列三幅图片，红颜色框内的数你以前学过吗？各表示什么实际意义？
“”
温度计 电梯按钮 保质说明书
【课本导学】
阅读课本第7页的内容，然后思考下面问题：
1. 水位的“升高”与“降低”是一对具有相反意义的量，如果规定水位“升高”为正，那么水位升高3米如何表示？水位降低4米又该如何表示呢？
2．在以下这些数1，，，+7，0，，，，中，
（1）既是正数，又是整数的数有哪些？它们叫什么数？
（2）既是负数，又是分数的数有哪些？它们叫什么数？
（3）0属于正数还是负数？0是整数吗？
[练习] 完成课本第7、8页做一做1、2，第9页课内练习1，作业题1．
『归纳』1.既是正数，又是整数的数叫什么数？既是负数，又是整数的数叫什么数？
2. 既是正数，又是分数的数叫什么数？既是负数，又是分数的数叫什么数？
3.零是正数吗？是负数吗？
完成课本第8页做一做3，并阅读表格下方的概念框图，然后思考以下问题：
1．有理数包含哪些数？整数包含哪些数？分数呢？
2．有理数也可分为正有理数、零和负有理数，正有理数包含哪些数？负有理数呢？你能从这一角度对有理数进行分类吗？请试一试.
[练习]完成课本第9页课内练习2．
『归纳』
1．有理数包含哪些数？（用两种不同的方式回答）
2．对有理数进行分类时，我们应注意什么？
3．分类时，我们首先要确定分类的标准，按照这一标准把所有的对象分成几类，每一个对象只能属于其中的一类．请你试试将你们班的同学进行分类，并说明你是按什么标准来分类的．
阅读课本第8页的例题，并思考以下问题：
1．正数一定是正整数，正整数一定是正数，这两句话都对吗？请举例说明.
2．一个正分数一定是分数吗？一定是有理数吗？
[练习]完成课本第10页作业题2、3．
『归纳』
1．如果一个数是正整数，那么这个数既是正数，又应该是什么数？
2．如果所给出的一列数中有正整数、负整数、正分数、负分数、整数、分数等，那么哪些数一定是有理数？
【学习检测】
1.（1）如果零上28度记作28℃，那么零下5度记作 .
（2）若上升10m记作10m，那么－3m表示 　　 .
（3）比海平面低20m的地方，它的高度记作海拔 .
2．下列说法正确的是（ ）
A、“向东5米”与“向西10米”不是相反意义的量
B、如果气球上升25米记作+25米，那么－15米的意义就是下降－15米
C、如果气温下降6℃记为-6℃，那么+8℃的意义就是下降零上8℃
D、若将高1米设为标准0，高1.20米记作+0.20米，那么－0.05米所表示的高是0.95米.
3．一种零件的直径尺寸在图纸上是30（单位：mm），它表示这种零件的标准尺寸是30mm，加工要求尺寸最大不超过（ ）
A、0.03 mm B、0.02 mm C、30.03 mm D、29.98 mm
4．把下列各数填到相应的括号内：
1，，0.5， +7， 0， －6.4， -9， ， 0.3， 5％， -26
正数｛ …｝
负数｛ …｝
整数｛ …｝
分数｛ …｝
5．某水库的正常水位是20m，高于正常水位的记为正，低于正常水位的记为负. 记录表中有5次的记录分别是：+1.5m，-3m，0m，+5m，-2.3m. 请写出这5次记录所表示的实际水位.
【巩固提高】
1.如果a表示－5，那么－ａ表示　　　　.
２.在一次跳绳的体育测试中,规定每分钟150次为标准,超过的次数用正数表示,不足的次数用负数表示,以下是其中一组8人的成绩:
-10 20 0 -30 0 10 40 18
(1)达到及超过标准的同学占百分之几
(2)求这组同学跳绳的平均次数.
３．观察下面一列数，探求其规律：，，，，，，…
(1)请问第7个，第8个，第9个数分别是什么数？
(2)第2012个数是什么？如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越接近？
1．2 数 轴
【学习准备】
1．把下列各数填在相应的大括号里：
0，5，6.2，，-5，，8，-10，-5.9
正整数{ …}；负整数{ …}；
分数{ …}；有理数{ …}.
2．完成以下几个问题：
（1）观察右侧的三个温度计，它们的度数分别为多少？
（2）三个温度计的温度哪个高？哪个低？
（3）相邻两条刻度之间的距离有什么特点？
（4）请你把横放的温度计连同刻度（零上温度向右）画在白纸上，然后说说0℃，5℃，—5℃分别在哪个刻度上？5℃和—5℃分别离0℃几个单位刻度？
【课本导学】 阅读课本第12页例1前面部分内容，并思考下面两个问题：
1．(1)温度计上的刻度是怎样表示温度的？
(2)把温度计横放（零上温度向右），你觉得它像什么？
2．你认为数轴与温度计之间有什么联系？
3. 你是怎么理解“任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示”这句话的？
[练习] 下面图形是数轴的是（　　）
『归纳』 1．判断一条数轴画得是否正确应抓住哪几个关键特征？
2．数轴的重要作用是将“有理数”与“点”建立了联系：一个有理数可以在数轴上找到与之相对应的点. 在数学中我们把这种思想叫做“数形结合思想”．你能举出一些生活中这种“数”与“点”对应的例子吗？
阅读课本第12页至13页例1、例2，并思考下面问题：
1.例1中，点A，B所表示的数都是什么数？它们在数轴上的位置有什么特征？
2.例2中的两个小题的解答，为什么要分别画在两条数轴上？你认为画在同一条数轴上方便吗？
[练习] 完成课本第14页作业题1,2.
『归纳』1.数轴上原点左边的点所表示的数是什么数？原点右边呢？
2.在取数轴上的单位长度时，你认为要注意什么？、
3.例1是指已知数轴上点可以找出它所表示的数，是由“形”到“数”的思维过程；而例是指给定的有理数都可以在数轴上找到表示这个数的相应的点，是由“数”到“形”的思维过程.
阅读课本第13页例2下方的三段文字，结合课本想一想，回答下列问题：
1、数对4与－4， 与，－5与5，
相同点是：数字　　　　　　　，它们在数轴上的位置到原点的距离都是　　　 　　　；
不同点是：符号　　　　　　　，它们位居原点的　　　　　　　　　。
2、表示互为相反数的点是不是一定有两个，它们在原点的两侧？
[练习]完成课本第13页课内练习1、2及第14页作业题3、4．
『归纳』1.所有的有理数都有相反数吗？
２．只有 不同的两个数互为相反数，也称其中一个数是另一个数的相反数。例如：-4的相反数是4。注意0的相反数是 　　　 ；相反数等于它本身的数是 　　　　 .
３．在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的 侧，并且到原点的距离 。
４. 互为相反数的两数相加所得的和为 　　.
【学习检测】
１．的相反数是 　 ；一个数的相反数是，这个数是 　 .在数轴上距原点５个单位长度的点表示的数是　　　　　：它们互为　　　　　。若一个数的相反数不是正数，则这个数一定是 　　　　。
2. 下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A.—2与+3 B. 与0.5 C. D.3 与3
3. 如果，那么，两个实数一定是（ ）
A．都等于0 B．一正一负 C．互为相反数 D．互为倒数
4. 求—4，，２，0的相反数，并把这些数及其相反数表示在数轴上.
5. 数轴的上两点A、B所表示的数分别是3和－5 的相反数，则A、B两点间的距离是 .
【巩固提高】
1．在数轴上有三个点Ａ、Ｂ、Ｃ，如图所示：
　 ⑴将Ｂ点向左移动4个单位，此时该点表示的数是多少？
⑵将C点向左移动6个单位得到数x1,再向右移2个单位得到x2, x1、x2分别是多少？把B点所表示的数b与x1、、，x2用“＞”连接起来？
⑶怎样移动A、B、C中两点，才能使3个点表示的数相同？有几种方法？
2.（1）如果a﹥0，那么在数轴上a对应的点在原点 ，-a对应的点在原点 .
（2）如果a是有理数，那么-a可以在原点的右边吗？
3.数轴上A、B两点在原点的同侧，若点A到原点的距离为5，点B到A点的距离为2，则点B到原点的距离等于 .
1．3 绝对值
【学习准备】
1.数轴的三要素是什么？
2. 数轴上表示互为相反数的两个点具有什么特征
3.在一棵大树下，有两只小狗（小灰、小黄）在玩耍，过了一会儿，有人在大树西米处以及东米处各放了一根骨头，两只小狗发现后，灰狗跑向西米处，黄狗跑向东米处分别衔起了骨头.
问题：在数轴上表示出这一情景.它们所在的位置（两根骨头处）相同吗？它们所跑的路程（线段、的长度）一样吗？
【课本导学】
阅读课本第15页合作学习，然后思考下面问题：
1. 甲车和乙车所到达位置A，B分别用怎样的数表示？若以O为原点，取适当的单位长度画数轴，并在数轴上标出A，B的位置.
2．A，B两点与原点的距离分别是多少？
3. 若不考虑方向，它们行驶的实际路程各是多少？
『归纳』1.A，B两点与原点的距离是否相等？A，B两点在数轴上的位置是否相同？
2. 甲车和乙车行驶的实际路程相等吗？如何区分它们行驶的实际意义？
3.两辆出租车向乘客收取的费用是否应该相等？计算费用时用的是同一个里程数吗？
阅读课本第15页例1上方的文字及例1，思考下列问题：
1、一个数的绝对值可能出现负数吗？为什么？
2、求一个数的绝对值时，你认为可以依据课本中的那段话？
[练习]完成课本第16页做一做、第16页课内练习1、2、3及第17页作业题1、3．
『归纳』1.绝对值的意义可以从几个角度来理解？
2. 任何数的绝对值一定是什么数？
阅读课本第16页例2，然后思考以下两个问题：
1．绝对值等于4表示什么意义？
2．在数轴上，到原点距离等于4个单位长度的点有几个？它们分别表示什么数？
[练习]完成课本第16页课内练习4及第17页作业题2、4．
『归纳』1.绝对值等于某个正数的数有几个？它们是什么关系？
2.在有关绝对值的加减计算中，其一般的运算顺序是什么？
【学习检测】
1．下列说法错误的是（ ）
A．一个正数的绝对值一定是正数 B．一个负数的绝对值一定是正数
C．任何数的绝对值都不是负数 D．任何数的绝对值一定是正数
2．－2的绝对值是________，3.5的绝对值是_________，绝对值等于它本身的数是________.
3．下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
4．数轴上到－1的距离是4的点所表示的数是___________.
5．计算：
（1） （2）
（3） （4）
【巩固提高】
1. 若，则一定是（ ）
A. 负数 B. 负数或零 C. 零 D. 正数
2.若=3，，且x>y，求x+y的值.
3.篮球比赛对比赛所用的球有严格规定，某球厂的质检员检查5个篮球的质量，将超过规定质量的克数记作正数，不足规定的克数记作负数，检查结果如下表所示：
1号 2号 3号 4号 5号
＋10 －15 ＋22 －5 ＋7
（1）哪个篮球的质量好一些？请用绝对值知识来说明理由.
（2）求出质量最大的篮球比质量最小的重多少克？
1．4 有理数的大小比较
【学习准备】
1．比较下列各对数的大小：（1）3与； （2）与.
2．用“＜”连接下列各数：0，，2，4.
3．在数轴上表示数0，，2，4. 对照第2题中数的大小关系？这四个数在数轴上的位置有什么特点？
【课本导学】
阅读课本第18页五个城市某一天的最低气温图，然后思考下面问题：
1. 1.比较这一天上述温度的高低，根据你的经验,用“＞”或“＜”号连接：
10 5， 10 0， 5 0， 0 －10，
0 －20， －20 5， －10 10.
2.这一天五个城市的最低气温中最高的是哪个？最低的又是哪个？
3．根据你的生活经验，把这五个最低气温从低到高排列（用“＜”连接）.
4.把这五个城市最低气温表示在同一条数轴上，观察它们在数轴上的位置，与你在“学习准备”第2题中所排列的情况有什么联系？
『归纳』温度越高的数在数轴上的位置越靠近那一侧？
阅读课本第18页的黑体字及例1，思考下列问题：
1、数轴上原点右边的点所表示的数是什么数？原点左边的点所表示的数呢？
2、利用数轴对有理数进行大小排序时，你认为可以怎么做？
[练习]完成课本第19页课内练习1、第20页作业题1．
『归纳』 1. 数的大小与这些数在数轴上所表示的点的位置有怎样的联系？
2．正数、零、负数的大小关系是怎样的？
阅读并完成课本第19页的“做一做”，然后思考以下两个问题：
1．同号的两个有理数比较大小时，怎样比较方便？异号的两个数呢？
2、两个有理数的大小与这两个有理数的绝对值的大小关系一致吗？
[练习]完成课本第20页作业题2、3．
『归纳』1.两个正数相比较，绝对值对结果有什么影响？两个负数呢？
2．利用绝对值进行有理数的大小比较与利用数轴进行有理数的大小比较，各有什么优点？
阅读课本第19页例2，并思考下列问题：
1．一个正数与一个负数的大小关系如何？
2．两个有理数进行大小比较时，除可以分两个正数、两个负数这两种情形外，还有哪几种不同的情形？
[练习]完成课本第20页课内练习2、3、4．
『归纳』
1．数轴上的点表示的数，它们的大小有怎样的规律？
2．不画数轴，如何比较有理数的大小？
3．在有理数的大小比较中，哪种方法是体现了“数形结合思想” 的？
【学习检测】
1．在数轴上表示下列各数，并用“＞”连接： －5，1，0， －1.5 ，4
2．用“＞”，“＜”，“＝”填空：
（1）0.7 0 （2）－6 4 （3）2
（4）－7_____0 (5) （6）
3．比－1大而比8小的整数有 个， 绝对值小于5.1的整数是______________。
4．下列说法正确的是（ ）
A．如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数一定相等
B．如果第一个数的绝对值大于第二个数的绝对值，那么第一个数大于第二个数
C．较小有理数的绝对值一定比较大有理数的绝对值小
D．绝对值相等的两个有理数一定相等或互为相反数
5．比较下列各对数的大小，并说明理由：
（1）－2012与0.1 （2）与
6、如图，若A是有理数a在数轴上对应的点，则关于a，－a，1的大小关系表示正确的是（ ）
A．a＜1＜－a B．a＜－a＜1
C．1＜－a＜a D．－a＜a＜1
【巩固提高】
1．已知有理数a，b，c，d在数轴上的位置如图，试比较 a，b，c，d的大小.
2．在有理数中，有没有最大的正数和最小的负数？有没有最大的负整数和最小的正整数？如果有，各是多少？
３.若数轴上表示数a的点在原点的左边,则-2a与的大小是( )
A.-2a< B.-2a≤ C.-2a> D.-2a≥
第一章 复习
【复习目标】
加深理解有理数、数轴、相反数和绝对值等概念，并体会其意义；
能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小，会求任意有理数的相反数和绝对值；
通过具体事例，初步理解数形结合的思想方法．
【复习准备】
1．某班级对数学考试成绩采用新的记分办法：规定60分为及格，高于60分的为正，低于60分的为负．例如，85分记为+25分，则66分应记为 ；记分为－8分的同学，他实际所考的分数是 分．
2.一个数与它的相反数相等,那么这个数是 ;
3.在数轴上,到原点的距离等于3个单位长度的点有 个,所表示的有理数分别是 和
.
4.下列各组有理数的大小比较错误的是( )
A.2>-3 B.-3<-4 C. D. -
5.已知，如图,数轴上点A和B分别表示有理数a,b,试比较下列四个有理数a,b,-a,-b的大小,用“<”连接.
【知识整理】
1.为什么要引入负数？举出实例说明正数和负数在表示相反意义的量时的作用；
2.怎样用数轴上的点表示有理数？数轴与普通的直线有什么不同？怎样用数轴解释绝对值和相反数？
3.（1）有理数可分为整数和分数，其中整数包括： 、 、 ；分数包括： 、 .
（2）有理数也可以分为正数、零和负数，其中正数包括： 和 ；负数包括： 和 .
4. 比较两个有理数的大小有哪两种方法？
5.数的范围从小学中所学的数扩充到有理数后，增加了哪些数？除0以外，增加的数与小学中所学的数一样多吗？为什么？
【例题】
例1 如图,数轴上点A,B,C,D分别表示什么数 它们到原点的距离分别为多少
[思考] 1、数轴上原点左边的点所表示的数是正数还是负数？右边的点呢？
2、数轴上的点到原点的距离是指这个数本身，还是这个数的绝对值？
[解]
[归纳]（1）确定数轴上的点所表示的数要注意符号；
（2）“距离”不可能为负数.
例2 把-4，0，-，1，3这组数表示在数轴上，并按从小到大的顺序用“<”连接；若数轴上表示数-4和3的点分别为A和B，求A、B两点间的距离.
[思考] 1、数字“－4”由符号“－”和数字“4”两部分组成，其中符号“－”在数轴上的含义是什么？数字“4”在数轴上的含义是什么？其它的数字呢？
2、有理数的大小与数轴上对应点的位置排列有什么关系？
[解]　
[归纳] 1.有理数的大小比较，有两种方法：一是将这些数用数轴上的点表示，再观察点所在的位置，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大；二是先求各数的绝对值，再根据课本第19页的比较法则来判断.
2.观察数轴不难发现：对于数轴上的任意两点A和B，如果A、B两点分别在原点的两侧，那么A、B两点间的距离等于O、A间的距离与O、B间距离的和；如果A、B两点在原点的同侧，那么A、B两点间的距离等于O、A间的距离与O、B间距离的差的绝对值.
例3.一辆运货车沿东西向的公路来回送货,一天早晨从A地出发,晚上最后到达B地.约定向东为正方向(如:+1.5表示汽车向东行驶1.5千米,-3表示汽车向西行驶3千米)当天行驶记录如下(单位:千米) +6.5, -10.5, +8.5, -4, -6.5, +20, -5.5
问:(1)B地在A地的什么方向？相距多少千米
(2)若汽车行驶每千米耗油0.1升,那么这一天共耗油多少升
[思考]
1.问题中B地与A地相距的路程与汽车行驶的路程相等吗？
2.如何在数轴上表示当天汽车的行驶情况？
[解]
[归纳]
1.汽车行驶的总路程是当天的行驶记录中所有数据的绝对值之和；
2.在实际问题中，要注意所给数据的实际意义.
【复习检测】
1.把下列各数填入相应的括号内:
-, 7, -5.7, -2, 0, 3.9, 0.05, -4, , 10.
小于-1的整数{ 　 …};
大于-2的分数{ …};
非负整数{ …};
正有理数{ …};
负有理数{ …}.
2. 的相反数是( )
A. B. C.- D.-
3．-3的相反数是 ,2与 互为相反数.
4.不小于的最小整数是 ;请写出不大于-的最大整数 .
5.数轴上点A表示数-2,那么与A点相距3个单位长度的点所表示的数是 .
【巩固提高】
1.有理数a,b在数轴上的对应点如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A. b>a B. -a> C. -b> D.
2.如果=-a ,则a一定是( )
A.0 B.正数 C.负数 D.负数和0
3.已知:a>0,b<0,,把a,-a,b,-b,四个数用“<”号连接起来是 .
思考一
思考二
因此这样的小数可以视为分数.
思考三
…
思考一
思考二
思考三
思考一
思考二
思考三
小黄
小灰
思考一
出租车行驶的里程与路线、方向无关
思考二
思考三
思考一
思考二
思考三
思考四
0
1
A
(第6题)
-1
1
0
B
A
a
b
0