第3章 实数【挑战满分】2022-2023学年七年级数学上册 精选精练（浙教版）

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第3章 实数
一、单选题
1．已知，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在数轴上表示实数的点可能（ ）．
A．点P B．点Q C．点M D．点N
4．下列判断正确的是( )
A． B．
C． D．
5．有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（ ）
A． B． C． D．2
7．在实数中，最小的是（ ）
A． B． C．0 D．
8．下列说法中正确的是（ ）．
A．0.09的平方根是0.3 B．
C．0的立方根是0 D．1的立方根是
9．估计的值在（ ）
A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间
10．若实数m，n满足，则的立方根为（ ）
A．-3 B．3 C．±3 D．
二、填空题
11．如图所示的运算序中，若开始输入的a值为21，我们发现第一次输出的结果为24．第二次输出的结果为12，…，则第2019次输出的结果为_________．
12．+＝_____．
13．将下列各数填入相应的括号里：
．
整数集合{ …}；
负分数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
14．对于任意有理数a，b，定义新运算：a b=a2﹣2b+1，则2 (﹣6)=____．
15．比较下列各数的大小：（1） ____3；（2） ____-
16．比较大小：_____．
17．25的算数平方根是______，的相反数为______．
三、解答题
18．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中m、n为有理数，x为无理数，那么m=0且n=0．
（1）如果，其中a、b为有理数，那么a= ，b= ；
（2）如果，其中a、b为有理数，求的平方根；
（3）若x，y是有理数，满足，求的算术平方根．
19．阅读下面的文字，解答问题．
对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差．
例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．
（1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　；
（2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　．
（3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　．
20．如果一个正数m的两个平方根分别是2a－3和a－9，求2m－2的值．
21．【发现】
①
②
③
④
……；
(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________．
【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数a，b，若，则；
【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
(2)若与的值互为相反数，且，求a的值．
参考答案：
1．C
【分析】先估算出的范围，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴在3和4之间，即．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小．能估算出的范围是解题的关键．
2．D
【分析】逐项代入，寻找正确答案即可.
【详解】解：A选项满足m≤n，则y=2m+1=3；
B选项不满足m≤n，则y=2n-1=-1；
C选项满足m≤n，则y=2m+1=3；
D选项不满足m≤n，则y=2n-1=1；
故答案为D；
【点睛】本题考查了根据条件代数式求值问题，解答的关键在于根据条件正确地代入代数式及代入的值.
3．C
【分析】确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题．
【详解】解：∵9＜15＜16，
∴3＜＜4，
∴对应的点是M．
故选：C．
【点睛】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，解题关键是应先看这个无理数在哪两个有理数之间，进而求解．
4．B
【分析】根据即可求解．
【详解】解：由题意可知：，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的估值，属于基础题．
5．A
【分析】根据无理数、分数的概念判断．
【详解】解：无限不循环小数是无理数，
错误．
是有理数，
错误．
是有理数，
错误．
也是无理数，不含根号，
错误．
是一个无理数，不是分数，
错误．
故选：．
【点睛】本题考查实数的概念，掌握无理数是无限不循环小数是求解本题的关键．
6．A
【分析】根据算术平方根的定义可求．
【详解】解：-2，
故选A．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，要注意正确区分平方根与算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
7．D
【分析】由正数比负数大可知比小，又因为，所以最小的是．
【详解】∵，，
又∵
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，实数的比较中也遵循正数大于零，零大于负数的法则．比较实数大小的方法较多，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法．
8．C
【分析】根据平方根，算术平方根和立方根的定义分别判断即可.
【详解】解：A、0.09的平方根是±0.3，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、0的立方根是0，故选项正确；
D、1的立方根是1，故选项错误；
故选：C.
【点睛】本题考查了平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键．
9．D
【分析】根据49<54<64，得到，进而得到，即可得到答案．
【详解】解：∵49<54<64，
∴，
∴，即的值在3到4之间，
故选：D．
【点睛】此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．
10．A
【分析】利用平方及绝对值的非负性，可求出，，代入即可进行求解．
【详解】解：由题意可知，
∵，，且，
∴，，
即，，
解得：，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是平方及绝对值的非负性，求一个数的立方根等知识，根据非负性的性质求得m与n的值是解题的关键．
11．6
【分析】根据程序图进行计算发现数字的变化规律，从而分析求解．
【详解】解：当输入a=21时，
第一次输出的结果为，
第二次输出结果为，
第三次输出结果为，
第四次输出结果为，
第五次输出结果为，
第六次输出结果为，
…
自第三次开始，奇数次的输出结果为6，偶数次的输出结果为3，
∴第2019次输出的结果是6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查代数式求值，准确识图，理解程序图，通过计算发现数字变化规律是解题关键．
12．7
【分析】本题涉及平方、三次根式化简2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：（﹣3）2+
＝9﹣2
＝7．
故答案为7．
【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握平方、三次根式等考点的运算．
13．见解析．
【分析】先化简，后根据整数包括正整数，0，负整数；负分数，无理数的定义去判断解答即可．
【详解】∵-|-0.7|=-0.7，是负分数，-（-9）=9，是整数，是负分数，
0是整数，8是整数，-2是整数，是无理数，是正分数，是无限不循环小数，是无理数，是无限循环小数，是有理数，是负分数，
∴整数集合{ -（-9），0，8， -2 …}；
负分数集合{ -|-0.7|， ， …}；
无理数集合{ ， …}．
故答案为：-（-9），0，8， -2 ；
-|-0.7|， ， ；
， …．
【点睛】本题考查了有理数，无理数，熟练掌握各数的定义，特征，并合理化简判断是解题的关键．
14．17．
【分析】根据公式代入计算即可得到答案.
【详解】∵a b=a2﹣2b+1，
∴2 (﹣6)=22﹣2×(﹣6)+1=4+12+1=17.
故答案为：17.
【点睛】此题考查新定义计算公式，正确理解公式并正确计算是解题的关键.
15． ＜； ＜
【分析】（1）根据数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大进行比较；（2）根据两个负数，绝对值大的反而小进行比较．
【详解】解：（1）∵ ＜，
∴3＜；
（2） ≈-3.143，-π≈-3.141，
∵3.143＞3.141
∴ ＜-π．
故答案为＜，＜．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是注意：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
16．
【分析】先估算的大小，然后再比较无理数的大小即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的比较大小，无理数的估算，解题关键是正确掌握实数比较大小的法则．
17． 5 3
【分析】根据算术平方根的定义和实数的相反数分别填空即可．
【详解】∵
∴25的算数平方根是5；
∵
∴的相反数为3；
故答案为：5,3．
【点睛】本题考查了实数的性质，主要利用了算术平方根，立方根的定义以及相反数的定义，熟记概念与性质是解题的关键．
18．（1）2，-3；（2）±3；（3）
【分析】（1）根据题意可得：a-2=0，b+3=0，从而可得解；
（2）把已知等式进行整理可得，从而得2a-b=9，a+b=0，从而可求得a，b的值，再代入运算即可；
（3）将已知等式整理为，从而得3x-7y=9，y=3，从而可求得x，y的值，再代入运算即可．
【详解】解：（1）由题意得：a-2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=-3，
故答案为：2，-3；
（2）∵，
∴，
∴2a-b-9=0，a+b=0，
解得：a=3，b=-3，
∴=9，
∴的平方根为±3；
（3）∵，
∴，
∴3x-7y=9，y=3，
∴x=10，
∴=10-3=7，
∴的算术平方根为．
【点睛】本题主要考查实数的运算，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的等式．
19．（1）2；3﹣；（2）1、2、3；（3）256，4
【分析】（1）依照定义进行计算即可；
（2）由题可知，，则可得满足题意的整数的的值为1、2、3；
（3）由，可知，是某个整数的平方，又是符合条件的所有数中最大的数，则，再依次进行计算．
【详解】解：（1）由定义可得，，，
．
故答案为：2；．
（2），
，即，
整数的值为1、2、3．
故答案为：1、2、3．
（3），即，
可设，且是自然数，
是符合条件的所有数中的最大数，
，
，
，
，
，
即．
故答案为：256，4．
【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查估算无理数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解定义内容是解题关键．
20．48
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数求出a的值，利用平方根和平方的关系求出m，再求出2m-2的值．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是2a－3和a－9，
∴(2a－3)+(a－9)=0，解得a= 4，
∴这个正数为(2a－3) 2=52=25，∴2m－2=2×25－2= 48；
故答案为48.
【点睛】本题考查平方根.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据题目给出的规律解答；（2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a的值．
(1)
，符合上述规律，
故答案为：；
(2)
∵与的值互为相反数，
∴+=0，
∴，
解得，
代入中，
解得，，
∴．
【点睛】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题．
试卷第1页，共3页
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