第4章 相似三角形【挑战满分】2022-2023学年九年级数学上册 精选精练（浙教版）

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第四章 相似三角形
一、单选题
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（ ）
A．∠AED=∠B B．
C．AD·BC= DE·AC D．DE//BC
2．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是(　　　)
A． B． C． D．
3．与的相似比为1:3，则与的面积比为（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：16
4．如图，中，直径为8cm，弦经过的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ ）
A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
6．如图，PAB为⊙O的割线，且PA＝AB＝3，PO交⊙O于点C，若PC＝2，则⊙O的半径的长为（　　）
A． B． C． D．7
7．如图，点M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的两个动点，在运动过程中保持∠MAN＝45°，连接EN、FM相交于点O，以下结论：①MN＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF DE；④OM＝OF（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
8．已知A、B两地相距10km，在地图上相距10cm，则这张地图的比例尺是( )．
A．100000:1 B．1000:1 C．1:100000 D．1:1000
9．点P是△ABC中AB边上一点（不与A、B重合），过P作直线截△ABC使得截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多作（　　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
10．将三角形纸片（）按如图所示的方式折叠，使点C落在边上的点D，折痕为．已知，若以点B、D、F为顶点的三角形与相似，那么的长度是（ ）
A．2 B．或2 C． D．或2
二、填空题
11．图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽AB1.2厘米，托架斜面长BD6厘米，它有C到F共4个档位调节角度，相邻两个档位间的距离为0.8厘米，档位C到B的距离为2.4厘米．将某型号手机置于托架上（图2)，手机屏幕长AG是15厘米，O是支点且OBOE2.5厘米（支架的厚度忽略不计）．当支架调到E档时，点G离水平面的距离GH为__________cm．
12．如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则________．
13．如图，△ABC与△是位似图形，点是位似中心，若，，则=________．
14．如图所示，在中，，，．
（1）如图1，四边形为的内接正方形，则正方形的边长为_________；
（2）如图2，若内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于，则正方形的边长为_________．
15．《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种．中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，，，EF过点A，且步，步，已知每步约40厘米，则正方形的边长约为__________米．
16．如图，点E、F分别是矩形ABCD边BC和CD上的点，把△CEF沿直线EF折叠得到△GEF，再把△BEG沿直线BG折叠，点E的对应点H恰好落在对角线BD上，若此时F、G、H三点在同一条直线上，且线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，则的值为______．
17．如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线交于点、交于点，则线段的长为 __．
三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出将放大后的，并写出点的坐标______．
19．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．
20．（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．求证：；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，若，，求的长．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点；
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为轴上一点，点为直线上一点，过作交轴于点，当四边形为菱形时，请直接写出点坐标；
（3）在（2）的条件下，且点在线段上时，将抛物线向上平移个单位，平移后的抛物线与直线交于点（点在第二象限），点为轴上一点，若，且符合条件的点恰好有2个，求的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】根据相似三角形的判定定理去判断分析即可．
【详解】∵∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故A不符合题意；
∵，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故B不符合题意；
∵AD·BC= DE·AC，无夹角相等，
∴不能判定△ADE∽△ACB，
故C符合题意；
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ACB，
故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定条件，熟练掌握判定三角形相似的基本方法是解题的关键．
2．A
【分析】先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可．
【详解】解：∵，
∴AC=1.2m+12.8m=14m
∵标杆和建筑物CD均垂直于地面
∴BE//CD
∴△ABE∽△ACD
∴,即,解得CD=17.5m．
故答案为A．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键．
3．C
【分析】由相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的面积比．
【详解】解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．
4．B
【分析】连结AD，BC，根据中，直径为8cm，得出OA=OB=4cm，根据弦经过的中点，得出AP=OP=2cm， 根据∠ADP=∠CBP，∠DAP=∠BCP，可证△ADP∽△CBP，得出，得出，（PC-PD）2≥0，即．
【详解】解：连结AD，BC，
∵中，直径为8cm，
∴OA=OB=4cm，
∵弦经过的中点，
∴AP=OP=2cm，
∵∠ADP=∠CBP，∠DAP=∠BCP，
∴△ADP∽△CBP，
∴，
∴，
∵（PC-PD）2≥0，即．
故选B．
【点睛】本题考查圆的基本知识，同弧所对圆周角性质，三角形相似判定与性质，非负数应用，掌握圆的基本知识，同弧所对圆周角性质，三角形相似判定与性质，非负数应用是解题关键．
5．A
【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断．
【详解】解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，
又∵，
∴，，
∴△ABC∽△ADE∽△HFA，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．A
【分析】延长PO到E，延长线与圆O交于点E，连接EB，AC，根据四边形ACEB为圆O的内接四边形，利用圆内接四边形的外角等于它的内对角得到一对角相等，再由公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形ACP与三角形EBP相似，由相似得比例，进而可求得答案.
【详解】延长PO到E，延长线与圆O交于点E，连接EB，AC，
∵四边形ACEB为圆O的内接四边形，
∴∠ACP=∠E，又∠P=∠P，
∴△ACP∽△EBP，
∴PA：PE=PC：PB，
∴PA PB=PC PE，
∵PA=AB=3，∴PB=6，
又PC=2，
∴3×6=2PE，
∴PE=9，
∴CE=9-2=7，
∴半径＝3.5．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用了转化思想，其中作出如图所示的辅助线是解本题的关键．
7．A
【分析】由旋转的性质可得AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM=∠ADM'=90°，由“SAS”可证△AMN≌△AM′N，可得MN=NM′，可得MN=BM+DN，故①正确；由“SAS”可证△AEF≌△AED'，可得EF=D'E，由勾股定理可得BE2+DF2=EF2；故②正确；通过证明△DAE∽△BFA，可得，可证BC2=DE BF，故③正确；通过证明点A，点B，点M，点F四点共圆，∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM，可证MO=EO，由∠BAM≠∠DAN，可得OE≠OF，故④错误，即可求解．
【详解】解：将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADM′，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABD'，
∴AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM=∠ADM'=90°，
∴∠ADM'+∠ADC=180°，
∴点M'在直线CD上，
∵∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠MAB=45°=∠DAN+∠DAM'=∠M'AN，
∴∠M′AN=∠MAN=45°，
又∵AN=AN，AM=AM'，
∴△AMN≌△AM′N（SAS），
∴MN=NM′，
∴M′N=M′D+DN=BM+DN，
∴MN=BM+DN；故①正确；
∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABD'，
∴AF=AD'，DF=D'B，∠ADF=∠ABD'=45°，∠DAF=∠BAD'，
∴∠D'BE=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°=∠BAD'+∠BAE=∠D'AE，
∴∠D'AE=∠EAF=45°，
又∵AE=AE，AF=AD'，
∴△AEF≌△AED'（SAS），
∴EF=D'E，
∵D'E2=BE2+D'B2，
∴BE2+DF2=EF2；故②正确；
∵∠BAF=∠BAE+∠EAF=∠BAE+45°，∠AEF=∠BAE+∠ABE=45°+∠BAE，
∴∠BAF=∠AEF，
又∵∠ABF=∠ADE=45°，
∴△DAE∽△BFA，
∴，
又∵AB=AD=BC，
∴BC2=DE BF，故③正确；
∵∠FBM=∠FAM=45°，
∴点A，点B，点M，点F四点共圆，
∴∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM，
同理可求∠AEN=90°，∠DAN=∠DEN，
∴∠EOM=45°=∠EMO，
∴EO=EM，
∴MO=EO，
∵∠BAM≠∠DAN，
∴∠BFM≠∠DEN，
∴EO≠FO，
∴OM≠FO，故④错误，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
8．C
【分析】比例尺=图上距离：实际距离，根据题意可直接求得比例尺．
【详解】∵10km=1000000cm，
∴比例尺为10：1000000=1：100000．
故选C．
【点睛】掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．比例尺=图上距离：实际距离，图上距离在前，实际距离在后.
9．C
【分析】根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断．
【详解】满足条件的直线有4条，如图所示：
如图1，过P作PE∥AC，则有△BPE∽△BAC；
如图2，过P作PE∥BC，则有△APE∽△ABC；
如图3，过P作∠AEP=∠B，又∠A=∠A，则有△APE∽△ACB；
如图4，过P作∠BEP=∠A，又∠B=∠B，则有△BEP∽△BAC，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用．
10．B
【分析】分两种情况：若或若，再根据相似三角形的性质解题
【详解】∵沿折叠后点C和点D重合，
∴，
设，则，
以点B、D、F为顶点的三角形与相似，分两种情况：
①若，则，即，解得；
②若，则，即，解得．
综上，的长为或2，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
11．
【分析】如图3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．解直角三角形求出BK，OK，利用相似三角形的性质求出DT，BT，AD，即可求出GH的长．
【详解】如图3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．
∵OB=OE=2.5cm，BE=2.4+0.82=4(cm)，OK⊥BE，
∴BK=KE=2(cm)，
∴OK(cm)，
∵∠OBK=∠DBT，∠OKB=∠BTD=90°，
∴△BKO∽△BTD，
∴，
∴，
∴BT=4.8(cm)，DT=3.6(cm)，AT=1.2+4.8=6(cm)，
∴AD=(cm)，
∵DT∥GH，
∴△ATD∽△AHG，
∴，
∴，
∴(cm)．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
12．3
【分析】根据直角三角形的性质得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再说明DE∥AC，得到，即可求出DE．
【详解】解：∵∠ACB=90°，点D为AB中点，
∴AB=2CD=10，
∵BC=8，
∴AC==6，
∵DE⊥BC，AC⊥BC，
∴DE∥AC，
∴，即，
∴DE=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是通过平行得到比例式．
13．16
【分析】题干已知△ABC与△是位似图形，利用面积相似比进行分析求解.
【详解】解：△ABC与△是位似图形，得到,利用相似图形，面积比即是对应线段比的平方比得到，由，得到=16.
【点睛】本题考查位似图形，利用相似图形的面积比即是对应线段比的平方比，从而分析求解.
14．
【分析】（1）根据题意画出图形，作CN⊥AB，再根据GF∥AB，可知△CGF∽△CAB，由相似三角形的性质即可求出正方形的边长；
（2）设正方形的边长是x，则过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M，易得△CGF∽△CAB，所以，求出x值即可．
【详解】解：（1）在图1中，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N．
在Rt△ABC中，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴AB CN=BC AC，
∴CN=，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴CM：CN=GF：AB，
设正方形边长为x，
则，
解得：，
∴正方形DEFG的边长为；
（2）如图，过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M，
设小正方形的边长为x，
∵四边形GDEF为矩形，
∴GF∥AB，CM⊥GF，
同理算出CN=，
∴，即，
∴，
即小正方形的边长是．
【点睛】本题主要考查了正方形，矩形的性质和相似三角形的性质．会利用三角形相似中的相似比来得到相关的线段之间的等量关系是解题的关键．
15．112
【分析】根据题意，可知Rt△AEN∽Rt△FAN，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．
【详解】解：∵点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，
∴，
∴AM=AN，
由题意可得，∠ANF=∠EMA=90°，
∠NAF+∠AFN=∠NAF+∠EAM=90°，
∴∠AFN=∠EAM，
∴Rt△AEM∽Rt△FAN，
∴，
∵AM=AN，
∴，
解得：AM=140，
∴AD=2AM=280（步），
∴（米）
故答案为：112．
【点睛】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
16．
【分析】根据线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，可得HF=HD，由折叠和同角的余角相等得，然后证明，再利用设元法即可解决问题．
【详解】解：∵线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，
∴HF=HD，
∴∠HFD=∠FDH，
∴∠BHF=2∠HFD
由折叠可知：GF=CF，HG=CE=EG，
，∠BHG=∠BEG，∠CEF=∠GEF，
∵∠BEG+∠CEF+∠GEF=180°，
∴2∠HFD +2∠CEF=180°
∴∠HFD+∠CEF=90°，
又∵∠CFE +∠CEF=90°
∴，
又∵HF=HD，
∴△DHF是等边三角形，
∴∠CBD=∠CEF=30°，
∴，
设GF=CF=x，HF=DF=y，
则HG=CE=EG=，
HF=HG+GF=GE+CF，
即y=x+，
∵，
∴.
【点睛】本题主要考查折叠的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是掌握翻折的性质．
17．##7.5
【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明△BOF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出EF即可．
【详解】解：如图：
四边形是矩形，
，又，，
，
是的垂直平分线，
，，又，
，
，
，
解得，，
四边形是矩形，
，，
，
是的垂直平分线，
，，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．
18．图见解析，
【分析】由位似的性质进行作图和求解，即可得到答案．
【详解】如图，即为所求，
故答案为：
【点睛】本题考查了位似三角形的性质，在直角坐标系中作位似图形，以及考查了坐标与图形，解题的关键是掌握位似的性质进行解题．
19．旗杆的高度为11.5m
【分析】根据相似三角形的性质列式计算即可；
【详解】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则，
∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DG＝1.5m，DC＝20m，
∴，
解得：AC＝10，
故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（m）．
答：旗杆的高度为11．5m．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质应用，准确分析计算是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）；见解析；（3）
【分析】（1）先△ABE≌△DAQ，可得AE＝DQ;再证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题；
（2）如图2中，作GM⊥AB于M．然后证明△ABE∽△GMF即可解决问题；
（3）如图3中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题．
【详解】（1）如图（1），∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．
∴∠QAO+∠OAD＝90°．
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°．
∴∠QAO＝∠ADO．
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ．
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥DQ，AE⊥GF，
∴DG∥QF，DQ∥GF，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴DQ=GF，
∴FG=AE；
（2）．
理由：如图（2）中，作GM⊥AB于M．
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴GF：AE＝GM：AB，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴GF：AE＝AD：AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，
∴GF：AE＝BC：AB，
∵，
∴．
（3）解：如图（3）中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．
由BE：BF＝3：4 ，设BE＝3k，BF＝4k，则EF＝AF＝5k，
∵，，
∴AE＝，
在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得，
∴
∴k＝1或﹣1（舍去），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，
∴∠FEB＝∠EPM，
∴△FBE∽△EMP，
∴，
∴，
∴EM＝ ，PM＝ ，
∴CM＝EM﹣EC＝﹣3＝，
∴PC＝=．
【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，是解题的关键．
21．（1）；（2）；；（3）
【分析】（1）由题意易得，，然后代入抛物线解析式进行求解即可；
（2）由题意可画出图象，设点，然后求出直线AB的解析式为，则可设点，点，进而根据中点坐标公式及两点距离公式可进行求解；
（3）过作轴交于，由（2）可得：，，则有，设，，进而可得，则，然后可得，则有，最后根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：（1）∵直线与轴、轴分别交于、两点，
∴，，
∵抛物线经过、两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得，，由题意可得如图所示：
设点，直线AB的解析式为，把点A、B代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为，
设点，点，
∵四边形是菱形，
∴根据中点坐标公式可得：，即，
∴，
∵，
∴根据两点距离公式可得：，
解得：或或（不符合题意，舍去），
∴；；
（3）过作轴交于，如图所示：
由（2）可得：，，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
化简得：，
当方程有唯一实根时，满足条件的只有一个，
∴，
化简得：，
解得：，（含去）
∴，
设平移后的抛物线为：，将点坐标代入平移后解析式得：
，
解得：，
．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
试卷第1页，共3页
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