1.3 证明（2）

1.3 证明（2）
教学目标：
1.进一步体验证明的意义；
2.进一步学习证明的思考方法；
　3.进一步学习综合法证明的方法和表述。体验辅助线在证明中的作用。
教学重点：继续学会证明的方法和表述。
教学难点：例4需要添加辅助线，证明思路不易形成，是本节教学的难点。
教学过程设计：
一、复习引入：证明；
上节课教的证明的四个格式。
思考：如何证明文字命题呢？
例如：证明命题“三角形三个内角的和等于180°”是真命题。
二、新课教学：
（一）证明命题“三角形三个内角的和等于180°”是真命题。
分析：（1）这个命题的条件和结论是什么？并根据条件和结论画出图形，写出已知，求证．
（2）请同学们回顾，在三角形部分，对这个命题是用哪种实验方法加以说明的．（可请成绩较好的同学回答）
（3）请同学们思考：如何通过添加辅助线的方法把三个角拼在一起，这些线中哪些线容易产生相等的角？（同学之间相互合作，讨论学习，时间可稍长）
根据学生的回答，添辅助线并引导学生梳理推理的过程（此处可引导学生在不同的顶点处添加辅助线）
（4）师生共同完成推理过程．
启发学生再思考，除了选三角形顶点作平行线之外，还有没有其他方法，比如选三角形边上一点（此处也可让学生相互讨论并尝试），师生共同探究出证明过程：
证明：证明:　过点A作DE∥BC.则
∠C＝∠CAE， （两直线平行，内错角相等）
∠BAE +∠B= 180o （两直线平行，同旁内角互补）
∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠BAD+∠CAE＝180o
其它证明方法：
可在BC边上任意取一点P，作PD∥AB，交AC于点D；
作PE∥AC，交AB于点E．
∵PD∥AB（已知）
∴ ∠DPC=∠B
∠CDP=∠A (两直线平行，同位角相等)
又 ∵ PE∥AC
∴ ∠EPB=∠C (两直线平行，同位角相等)
∴ ∠EPB+∠EPD+∠DPC=∠C+∠A+∠B=180° (等量代换)
小结：1.证明一个命题的一般格式：
①按题意画出图形；
②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
③在“证明”中写出推理过程．
2. 此题需要通过添加辅助线才能完成证明过程。
（1）所谓辅助线指的是为了证明需要在原图上添画的线（通常画成虚线），添辅助线的过程要写入证明中。
（2）它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用。
（3）添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，要根据需要而定,平时做题时要注意总结。
（二）三角形的外角性质
1.外角概念：如图，∠ACD是△ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的角，这样的角叫做该三角形的外角。
2.外角性质
师：三角形的外角和内角之间有什么关系？
（学生讨论，自己试着给出证明过程，师巡视点评）
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角
求证：∠ACD=∠A+∠B。
证明：∵ ∠ACD+∠ACB=180°（平角的意义）
∠ACD+∠A+∠B=180°（三角形内角和定理）
∴ ∠ACD=∠A+∠B。
师：这是由三角形的内角和定理直接推理得到的一个结论，我们称之为推论。推论也可以做为推理的依据。
3.练一练
（1）在△ABC中，以A为顶点的一个外角为120°，∠B=50°，则∠C= °。
（2）已知：如图，O为△ABC内任意一点。求证：∠BOC=∠1+∠2+∠A。
三、拓展提高，综合运用
例4 已知：如图，∠B+∠D=∠BCD。求证：AB//DE.
（此题在七下《平行线》里已见过，大部分的学生应该不陌生，也能想到添加辅助线来证明。但当时并不注重书写过程，所以此时应留时间给学生自己分析，并书写证明过程，强调格式的规范性。可投影不同学生的作业并分析点评。）
分析： 延长BC，交DE与点F。根据平行线的判定定理，只要证明∠B=∠CFD，或者∠B+∠BFE=180°，就能证明AB//DE.
证明：延长BC，交DE于点F。
∵ ∠B+∠D=∠BCD
又∵∠BCD=∠D+∠CFD（三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和）
∴∠B+∠D=∠D+∠CFD
∴∠B=∠CFD
∴ AB//DE（内错角相等，两直线平行）.
巩固练习：
完成课本P20 T5
四、疏理全过程，形成小结
本节课你的最大收获是什么？
可根据学生的回答大概归纳为：
（1）三角形内角和定理的证明方法――作平行线法；
（2）三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
（3）常用的几何证明方法：由结论出发寻求使结论成立的条件，进而形成解题思路――分析法．初步学会添加辅助线。
五、作业
1、作业本2 P3—4
2、特训P11 去掉T2,9,12,15
六、板书设计
§1.3 证明(2)
1、三角形内角和定理： 证明一个命题的一般格式：
三角形的三个内角和为180°。 ① 画图；
2、三角形外角性质： ② 写出：“已知” “求证”；
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 ③ 证明。
3、辅助线
七、教学反思：