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专题07 垂径定理
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 利用垂径定理求值
1．如图，CD是的弦，直径，垂足为M，连接AD．若，，则AD的长为（ ）
A．10 B． C． D．
2．如图，⊙O中，半径OC＝2，弦AB垂直平分OC，则AB的长是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．4
3．⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知cm，则球的半径为（ ）
A．3cm B．cm C．cm D．cm
5．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A．2cm B．4 cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
利用垂径定理求平行弦问题
6．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（ ）
A．1或7 B．7 C．1 D．3或4
7．圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB和CD的距离是（ ）
A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm
8．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（ ）
A．7 B．17 C．7或17 D．34
的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
查题型三 利用垂径定理求同心圆问题
10．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm
A．5 B．4 C． D．
心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
3．两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点，则，那么该圆环的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．某市地铁施工队开始隧道挖掘作业，如图1，圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．如图2，有一圆弧形混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个组对相关数据进行测量，测量结果如下表所示，利用数据能够估算隧道外径大小的组是（ ）
小组 测量内容
甲 的长
乙 的长
A．两组测量数据都不足 B．甲 C．乙组 D．两组都可以
15．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
查题型四 垂径定理的实际应用
16．一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
17．如图，某同学测试一个球体在水中的下落速度，他测得截面圆的半径为5cm，假设球的横截面与水面交于A，B两点，AB=8cm，若从目前所处位置到完全落入水中的时间为4s，则球体下落的平均速度为（ ）
A．0.5cm/s B．0.75cm/s C．1cm/s D．2cm/s
18．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，则圆形木材的直径是（ ）（1尺=10寸）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
19．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子（ ）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
20．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C．米 D．米
22．如图，某零件的截面为弓形.
（1）请用直尺和圆规作出该弓形的圆心．
（2）若，弓形的高为1．
①求弓形的半径
②求的长
23．如图，台风中心位于点，并沿东北方向移动，已知台风移动的速度为40千米时，受影响区域的半径为260千米，市位于点的北偏东方向上，距离点480千米．问：本次台风是否会影响市．若这次台风会影响市，求市受台风影响的时间．
24．凰仪桥始建于嘉泰以前，是绍兴市区的一座古桥，此桥可以看成是一种特殊的圆拱桥，已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为．求此桥拱圆弧的半径（精确到）
25．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘“筒车”的工作原理． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心 为圆心的圆，已知圆心 在水面上方，且当圆被水面截得的弦 为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦 从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
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专题07 垂径定理
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 利用垂径定理求值
1．如图，CD是的弦，直径，垂足为M，连接AD．若，，则AD的长为（ ）
A．10 B． C． D．
【详解】
解：∵直径AB⊥CD，垂足为M，
∴DM＝CD＝4，
连接OD，
设圆的半径为r，则在直角△OMD中，OM＝r 2，
由勾股定理得到：OD2＝OM2＋MD2，即r2＝（r 2）2＋42，
解得r＝5，
∴OA＝5，
∴AM＝10 2＝8，
在直角△AMD中，AD2＝MD2＋AM2，
∴AD＝＝，
故选：C．
2．如图，⊙O中，半径OC＝2，弦AB垂直平分OC，则AB的长是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．4
【详解】
如图；连接OA
由圆的性质可知，OA=OC=2
∵AB垂直平分OC
∴OE=OC=×2=1
根据勾股定理，
由垂径定理可知AE=BE
∴
3．⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
【详解】
解：如图，过点O作OE⊥AB，连接OA，
由题意可知：，且，
∴．
故选：B．
4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知cm，则球的半径为（ ）
A．3cm B．cm C．cm D．cm
【详解】
解： EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=6cm，
设OF=x，则ON=OF，
∴OM=MN-ON=(6-x)cm，MF=3cm，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2
即：（6-x）2+32=x2
解得：x=
即球的半径为cm
故选：C．
5．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A．2cm B．4 cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
【详解】
连接AC，AO，
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM==3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5 3=2cm，
在Rt△AMC中,AC=cm.
故选：C.
考查题型二 利用垂径定理求平行弦问题
6．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（ ）
A．1或7 B．7 C．1 D．3或4
【详解】
解：①当AB、CD在圆心两侧时；
过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：
∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，
∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，
∴EF为AB、CD之间的距离
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：
OE2＝OC2﹣CE2
∴OE3，
在Rt△OFA中，由勾股定理可得：
OF2＝OA2﹣AF2
∴OF4，
∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，
AB与CD的距离为7；
②当AB、CD在圆心同侧时；
同①可得：OE＝3，OF＝4；
则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1；
综上所述：AB与CD间的距离为1或7．
故选：A.
7．圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB和CD的距离是（ ）
A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm
【详解】
第一种情况：两弦在圆心的一侧时，
∵CD=10cm，，
∴，
∵圆的半径为13cm，
∴OD=13cm，
∴利用勾股定理可得：
，
同理可求OF=5cm，
∴EF=OE-OF=12cm-5cm=7cm；
第二种情况：只是EF=OE+OF=17cm．其它和第一种一样；
综上分析可知，两弦之间的距离为7cm或17cm，故D正确．
故选D．
8．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（ ）
A．7 B．17 C．7或17 D．34
【详解】
解：如图,
设E、F为AB、CD的中点，
AE=AB= 24=12,
CF=CD= 10=5,
OE===5,
OF===12,
①当两弦在圆心同侧时,距离=OF-OE=12-5=7;
②当两弦在圆心异侧时,距离=OE+OF=12+5=17.
所以距离为7或17.
故选C.
9．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【详解】
解：∵OD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵OA＝OB，AC＝4
∴OD＝AC＝2．
故选C．
考查题型三 利用垂径定理求同心圆问题
10．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm
A．5 B．4 C． D．
【详解】
解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点，
C点是AB的中点，即AC=BC==6；
并且OC⊥AB，在中，
由勾股定理得，
所以；AO=8cm，
所以，
所以OC=
故选：
11．如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
【详解】
如图，设AB与小圆切于点O，连接OC，AO，
∵大圆的一条弦AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
∴AC=BC=AB，
∵OA=5cm，OC=4cm，
在Rt△AOC中，AC==3cm，
∴AB=2AC=6（cm）．
故选C．
12．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
【详解】
解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点，
在Rt△A′DO中，OD=3，OA′=5，
∴ ，
∴A′B′=8；
当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，
此时AB=10，
所以AB的取值范围是8≤AB≤10．
故选：A．
13．两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点，则，那么该圆环的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：连接OC、OA，则OC⊥AB，
在Rt△AOC中，
OA2-OC2=AC2=（AB）2=9，
所以环形的面积为OA2π-OC2π=9π，
故选：C．
14．某市地铁施工队开始隧道挖掘作业，如图1，圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．如图2，有一圆弧形混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个组对相关数据进行测量，测量结果如下表所示，利用数据能够估算隧道外径大小的组是（ ）
小组 测量内容
甲 的长
乙 的长
A．两组测量数据都不足 B．甲 C．乙组 D．两组都可以
【详解】
解：甲、乙两组的做法都可以，
乙组做法的理由：如图2，根据测量数据可知，HG=KL，GN=HM，由垂径定理可求出HK，在直角三角形OHK中，由勾股定理可求出OH，进而求出OL，问题得以解决；
甲组做法的理由：如图1，由于已知AB，可以设外圆半径为R，则可表示内圆半径OA，根据弧长公式列方程组可求出R即可，
所以甲、乙两组做法均可，
故选：D．
15．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
【详解】
解：（1）证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E，
∵AE=BE，CE=DE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，
即AC=BD
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，
连接OC，OA，
∵OA=10，OC=8，OE=6，
∴.
∴AC=AE﹣CE=8﹣．
考查题型四 垂径定理的实际应用
16．一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【详解】
解：如图，过点O作，
∴，
在中，由勾股定理得：.
故选：B.
17．如图，某同学测试一个球体在水中的下落速度，他测得截面圆的半径为5cm，假设球的横截面与水面交于A，B两点，AB=8cm，若从目前所处位置到完全落入水中的时间为4s，则球体下落的平均速度为（ ）
A．0.5cm/s B．0.75cm/s C．1cm/s D．2cm/s
【详解】
解：如图，O为圆心，连接OA，过点O作OC⊥AB于点D，
∵AB＝8cm，
∴AD＝AB＝4cm，
∵OA＝5cm，
∴OD＝cm，
∴CD＝OC－OD＝5－3＝2cm，
∴从目前所处位置到完全落入水中的时间为4s，
∴球体下落的平均速度为：．
故选：A．
18．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，则圆形木材的直径是（ ）（1尺=10寸）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
【详解】
解：连接OA、OC，如图：
由题意得：C为AB的中点，
则O、C、D三点共线，OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝5（寸），
设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．
在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，
解得：x＝13．
∴圆材直径为2×13＝26（寸）．
故选：D
19．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子（ ）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
【详解】
解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，两条垂直平分线的交点就是圆心．
故选：A．
20．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【详解】
解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为
由题意知，，
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴
②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接
由题意知，，
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴
∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；
故选D．
21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C．米 D．米
【详解】
解：连接OC交AB于点E．
由题意OC⊥AB，
∴AE=BE=AB=2（米），
在Rt△AEO中，（米），
∴CE=OC-OE=（米），
故选：C．
22．如图，某零件的截面为弓形.
（1）请用直尺和圆规作出该弓形的圆心．
（2）若，弓形的高为1．
①求弓形的半径
②求的长
【详解】
（1）在弧AB上取一点C，连接AC，分别作出AC、AB的垂直平分线，如图，点O即为所求．
（2）①如图，过点O作交圆O与点D，
∵，
∴，
设弓形的半径为r，
在Rt△AOE中，，
即，
解得：；
②∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
23．如图，台风中心位于点，并沿东北方向移动，已知台风移动的速度为40千米时，受影响区域的半径为260千米，市位于点的北偏东方向上，距离点480千米．问：本次台风是否会影响市．若这次台风会影响市，求市受台风影响的时间．
【详解】
如图，作BH⊥PQ于点H
在中，由条件知，PB＝480，∠BPQ＝75°﹣45°＝30°，
∴BH==240＜260，
∴本次台风会影响B市．
如图，以B为圆心，以260为半径作圆交PQ于P1、P2两点，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．
根据BH=240，由条件得BP1=BP2=260，
∴P1P2==200，
∴台风影响的时间t==5（小时）．
故B市受台风影响的时间为5小时．
24．凰仪桥始建于嘉泰以前，是绍兴市区的一座古桥，此桥可以看成是一种特殊的圆拱桥，已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为．求此桥拱圆弧的半径（精确到）
【详解】
解：如图，假设圆弧所在圆的圆心为O，过点O作OE⊥AB，连接AO，
根据圆的性质可得：
∴OE垂直平分AB，
∴AE=AB=×18.2=9.1，
设圆的半径为R，根据圆的性质可得：
OE=R-6.2，
∴在△AOE中，，
∴，
解得：R≈9.8，
故此桥拱圆弧的半径为9.8m．
25．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘“筒车”的工作原理． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心 为圆心的圆，已知圆心 在水面上方，且当圆被水面截得的弦 为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦 从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
【详解】
（1）解：连接OC，延长CO交AB于点D，
∴CD⊥AB
∴ ，
设圆的半径为r，OD=r-1
在Rt△AOD中
OD2+AD2=AO2即（r-1）2+9=r2．
解之：r=5．
∴该圆的半径为5m．
（2）解：过点O作OE⊥AB'
∴A'E==4，
∴，
∴水面上涨的高度为5-3=2米．
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