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专题08 圆心角与圆周角
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 利用弧、弦、圆心角求解
1．如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∠ABC＝25°，则弧CD的度数（ ）
A．50° B．25° C．100° D．65°
【详解】
如图所示，连接，根据圆周角定理，得，
，
，
即的度数为，
，
，
得的度数为．
故选：A．
2．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，OB＝5，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①的长度是；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】
解：，点是点关于的对称点，
，
，
的长度是，
①正确；
，
②正确；
的度数是，
的度数是，
只有当和重合时，，
，
只有和重合时，，
③错误；
作关于的对称点，连接，交于，连接交于，此时的值最短，等于长，
连接，
，并且弧的度数都是，
，，
，
是的直径，
即，
的最小值是10，
④正确；
综上所述，正确的个数是3个．
故选：．
3．如图，点C，D是劣弧上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则所在圆的半径长为（ ）
A． B． C．2 D．
【详解】
解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接BC，如图：
则
∵CD∥AB，
∴∠ECD=∠CEA=90°，
∵CD∥AB，
∴∠ECD=∠CEA=90°，
∴∠CEF=∠DCE=∠DFE=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴EF=CD=2,
∴CD∥AB，
∴∠ABC=∠BCD,
∴,
∴AC=BD,
又∵CD∥AB，
∴四边形ABDC是等腰梯形，
∵AB=6,CD=2,
根据等腰梯形的对称性可知：
∴BE=BF+EF=2+2=4,
在
∴
在，
∴，
根据圆周角的性质可知,
在,
∴，
∵BO＞0，
∴BO=，
故选：D．
4．如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 是弧 AC 的中点，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，延长 DE 交⊙O 于点 F，若 AC＝12，AE＝3，则⊙O 的直径长为（ ）
A．7.5 B．15
C．16 D．18
【详解】
解：如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE=EF，，
∵点D是弧AC的中点，
∴，
∴，
∴AC=DF=12，
∴EF=DF=6，
设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，则有x2=62+（x-3）2，
解得x=，
∴AB=2x=15，
故选：B．
5．如图，弦AD，BC交于点P，，，，则BC的长度为（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【详解】
解：根据题意，
∵，
∴，
由圆周角定理，则，
∵，
∴△ABP≌△CDP，
∴，，
∴；
故选：B．
考查题型二 理解圆心角的概念
6．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则劣弧AB的度数是（ ）
A．45° B．60° C．72° D．90°
【详解】
解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠AOB的度数为72°，
∴劣弧AB的度数是72°，
故选：C．
7．如图，已知A，B，C在⊙O上，的度数为300°，∠C的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【详解】
∵的度数为300°
∴的度数为60°
即∠AOB=60°
∴∠C=∠AOB=30°
故选A
8．如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S）不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须（ ）
A．大于60° B．小于60° C．大于30° D．小于30°
【详解】
试题解析：连接OA，OB，AB，BC，如图：
∵AB=OA=OB，即△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵∠ACB与∠AOB所对的弧都为，
∴∠ACB=∠AOB=30°，
又∠ACB为△SCB的外角，
∴∠ACB＞∠ASB，即∠ASB＜30°．
故选D
9．如图，已知⊙O的半径为R，C、D是直径AB的同侧圆周上的两点，的度数为100°，=2，动点P在线段AB上，则PC＋PD的最小值为（ ）
A．R B．R C．R D．R
【详解】
如图，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′，
由轴对称确定最短路线问题，CD′与AB的交点即为所求的点P，CD′的长度为PC+PD的最小长度，
∵弧AC的度数为100°，
∴弧BC的度数为180°-100°=80°，
∵弧BC=2弧BD，
∴弧BD的度数=×80°=40°，
∴弧CD′的度数=80°+40°=120°，
连接OD′，过点O作OE⊥CD′，
则∠COD′=120°，OE垂直平分CD′，
∴CD′=2CE=2×R=R．
故选C．
10．观察下列每个图形及相应推出的结论，其中正确的是（ ）
A． B． C．D．.
【详解】
A、由圆心角、弧、弦的关系可知，若的度数等于40°，则∠AOB=80°或280，故本选项错误；
B、因为不是在同圆或等圆中，所以≠，故本选项错误；
C、由圆心角、弧、弦的关系可知，若 =，则=，故AB=CD，故本选项正确；
D、由于MN不是直径，所以不能使用垂径定理，故本选项错误．
故选C．
考查题型三 求圆弧度数
11．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
【详解】
解：如图，连接，，
是的外接圆，，
，
，
是等腰直角三角形，
．
故选：B．
12．如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．130°
【详解】
解： ∠BOC＝130°，点A在上，
故选B
13．如图，点A，B，C在上，为优弧，已知，则为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：连接AO，BO
即
故选：A．
14．如图是一个圆形人工湖示意图，弦AB是湖上的一座桥，已知AB长为100m，圆周角，则这个人工湖的直径是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：连接OA、OB．
∵∠AOB=2∠ACB=90°，OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AO=AB=50（m）．
∴这个人工湖的直径是100米，
故选：A
15．如图，是的两条弦，于点D，于点E，连结，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO=90°，∠AEO=90°，
∵∠DOE=130°，
∴∠BAC=360°-90°-90°-130°=50°，
∴∠BOC=2∠BAC=100°，
故选：B．
考查题型四 理解圆周角的概念
16．下列四个图中，∠x是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
试题分析：根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，因此，∠x是圆周角的为C．故选C．
17．如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是( )
A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC
【详解】
解：弧AE所对的圆周角是：∠ABE或∠ACE
故选：C
18．如图，图中共有圆周角（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【详解】
图中的圆周角有：∠FAE，∠AEF，∠AFE，∠AED，∠FED共5个
故选C
19．如图，其中圆周角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】
解：根据题意，，是圆周角，共2个．
故选：B．
20．如图，图中的圆周角有( )
A．10个 B．11个 C．12个 D．13个
【详解】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，两边和圆相交，则可以得出四边形ABEC的顶点处都有3个圆周角，一共有12个．故选C．
考查题型五 圆周角定理
21．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（ ）
A． B．2 C．2 D．3
【详解】
解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴，
∴∠E=∠BOC=22.5°，
∴∠BOD=45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴DB=OD=2，
则半径OB等于：．
故选C．
22．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【详解】
解：由图可知，OA=10，OD=5，
在Rt△OAD中，
∵OA=10，OD=5，AD==，
∴tan∠1=，
∴∠1=60°，
同理可得∠2=60°，
∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，
∴∠C=60°，
∴∠E=180°-60°=120°
即弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°，
故选D．
23．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
【详解】
解：∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO
＝90°﹣∠AED
＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC
＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【详解】
∵OB＝OC，∠OCB＝40°，
∴∠BOC＝180°－2∠OCB＝100°，
∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°．
故选：B．
25．如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：∵是的直径
∴∠
∵
∴
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴∠
故选：B．
26．如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【详解】
解：过点作，交于点，
是的外接圆，，
，
又，，
，，
在中，，
，，
，
故选：．
27．如图，点在上，，垂足为E．若，，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【详解】
解：连接OC，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∵，垂足为E，
∴，
故选：D．
考查题型六 同弧或等弧所对的圆周角相等
28．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是
A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠B0D
【详解】
解：∵直径CD⊥弦AB，
∴弧AD =弧BD，
∴∠C=∠BOD．
故选B．
29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为( )
A．15° B．35° C．25° D．45°
【详解】
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°，
∵DC//AB，
∴∠ACD=∠A=50°，
又∵∠D=∠A=50°，
∴∠DBC=180°-∠D -∠BCD=180°-50°-（65°+50°）=15°，
故选A.
30．如图，四边形的外接圆为⊙，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
31．如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
【详解】
解：连接OA，OB，OC，
∵，
∴∠BOC=2∠BDC=100°，
∵，
∴∠BOC=∠AOC=100°，
∴∠ABC=∠AOC=50°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=130°.
故选B.
32．如图，是⊙上的点，则图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：∵与都是所对的圆周角，
∴．
故选D．
考查题型七 半圆所对的圆周角是直角
33．如图，C、D是⊙O上的两点，且位于直径AB两侧，连接BC、CD、BD，若，则（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【详解】
解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵，
∴∠CAB=90°-∠CBA=90°-20°=70°，
∴∠CDB=∠CAB=70°．
故选D．
34．如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若，则锐角∠BDC的度数为（ ）
A．57° B．52° C．38° D．26°
【详解】
连接AC，
AB为⊙O的直径，
，
，
，
，
故选：B．
35．如图，BD是⊙O的直径，A，C是圆上不与点B，D重合的两个点，若，则∠ACB的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【详解】
解：连接AD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵，
∴∠ADB=60°．
∴∠ACB=∠ADB=60°．
故选：D．
36．如图，△ABC中，∠A＝60°，以AB为直径作⊙O，分别交AC、BC于点D、E，若AD＝CD，则∠AOE的度数是（ ）
A．120° B．100° C．80° D．60°
【详解】
解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即BD⊥AC，
∵AD＝CD，
∴AB＝BC，
∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠ABC＝60°，
∴∠AOE＝∠ABC+∠OEB＝60°+60°＝120°．
故选：A．
37．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADC的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【详解】
解：∵AB是的直径，
故选C．
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专题08 圆心角与圆周角
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 利用弧、弦、圆心角求解
1．如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∠ABC＝25°，则弧CD的度数（ ）
A．50° B．25° C．100° D．65°
2．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，OB＝5，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①的长度是；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，点C，D是劣弧上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则所在圆的半径长为（ ）
A． B． C．2 D．
4．如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 是弧 AC 的中点，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，延长 DE 交⊙O 于点 F，若 AC＝12，AE＝3，则⊙O 的直径长为（ ）
A．7.5 B．15
C．16 D．18
5．如图，弦AD，BC交于点P，，，，则BC的长度为（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
考查题型二 理解圆心角的概念
6．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则劣弧AB的度数是（ ）
A．45° B．60° C．72° D．90°
7．如图，已知A，B，C在⊙O上，的度数为300°，∠C的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S）不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须（ ）
A．大于60° B．小于60° C．大于30° D．小于30°
9．如图，已知⊙O的半径为R，C、D是直径AB的同侧圆周上的两点，的度数为100°，=2，动点P在线段AB上，则PC＋PD的最小值为（ ）
A．R B．R C．R D．R
10．观察下列每个图形及相应推出的结论，其中正确的是（ ）
A． B． C．D．.
考查题型三 求圆弧度数
11．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
12．如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．130°
13．如图，点A，B，C在上，为优弧，已知，则为（ ）
A． B． C． D．
14．如图是一个圆形人工湖示意图，弦AB是湖上的一座桥，已知AB长为100m，圆周角，则这个人工湖的直径是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，是的两条弦，于点D，于点E，连结，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考查题型四 理解圆周角的概念
16．下列四个图中，∠x是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
17．如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是( )
A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC
18．如图，图中共有圆周角（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
19．如图，其中圆周角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．如图，图中的圆周角有( )
A．10个 B．11个 C．12个 D．13个
考查题型五 圆周角定理
21．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（ ）
A． B．2 C．2 D．3
22．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
23．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
25．如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
26．如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
27．如图，点在上，，垂足为E．若，，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
考查题型六 同弧或等弧所对的圆周角相等
28．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是
A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠B0D
29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为( )
A．15° B．35° C．25° D．45°
30．如图，四边形的外接圆为⊙，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
31．如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
32．如图，是⊙上的点，则图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
考查题型七 半圆所对的圆周角是直角
33．如图，C、D是⊙O上的两点，且位于直径AB两侧，连接BC、CD、BD，若，则（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
34．如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若，则锐角∠BDC的度数为（ ）
A．57° B．52° C．38° D．26°
35．如图，BD是⊙O的直径，A，C是圆上不与点B，D重合的两个点，若，则∠ACB的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
36．如图，△ABC中，∠A＝60°，以AB为直径作⊙O，分别交AC、BC于点D、E，若AD＝CD，则∠AOE的度数是（ ）
A．120° B．100° C．80° D．60°
37．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADC的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
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