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专题12 四边形与圆
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 已知圆内接四边形求角度
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．110° B．120° C．135° D．140°
2．如图，是的直径，C，D为上的点，且点D在弧上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（ ）
A．60° B．50° C．80° D．100°
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D﹣∠B＝40°，连接AO，CO，则∠AOC的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
5．如图，，，，四个点均在上，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考查题型二 求正多边形的中心角
6．已知，正六边形的边长为2，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
7．如图，正方形内接于．点为上一点，连接、，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图有一齿轮，相邻两齿之间间隔相等，如果让这个齿轮绕中心旋转，要与原图形重合，至少要旋转（ ）
A． B． C． D．
9．正五边形的中心角等于（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
10．我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
考查题型三 已知正多边形的中心角求边数
11．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．一个圆的内接正多边形中，一边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
13．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
14．设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
考查题型四 正多边形与圆
16．如图，圆的半径为4，则图中阴影部分的周长是（ ）
A． B． C．24 D．
17．如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为24cm2，则圆形螺帽的半径是（ ）
A．1cm B．2cm C．2cm D．4cm
18．圆内接正六边形的边长为 3，则该圆的直径长为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．6
19．如图，要拧开一个边长为a＝8mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（ ）
A．8mm B．16mm C．8mm D．4mm
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专题12 四边形与圆
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 已知圆内接四边形求角度
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．110° B．120° C．135° D．140°
【详解】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=40°，
∴∠C=180°-∠A=140°，
故选D．
2．如图，是的直径，C，D为上的点，且点D在弧上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：∵∠D+∠B=180°，∠D=120°，
∴∠B=60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=30°，
故选：A．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（ ）
A．60° B．50° C．80° D．100°
【详解】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝100°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
故选：C．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D﹣∠B＝40°，连接AO，CO，则∠AOC的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠D﹣∠B＝40°，
∴∠D＝110°，∠B＝70°，
∴∠AOC＝2∠B＝140°，
故选：D．
5．如图，，，，四个点均在上，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：连接AB，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∵∠OAB＋∠OBA＋∠AOB＝180°，∠AOB＝70°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°－∠AOB）＝55°，
∵，
∴∠DAO＝∠AOB＝70°，
∵，
∴ ∠ADC＝180°－∠DAO＝180°－70°＝110°，
∵，，，四个点均在上，
∴四边形ABCD是的内接四边形，
∴∠ADC＋∠ABC＝∠ADC＋∠ABO＋∠OBC＝180°，
∴∠OBC＝180°－∠ADC－∠ABO＝15°．
故选：B．
考查题型二 求正多边形的中心角
6．已知，正六边形的边长为2，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【详解】
解：如图，连接，交于点，
正六边形的边长为2，
，
是等边三角形，
，
同理可得：，
，
故选：C．
7．如图，正方形内接于．点为上一点，连接、，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：连接OB、OC、OE，
，
∵正方形内接于，
∴，，三点共线，
又∵，
∴，
又∵BO=CO=OE，
∴是等边三角形，
又∵，
∴BO=CO=OE=3，
∴，
故选D．
8．如图有一齿轮，相邻两齿之间间隔相等，如果让这个齿轮绕中心旋转，要与原图形重合，至少要旋转（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：由图可知：该齿轮是正八边形，
360°÷8=45°．
故选C．
9．正五边形的中心角等于（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【详解】
解：正五边形的中心角为．
故选D.
10．我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
【详解】
添加字母如图，
根据题意，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形
则每一等分的圆弧都相等，每一等分的圆弧所对的圆心角相等
,
根据对称性可得
则是等腰直角三角形
同理可得是等腰直角三角形
则阴影部分面积为
故选C
考查题型三 已知正多边形的中心角求边数
11．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【详解】
解：设正多边形的边数为n．
由题意=72°，
∴n=5，
故选：C．
12．一个圆的内接正多边形中，一边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
【详解】
解：正多边形的边数为360°÷72°＝5，
故选：B．
13．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【详解】
解：设正多边形的边数为n．
由题意可得：＝72°，
∴n＝5，
故选：B．
14．设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，
从图象可以得出AB=AO+OB，即，A正确；
∵三角形为等边三角形，
∴∠CAO=30°，
根据垂径定理可知∠ACO=90°，
∴AO=2OC，即R=2r，B正确；
在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即，
由B中关系可得：，解得，则，
所以C错误，D正确；
故选：C．
15．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【详解】
∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，
∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，
故选A．
考查题型四 正多边形与圆
16．如图，圆的半径为4，则图中阴影部分的周长是（ ）
A． B． C．24 D．
【详解】
解：如图所示，
，，圆的半径为4，
∴OC=2，
∴BC=，
∴AB=2BC=，
∴阴影部分的周长为：．
故选：D．
17．如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为24cm2，则圆形螺帽的半径是（ ）
A．1cm B．2cm C．2cm D．4cm
【详解】
解：如图，由圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，过作于
设半径为r，即OA=OB=AB=r，
OM=OA sin∠OAB=，
∵圆O的内接正六边形的面积为（cm2），
∴△AOB的面积为（cm2），
即，
，
解得r=4，
故选：D．
18．圆内接正六边形的边长为 3，则该圆的直径长为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．6
【详解】
如图，连接OA，OB，
∵圆内接正六边形的边长为3，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴该圆的直径为；
故选D．
19．如图，要拧开一个边长为a＝8mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（ ）
A．8mm B．16mm C．8mm D．4mm
【详解】
解：设正六边形的中心是O，其一边是AB，连接OA、OB、OC、AC，OB交AC于M，如图所示：
∴∠AOB=∠BOC=60°，OA=OB=OC
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴AC⊥OB，AM=CM，
∵AB=8mm，∠AOB=60°，
∴sin∠AOB=，
∴AM=（mm），
∴AC=2AM=8（mm），
故选：C．
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