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专题13 计算弧长与扇形面积
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 利用弧长公式进行计算
1．如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△，则 的长为（ ）
A． B． C．7 D．6
2．某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，PA，PB分别切⊙O于点为A，B，若，的长为，则的半径为（ ）
A．9 B．18 C．36 D．72
4．如图，⊙O的直径为6，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
5．已知一个扇形的圆心角是150°，半径是3，则该扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
6．一扇形的半径等于已知圆的半径的2倍，且它的面积等于该圆的面积，则这一扇形的圆心角为（ ）
A．20° B．120° C．100° D．90°
7．若一个扇形的圆心角是90°，面积为π，则这个扇形的半径是（ ）
A．2 B．4 C．2π D．4π
8．若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（ ）
A． B．6 C．12 D．
考查题型二 计算扇形的面积
9．如图，已知扇形OAB的半径OA=6，点P为弧AB上一动点，过点P作PC⊥OA，PD⊥OB，连接CD，当CD取得最大值时，扇形OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，点为边的中点，以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点；以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，半径为1cm的在边长为9πcm，12πcm，15πcm的三角形外沿三遍滚动（没有滑动）一周，则圆P所扫过的面积为（ ）cm2
A．73π B．75π C．76π D．77π
12．如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）
A．9πm2 B．πm2 C．15πm2 D．πm2
13．如图，在菱形中，已知，，以为直径的与菱形相交，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
14．今年寒假期间，小明参观了中国扇博物馆，如图是她看到的纸扇和团扇. 已知纸扇的骨柄长为30cm，扇面有纸部分的宽度为18cm，折扇张开的角度为150°，若这两把扇子的扇面面积相等，则团扇的半径为 （ ）
A． B． C． D．
15．如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2－ B．－ C．2－ D．－
16．如图，点A，B，C，D，E是⊙O上5个点，若AB＝AO＝6，将弧CD沿弦CD翻折，使其恰好经过点O，此时，图中阴影部分恰好形成一个“钻戒型”的轴对称图形，则“钻戒型”（阴影部分）的面积为（ ）
A．24π﹣27 B．24π﹣36 C．12π﹣9 D．6π
考查题型三 与圆锥有关的计算
17．已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（ ）
A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2
18．若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．60π B．65π C．78π D．120π
19．如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．1
20．用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．10 B．20 C．10π D．20π
21．如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）．
A． B． C． D．
22．圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（ ）
A．5cm B．10cm C．6cm D．5cm
23．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（ ）
A．214° B．215° C．216° D．217°
24．已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
25．如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（ ）
A．米2 B．米2
C．米2 D．米2
26．云南是全国拥有少数民族数量最多的省份，风俗文化多种多样，使得“云南十八怪”成为云南旅游文化的一张名片，图①是十八怪中的“草帽当锅盖”，图②是一个草帽的三视图，根据图中所给的数据计算出该草帽的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
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专题13 计算弧长与扇形面积
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 利用弧长公式进行计算
1．如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△，则 的长为（ ）
A． B． C．7 D．6
【详解】
解：根据图示知，∠BAB′＝45°，
弧的长l＝．
故答案为：A．
2．某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
如图，连接，，交于点，
∵ ，
∴是直径，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴门洞的圆弧所对的圆心角为 ，
∴改建后门洞的圆弧长是(m)，
故选：C
3．如图，PA，PB分别切⊙O于点为A，B，若，的长为，则的半径为（ ）
A．9 B．18 C．36 D．72
【详解】
解：连接OA、OB，如图，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
又∵∠P=50°，
∴∠AOB=130°，
∵，
∴r=36．
故选C．
4．如图，⊙O的直径为6，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
连接OA，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOP＝90°-∠P＝50°，
∴∠AOB＝180°-∠AOP＝130°，
∵⊙O的直径为6，
∴OA＝3，
∴的长＝＝．
故选：C．
5．已知一个扇形的圆心角是150°，半径是3，则该扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：由题意可得，该扇形的弧长为：
．
故选：A．
6．一扇形的半径等于已知圆的半径的2倍，且它的面积等于该圆的面积，则这一扇形的圆心角为（ ）
A．20° B．120° C．100° D．90°
【详解】
设圆的半径为r，则扇形的半径为2r，利用面积公式可得： =πr2，
解得n=90．故选D．
7．若一个扇形的圆心角是90°，面积为π，则这个扇形的半径是（ ）
A．2 B．4 C．2π D．4π
【详解】
解：由题意可得：，
∴扇形的半径为2，
故选：A．
8．若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（ ）
A． B．6 C．12 D．
【详解】
解：根据弧长的公式，知
=6，
即该扇形的半径为6．
故选：B．
考查题型二 计算扇形的面积
9．如图，已知扇形OAB的半径OA=6，点P为弧AB上一动点，过点P作PC⊥OA，PD⊥OB，连接CD，当CD取得最大值时，扇形OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：解：由PC⊥OA，PD⊥OB可知，∠OCP+∠ODP＝180°，
∴O、C、P、D四点共圆，CD为此圆直径时，CD最大，
∴当∠AOB＝90°时，CD最大，如图：
此时扇形面积为．
故选：A．
10．如图，在中，，点为边的中点，以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点；以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB10，∠A+∠B＝90°，
∵点D为边AB的中点，
∴AD＝BD＝5，
如图所示，扇形ADE面积与扇形BGD面积相等，
∴图中阴影部分的面积6×824，
故选：D．
11．如图，半径为1cm的在边长为9πcm，12πcm，15πcm的三角形外沿三遍滚动（没有滑动）一周，则圆P所扫过的面积为（ ）cm2
A．73π B．75π C．76π D．77π
【详解】
解：根据运动特点可知三个顶点处转了一个圆的面积，在三个边上滚过的图形矩形
∴圆P所扫过的面积=π+（9π+12π+15π）×2
=73π，故选：A
12．如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）
A．9πm2 B．πm2 C．15πm2 D．πm2
【详解】
大扇形的圆心角是90度，半径是6，如图，
所以面积==9πm2；
小扇形的圆心角是180°-120°=60°，半径是2m，
则面积=π（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积=9π+π=π（m2）．
故选B．
13．如图，在菱形中，已知，，以为直径的与菱形相交，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
∵菱形中，已知，，连接AO,BO，
∴∠ABO=30°，∠AOB=90°，
∴∠BAO=60°，又AO=EO,
∴△AOE为等边三角形,故AE=EO=AB=2
∴r=2
∴S扇形AOE==
S△AOE===
∴图中阴影部分的面积=×22-4（-）=
故选D.
14．今年寒假期间，小明参观了中国扇博物馆，如图是她看到的纸扇和团扇. 已知纸扇的骨柄长为30cm，扇面有纸部分的宽度为18cm，折扇张开的角度为150°，若这两把扇子的扇面面积相等，则团扇的半径为 （ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：纸扇的扇面面积＝，
则团扇的半径＝（cm），
故选D．
15．如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2－ B．－ C．2－ D．－
【详解】
解：∵矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBF＝45°，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE＝45°，
∴AB＝AE＝1，BE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝ED＝1，
∴图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF
=1×2×1×1
=．
故选：B．
16．如图，点A，B，C，D，E是⊙O上5个点，若AB＝AO＝6，将弧CD沿弦CD翻折，使其恰好经过点O，此时，图中阴影部分恰好形成一个“钻戒型”的轴对称图形，则“钻戒型”（阴影部分）的面积为（ ）
A．24π﹣27 B．24π﹣36 C．12π﹣9 D．6π
【详解】
解：连接CD、OE，如图，
由题意可知OC＝OD＝CE＝ED，，
∴S扇形ECD＝S扇形OCD，四边形OCED是菱形，
∴OE垂直平分CD，
由圆周角定理可知∠COD＝∠CED＝120°，
∴CD＝2×6×＝6 ，
∵AB＝OA＝OB＝6，
∴△AOB是等边三角形，
∴S△AOB＝ ，
∴S阴影＝2S扇形OCD﹣2S菱形OCED+S△AOB
＝ +
＝2（12π﹣18）+9
＝24π﹣27，
故选：A．
考查题型三 与圆锥有关的计算
17．已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（ ）
A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2
【详解】
根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm，即底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，
所以圆锥的母线长=，
所以这个圆锥的侧面积=×2π×5×13=65π（cm2）．
故选B．
18．若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．60π B．65π C．78π D．120π
【详解】
解：由题意可得：圆锥的底面半径为5，母线长为：，
该圆锥的侧面积为：π×5×13=65π．
故选B．
19．如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．1
【详解】
解：如下图：
连接BC，AO，
∵，
∴BC是直径，且BC=2，
又∵，
∴，
又∵， ，
∴ ，
∴的长度为：，
∴围成的底面圆周长为，
设圆锥的底面圆的半径为，
则：，
∴．
故选：
20．用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．10 B．20 C．10π D．20π
【详解】
设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
解得r=10.
故圆锥的底面半径为10.
故选A.
21．如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）．
A． B． C． D．
【详解】
解：设圆锥的底面周长是l，则l=m，
则圆锥的底面半径是：m，
则圆锥的高是：m．
故选：C．
22．圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（ ）
A．5cm B．10cm C．6cm D．5cm
【详解】
设圆锥的母线长为R，
根据题意得2π 5，
解得R＝10．
即圆锥的母线长为10cm，
∴圆锥的高为：5cm．
故选A．
23．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（ ）
A．214° B．215° C．216° D．217°
【详解】
解：由圆锥的高为4，底面直径为6，
可得母线长，
圆锥的底面周长为：，
设圆心角的度数为n，
则，
解得：，
故圆心角度数为：，
故选：C．
24．已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【详解】
解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1=2π，
设圆心角的度数是n度，
则=2π，
解得：n=120．
故选：C．
25．如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（ ）
A．米2 B．米2
C．米2 D．米2
【详解】
解：∵底面半径=5米，圆锥高为2米，圆柱高为3米，
∴圆锥的母线长=米，
∴圆锥的侧面积=，
圆柱的侧面积=底面圆周长×圆柱高，
即，
故需要的毛毡：米，
故选：A．
26．云南是全国拥有少数民族数量最多的省份，风俗文化多种多样，使得“云南十八怪”成为云南旅游文化的一张名片，图①是十八怪中的“草帽当锅盖”，图②是一个草帽的三视图，根据图中所给的数据计算出该草帽的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：∵圆锥的底面直径为48cm,则半径为=24，又∵圆锥的高为10cm,∴圆锥的母线长为： ，圆锥的底面周长(扇形的弧长)为:2r=48,
∴该圆锥的侧面积=×48π×26=624π，
故选C．
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